文档内容
2021 年全国统一高考数学试卷（新高考全国Ⅱ卷）
使用省份：海南､辽宁､重庆
一､选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的．
1. 复数 在复平面内对应 的点所在的象限为（ ）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
2. 设集合 ，则 （ ）
.
A B. C. D.
3. 抛物线 的焦点到直线 的距离为 ，则 （ ）
A. 1 B. 2 C. D. 4
4. 北斗三号全球卫星导航系统是我国航天事业的重要成果．在卫星导航系统中，地球静止同步卫星的轨道
位于地球赤道所在平面，轨道高度为 （轨道高度是指卫星到地球表面的距离）．将地球看作是
一个球心为O，半径r为 的球，其上点A的纬度是指 与赤道平面所成角的度数．地球表面上
能直接观测到一颗地球静止同步轨道卫星点的纬度最大值为 ，记卫星信号覆盖地球表面的表面积为
（单位： ），则S占地球表面积的百分比约为（ ）
.
A 26% B. 34% C. 42% D. 50%
5. 正四棱台 的上､下底面的边长分别为2，4，侧棱长为2，则其体积为（ ）
A. B. C. D.
6. 某物理量的测量结果服从正态分布 ，下列结论中不正确的是（ ）
A. 越小，该物理量在一次测量中在 的概率越大B. 越小，该物理量在一次测量中大于10的概率为0.5
C. 越小，该物理量在一次测量中小于9.99与大于10.01的概率相等
D. 越小，该物理量在一次测量中落在 与落在 的概率相等
7. 已知 ， ， ，则下列判断正确的是（ ）
A. B. C. D.
8. 已知函数 的定义域为 ， 为偶函数， 为奇函数，则（ ）
A. B. C. D.
二､选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题
目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9. 下列统计量中，能度量样本 的离散程度的是（ ）
A. 样本 的标准差 B. 样本 的中位数
C. 样本 的极差 D. 样本 的平均数
10. 如图，在正方体中，O为底面的中心，P为所在棱的中点，M，N为正方体的顶点．则满足
的是（ ）
A. B.
C. D.11. 已知直线 与圆 ，点 ，则下列说法正确的是（ ）
A. 若点A在圆C上，则直线l与圆C相切 B. 若点A在圆C内，则直线l与圆C相离
C. 若点A 在圆C外，则直线l与圆C相离 D. 若点A在直线l上，则直线l与圆C相切
12. 设正整数 ，其中 ，记 ．
则（ ）
A. B.
C. D.
三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13. 已知双曲线 的离心率为2，则该双曲线的渐近线方程为_______________
14. 写出一个同时具有下列性质①②③的函数 _______．
① ；②当 时， ；③ 是奇函数．
15. 已知向量 ， ， ， _______．
16. 已知函数 ，函数 的图象在点 和点 的两
条切线互相垂直，且分别交y轴于M，N两点，则 取值范围是_______．
四､解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤．
17. 记 是公差不为0的等差数列 的前n项和，若 ．
（1）求数列 的通项公式 ；
（2）求使 成立的n的最小值．
18. 在 中，角 、 、 所对的边长分别为 、 、 ， ， .．
（1）若 ，求 的面积；（2）是否存在正整数 ，使得 为钝角三角形?若存在，求出 的值；若不存在，说明理由．
19. 在四棱锥 中，底面 是正方形，若 ．
（1）证明：平面 平面 ；
（2）求二面角 的平面角的余弦值．
20. 已知椭圆C的方程为 ，右焦点为 ，且离心率为 ．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设M，N是椭圆C上的两点，直线 与曲线 相切．证明：M，N，F三点共线
的充要条件是 ．
21. 一种微生物群体可以经过自身繁殖不断生存下来，设一个这种微生物为第0代，经过一次繁殖后为第
1代，再经过一次繁殖后为第2代……，该微生物每代繁殖的个数是相互独立的且有相同的分布列，设X
表示1个微生物个体繁殖下一代的个数， ．
（1）已知 ，求 ；
（2）设p表示该种微生物经过多代繁殖后临近灭绝的概率，p是关于x的方程：
的一个最小正实根，求证：当 时， ，当 时， ；
（3）根据你的理解说明（2）问结论的实际含义．
22. 已知函数 ．
（1）讨论 的单调性；（2）从下面两个条件中选一个，证明： 有一个零点
① ；
② ．
