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微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结
2024—2025 学年第一学期 12 月阶段性反馈
数学
（清华附中初22级） 2024.12
一、选择题（本题共24分，每小题3分）
第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．
1. 下列图形中，是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了中心对称图形的定义，根据中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转
180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称
中心，进行逐一判断即可．
【详解】解：A．直角三角形不是中心对称图形，故此选项不合题意；
B．三角形不是中心对称图形，故此选项不合题意；
C．梯形不是中心对称图形，故此选项不合题意；
D．平行四边形是中心对称图形，故此选项符合题意；
故选D．
2. 用配方法解方程 时，变形结果正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查利用配方法对一元二次方程求解，解题的关键是：熟练运用完全平方公式进行配方．先
把常数项移到方程的右边，方程两边同时加上一次项系数一半的平方，然后把方程左边利用完全平方公式
写成平方形式即可．
【详解】解∶
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，
，
∴ ，
故选∶B．
3. 若 ， 和 是对应边，且 ， ，则 与 的周长比是（
）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查了相似三角形的性质，根据相似三角形的周长比等于相似比进行解答即可．解题的
关键是熟练掌握相似三角形的性质．
【详解】解：∵ ， 和 是对应边，且 ， ，
∴相似三角形的相似比为 ，
∴ 与 的周长比是 ，
故选：A．
4. 在 中， ， ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了锐角三角函数的定义，勾股定理，设 ，则 ，根据勾股定理求出斜边
，再根据锐角三角函数的意义即可求出 ，准确计算是解题的关键．
【详解】解：如图，设 ，则 ，
∵ ，
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∴ ，
∴ ，
故选： ．
5. 如图， 为 的直径，弦 ，垂足为点 ，若 的半径为5， ，则 的长为（
）
A. 2 B. 1 C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了垂径定理和勾股定理．熟练掌握垂径定理和勾股定理是解题的关键．
连接 ，先利用垂径定理得到 ，再利用勾股定理计算出 ，然后计算 即可．
【详解】解：连接 ，如图，
，
，
在 中，
，
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．
故选A．
6. 二次函数 的图象向右平移3个单位，向下平移2个单位，得到新的图象的函数表达式是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了二次函数图象与几何变换，函数图象平移规律是左加右减，上加下减，掌握这一规律
是解题的关键．
根据函数图象向右平移减，向下平移减的平移规律，可得答案．
【详解】解：二次函数 的图象先向右平移3个单位，再向下平移2个单位，得到新的图象的函数表
达式是 ，
故选：D．
7. 如图， 是圆 的直径，点 ， 分别在直径 所对的两个半圆 上．若 ，则
的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了直径所对的圆周角是直角，三角形内角和定理，弧所对圆周角相等．
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先根据直径所对的圆周角是直角得到 ，再由三角形内角和定理求出 ，据此根据同
弧所对圆周角相等即可得出结论．
【详解】解：∵ 是圆O的直径，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
故选：B．
8. 如图，将 绕点 顺时针旋转 ，再将得到的 点 顺时针旋转 ，…依次旋转下去，最
终将 绕点 顺时针旋转 ，得到 ．若点 在线段 上 ，点 在线段
上，且 ，则下列结论中正确的是（ ）
① ；②点 到直线 的距离为 ；③若 、 、 三点共线，则 ；④五边形
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是正五边形
A. ①②③ B. ①③④ C. ②③④ D. ①②③④
【答案】B
【解析】
【分析】根据旋转的性质求出 可判断①；作 于点H，解直角三角形可判断②；由旋转的性
质得 由 、 、 三点共线先求出 ，进而可求出 ，从而判断③；
证明五边形 各边相等，各角相等，根据正多边形的定义可判断④．
【详解】解：① ，故①正确；
②由旋转的性质得 ，
∴ ．
作 于点H
∴ ，故②不正确；
③由旋转的性质得， ，
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∵ 、 、 三点共线
∴ ，
∴ ，故③正确；
④∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
同理可证， ．
∵ ，
∴ ，
同理可证， ，
∴五边形 是正五边形，故⑤正确．
故选B．
【点睛】本题考查了旋转的性质，解直角三角形，等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，正多边
形的判定，熟练掌握旋转的性质是解答本题的关键．
二、填空题（本题共24分，每小题3分）
9. 一元二次方程 的根是________．
【答案】 ，
【解析】
【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法及步骤是解题的关键．
根据因式分解法法求解即可．
【详解】解： ，
，
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或 ，
， ；
故答案为： ， ．
10. 半径为4的圆中，圆心角为 的扇形面积为________．
【答案】 ##
【解析】
【分析】本题考查了扇形的面积．根据扇形面积计算公式直接计算即可求解．
【详解】解：扇形的面积 ，
故答案为： ．
11. 已知二次函数 ，其中部分 和 的对应取值如下表：
… 0 1 …
… 0 3 4 3 …
则 的值为________．
【答案】0
【解析】
【分析】本题主要考查二次函数的对称性，熟练掌握二次函数的对称性是解题的关键．
由表格可得二次函数的对称轴为直线 ，则点 与 关于二次函数的对称轴对称，进而问
题可求解．
【详解】解：由表格得：当 或 时，二次函数的函数值都为3，根据二次函数的对称性可知二
次函数的对称轴为直线 ，
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∴点 与 关于二次函数的对称轴对称，
∴ .
故答案为0．
12. 如图，在 中，点D、E分别在 、 边上， ，若 ， ，
则 等于____________．
【答案】2
【解析】
【分析】本题主要考查相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键．
首先由 得到 ，得到 ，然后代数求出 ，由此即可求出 ．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∴ ，即
∴
∴ ．
故答案为：2．
13. 如图，P为⊙O外一点，PA、PB分别切⊙O于A、B，CD切⊙O于点E，分别交PA、PB于点C、D，
若PA=5，则△PCD的周长为________ ．
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【答案】10
【解析】
【分析】根据圆外一点引出圆的两条切线相等即可求得三角形的是PA的两倍．
【详解】因为P为圆外一点，PA和PB为圆的切线，所以 ，
同理， ， ，
所以 ，
所以 ，
所以
故答案为：10
【点睛】本题关键在于要了解圆外一点引出的圆的两条切线，这两条切线的长度相等
14. 如图， 的顶点都在正方形网格的格点上，则 的值为_______．
【答案】 ##0.6
【解析】
【分析】找到 所在的直角三角形，用 的邻边比上斜边即可求出．
【详解】解：如图，过B点作BD⊥AC，则：BD=4，AD=3，
∴ ，
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∴ = ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查网格中的三角形函数，找到角所在的直角三角形是解题的关键．
15. 某中学初三年级的学生开展测量物体高度的实践活动，他们要测量一幢建筑物 的高度．如图，他
们先在点 处测得建筑物 的顶点 的仰角为 ，然后向建筑物 前进 到达点 处，又测得点
的仰角为 ，那么建筑物 的高度是________ ．
【答案】
【解析】
【分析】设 ，在 中， ，在 中，
，即可求解，
本题考查了解直角三角形的应用，解题的关键是：借助仰角构造直角三角形并解直角三角形．
【详解】解：设 ，
在 中， ，
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在 中， ，
整理得， ，解得： ，
则 ，
故答案为： ．
16. 又到了桔子成熟的时节，源源食品厂以新鲜桔子为原材料加工制作的桔子罐头深受市场的欢迎．源源
食品厂有 ， 两条加工相同原材料的生产线， 生产线将 吨原材料加工成桔子罐头需要 天；
生产线将 吨原材料加工成桔子罐头需要 天．第一批，该厂将7吨原材料分配到A，B两条生产
线，两条生产线在相同时间内完成了加工，则分配到A生产线的吨数与分配到B生产线的吨数的比为
________，第二批开工前，该厂按第一批的分配结果分配了7吨原材料后，又给 生产线分配了 吨原材
料，给 生产线分配了 吨原材料．若两条生产线都能在相同时间内加工完各自分配到的所有原材料，则
的值为________．
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】本题主要考查一元一次方程、二元一次方程的应用及比例的基本性质，熟练掌握一元一次方程的
应用及比例的基本性质是解题的关键．
设分配到 生产线的吨数为x吨，则分配到B生产线的吨数为 吨，依题意可得
，然后求解即可，由题意可得第二天开工时，由上一问可得方程为
，进而求解即可得出答案．
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【详解】解：设分配到 生产线的吨数为x吨，则分配到B生产线的吨数为 吨，依题意可得：
，
解得： ，
∴分配到B生产线的吨数为 （吨），
∴分配到 生产线的吨数与分配到 生产线的吨数的比为 ；
∴第二批开工时，给 生产线共分配了 吨原材料，给 生产线共分配了 吨原材料，
∵加工时间相同，
∴ ，
解得： ，
∴ ；
故答案为 ， ．
三、解答题（本题共72分，其中17、18、20、21、23题每小题5分，19、22、24、25题每
小题6分，26题7分，27、28题每小题8分）
17. 计算： ．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了实数的运算，细心化简，熟练掌握运算法则是解题的关键．
根据负整数指数幂、特殊角的三角函数值，绝对值的意义以及立方根的知识点化简计算即可．
【详解】解：原式=
=
= ．
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18. 如图，在 中，D为 上一点， ．求 的长．
【答案】 的长为9．
【解析】
【分析】根据已知条件证明 ，得到 求出即可．
【详解】解：∵ ，
∴
∴
∴ ．
故 的长为9．
【点睛】此题主要考查相似三角形的判定与性质，解题的关键是根据相似三角形的性质求解．
19. 如图，点 的坐标为 ，点 的坐标为 ，作如下操作：
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①以点 为旋转中心，将 顺时针方向旋转 ，得到 ；
②以点 为位似中心，将 放大，得到 ，使 与 对应边的比为 ，且点
在第三象限．
（1）在图中画出 和 ；
（2）请直接写出点 的坐标：________；
（3）请直接写出点 旋转到点 所经过的路线长________．
【答案】（1）见解析 （2）
（3）
【解析】
【分析】本题考查作位似图形与旋转图形，求弧长；
（1）根据旋转变换的条件以及位似变换的条件作出图形，
（2）根据图象即可写出点 坐标．
（3）根据弧长公式进行计算即可求解．
【小问1详解】
解：如图所示， 和 即为所求，
【小问2详解】
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解：由图象可知，
故答案为： ．
【小问3详解】
解：点 旋转到点 所经过的路线长
故答案为： ．
20. 已知关于 的方程 ．
（1）若此方程的一个根为 ，求 的值；
（2）求证：无论 取何实数，此方程都有两个不相等的实数根．
【答案】（1）
（2）见解析
【解析】
【分析】本题考查一元二次方程的知识，解题的关键是掌握一元二次方程的解，一元二次方程根的判别式，
进行解答，即可．
（1）根据此方程的一个根为 ，把 代入 ，解出 ，即可；
（2）根据方程都有两个不相等的实数根，则验证 ，即可．
【小问1详解】
解：∵此方程的一个根为 ，
∴ 代入 ，
∴ ，
解得： ．
【小问2详解】
证明，如下：
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∵关于 的方程为 ，
∴ ，
，
，
，
∵无论 为何值， ；
∴ ，
∴无论 取何实数，此方程都有两个不相等的实数根．
21. 已知二次函数 的图象经过 ．
（1）求这个二次函数的表达式；
（2）一次函数 ，当 时，总有 ，直接写出k的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式及其性质，熟练掌握二次函数的基本性质是解题关键．
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（1）直接利用待定系数法求解即可确定函数解析式；
（2）根据题意作出相应图象，确定两个函数值相等时k=1，结合图象即可求解．
【小问1详解】
解：∵二次函数 的图象经过 ．
∴ ，解得 ，
∴二次函数的表达式为 ；
【小问2详解】
如图所示函数图象，
∵当 时，总有 ，
∴当x=2时， ，代入 得k=1，
此时 ，
∵当 时，总有 ，
∴ ．
22. 如图，菱形ABCD的对角线AC，BD交于点O，点E，F分别在DA，BC的延长线上，且BE⊥ED，
CF=AE．
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（1）求证：四边形EBFD是矩形；
（2）若 ， ，求BF的长．
32
【答案】（1）见解析 （2）BF的长为 ．
5
【解析】
【分析】（1）利用“SAS”证明 ABE≌ CDF，得到BE=DF，∠E=∠F=90°，即可证明四边形EBFD是
矩形； △ △
（2）在Rt BCO中，利用余弦函数求得OB的长，在Rt BDF中，再利用余弦函数即可求得BF的长．
【小问1详△解】 △
证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=CD，AB∥CD，AD∥BC，
∴∠EAB=∠ADC，∠FCD=∠ADC，
∴∠EAB=∠FCD，
∵AE= CF，
∴ ABE≌ CDF(SAS)，
∴△BE=DF，△∠F=∠E=90°，
∴BE∥DF，
∴四边形EBFD是平行四边形，
∵∠E=90°，
∴四边形EBFD是矩形；
【小问2详解】
解：∵四边形ABCD是菱形，AB=5，
∴OB=OD，AC⊥BD，AB=BC=5，
在Rt△BCO中， ，BC=5，
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OB 4
∴ = ，
BC 5
∴OB=4，则BD=2OB=8，
在Rt△BDF中， ，BD=8，
BF 4
∴ = ，
BD 5
4 32
∴BF= ×8= ．
5 5
【点睛】本题考查了矩形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、勾股定理、锐角三角函数定义等知识；
熟练掌握矩形的判定与性质是解题的关键．
23. 某物流企业为了提高配送效率和客户满意度，对公司业务流程进行了细致的分析．公司随机抽取了
件某日发往 市的快递包裹，称重并记录每件包裹的重量（单位： ，精确到 ）．下面给出了
部分信息．
a．下图为每件包裹重量的频数分布直方图如下（数据分 组：第1组 ，第2组 ，第3
组 ，第4组 ，第5组 ，第6组 ，第7组 ，第8组 ，
第9组 ，第10组 ，第 组 ）：
b．在 这一组的数据如下：
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c．这 件包裹重量的平均数、中位数、众数如下：
平均 中位 众
数 数 数
包裹重量（单位：
）
根据以上信息，回答下列问题：
（1）补全频数分布直方图；
（2）写出 的值；
（3）下面五个结论中，① 的值一定在 这一组；② 的值可能在 这一组；③ 的值可
能在 这一组；④ 的值不可能在 这一组；⑤ 的值不可能在 这一组．所有正
确结论的序号是________；
（4）某日此快递公司将要发往A市的快递包裹统一打包装箱，其中一个集装箱中的包裹总重量为
，请估计这个集装箱中共有多少件包裹？
【答案】（1）见解析 （2） （3）③⑤
（4） 件
【解析】
【分析】（1）解：由题意知，第3组 的人数为
（人），然后补图即可；
（2）由题意知，
， ， 的包裹数为 （件），则中位数在
这一组，然后根据中位数是第 个数的平均数求解作答即可；
（3）由题意知，每一组共10个重量值，然后根据众数的定义判断作答即可；
（4）根据 ，计算求解即可．
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【小问1详解】
解：由题意知，第3组 的人数为
（人），
∴补全统计图如下；
【小问2详解】
解：由题意知， ， ， 的包裹数为 （件），
∴中位数在 这一组，
将 这一组的数从小到大依次排序为：
，
∴ ，
∴ 的值为 ；
【小问3详解】
解：由题意知， 这一组的频数为 ；
这一组的频数为 ；
这一组的频数为 ；
这一组的频数为 ；
这一组的频数为 ；
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∵每一组共10个重量值，
∴ 的值可能在 这一组，可能性较大，①说法太绝对，错误，故不符合要求；
的值不可能在 这一组，频数太小，②错误，故不符合要求；
的值可能在 这一组，可能性较大，③正确，故符合要求；
的值可能在 这一组，④错误，故不符合要求；
的值不可能在 这一组，⑤正确，故符合要求；
为
故答案 ：③⑤．
【
小问4详解】
解：由题意知， （件），
∴估计这个集装箱中共有 件包裹．
【点睛】本题考查了条形统计图，中位数，众数，平均数等知识．熟练掌握条形统计图，中位数，众数，
平均数是解题的关键．
24. 如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，点F在弧BC上，AF与CD交于点G，点H在DC的延长
线上，且HG=HF，延长HF交AB的延长线于点M．
（1）求证：HF是⊙O的切线；
（2）若 ，BM=1，求AF的长．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）连接OF，根据CD⊥AB，可得∠A+∠AGE=90°，再由HG=HF，可得∠HFG =∠AGE，然
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后根据OA=OF，可得∠A=∠OFA，即可求证；
（2）连接BF，先证得△BFM∽△FAM，可得 ，再由 ，可得OM=5，AM=9，
AB=8，FM=3，从而得到 ，然后由勾股定理，即可求解．
【小问1详解】
证明：连接OF，
∵CD⊥AB，
∴∠AEG=90°，
∴∠A+∠AGE=90°，
∵HG=HF，
∴∠HFG=∠HGF，
∵∠HGF=∠AGE，
∴∠HFG =∠AGE，
∵OA=OF，
∴∠A=∠OFA，
∴∠OFA+∠HFG=90°，即∠OFH=90°，
∴HF是⊙O的切线；
【小问2详解】
解：如图，连接BF，
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由（1）得：∠OFM=90°，
∴∠BFO+∠BFM=90°，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠AFB=90°，
∴∠A+∠ABF=90°，
∵OB=OF，
∴∠ABF=∠BFO，
∴∠BFM=∠A，
∵∠M=∠M，
∴△BFM∽△FAM，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵BM=1，OB=OF，
∴ ，
解得：OF=4，
∴OM=5，AM=9，AB=8，
∴FM= ，
∴ ，
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∴ ，
∵ ，
∴ ，
解得： ．
【点睛】本题主要考查了圆的综合题，熟练掌握切线的判定，相似三角形的判定和性质，理解锐角三角函
数是解题的关键．
25. 光合作用是指在光的照射下，植物将二氧化碳和水转化为有机物，并产生氧气的过程，呼吸作用指的
是植物将有机物和氧气分解成二氧化碳和水以维持植物生命所必要的过程，光合作用产氧速率与呼吸作用
耗氧速率差距越大越利于有机物的积累，植物生长越快，水果的品质越好．如果呼吸作用耗氧速率大于光
合作用产氧速率，呼吸作用成为植物的主要活动，植物生长缓慢．下表是某农科院为了更好的指导果农种
植草莓，在0℃至50℃气温，水资源及光照充分的条件下，对温度对光合作用和呼吸作用的影响进行研究
的相关数据：
温度（℃） 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50
光合作用产氧速率（
0.02 0.18 0.30 0.40 0.58 0.82 1.42 0.90 0.40 0.02
）
呼吸作用耗氧速率（
0.03 0.10 0.15 0.20 0.28 0.37 0.42 0.60 0.82 0.60
）
通过观察表格数据可以看出，若设温度为 ，光合作用产氧速率和呼吸作用耗氧速率都是这个自变量的函
数．
（1）建立平面直角坐标系，描出表中各组数值所对应的点，图中已经画出了呼吸作用耗氧速率的函数图
象．请补全其余点，并画出光合作用产氧速率的函数图象；
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（2）结合函数图象，回答下列问题：（所有数据均精确到整数部分）
①最适合草莓生长的温度约为________℃；
②当 的取值范围为________时，草莓生长缓慢．
【答案】（1）见解析 （2）① ，②
【解析】
【分析】本题考查了用描点法画函数图象，以及利用函数图象获取信息的能力.
（1）描出表中各组数值所对应的点，顺次连成平滑的曲线即可得函数图象，
（2）观察图象可知，①当温度在约 时，草莓合作用产氧速率与呼吸作用耗氧速率差距最大，适合草
莓生长，
②当温度超过 时，呼吸作用耗氧速率大于光合作用产氧速率，草莓生长缓慢．
【小问1详解】
解：如图：
【小问2详解】
①当温度在约 时，草莓合作用产氧速率与呼吸作用耗氧速率差距最大，适合草莓生长，
②当温度超过 时，即 的取值范围为 时，呼吸作用耗氧速率大于光合作用产氧速率，草莓生
长缓慢．
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故答案为：① ，② .
26. 在平面直角坐标系 中，点 ， ， 在抛物线 上．
（1）当 时，求 的值；
（2）若对于 ，都有 ，求 的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数与不等式组，解题的关键是掌握二次函数的图象与
性质．
（1）当 时， ，将 代入抛物线中即可求解；
（2）先求出抛物线的对称轴为直线 ，则 关于对称轴 的对称点为 ，由
， ，分两种情况：当点 在对称轴 的左侧时，当点
在对称轴 的右侧时，即可求解．
【小问1详解】
解：当 时， ，
将 代入抛物线 中，
得： ，
解得： ；
【小问2详解】
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抛物线 的对称轴为直线 ，
关于对称轴 的对称点为 ，当 时， 随 的增大而减小，当 时，
随 的增大而增大，
， ，
当点 在对称轴 的左侧时， ， ，
即 ，
解得： ，
当点 在对称轴 的右侧时， ， ，
即 ，无解，
综上所述， ．
27. 在 中， ， ， 为 内一点，连接 ， ，将线段 绕点 逆时
针旋转 得到线段 ．
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（1）如图1，若 ， ，连接 ，请直接写出 的度数________；
（2）如图2，若 ， ，连接 ， ，依题意补全图形，用等式表示线段 ，
， 之间的数量关系，并证明．
【答案】（1）
（2） ，证明见解析
【解析】
【分析】（1）由已知可得C、D、E三点在以A为圆心，以AC为半径的圆上，进而由圆周角与圆心角的关
系得出 ，由此即可求解；
（2）利用旋转构造 ，从而把 ， ， 转化到 中，证明是 直
角三角形，由勾股定理即可解得．
本题主要考查了图形的旋转、圆周角与圆心角的关系，证明三点共圆是解题关键．
【小问1详解】
解：∵ ，将线段 绕点 逆时针旋转 得到线段 ．
∴ ， ，
又∵ ，
∴C、D、E三点在以A为圆心，以 为半径的圆上，
如图，
∵ ，
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∴ ，
【小问2详解】
结论： ，
如图，延长 到 ，使 ，连接 、 ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ， ，
又∵由旋转可知： ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
又∵由旋转可知： ，
∴
∴ ，
∵ ， ，
∴点 在以点 为以 为半径的圆上， 是直径，
∴ ，
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∴ ，
∴
28. 在平面直角坐标系 中，对于 内一点 和 外一点 ，若存在过点 的一条直线 ，使得
点 为点 关于直线 的对称点，则称点 和点 是关于 的关联点．
（1）已知 半径为3， ．
①在点 ， ， ， 中，点 和点________是关于 的关联点；
的
②若直线 上存在一点 ，使得点 和点 是关于 关联点，直接写出 的取值范围________；
（2）已知点 ．存在半径为 的 ，点 和点 是 上两点， ，若点 恰好是
线段 中点，且线段 上存在一点 ，使得点 和点 是关于 的关联点．直接写出 的取值范围
________．
【答案】（1）① ， ；②
（2）
【解析】
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【分析】（1）①根据勾股定理分别求得点 与原点的距离，进而根据新定义判断是否存在直
线使得两点对称，即可求解；
②由①可得，到 点的距离等于 的长的点在以 为圆心 为半径的圆上，且不在 内部，则点 在
的优弧 上，且不包括端点，设 与 轴交于点 ，交 轴于点 ，当 与
的优弧 相切时，连接 ，则 ，分别求得过点 的直线解析式，进而求得 的
值，即可求解；
（2）线段 上存在一点 ，使得点 和点 是关于 的关联点，则 ，进而得出当 点在
轴上时，且 重合时， 取得最小值，当 点与点 重合时，且 时，得出 的最大值，进而
结合定义 ，取舍范围，即可求解．
【小问1详解】
解：①∵ ， ， ，
∴ ， ， ， ，
∴ 在 上，不符合定义，
，则点 和点 是关于 的关联点，
，不存在经过点 的直线使得 对称，不符合定义，
，则点 和点 是关于 的关联点
∴点 和点 、 是关于 的关联点，
故答案为： 、 ．
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②由①可得，到 点的距离等于 的长的点在以 为圆心 为半径的圆上，且不在 内部，
如图所示，点 在 的优弧 上，且不包括端点，
由①可得 ，则
∴ 是 与 的交点
∴ ，
当 经过点 时，
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解得：
∵ 与 轴的夹角为 ，
∴ 是等腰直角三角形，
∵ ，
∴
则 ，即
∴
【小问2详解】
解：∵半径为 的 ，点 和点 是 上两点， ，
∴ ，
∴ 是等腰直角三角形，且 的直径为 ，
∴ ，
∵点 恰好是线段 中点，
∴ 关于点 中心对称，
∵线段 上存在一点 ，使得点 和点 是关于 的关联点
∴ ，
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∵ ，
∴当 点在 轴上时，且 重合时， 取得最小值，如图所示，
∴ ，
∵ ，即
解得：
∵ ，即 ，
∵使得点 和点 是关于 的关联点，则
当 点与点 重合时，且 时，如图所示，
微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结 36微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结
∴ ，
∴ 是等边三角形，
设 与 轴交于点 ，
∵ ， ，又 在 轴上，
∴ 轴垂直平分
∴ ，
∴ ，即 轴，
∴
∵ ，
∴
解得： ，
∴ ．
【点睛】本题考查了新定义，勾股定理，坐标与图形，一次函数，圆周角定理，点与圆 的位置关系，直线
与圆的位置关系，等腰直角三角形的性质，勾股定理，理解新定义，掌握点与圆的位置关系，直线与圆的
位置关系是解题的关键．
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