文档内容
北京市第一六六中学 2021-2022 学年度第二学期阶段性测试初一年级
数学学科
一、选择题(每小题3分，共30分)
1. 如图，是第24届冬季奥林匹克运动会，又称2022年北京冬季奥运会的吉祥物“冰墩墩”，则可以通过
平移吉祥物“冰墩墩”得到的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用平移的性质求解即可．
【详解】解：根据平移的性质：平移不改变图形的大小、形状，只改变图形的位置，可知：
A. ，形状发生了改变，故不符合题意；
B. ，形状发生了改变，故不符合题意；
C. ，图形的大小、形状，没有变化，符合题意；D. ，形状发生了改变，故不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查平移的性质：平移不改变图形的大小、形状，只改变图形的位置，解题的关键是掌握平
移的性质．
2. 下面4个实数中，无理数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据无理数是无限不循环小数，可得答案．
【详解】解：A. =3，是有理数； 故不符合题意；
B. ，是无限不循环小数，是无理数；符合题意；
C. ，是有理数；故不符合题意；
D. ，是有理数；故不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查了无理数，无理数是无限不循环小数，有理数包括整数和分数，分数包括有限小数或无
限循环小数．
3. 下列不等式变形中，不正确的是（ ）
A. 由 得 B. 由 得
C. 由 得 D. 由 得
【答案】C
【解析】
【分析】根据不等式的性质逐项判断即可得．
【详解】A、由 得 ，此项正确；B、不等式的两边同乘以 ，改变不等号的方向，则由 得 ，此项正确；
C、不等式的两边同减去2，不改变不等号的方向，则由 得 ，此项错误；
D、不等式的两边同加上2，不改变不等号的方向，则由 得 ，此项正确；
故选：C．
【点睛】本题考查了不等式的性质，掌握理解性质是解题关键．
4. 若点P（a，b）在第二象限，则点Q（-b，1﹣a）所在象限应该是（ ）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
【答案】B
【解析】
【分析】先根据点P（a，b）在第二象限，得到a＜0，b＞0，据此可以得到-b＜0，1-a＞0，从而得到答案．
【详解】解：∵点P（a，b）在第二象限，
∴a＜0，b＞0，
则-b＜0，1-a＞0，
∴点Q（-b，1﹣a）所在象限应该是第二象限；
故选：B．
【点睛】本题主要考查 的是点的坐标，解题的关键是掌握各象限内点的坐标符号．
5. 如图，一把长方形直尺沿直线断开并错位，点E、D、B、F在同一条直线上，若∠ADE=125°，则
∠DBC的度数为（）
A. 55° B. 65° C. 75° D. 125°
【答案】A
【解析】
【分析】先求出∠ADE的邻补角，再利用平行线的性质求解即可．
【详解】解：∵∠ADE=125°，
∴∠ADF=180° 125°=55°，
因为长方形对边平行
∴∠DBC=∠ADF=55°（两直线平行，内错角相等）；
故选：A．【点睛】本题考查了邻补角互补、平行线的性质等内容，要求学生能根据图形找出具有相等或互补关系的
两个角，再利用相关性质求解即可，其中牢记两直线平行，内错角相等和邻补角互补的性质是解决本题的
关键．
6. 下图是利用平面直角坐标系画出的首钢园中部分场馆建筑的分布图，若这个坐标系分别以正东、正北方
向为 轴、 轴的正方向，表示群明湖的点的坐标为 ，表示冰壶馆的点的坐标为 ，则表示
下列场馆建筑的点的坐标正确的是（ ）
A. 滑雪大跳台
B. 五一剧场
C. 冬奥组委会
D. 全民畅读艺术书店
【答案】A
【解析】
【分析】以群明湖的位置向右2个单位，为坐标原点建立平面直角坐标系，然后写出各建筑点的坐标，从
而得解．
【详解】解：∵群明湖的点的坐标为 ，表示冰壶馆的点的坐标为 ，
则建立平面直角坐标系如图所示，∴滑雪大跳台 ，五一剧场 ，冬奥组委会 ，全民畅读艺术书店 ，
故A正确，B、C、D错误；
故选：A．
【点睛】本题考查了坐标确定位置，解题的关键就是确定坐标原点和x，y轴的位置及方向．
7. 已知x，y满足 ，则 的平方根为（ ）
A. 2 B. ±2 C. 4 D. ±4
【答案】B
【解析】
【分析】根据平方和绝对值的非负性求出 ， ，联立可以求出x，y的值，再求出
的值，进一步求出其平方根即可．
【详解】解：由题意可知： ， ，
联立可得： ，解之得： ，
∴ ，
∵4的平方根为 ，∴ 的平方根为 ．
故选：B．
【点睛】本题考查平方的非负性，绝对值的非负性，二元一次方程组，平方根，解题的关键是依据平方的
非负性，绝对值的非负性，联立 ， ，得到方程组．
8. 如图，快艇从P处向正北航行到A处时，向左转50°航行到B处，再向右转80°继续航行，此时的航行
方向为（ ）
A. 北偏东30° B. 北偏东80° C. 北偏西30° D. 北偏西50°
【答案】A
【解析】
【分析】根据平行线的性质，可得∠2，根据角的和差，可得答案．
【详解】解：如图，AP∥BC，
∴∠2=∠1=50°，
∵∠EBF=80°=∠2+∠3，
∴∠3=∠EBF﹣∠2=80°﹣50°=30°，
∴此时的航行方向为北偏东30°，
故选A．
【点睛】本题考查了方向角，利用平行线的性质得出∠2是解题关键．
9. 已知 ．若 为整数且 ，则 的值为
（ ）
A. 43 B. 44 C. 45 D. 46
【答案】B
【解析】
【分析】由题意可直接进行求解．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
故选B．
【点睛】本题主要考查算术平方根，熟练掌握算术平方根是解题的关键．
10. 如示意图，小宇利用两个面积为1 dm2的正方形拼成了一个面积为2 dm2的大正方形，并通过测量大正
方形的边长感受了 dm的大小． 为了感知更多无理数的大小，小宇利用类似拼正方形的方法进行了很
多尝试，下列做法不能实现的是（ ）
A. 利用两个边长为2dm的正方形感知 dm的大小
B. 利用四个直角边为3dm的等腰直角三角形感知 dm的大小C. 利用一个边长为 dm的正方形以及一个直角边为2dm的等腰直角三角形感知 dm的大小
D. 利用四个直角边分别为1 dm和3 dm的直角三角形以及一个边长为2 dm的正方形感知 dm的大小
【答案】C
【解析】
【分析】在拼图的过程中，拼前，拼后的面积相等，所以我们只需要分别计算拼前，拼后的面积，看是否
相等，就可以逐一排除．
【详解】A： ， =8，不符合题意；
B：4×(3×3÷2)=18， =18，不符合题意；
C： ， ，符合题意；
D： ， ，不符合题意．
故选：C．
【点睛】本题考查了利用二次根式计算面积，解题的关键是在拼图的过程中，拼前，拼后的面积相等．
二、填空题(每小题2分，共16分)
11. 写出一个无理数 ，使得 ，写出一个满足条件的 可以是______．
【答案】 （答案不唯一）
【解析】
【分析】根据无理数的定义及无理数的取值范围求解即可．
【详解】解：∵ ，∴ ，
∵ 是无理数，
∴满足条件，
故答案为：
【点睛】本题考查无理数定义及无理数的估算，解题的关键是掌握无理数定义及无理数估算方法．
12. 的相反数是________； 绝对值是___________．
【答案】 ①. ②. ##【解析】
【分析】直接利用相反数的定义，以及负数的绝对值等于它的相反数解答．
【详解】解： 的相反数为： ；
∵ ，
∴ ．
故答案为： ； ．
【点睛】此题主要考查了相反数定义，绝对值的代数性质，正确掌握相关定义是解题关键．
13. 不等式x–8>3x–5的最大整数解是_________．
【答案】﹣2
【解析】
【详解】不等式x﹣8＞3x﹣5的解集为x＜﹣ ；
所以其最大整数解是﹣2．
14. 已知点A在第四象限，且到 轴， 轴的距离分别为3、5，则A点的坐标为________．
【答案】
【解析】
【分析】根据坐标系中第四象限点的坐标特征：横坐标为正数，纵坐标为负数解题即可．
【详解】解：∵点A在第四象限，设坐标为 ，
∴ ， ，
∵A到x轴，y轴的距离分别为3、5，
∴ ， ，
∴ ，
故答案为：
【点睛】本题考查各象限点坐标的特征，是重要考点，难度容易，掌握相关知识是解题关键．
15. 如图，AB∥CD，一副三角尺按如图所示放置，∠AEG=20°，则∠HFD为____°．【答案】35
【解析】
【分析】根据平行线的性质求解即可．
【详解】解：∵∠AEG=20°，∠GEF=45°，
∴∠AEF=65°，
∵AB//CD，
∴∠EFD=∠AEF=65°，
∵∠EFH=30°，
∴∠HFD=65°-30°=35°，
故答案为：35．
【点睛】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解答本题的关键．平行线的性质：①两直线
平行同位角相等，②两直线平行内错角相等，③两直线平行同旁内角互补．在运用平行线的性质定理时，
一定要找准同位角，内错角和同旁内角．
的
16. 写出一个c 值，说明命题“如果a＞b，那么ac＞bc”是假命题，这个值可以是____．
【答案】 （答案不唯一）
【解析】
【分析】根据假命题的定义、不等式的性质即可得．
【详解】解：要使得命题“如果 ，那么 ”是假命题，
则由不等式的性质得：只需 不是正数即可，
因此，这个值可以是 ，
故答案为： （答案不唯一）．
【点睛】本题考查了命题、不等式的性质，熟练掌握不等式的性质是解题关键．
17. 若 ， ，则 的值为____________．
【答案】 ##
【解析】【分析】联立 ， ，求出 和 的值即可．
【详解】解：由题意可知：
联立 ， ，可得： ，
∴①+②可得 ，解得： ，
②-①可得 ，
∴ ．
故答案为：
【点睛】本题考查二元一次方程组，解题的关键是熟练掌握解二元一次方程组的方法，求出 和
的值．
18. 破译密码：根据下面五个已知条件，推断正确密码是_________．
【答案】798
【解析】
【分析】先判断出密码中必有数字7且在百位上，再判断出密码中必有式子8且在个位上，最后判断出密
码中必有9，即可得出结论．
【详解】解：∵密码532，三个号码都不正确，
∴密码中没有数字：2，3，5，
∵密码257只有一个号码正确但位置不正确，
∴密码中必有数字7，并且不能在个位，
∵密码876只有两个号码正确，但位置都不正确，
∴密码7不能再十位，密码中8，6只有一个正确，∴密码中的7只能在百位，
∵密码628中只有一个号码正确且位置正确，
∴密码中必有数字8，且在个位，
∵密码619中只有一个号码正确当位置不正确，
∴密码中只有数字9，且在十位，
∴正确的密码为798，
故答案为798．
【点睛】此题是推理与论证题目，判断出密码中必有数字7且在百位上是解本题的关键．
三、解答题(共54分)
19. 计算： .
【答案】9
【解析】
【分析】先进行乘方运算、立方根运算、算术平方根运算，再进行乘法和加减运算即可求解.
【详解】解:原式=−1+4−(−2)×3
=−1+4+6
=9.
【点睛】本题考查实数的混合运算,熟练掌握相关计算的运算法则是解答的关键.
20. 解方程组
【答案】
【解析】
【分析】运用加减消元法解二元一次方程组即可．
【详解】解： ，
①×4-②得： ，
将 代入①得： ，解得： ．
∴方程组的解为： ．【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的解法，灵活运用加减消元法是解答本题的关键．
21. 解不等式组： ．
【答案】x 2
【解析】
【分析】按照解一元一次不等式组的一般步骤进行解答即可．
【详解】解：解不等式3x﹣1 x+1，得：x 1，
解不等式x+4 4x﹣2，得：x 2，
∴不等式组的解集为x 2．
【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，熟悉“解一元一次不等式的方法和确定不等式组解集的方法”
是解答本题的关键.
22. 作图并回答问题：已知，如图，点P在∠AOB的边OA上．
（1）过点P作OA边的垂线l；
（2）过点P作OB边的垂线段PD；
（3）过点O作PD的平行线交l于点E，比较OP，PD，OE三条线段的大小，并用“＞”连接得 ，得
此结论的依据是 ．
【答案】（1）见解析；
（2）见解析； （3）画图见解析，OE>OP> PD．
【解析】
【分析】（1）过点P作OA的垂线l；
（2）过点P作OB边的垂线，连接点P与垂足D就是垂线段PD；
（3）过点O作一个角等于∠ODP，得到PD的平行线交l于点E，再根据垂线段最短原理解题．
【小问1详解】
解：如图，直线l就是所求作的垂线l；【小问2详解】
如图，线段PD就是所求作的垂线段PD；
【小问3详解】
如图，点E就是所求作的点，根据垂线段最短原理得到OE>OP> PD；
故答案为：OE>OP> PD；垂线段最短．
【点睛】本题考查尺规作图—作垂线，垂线段最短等知识，是重要考点，掌握相关知识是解题关键．
23. 在平面直角坐标系 中，点A的坐标为 ，线段 的位置如图所示，其中点 的坐标为，点 的坐标为 ．
（1）将线段 平移得到线段 ，其中点 的对应点为A，点 的对应点为B，画出平移后的线段
，点B的坐标为______；
（2）在（1）的条件下，若点 的坐标为 ，连接 ， ，求 的面积．
【答案】（1）作图见详解，（6，3）；
（2）10
【解析】
【分析】（1）利用平移的性质画出图形即可解决问题．
（2）利用分割法求三角形面积即可．
【小问1详解】
解：如图，点B即为所求作．
点M平移到点A的过程可以是：先向右平移3个单位长度，再向上平移5个单位长度；
∴点N先向右平移3个单位长度，再向上平移5个单位长度得点B，
∴点B的坐标为（6，3）．
故答案为：（6，3）【小问2详解】
所以△ABC的面积为10．
【点睛】本题考查作图、平移变换，三角形的面积，解题的关键是将三角形面积转化为长方形面积减去三
个三角形面积．
24. 补全横线上的内容并在括号中填入适当的理由：
如图 ∥ ∠1=∠2，∠3=∠4，求证： ∥
证明：∵ ∥ (已知)
∴∠DAC=∠3( )
∵∠1=∠2 (已知)
∴∠ 1+∠CAF=∠2+∠ ( )
即 ∠BAE=_____
∴∠3=∠∵∠3=∠4 (已知)
∴∠4=∠_______
∴ ∥ ( )
【答案】两直线平行，内错角相等；等式的性质；DAC；4；等量代换；同位角相等，两直线平行
【解析】
【分析】根据平行线的性质得出∠DAC=∠3，求出∠BAE=∠DAC，求出∠4=∠BAE，根据平行线的判定得出
结论．
【详解】证明：∵ ∥ (已知)
∴∠DAC=∠3(两直线平行，内错角相等)
∵∠1=∠2(已知)
∴∠ 1+∠CAF=∠2+∠ (等式的性质)
即 ∠BAE=∠DAC，
∴∠3=∠DAC
∵∠3=∠4 (已知)
∴∠4=∠BAE(等量代换)
∴ ∥ (同位角相等，两直线平行)
故答案为：两直线平行，内错角相等；等式的性质；DAC；DAC；等量代换；同位角相等，两直线平行
【点睛】本题考查平行线的性质和判定，能熟练运用定理进行推理是解题的关键．
25. 已知：如图， 于点H， 于点K， ，求证： ．
【答案】见解析
【解析】
【分析】先证得AE∥GF，由平行线的性质得到∠1=∠A，进而证得∠2=∠A，由平行线的判定定理得到
AB∥CD，根据平行线的性质即可得到结论．
【详解】证明：∵AE⊥BC于点H，FG⊥BC于点K，
∴AE∥GF，∴∠1=∠A，
∵∠2=∠1，
∴∠2=∠A，
∴AB∥CD，
∴∠CDB+∠ABD=180°．
【点睛】本题考查了平行线 的性质和判定．解题的关键熟练掌握平行线的性质和判定，能正确运用定
理进行推理、计算是解此题的关键．
26. 快递公司为提高快递分拣的速度，决定购买机器人来代替人工分拣．已知购买甲型机器人1台，乙型
机器人2台，共需14万元；购买甲型机器人2台，乙型机器人3台，共需24万元；两种机器人的单价与
每小时分拣快递的数量如下表：
甲型机器人 乙型机器人
购买单价（万元/台） m n
每小时拣快递数量（件） 1200 1000
（1）求购买甲、乙两种型号的机器人所需的单价m和n分别为多少万元/台？
（2）若该公司计划购买这两种型号的机器人共8台，购买总费用不超过41万元，并且使这8台机器人每
小时分拣快递件数总和不少于8300件，则该公司有几种购买方案？哪种方案费用最低，最低费用是多少万
元？
【答案】（1）甲、乙两种型号的机器人每台价格分别是6万元、4万元；（2）见解析
【解析】
【分析】（1）根据甲型机器人1台，乙型机器人2台，共需14万元和购买甲型机器人2台，乙型机器人3
台，共需24万元，列出方程组，进行求解即可；
（2）设该公可购买甲型机器人a台，乙型机器人（8-a）台，根据两种型号的机器人共8台，购买总费用
不超过41万元和总和不少于8300件，列出不等式组，求出a的取值范围，再利用一次函数找到费用最低
值．
【详解】解：（1）根据题意得：
，
解得： ，答：甲、乙两种型号的机器人每台价格分别是6万元、4万元．
（2）设该公可购买甲型机器人 台，乙型机器人 台，根据题意得：
，
解得： ，
为正整数，
的取值为2，3，4，
该公司有3种购买方案，分别是
购买甲型机器人2台，乙型机器人6台，
购买甲型机器人3台，乙型机器人5台，
购买甲型机器人4台，乙型机器人4台，
当a=2时，费用为2×6+6×4=36万元，
当a=3时，费用为3×6+5×4=38万元，
当a=4时，费用为4×6+4×4=40万元，
∴当 时，费用最小，且为36万元，
该公司购买甲型机器人2台，乙型机器人6台这个方案费用最低，最低费用是36万元．
【点睛】此题考查了二元一次方程组和一元一次不等式组的应用，分析题意，找到关键描述语，找到合适
的关系是解决问题的关键．
27. 对非负实数x“四舍五入”到个位的值记为[x]．即当n为非负整数时，若 , 则
[x]=n．如: [3.4]=3, [3.5]=4．根据以上材料，解决下列问题:
（1）填空:①若[x]=3，则x应满足的条件: ；②若[3x+1]=3,则x应满足的条件: ；
（2）求满足[x]= x-1的所有非负实数x的值(要求书写解答过程)．
【答案】(1) ① ≤x < ；② ≤x < ;(2) x= 或x=
【解析】
【分析】（1）①因为[x]＝3，根据n－ ≤x≤n＋ ，求得x取值范围即可；②由①得出3x＋1的取值范围，进一步解不等式组得出答案即可；（2）设 x－1＝m，m为整数，表示出x，进一步得出不等式组求出答
案即可.
【详解】解：（1）①因为[x]＝3，根据n－ ≤x≤n＋
∴3－ ≤x≤3＋
解得: ≤x＜ ；
②由①可得 ≤3x+1＜
解得: ≤x＜ ；
故答案 为: ① ≤x < ；② ≤x < ；
（2）解：设 x﹣1=m，m为整数，则x= ，
∴[x]=[ ]=m，
∴m﹣ ≤ ＜m+
∴ ＜m≤ ，
为
∵m 整数，
∴m=1，或m=2，
∴x= 或x=
【点睛】本题主要考查解一元一次不等式，熟练掌握一元一次不等式的解法是解题的关键.28. 对于平面直角坐标系 中的图形 和图形 上的任意点 ，给出如下定义：将点
平移到 称为将点 进行“ 型平移”，点 称为将点 进行“ 型平移”的对应点；将图
形 上的所有点进行“ 型平移”称为将图形 进行“ 型平移”．例如，将点 平移到
称为将点 进行“1型平移”，将点 平移到 称为将点 进行“﹣1
型平移”．已知点 和点 ．
（1）将点 进行“1型平移”后的对应点 的坐标为 ．
（2）①将线段 进行“﹣1型平移”后得到线段 ，点 ， ， 中，在线段
上的点是 ．
②若线段 进行“ 型平移”后与坐标轴有公共点，则 的取值范围是 ．
（3）知点 ， ，点 是线段 上的一个动点，将点 进行“ 型平移”后得到的对应
点为 ，画图、观察、归纳可得，当 的取值范围是 时， 的最小值保持不变．
【答案】（1） ；
（2） ， 或 ；（3） ．
【解析】
【分析】（1）根据“1型平移”的定义求解即可；
（2）①画出线段 即可求解；②根据定义求出t的最大值，最小值即可；
（3）观察图象可知：当 在线段 上时， 的最小值保持不变，最小值为 ．
【小问1详解】
解：由“1型平移”的定义可知： 的坐标为 ；
【小问2详解】
解：①如图所示，观察图象可知：将线段进行“﹣1型平移”后得到线段 ，点 ， ，
中，在线段 上的点是 ；
②若线段 进行“ 型平移”后与坐标轴有公共点，则 的取值范围是 或 ；
【小问3详解】
：如图所示：观察图象可知：当 在线段 上时， 的最小值保持不变，最小值为 ，此时 ．
【点睛】本题考查平移变换，“t型平移”的定义，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，
学会利用图象法解决问题．
