文档内容
兰州一中高三年级诊断考试试卷
高三数学
注意事项：
1．本试卷分第I卷（选择）和第II卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟
2．答卷前，考生务必将自己的姓名、班级填写在答题卡上．
3．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号框涂黑．如
需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号框．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，
写在本试卷上无效．
第I卷（选择题）
一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的．）
1．设全集 ，集合M满足 ，则（ ）
A． B． C． D．
2．“ ”是“ ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
3．已知向量 ，若 ，则实数 （ ）
A．2 B． C． D．
4．若复数z满足 ，则复数 在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
5．已知函数 的图象如图1所示，则图2对应的函数有可能是（ ）
图1 图2
A． B． C． D．
6．若 ，则（ ）A． B． C． D．
7．已知数列 的通项公式为 ，且数列 为递增数列，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8．已知双曲线 的右焦点为F，过点F作直线 与渐近线 垂直，垂足
为点P，延长 交E于点Q．若 ，则E的离心率为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题
目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分．）
9．在下列函数中，最小值是2的是（ ）
A． B．
C． D．
10．已知 是两条不同的直线， 是两个不同的平面，则下列说法正确的是（ ）
A．若 ，则 B．若 ，则
C．若 ，则 D．若 ，则
11．台球运动已有五、六百年的历史，参与者用球杆在台上击球．若和光线一样，台球在球台上碰到障碍物
后也遵从反射定律．如图，有一张长方形球台 ，其中 ，现从角落A沿角 的方向把球打
出去，球经2次碰撞球台内沿后进入角落C的球袋中，则 的值为（ ）A． B． C． D．
第II卷（非选择题）
三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分．）
12．若命题“ ”为假命题，则a的取值范围为．
13．若圆 与圆 有且仅有一条公切线，则 ．
14．一个不透明的袋子装有5个完全相同的小球，球上分别标有数字 ．现甲从中随机摸出一个球记
下所标数字后放回，乙再从中随机摸出一个球记下所标数字，若摸出的球上所标数字大即获胜（若所标数字
相同则为平局），则在甲获胜的条件下，乙摸到2号球的概率为．
四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步
骤．）
15．在 中，角 的对边分别为 ，且 ．
（1）求 ；
（2）若D在边 上且 ，求 的长．
16．函数 是定义在R上的奇函数，且当 时， ．
（1）求函数 的解析式；
（2）若函数 在R上有三个零点，求m的取值范围．
17．已知在四棱锥 中， 平面 ，四边形 是直角梯形， ，
若 ，点M为 的中点，点N为 的四等分点（靠近点P）．
（1）求证：平面 平面 ；（2）求点P到平面 的距离．
18．甲、乙、丙、丁4名棋手进行围棋比赛，赛程如下面的框图所示，其中编号为i的方框表示第i场比赛，
方框中是进行该场比赛的两名棋手，第i场比赛的胜者称为“胜者i”，负者称为“负者i”，第6场为决赛，获
胜的人是冠军，已知甲每场比赛获胜的概率均为 ，而乙、丙、丁相互之间胜负的可能性相同．
（1）求乙仅参加两场比赛且连负两场的概率；
（2）求甲获得冠军的概率．
19．已知抛物线 ，过点 的直线与E交于 两点，设E在点 处的切线分别为 和
与 的交点为P．
（1）若点A的坐标为 ，求 的面积（O为坐标原点）；
（2）证明：点P在定直线上．兰州一中高三年级诊断考试试卷
高三数学答案
一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的．）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 C B D D C A D B
二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题
目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分．
题号 9 10 11
答案 ABC BD AB
三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分．）
12． 13．36 14．
四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步
骤．）
15．解析：（1）因为 ，
所以 ．
所以 ，得 即 ．
（2）因为 ，所以 ，解得 ，
因为 ，且A为三角形的内角，所以 ，
又因为 ，所以 ．
因为 ．
所以 ，所以 ，所以
16．解析：（1）令 ，则 ，又 是定义在R上的奇函数，
所以可得 ，
又 ，故函数 的解析式为
（2）根据题意作出 的图象如下图所示：
，若函数 在R上有三个零点，即方程 有三个不等的实数
根，
所以函数 与 有三个不同的交点由图可知当 ，即 时，
函数 与 有三个不同的交点，即函数 有三个零点．故m的取值范围是 ．
17．解析：（1）在四棱锥 中， 平面 平面 ，
则 ，又 ，
因为 平面 ，所以 平面 ，
因为 平面 ，所以 ，
因为 ，点M为 中点，所以 ，
因为 平面 ，
所以 平面 ，
因为 平面 ，所以平面 平面
（2）由（1）知 平面 ，又 平面 ，则 ，
因为 ，点M为 的中点，
所以 ，因为点N为 的四等分点（靠近点P）．
所以 ，
因为 ，所以
所以由余弦定理得
，
所以 ，所以 ，因为 平面 ，所以
设点P到平面 的距离为h，
所以三棱锥 的体积 ．
所以 ．
18．解析：（1）乙连负两场，即乙在第1场、第4场均负，
乙连负两场的概率为 ；
（2）甲获得冠军，则甲参加的比赛结果有三种情况：
1胜3胜6胜；1负4胜5胜6胜；1胜3负5胜6胜，
甲获得冠军的概率为： ．
19．解析：（1）直线 的斜率 ．
直线 的方程为 ，即 ．
联立方程 ，整理得： ．
设 ，则 ．
设直线 与y轴的交点为D，则 ．．
（2）由 ，得 ．
的方程为： ，整理得 ．
同理可得 的方程为 ．
设 ，联立方程 ，解得 ．
因为点 在抛物线内部，可知直线 的斜率存在，
设直线 的方程为 ，与抛物线方程联立得： ，
故 ， ．所以 ，可得 ，
所以点P在定直线 上．
