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北京交大附中 2021－2022 学年第二学期期中练习
初一数学
一、选择题（本大题共10小题，共30分）
1. 4的平方根是（ ）
A. ±16 B. 2 C. ﹣2 D. ±2
【答案】D
【解析】
【分析】根据平方根的定义以及性质进行计算即可．
【详解】4的平方根是±2，
故选：D．
【点睛】本题考查了平方根的问题，掌握平方根的定义以及性质是解题的关键．
2. 下列各数中的无理数是( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据无理数的定义，即可得到答案．
【详解】解：A ． 是有理数，故本选项不符合题意；
B ． 是有理数，故本选项不符合题意；
C ． 是无理数，故本选项符合题意；
D ． 是有理数，故本选项不符合题意．
故选：C．
【点睛】本题考查了无理数的定义，解题的关键是熟记定义进行解题．
3. 在平面直角坐标系中，下列各点位于第二象限的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B【解析】
【分析】根据所给点的横纵坐标的符号可得所在象限．
【详解】解：A、（3，4），在第一象限，故此选项错误；
B、（-3，4），在第二象限，故此选项正确；
C、（-3，-4），在第三象限，故此选项错误；
D、（3，-4），在第四象限，故此选项错误；
故选B．
【点睛】本题考查象限内点的符号特点；用到的知识点为：符号为（-，+）的点在第二象限．
4. 下列各图中,过直线l外的点P画l的垂线CD，三角尺操作正确的是( )．
A B. C.
.
D.
【答案】D
【解析】
【详解】解：根据垂线的作法，用直角三角板的一条直角边与l重合，另一条直角边过点P后沿直角边画
直线，
可得D的画法正确．
故选：D．
5. 直角三角板和直尺如图放置，若∠1=20°，则∠2的度数为（ ）
A. 60° B. 50° C. 40° D. 30°【答案】C
【解析】
【分析】过E作EF∥AB CD,由平行线的质可得∠1=∠3,∠2=∠4, ∠3+∠4=∠1+∠2,根据三角形内角和可得:
∠3+∠4=60°,从而可得: ∠1+∠2=60°,由∠1=20°,可得: ∠2=40°.
【详解】如图,过E作EF∥AB,
则AB∥EF∥CD,
∴∠1=∠3,∠2=∠4,
∵∠3+∠4=60°,
∴∠1+∠2=60°,
∵∠1=20°,
∴∠2=40°,
故选C．
【点睛】本题考查了平行线的性质,解决本题的关键是要正确作出辅助线和熟练掌握平行线的性质.
6. 式子 的值在哪两个整数之间？（ ）
A. 2与3 B. 3与4 C. 4与5 D. 5与6
【答案】C
【解析】
【分析】利用放缩的方法来估值，先找6 在哪两个完全平方数之间，4<6<9，由于4，9都可以开平方开的
尽的， ，于是可得2< <3，从而可得4< +2<5．
【详解】解：∵4<6<9，
又∵ ，
∴2< <3，
∴4< +2<5．，
所以 +2在4和5之间，
故选择：C．【点睛】本题考查无理数估值问题，关键是利用完全平方数和算术平方根对无理数的大小进行估值．
7. 如图，若在象棋盘上建立平面直角坐标系，使棋子“车”的坐标为（﹣2，2），“马”的坐标为（1，
2），则棋子“炮”的坐标为（ ）
A. （3，2） B. （3，1） C. （2，2） D. （﹣2，2）
【答案】B
【解析】
【分析】直接利用已知点坐标建立平面直角坐标系进而得出答案．
【详解】解：如图所示：
的
棋子“炮” 坐标为（3，1）．
故选：B．
【点睛】本题主要考查点的坐标，根据题意建立平面直角坐标系是关键．
8. 小明和妈妈在家门口打车出行，借助某打车软件，他看到了当时附近的出租车分布情况，若以他现在的
位置为原点，正东、正北分别为x轴、y轴正方向，图中点A的坐标为(1，0)，那么离他最近的出租车所
在位置的坐标大约是（ ）.
A B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据平面直角坐标系的定义建立平面直角坐标系，然后根据象限特点解答即可．
【详解】解：由图可知，（-1.9，0.7）距离原点最近，
故选：B．
【点睛】本题考查了坐标确定位置，主要利用了平面直角坐标系的定义和在平面直角坐标系中确定点的位
置的方法．
9. 下列命题：①a，b，c是直线，若a∥b，b∥c，则a∥c．②a，b，c是直线，若a⊥b，b⊥c，则
a⊥c．③若 与 互余， 与 互余，则 与 相等．其中的真命题是（ ）
A. ① B. ①② C. ①③ D. ①②③
【答案】C
【解析】
【分析】根据平行线的性质和判定，互余的性质逐项判断即可．
【详解】解：①∵ ， ，
∴
故①正确；
②∵ ， ，
∴
故②错误；③∵ ， ，
∴ ，
故③正确．
故选：C．
【点睛】本题考查了平行线的性质和判定以及互余的性质，掌握平行线的性质和判定以及互余的性质是解
题的关键．
10. 如图，将三角形ABC沿着XY方向平移一定的距离就得到三角形MNL，则下列结论∶①AM∥BN；
②AM=BN；③BC=ML；④∠ACB=∠MNL，其中正确的有 ( )
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
【答案】B
【解析】
【分析】如图，由△ABC平移得到 MNL可知A与M、B与N、C与L是对应点，根据平移的特征得：
AM∥BN∥CL且AM=BN=CL，△AB△C与△MNL的形状、大小完全相同．从而进行判断即可．
【详解】解：根据平移前后连接对应点的线段平行且相等可知：
①AM∥BN正确，②AM=BN正确；
根据平移前后△ABC与△MNL的形状、大小完全相同可知
BC=NL、∠ACB=∠MLN，所以：③BC=ML错误，④∠ACB=∠MNL错误．
故选B．
【点睛】本题考查了平移的性质，结合图形能清楚观察平移的方向、距离及其对应点，关键明确平移的两
个性质：①连接对应点的线段平行且相等，②平移前后图形的形状、大小完全相同．
二、填空题（本大题共8小题，共16分）
11. 点A在x轴上，到原点的距离为 ，则点A的坐标为_______________．
【答案】（ ，0）或（－ ，0）【解析】
【分析】根据x轴上点的纵坐标为0分情况讨论求解．
【详解】解：∵A在x轴上，到原点的距离为 ，
∴点A在原点左边时，坐标为（－ ，0），
在原点右边时，坐标为（ ，0），
∴点A的坐标为（ ，0）或（－ ，0）．
故答案为：（ ，0）或（－ ，0）．
【点睛】本题考查点的坐标，熟记x轴上点的纵坐标为0是解题的关键，注意要分情况讨论．
12. 将“平行于同一条直线的两条直线平行”改写成“如果……那么……”的形式为
_________________________________________________.
【答案】如果两条直线平行于同一条直线，那么这两条直线平行
【解析】
【分析】命题由题设和结论两部分组成，通常写成“如果…那么…”的形式．“如果”后面接题设，“那么”后
面接结论．
【详解】命题可以改写为：如果两条直线平行于同一条直线，那么这两条直线平行．
故答案为：如果两条直线平行于同一条直线，那么这两条直线平行
【点睛】任何一个命题都可以写成“如果…那么…”的形式．“如果”后面接题设，“那么”后面接结论．在改
写过程中，不能简单地把题设部分、结论部分分别塞在“如果”、“那么”后面，要适当增减词语，保证句子
通顺而不改变原意．
13. 如图，写出能判定AB∥CD的一对角的数量关系:___________________.
【答案】∠BAC＝∠ACD（或∠B＋∠BCD＝180°或∠D＋∠BAD＝180°）
【解析】【分析】根据平行线的判定定理进行填空．
【
详解】解：由“内错角相等，两直线平行”可以添加条件∠BAC＝∠ACD．
由“同旁内角互补，两直线平行”可以添加条件∠B＋∠BCD＝180°，或∠D＋∠BAD＝180°．
故答案为：∠BAC＝∠ACD（或∠B＋∠BCD＝180°或∠D＋∠BAD＝180°）．
【点睛】本题考查了平行线的判定．解答此类要判定两直线平行的题，可围绕截线找同位角、内错角和同
旁内角．本题是一道探索性条件开放性题目，能有效地培养学生“执果索因”的思维方式与能力．
14. 如图，在平面直角坐标系中， 的顶点 ， 的坐标分别为 ， ，把 沿 轴
向右平移得到 ，如果点 的坐标为 ，则点 的坐标为__________．
【答案】(7,0)
【解析】
【分析】根据B点横坐标与A点横坐标之差和E点横坐标与D点横坐标之差相等即可求解．
【详解】解：由题意知：A、B两点之间的横坐标差为： ，
由平移性质可知：E、D两点横坐标之差与B、A两点横坐标之差相等，
设E点横坐标为a，
则a-6=1，∴a=7，
∴E点坐标为(7,0) ．
故答案为：(7,0) ．
【点睛】本题考查了图形的平移规律，平移前后对应点的线段长度不发生变化，熟练掌握平移的性质是解
决此题的关键.
15. 请举反例说明命题“如果a2=b2，那么a=b”是假命题，反例可举：______．
【答案】当a=-2，b=2时，a2=b2，此时a=-b（答案不唯一）
【解析】
【分析】代入数据a=-2，b=2说明即可．
【详解】解：当a=-2，b=2时，a2=b2，
此时a=-b；故“如果a2=b2，那么a=b”是假命题，
故答案为：当a=-2，b=2时，a2=b2，此时a=-b．（答案不唯一）
【点睛】此题主要考查了利用举例法证明一个命题错误，要说明数学命题的错误，只需举出一个反例即可
这是数学中常用的一种方法．
16. 在平面直角系中，已知直线 与坐标轴交于A、B （0，-5）两点，且直线 与坐标轴围成的图
形面积为 10，则点A的坐标为_____________．
【答案】
【解析】
【分析】根据三角形的面积公式和已知条件求解，注意a取正负数都符合题意．
【详解】设点A坐标为（x，0），
所以 ，
所以 ，
所以 ，
所以点A的坐标为 ．
【点睛】本题考查了坐标与图形的性质，三角形的面积，知道点A有两解是解题的关键．
17. 如图，在一块长为20m，宽为14m的草地上有一条宽为2m的曲折小路，运用你所学的知识求出这块
草地的绿地面积为________m2
【答案】216
【解析】
【分析】将小路平移到这块草地的上方和左侧，可得草地是矩形，根据面积的和差，可得答案．
【详解】解：平移使路变直，绿地拼成一个长(20−2)米，宽(14−2)米的矩形，
绿地的面积（20−2）（14−2）＝216（m2），
故答案为216．
【点睛】本题考查了平移的应用，根据平移使不规则图形转化成易求面积的矩形是解题关键．18. 给出下列程序 输出，已知当输入的x值为4时，输出值为
324，则当输入的x值为﹣4时，输出值为____．
【答案】-324
【解析】
【分析】设输出的数是y，则依题意知程序是 ,然后根据输入的x值为4时，输出值为324，利用整
体思想，得到当x=-4时的输出值.
的
【详解】解：设输出 数是y，则依题意知程序是 ，
∵x=4时， =324；
∴x=-4时， ；
所以输出值为-324.
故答案为：-324
【点睛】本题是一道比较新颖的题，主要考查了代数式的求值及整体的思想，在代数式的求值化简中，恰
当应用整体的思想，能简化计算，起到事半功倍的效果.
三、解答题（本大题共24分，第19，20题每小题4分，第21~22题每题4分）
19. （1）计算： ；
（2）解方程组：
【答案】（1）-1- ；（2） ．
【解析】
【分析】（1）根据立方根、二次根式的性质，绝对值的意义化简，再合并即可；
（2）利用加减消元法求解即可．
【详解】解：（1）
=-3-2+4-
=-1- ；（2） ，
①×3+②×2得：19x=114，
解得：x=6，
把x=6代入①得：18+4y=16，
解得：y=- ，
则方程组的解为 ．
【点睛】此题考查了实数的运算，二次根式的加减运算，解二元一次方程组．解二元一次方程组，利用了
消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．
20. 求下列各式中的x：
； ．
【答案】（1） ；（2）
【解析】
【分析】（1）直接利用开立方的方法解方程即可；
（2）先整理成 的形式，再直接开平方解方程即可．
【详解】解：（1） ，
两边开立方得，x-2=2，
解得x=4；
（2）
变形得64x2=81，
所以x2= ，所以x=
21. 完成下面的证明．
已知：如图，∠1+∠2＝180°，∠3+∠4＝180°．
求证：AB∥EF．
证明：∵∠1+∠2＝180°，
∴AB∥ （ ）．
∵∠3+∠4＝180°，
∴ ∥ ．
∴AB∥EF（ ）．
【答案】CD；同旁内角互补，两直线平行；CD；EF；若两直线同时平行于第三直线，则这两直线也相互
平行
【解析】
【分析】先由∠1+∠2＝180°，得到AB∥CD，再由∠3+∠4＝180°，得到CD∥EF，最后得到AB∥EF．
【详解】证明：如图所示：
∵∠1+∠2＝180°（已知），
∴AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行），
∵∠3+∠4＝180°（已知），
∴CD∥EF（同旁内角互补，两直线平行），
∴AB∥EF（若两直线同时平行于第三直线，则这两直线也相互平行），
故答案为：CD；同旁内角互补，两直线平行；CD；EF；若两直线同时平行于第三条直线，则这两条直
线也相互平行．
【点睛】本题考查了平行线判定定理当中的两条：第一条：同旁内角互补，两直线平行；第二条：两条直线同时平行于第三条直线，则这两条直线也相互平行；熟记并灵活运用这两条定理是解本题的关键．
22. 如图，点P是∠AOB的边OB上的一点．
（1）过点M画OA的平行线MN；
（2）过点P画OB的垂线，交OA于点C；
（3）点C到直线OB的距离是线段______的长度．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
（3）CP
【解析】
【分析】（1）根据网格线互相平行可知 ，作图即可；
（2）根据垂直定义作图即可；
（3）根据点到直线的距离是垂线段的长度可求．
【小问1详解】
解：如图所示，MN即为所求；
【小问2详解】
解：如图，PC即为所求；【小问3详解】
解：根据点到直线的距离是垂线段的长度，可知点C到直线OB的距离为线段CP的长度
故答案为：CP．
【点睛】本题考查了复杂作图，掌握平行线和垂线的画法、点到直线的距离的概念是解题的关键．
四、解答题（本大题共30分，每题6分）
23. 已知 ，且 与 互为相反数，求 的平方根
【答案】 3.
【解析】±
【详解】试题分析：根据非负数的性质求出x，y的值，根据相反数求出z的值，再代入代数式求值．
解：∵ +|y﹣2|=0，
∴x+1=0，y﹣2=0，
∴x=﹣1，y=2．
∵且 与 互为相反数，
∴1﹣2z+3z﹣5=0，
解得z=4．
∴yz﹣x=2×4﹣（﹣1）=9，
∴yz﹣x的平方根是±3．
24. 在平面直角坐标系xOy中，已知点 ， ， ．（1）在网格中画出这个平面直角坐标系；
（2）连接CB，平移线段CB，使点C移动到点A，得到线段AD．
①画出线段AD，点D的坐标为______；
②连接AC，DB，直接写出四边形ACBD的面积．
【答案】（1）见解析 （2）①D（2，5）②14
【解析】
【分析】（1）根据A，B，C 坐标确定平面直角坐标系即可．
（2）①利用平移的性质解决问题即可．
②利用分割法求四边形的面积即可．
【小问1详解】
解：如图，平面直角坐标系如图所示：
【小问2详解】解：①如图，线段AD即为所求．D（2，5）．
②S ＝4×7﹣ ×2×3﹣ ×2×4﹣ ×2×3﹣ ×2×4＝14．
四边形ACBD
【点睛】本题考查作图﹣平移变换，四边形的面积等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常
考题型．
25. 如图，用两个边长为 的小正方形剪拼成一个大的正方形，
（1）则大正方形的边长是_____________cm；
（2）若沿此大正方形边的方向剪出一个长方形，能否使剪出的长方形纸片的长宽之比为3：2且面积为
，若能，试求出剪出的长方形纸片的长宽；若不能，试说明理由．
【答案】（1）4 （2）能，长方形的长为 cm，宽为 cm
【解析】
【分析】（1）根据小正方形的面积求出大正方形的面积，根据面积求边长即可；
（2）根据长方形的长、宽比例及面积建立方程，得到关于长的一元二次方程，求解方程即可得到答案．
【小问1详解】
一个小的正方形的面积为
大的正方形的面积等于两个小正方形的面积之和
得大的正方形的面积为：
大正方形的边长为 cm
故答案为：4
【小问2详解】
假设能剪出的长方形纸片，设长方形的长为 cm，宽为 cm
根据题意得∴
∵长方形的面积为
∴
∴ ， （舍去）
∴
故能剪出长方形，且长方形的长为 cm，宽为 cm．
【点睛】本题考查了算术平方根，解一元二次方程，能根据题意列出算式是解此题的关键．
26. 我国数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：求
59319的立方根，华罗庚脱口说出答案，众人十分惊奇，忙问计算的奥妙．你知道他是怎样迅速准确地计
算出结果的吗？
下面是小超的探究过程，请补充完整：
（1）求 ；
①由103＝1000，1003＝1 000 000，可以确定 是 位数；
②由59319的个位上的数是9，可以确定 的个位上的数是 ；
③如果划去59319后面的三位319得到数59，而33＝27，43＝64，可以确定 的十位上的数是
；
由此求得 ＝ ．
（2）已知103823也是一个整数的立方，用类似的方法可以求得 ＝ ．
【答案】（1）①两，②9，③3、39；（2）47
【解析】
【分析】（1）根据题意，提供的思路和方法，进行推理验证得出答案；
（2）根据（1）的方法、步骤，类推出相应的结果即可．
【详解】解：（1）①∵103＝1000，1003＝1 000 000，而1000＜59319＜100000，∴10＜ ＜100，
因此结果为两位数；
②因为只有9的立方的个位数字才是9，因此结果的个位数字为9，
③33＜59＜43，因此可以确定 的十位上的数是3，
最后得出 ＝39，
故答案为：两，9，3、39；
（2）∵103＝1000，1003＝1 000 000，而1000＜103823＜1000000，
∴10＜ ＜100，
因此结果为两位数；
只有7的立方的个位数字是3，因此结果的个位数字是7；
如果划去103823后面的三位823得到数103，而43＝64，53＝125，可以确定 的十位数字为4，
于是可得 ＝47；
故答案为：47．
【点睛】考查实数的意义，立方根的意义以及尾数的特征等知识，阅读理解提供的解题方法是类推的前
提．
27. 线段AB与线段CD互相平行，P是平面内的一点，且点P不在直线AB，CD上，连接PA，PD，射线
AM，DN分别是∠BAP和∠CDP的平分线．
（1）若点P在线段AD上，如图1，
①依题意补全图1；
②判断AM与DN的位置关系，并证明；
（2）是否存在点P，使AM⊥DN？若存在，直接写出点P的位置；若不存在，说明理由．
【答案】（1）①图见解析；② ，证明见解析；（2）当P点直线AD上，且位于AB与CD两平行线之外时， ．
【解析】
【分析】（1）①先连接AD，再在AD上取一点P，然后分别作 和 的平分线即可；
②先根据角平分线的定义可得 ， ，再根据平行线的性质可得
，从而可得 ，然后根据平行线的判定即可得；
（2）当P点直线AD上，且位于AB与CD两平行线之外时， ．理由：先根据平行线的性质可
得 ，从而可得 ，再根据角平分线的定义可得 ，
，从而可得 ，然后根据对顶角相等可得 ，从
而可得 ，最后根据三角形的内角和定理即可得证．
【详解】（1）①先连接AD，再在AD上取一点P，然后分别作 和 的平分线，如图1所示：
② ，证明如下：
∵AM平分 ，DN平分 ，
∴ ， ，
∵ ，∴ ，
∴ ，
∴ ；
（2）当P点直线AD上，且位于AB与CD两平行线之外时， ，证明如下：
如图2，设DN交BA延长线于点F，延长MA交DN于点E，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵AM平分 ，DN平分 ，
∴ ， ，
∴ ，
∵ （对顶角相等），
∴ ，
∴ ，
∴ ．【点睛】本题考查了平行线的判定与性质、角平分线的定义、三角形的内角和定理、垂直的定义等知识点，
熟练掌握平行线的判定与性质、角平分线的定义是解题关键．
