文档内容
人大附中 2021-2022 学年度第二学期初一年级数学期中练习
制卷人：何庆青 审卷人：孙芳
说明：本练习共三道大题，27道小题，共6页；满分100分，考试时间90分钟
一、选择题：（每小题3分，共30分）
1. 在平面直角坐标系中，点 在（ ）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
【答案】D
【解析】
【分析】根据各象限内点的坐标的符号特征即可解答．
【详解】解：∵点 的横坐标为正，纵坐标为负，
∴点 在第四象限．
故选D．
【点睛】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征，熟记是解题的关键.四个象限的符号特点分别是：第一
象限（+，+）；第二象限（-，+）；第三象限（-，-）；第四象限（+，-）．
2. 下列实数3 …（相邻两个3之间依次多一个1）中，无
理数的个数为（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】根据无理数的概念求解即可．
【详解】解：在所列实数中，无理数的是 …（相邻两个3之间依次多一个1）这3
个，
故选：C．
【点睛】此题主要考查了无理数的定义，注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数．
3. 下列计算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B【解析】
【分析】直接利用二次根式 的性质对各选项进行判断即可．
【详解】A、 ，故A项错误；
B、 ，故B项正确；
C、 ，故C项错误；
D、 ，故D项错误；
故选：B．
【点睛】本题考查了二次根式的性质与化简，灵活应用二次根式的性质进行计算是解题的关键．
4. 如图，下列条件能判断AB CD的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】利用平行线判定定理逐项判断即可得出答案．
【详解】解：选项A， ， 与 是内错角，由内错角相等，两直线平行，可
以判断AB CD，故选项A正确；
选项B， ， 与 是同位角，由同位角相等，两直线平行，可以判断BD AC，不
可以判断AB CD，故选项B错误；
选项C， ， 与 是同旁内角，由同旁内角互补，两直线平行，可以判断AB
CD，故选项C正确；
选项D， ， ，推出 ，两角是同旁内角，由同旁内角互补，两直线平行，可以判断AB CD，故选项D正确；
故正确答案为：ACD．
【点睛】本题考查平行线的判定方法，需熟记——同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；
同旁内角互补，两直线平行．
5. 冰墩墩左手爱心P的坐标如图所示，若将冰墩墩图标向右平移5个单位，再向下平移4个单位，则点P
的对应点 的坐标是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据题意将点 的横坐标加5，纵坐标减4即可求解．
【详解】 ，将点 的横坐标加5，纵坐标减4得到 ．
故选：A
【点睛】本题考查了点的平移，掌握平移规律是解题的关键．
6. 下列4个命题中，为假命题的是（ ）
A. 对顶角相等
B. 平行于同一条直线的两条直线互相平行
C. 过一点有且只有一条直线与已知直线平行
D. 在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行
【答案】C
【解析】
【分析】根据对顶角性质、平行线的判定逐项判断．
【详解】解：A、对顶角相等，是真命题，不符合题意；
B、平行于同一条直线的两条直线互相平行，是真命题，不符合题意；
C、过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，原说法是假命题，符合题意；D、在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行，是真命题，不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查命题与定理，解题的关键是掌握对顶角相等及平行线判定的一般方法．
7. 一个自然数的一个平方根是a，则与它相邻的上一个自然数的平方根是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先用a表示该自然数，然后再求出这个自然数相邻的上一个自然数的平方根．
【详解】解：由题意可知：该自然数为 ，
∴该自然数相邻的下一个自然数为 ，
∴ 的平方根为 ．
故选：D．
【点睛】本题考查算术平方根，解题的关键是求出该自然数的表达式，本题属于基础题型．
8. 周末，小刘与同学相约到人民公园春游，小刘在景区示意图中建立平面直角坐标系，并确定牡丹园的坐
标为 ，湖心亭的坐标为 ，依据这些信息，确定音乐台的坐标为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】建立平面直角坐标系，然后根据点的位置确定方法来确定音乐台的位置即可．
【详解】解：建立直角坐标系，如图所示：音乐台的坐标为 ．
故选：B．【点睛】本题考查了坐标确定位置，熟练掌握平面直角坐标系中确定点的位置的方法是解题的关键．
9. 一般地，如果 （n为正整数，且n＞1），那么x叫做a的n次方根，下列结论中正确的是
（ ）
A. 16的4次方根是2
B. 32的5次方根是±2
C. 当n为奇数时，2的n次方根随n的增大而减小
D. 当n为偶数时，2的n次方根有n个
【答案】C
【解析】
【分析】根据新定义的意义计算判断即可．
【详解】解：∵16的4次方根是±2，
∴A选项的结论不正确；
∵32的5次方根是2，
∴B选项的结论不正确；
∵当n为奇数时，2的n次方根随n的增大而减小，
∴C选项的结论正确；
∵当n为偶数时，2的n次方根有2个，
∴D选项的结论不正确．
故选：C．
【点睛】本题考查了实数的新定义问题，正确理解新定义的意义是解题的关键．
10. 如图，四边形 中， ， 平分 ， ，且 ．下列判
断错误的是（ ）A. B.
C. 若 ，则 D. 若 ，则
【答案】D
【解析】
【分析】根据平行线的判定和性质逐个判断即可．
【详解】解：A、∵∠1+∠DCB=180°，∠1+∠2=180°，
∴∠DCB=∠2，
∴AB∥CD，故本选项不符合题意；
B、∵∠A=50°，AB∥CD，
∴∠ADC=180°-∠A=130°，
∵DB平分∠ADC，
∴∠BDC= ∠ADC=65°，
∵ED⊥DB．
∴∠EDC=90°-∠BDC=25°，故本选项不符合题意；
C、∵AD∥BC，
∴∠A=∠2=50°，
∵∠1+∠2=180°，
∴∠1=130°，故本选项不符合题意；
D、∵∠1=140°，
∴∠DCB=180°-140°=40°，
∵∠EDC=25°，
∴不能推出DE∥BC，故本选项符合题意．
故选：D．
【点睛】本题考查了平行线的判定与性质，解决本题的关键是掌握平行线的判定与性质．
二、填空题：（每小题2分，共16分）11. 的算术平方根是_________．
【答案】
【解析】
【详解】 的平方根是± ， 的算术平方根是 .
故答案为： .
【点睛】此题考查了算术平方根的概念，解题的关键是掌握平方根和算术平方根的概念．
12. 的相反数是_________，绝对值是__________．
【答案】 ①. ②.
【解析】
【详解】2− 的相反数为 −2，绝对值是 −2.
故答案是： −2； −2.
13. 把命题“对顶角相等”改写成“如果……，那么……”的形式：______________．
【答案】两个角是对顶角，那么这两个角相等
【解析】
【分析】先找到命题的题设和结论，再写成“如果…，那么…”的形式．
【详解】解：把命题“对顶角相等”改写成“如果……，那么……”的形式为：
如果两个角是对顶角，那么这两个角相等．
故答案为：两个角是对顶角，那么这两个角相等
【点睛】本题主要考查了将原命题写成条件与结论的形式，“如果”后面是命题的条件，“那么”后面是
条件的结论，解决本题的关键是找到相应的条件和结论，比较简单．
14. 如图，点O在直线AB上， ．若 ，则 _____度．【答案】120
【解析】
【分析】根据图示，利用垂直求出∠BOC的度数，然后利用平角，求出∠AOC的度数．
【详解】解：∵ ，
∴∠COD=90°，
∵ ，
∴∠BOC=∠COD-∠BOD=60°，
∴∠AOC=180°-∠BOC=120°．
故答案为：120．
【点睛】此题考查角的运算，运用平角和垂直的定义是解题的关键．
15. 已知 ， ， ， ．若n为整数且 ，则n
的值为____________________．
【答案】12
【解析】
【分析】由已知可得， ，由立方根定义及不等式性质可得，
，结合题中条件可知， ，即 ．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ， ，
∵ ，∴ ，
∵n为整数且 ，
∴ ．
故答案为：12．
【点睛】本题考查了立方根的定义及估值，准确理解相关概念掌握估值的方法是解题的关键．
16. 如图，面积为 的正方形 的边 在数轴上，点B表示的数为1．将正方形 沿着
数轴水平移动，移动后的正方形记为 ，点A、B、C、D的对应点分别为 ，移动
后的正方形 与原正方形 重叠部分图形的面积记为S．当 时，数轴上点 表示的
数是__________（用含a的代数式表示）．
【答案】 或
【解析】
【分析】根据正方形的面积得到正方形的边长，分情况讨论：当正方形 沿着数轴水平向右移动时，
当 时得到 ，求出 ，根据点 表示的数为 ，可得到点 表示的数；正方形 沿
着数轴水平向左移动时， 当 时得到 ，求出 ，根据点 表示的数为 ，可得到点 表
示的数．
【详解】解：如图，当正方形 沿着数轴水平向右移动时，正方形 的面积为 ，
正方形 的边长为 ，
移动后的正方形 与原正方形 重叠部分图形的面积记为 ，
当 时， ，
，
，
点 表示的数为 ，
点 表示的数为 ．
当正方形 沿着数轴水平向左移动时，
移动后的正方形 与原正方形 重叠部分图形的面积记为 ，
当 时， ，
，
，
点 表示的数为 ，
点 表示的数为 ．
综上所述：点 表示的数为 或 ．
故答案为： 或
【点睛】本题考查了实数与数轴，数轴上两点间的距离，分情况讨论，利用 得到 是解题的关
键．17. 下图显示了10名同学平均每周用于阅读课外书的时间和用于看电视的时间（单位：小时）
（1）图中同学A每周用于阅读课外书的时间是7小时，则该同学每周用于看电视的时间为__________小时；
（2）如果设平均每周用于阅读课外书的时间超过用于看电视的时间的同学为a名，设平均每周用于阅读课
外书的时间少于用于看电视的时间的同学为b名，则 的值为______________．
【答案】 ①. 2 ②. 1
【解析】
【分析】（1）根据图中点有序实数对的对应数字解答；
（2）利用图中对应数字得到a及b的值即可求值．
【详解】（1）同学A每周用于阅读课外书的时间是7小时，图中对应的每周用于看电视的时间为2，
故答案是：2；
（2）由题意得，a=4，b=5，所以b－a=1，
故答案是：1．
【点睛】此题考查了有序实数对，利用有序实数对解决实际问题，解答此题需正确理解题意，正确读图．
18. 在平面直角坐标系 中，已知 ．（1） 的面积为_______________；
（2）若x轴上存在点M，使 的面积恰为8，则M点坐标为_______________．
【答案】 ①. 6 ②. 或
【解析】
【分析】（1）求出直线AB解析式：y=-x+3，令x=0，y=3，得出CO=3，进而求出
；
（2）分三种情况讨论，画出对应图形，利用割补法列出方程求解即可．
【详解】解：（1）AB与y轴交于点C，
设直线AB关系式为：y=kx+b，
把（-2，5）（2，1）代入，得
，
解得b=3，k=-1，
∴直线AB解析式：y=-x+3，
令x=0，y=3，
∴CO=3，
，
故答案为：6；(2) 过A，B分别做x轴的垂线，垂足为别为E，F，如图，
则AE=5，BF=1，EF=4，
S = ，
梯形AEFB
设点M（m，0），
的
若M在点A 左侧，如下图，
=
解得 （舍去）
若M在点A的右侧，点B的左侧，如下图，
=解得
若M在点B的右侧，如下图，
=
解得
综上所述，M点坐标为 或 ，
故答案为： 或 ．
【点睛】本题考查坐标与图形，一次函数的应用．熟练掌握割补法是解题关键．
三、解答题：（第19，20题，每小题8分，第21，24，25题，每小题5分，第22，26题，
每小题6分，第23题4分，第27题7分，共54分）
19. 计算：（1） ；
（2） ．
【答案】（1）-2 （2）
【解析】
【
分析】（1）先计算算术平方根、立方根，然后计算加减法即可求得结果
（2）先利用乘法分配律展开、去绝对值运算，再计算加减即可得到结果．．
【小问1详解】
=
=
= ；
【小问2详解】
．
【点睛】本题主要考查二次根式、立方根、绝对值、数的平方的混合运算，解题的关键是掌握二次根式、
立方根、绝对值、数的平方混合运算顺序和运算法则．
20. 求出下列等式中x的值：
（1） ；
（2） ．【答案】（1）
（2） 或
【解析】
【分析】（1）移项、系数化为1后开立方即可；
（2）直接开平方后移项合并即可．
【小问1详解】
解：
【小问2详解】
解：
或
或
【点睛】本题考查利用开立方和开平方解方程，注意（2）中一个正数的平方根有两个．
21. 作图并回答问题：已知，如图，点P在 的边 上．
（1）过点P作 边的垂线l；
（2）过点P作 边的垂线段 ；
（3）过点O作 的平行线交l于点E，比较 ， ， 三条线段的大小，并用“>”连接得___________，得此结论的依据是_____________．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
（3） ，直线外一点到直线上所有点的连线中，垂线段最短
【解析】
【分析】（1）按照要求作出垂线，即可；
（2）再作出垂线段，即可；
（3）作出平行线，再根据垂线段最短比较即可解答．
【小问1详解】
如图所示．
【小问2详解】
如图所示．
【小问3详解】
如图所示．OE＞OP，OP＞PD，
所以 ，理论根据是“直线外一点到直线上所有点的连线中，垂线段最短”．
故答案为： ，直线外一点到直线上所有点的连线中，垂线段最短．
【点睛】本题主要考查了作垂线和平行线以及垂线段的性质，掌握过一点作直线的垂线和平行线的方法是
解题的关键．
22. 完成下面的证明：
已知：如图， ， ， ．
求证： ．
证明：∵ ， （已知），
∴ （_______________）．
∴ //___________（同位角相等，两直线平行）．
∵ （已知），
∴ //__________（_______________）．
∴ （_______________）．
∴ （_______________）．
【答案】见解析
【解析】
【分析】根据垂直定义得出∠ABD=∠CDF=90°，根据平行线的判定定理得出AB∥CD，AB∥EF，求出
CD∥EF，再根据平行线的性质定理得出即可．
【详解】证明：∵ （已知），
∴ （垂直定义）．
∴ （同位角相等，两直线平行）．
∵ （已知），∴ （内错角相等，两直线平行）．
∴ （如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行）
∴ （两直线平行，同旁内角互补）．
【点睛】本题考查了平行线的性质定理和判定定理，能熟记平行线的性质定理和判定定理是解此题的关键，
平行线的性质定理：①两直线平行，同位角相等，②两直线平行，内错角相等，③两直线平行，同旁内角
互补，反之亦然．
23. 如图1，将射线 按逆时针方向旋转 角 ，得到射线 ，如果点P为射线 上
的
一点，且 ，那么我们规定用 表示点P在平面内的位置，并记为 ．例如，图
2中，如果 ， ，那么点M在平面内的位置，记为 ，根据图形，解答
下列问题：
（1）如图3，点N在平面内的位置记为 ，那么 _________， ___________；
（2）如果点A、B在平面内的位置分别记为 ，则A、B两点间的距离为__________．
【答案】（1）6，（2）7
【解析】
【分析】（1）由题意得点的坐标的第一个数值表示此点距离原点的距离，第二个数值表示此点与原点的
连线与x轴正方向所夹的角的度数；
（2）根据相应的度数判断出AB是一条线段，从而得出AB的长为4+3=7．
【小问1详解】
根据点N在平面内的位置记为N（6，30°），
可知，ON=6，∠XON=30°．
故答案为：6，30°；
【
小问2详解】
如图所示：
∵A（4，30°），B（3，210°），
∴∠AOX=30°，∠BOX=210°，
∴∠AOB=180°，
∵OA=4，OB=3，
∴AB=4+3=7．
故答案为：7．
【点睛】此题主要考查了坐标确定位置，解决本题的关键是理解所给的新坐标的含义．
24. 如图，点D、F在线段 上，点E、G分别在线段 和 上， ． ，
（1）求证： ；（2）若 是 的平分线， ， ，求 ．
【答案】（1）见解析；
（2）
【解析】
【分析】（1）利用 ，得到 ，再利用 ，证明 ，即可证明
；
（2）根据角平分线，平行线的性质以及角之间的关系计算即可．
【小问1详解】
证明∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ．
【小问2详解】
解：∵ 是 的平分线，
∴ ．
由（1）得 ，
∴ ， ，
∴ ．
又∵ ， ，
∴ ．
∵ ，∴ ，即 ，
解得 ，
∴ ．
【点睛】本题考查平行线的判定及性质，角平分线，角度之间的关系，解题的关键是掌握：平行线的判定
及性质．
25. 小李一家租了一块长方形菜地，东西方向长6米，南北方向宽4米，如图1所示．
（1）若以长方形菜地的中心为原点，分别以正东、正北方向为x轴、y轴的正方向，1米为一个单位长度
建立直角坐标系，请你在图1中画出此坐标系，并写出菜地4个顶点的坐标；
（2）小李将菜地进行分区播种，为了播种方便，在菜地开辟了 宽的一条小路，如图2所示，请直接
写出小路（即图2灰色阴影部分）总面积为_________________．
【答案】（1）图见解析，
（2）1.96平方米
【解析】
【分析】（1）根据题意建立平面直角坐标系，进而写出点的坐标；
（2）根据平移的性质可得小路的长为长方形的长与宽的和减去 米，宽为 米，根据长方形的面积公
式进行计算即可求解．
【小问1详解】
建立坐标系如下图：顶点坐标： ．
【小问2详解】
根据平移的性质可得小路的长为：长方形的长与宽的和减去 米，宽为 米，
直接写出小路（即图2灰色阴影部分）总面积为 (平方米) ．
故答案为：1.96平方米．
【点睛】本题考查了坐标与图形，平移的性质，掌握以上知识是解题的关键．
26. 已知AB∥CD，直线 与 、 分别交于点E、F，点G为落在直线 和直线 之间的一个
动点．
（1）如图1，点G恰为 和 的角平分线的交点，则 ____________；
（2）若点G恰为 和 的三等分线的交点，有如下结论：① 一定为钝角；② 可
能为 ；③若 为直角，则 ．其中正确结论的序号为____________；
（3）进一步探索，若 ，且点G不在线段 上，记 ， 为最接近 的n等分线， 是 最接近 的n等分线（其中 ）．直线 交于点 ，
是否存在某一正整数n，使得 ？说明理由．
【答案】（1）
（2）②③ （3）不存在某一正整数n，使得 ，理由见解析
【解析】
【分析】（1）根据平行线的性质可得∠BEF+∠DFE=180°，再根据角平分线的定义可得
∠EBF+∠DFE=90°，即可求解；
（2）当∠FEG= ，∠EFG= 时，可得∠FEG+∠EFG= ，从
而得到∠EGF=60°，故①错误；②正确；若 为直角，则∠FEG+∠EFG=90°，分两种情况：
或 ，可得③正确，即可求
解；
（3）根据题意可得 ．然后分两种情况讨论：当G在 左侧，此时
必在 左侧；当G在 右侧，此时 ，即可求解．
【小问1详解】
解：∵AB∥CD，
∴∠BEF+∠DFE=180°，
∵点G恰为 和 的角平分线的交点，
∴∠EBF=2∠FEG，∠DFE=2∠EFG，
∴∠EBF+∠DFE=90°，
∴EGF=90°；
故答案为：90°
【小问2详解】解：∵AB∥CD，
∴∠BEF+∠DFE=180°，
当∠FEG= ，∠EFG= 时，
∠FEG+∠EFG= ，
∴∠EGF=60°，
∴ 不一定为钝角； 可能为 ；
故①错误；②正确；
若 为直角，则∠FEG+∠EFG=90°，
∴ 或 ，
当 时，
∴ ，即 ，
∴∠DFE=270°-2∠BEF，
∵∠BEF+∠DFE=180°，
∴∠BEF=90°，即EF⊥AB，
∵AB∥CD，
∴EF⊥CD，
当 时，
同理得∠DFE=90°，即EF⊥CD，
∴若 为直角，则 ．故③正确；
故答案为：②③
【小问3详解】解：不存在某一正整数n，使得 ．
理由如下：∵ 为 最接近 的n等分线， 是 最接近 的n等分线，
∴ ．
当G在 左侧，此时 必在 左侧，如图1所示，
过 作 ，
∵AB∥CD，
∴ ．
∴
即 ．
当G在 右侧，此时 ，
若 ，则 在 左侧，如图2所示，同理可得 ，此时 ．
若 ，则 与F重合，不存在 ，舍去．
若 ，则 在 右侧，如图3所示，
过 作 ，
∵AB∥CD，
∴
∴
∵ ，∴ ，
即 ．
综上所述，不存在某一正整数n，使得 ．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质，有关角平分线的计算，三角形的内角和定理等知识，熟练掌握平
行线的性质，有关角平分线的计算，三角形的内角和定理等知识，并利用分类讨论思想解答是解题的关键．
27. 生活常用打印纸A4纸的长宽比为 ，此比值也叫白银比．现对于平面直角坐标系 中的不同两
点 ，给出如下定义：若 ，则称A，B互为“白银点”．例如，
点 互为“白银点”．
（1）在 四个点中，能与坐标原点互为“白银点”的是：
____________；
（2）已知 ，点B为点A的“白银点”，且 面积为 ，求点B的坐标；
（3）已知 ，在（2）的条件下，将线段 向y轴方向平移m个单位（m值为正则向上平
移m个单位，m值为负则向下平移m个单位）得线段 ，若线段 上存在线段 中某个点的“白
银点”，则m的取值范围为_______________．【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）根据白银点的概念，利用绝对值解得即可；
（2）根据平移的性质和三角形的面积公式解得即可；
（3）根据平移的性质和二次根式的估计解答即可．
【小问1详解】
解： ，
点能与坐标原点互为“白银点”，
，
， 点不能与坐标原点互为“白银点”，
，
点能与坐标原点互为“白银点”，
综上所述，在 ， ， ， ， ， 四个点中，能与坐标原点互为“白银
点”的是 ， ；
故答案为： ， ；
【小问2详解】
解：解：∵ ，
∴ ，又 面积为 ，
由 ，得 ，解得 ．
∴ ．
∵点B为点A的“白银点”，
∴ ．
∴ ，即 ，
解得 或 ．
∴点B的坐标为 ．
【小问3详解】
解：已知 、 ，在（2）的条件下，将线段 向 轴方向平移 个单位 值为正则向上平移
个单位， 值为负则向下平移 个单位） ，则 ， ，若线段 上存在线段
中某个点的“白银点”，设线段 上的点 ， 与线段 中的点 ，
互为“白银点”，则 ， ，
，
， ，
， ，
， ，
即 的取值范围为： 或 ．
故答案为： 或 ．
【点睛】本题考查三角形综合题，二次根式的性质，不等式的性质等，关键是根据绝对值和三角形的面积
公式解答．
