文档内容
数学试卷
注意事项：
1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名､准考证号､考场号､座位号在答题卡上填写清
楚.
2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦
干净后，再选涂其他答案标号､在试题卷上作答无效.
3.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.满分150分，考试用时120分钟.
一､单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的）
1.已知集合 ，则 （ ）
A. B. C. D.
2.下列函数在其定义域内单调递增的是（ ）
A. B.
C. D.
3.已知等差数列 满足 ，则 （ ）
A.2 B.4 C.6 D.8
4.已知点 是抛物线 上一点，若 到抛物线焦点的距离为5，且 到 轴的距离为
4，则 （ ）
A.1或2 B.2或4 C.2或8 D.4或8
5.已知函数 的定义域为 .记 的定义域为集合 的定义域为集合 .则“
”是“ ”的（ ）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
6.已知函数 的定义域为 .设函数 ，函数 .若 是偶函数，
是奇函数，则 的最小值为（ ）
A. B. C. D.7.从 的二项展开式中随机取出不同的两项，则这两项的乘积为有理项的概率为（ ）
A. B. C. D.
8.已知圆 ，设其与 轴､ 轴正半轴分别交于 ， 两点.已知另一圆 的半径
为 ，且与圆 相外切，则 的最大值为（ ）
A.20 B. C.10 D.
二､多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多
个选项是符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
9.离散型随机变量 的分布列如下表所示， 是非零实数，则下列说法正确的是（ ）
2024 2025
A. B. 服从两点分布
C. D.
10.已知函数 ，下列说法正确的是（ ）
A. 的定义域为 ，当且仅当
B. 的值域为 ，当且仅当
C. 的最大值为2，当且仅当
D. 有极值，当且仅当
11.设定义在 上的可导函数 和 的导函数分别为 和 ，满足
，且 为奇函数，则下列说法正确的是（ ）
A. B. 的图象关于直线 对称
C. 的一个周期是4 D.三､填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）
12.过点 作曲线 且 的切线，则切点的纵坐标为__________.
13.今年暑期旅游旺季，贵州以凉爽的气候条件和丰富的旅游资源为依托，吸引了各地游客前来游玩.由安
顺黄果树瀑布､荔波小七孔､西江千户苗寨､赤水丹霞､兴义万峰林､铜仁梵净山6个景点谐音组成了贵州文旅
的拳头产品“黄小西吃晚饭”.小明和家人计划游览以上6个景点，若铜仁梵净山不安排在首末位置，且荔
波小七孔和西江千户苗寨安排在相邻位置，则一共有__________种不同的游览顺序方案.（用数字作答）
14.已知函数 若存在实数 且 ，使得 ，
则 的最大值为__________.
四､解答题（共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
15.（本小题满分13分）
下图中的一系列三角形图案称为谢尔宾斯基三角形.图（1）是一个面积为1的实心正三角形，分别连接这
个正三角形三边的中点，将原三角形分成4个小正三角形，并去掉中间的小正三角形得到图（2），再对图
（2）中的每个实心小正三角形重复以上操作得到图（3），再对图（3）中的每个实心小正三角形重复以
上操作得到图（4），…，依此类推得到 个图形.记第 个图形中实心三角形的个数为 ，第n个图形中
实心区域的面积为 .
（1）写出数列 和 的通项公式；
（2）设 ，证明 .
16.（本小题满分15分）
如图，在三棱台 中， 和 都为等腰直角三角形，
为线段 的中点， 为线段 上的点.（1）若点 为线段 的中点，求证： 平面 ；
（2）若平面 分三棱台 所成两部分几何体的体积比为 ，求二面角
的正弦值.
17.（本小题满分15分）
已知双曲线 与双曲线 的离心率相同，且 经过点
的焦距为 .
（1）分别求 和 的方程；
（2）已知直线 与 的左､右两支相交于点 ，与 的左､右两支相交于点 ，D， ，判
断直线 与圆 的位置关系.
18.（本小题满分17分）
为了检测某种抗病毒疫苗的免疫效果，需要进行动物与人体试验.研究人员将疫苗注射到200只小白鼠体内，
一段时间后测量小白鼠的某项指标值，按 分组，绘制频率分
布直方图如图所示.试验发现小白鼠体内产生抗体的共有160只，其中该项指标值不小于60的有110只.假
设小白鼠注射疫苗后是否产生抗体相互独立.
（1）填写下面的 列联表，并根据列联表及 的独立性检验，判断能否认为注射疫苗后小白鼠
产生抗体与指标值不小于60有关；单位：只
指标值
抗体 合计
小于60 不小于60
有抗体
没有抗体
合计
（2）为检验疫苗二次接种的免疫抗体性，对第一次注射疫苗后没有产生抗体的40只小白鼠进行第二次注
射疫苗，结果又有20只小白鼠产生抗体.
（i）用频率估计概率，求一只小白鼠注射2次疫苗后产生抗体的概率 ；
（ii）以（i）中确定的概率 作为人体注射2次疫苗后产生抗体的概率，进行人体接种试验，记100个人
注射2次疫苗后产生抗体的数量为随机变量 .求 及 取最大值时的 值.
参考公式： （其中 为样本容量）
参考数据：
0.100 0.050 0.010 0.005
2.706 3.841 6.635 7.879
19.（本小题满分17分）
三角函数是解决数学问题的重要工具.三倍角公式是三角学中的重要公式之一，某数学学习小组研究得到了
以下的三倍角公式：
① ；② .
根据以上研究结论，回答：
（1）在①和②中任选一个进行证明；
（2）已知函数 有三个零点 且 .
（i）求 的取值范围；
（ii）若 ，证明： .贵阳第一中学 2025 届高考适应性月考卷（一）
数学参考答案
一､单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 D C B C B C A A
【解析】
1.由题， 或 ，则 ，故选D.
2.对于A选项， 的定义域为 ，该函数在 和 上单调递增，在定义
域内不单调；对于B选项， 的定义域为 ，该函数在 上单调递减，在
上单调递增，在定义域内不单调；对于C选项， 的定义域为 ，该函数在定义域上单调递增；对于D选项， 的定义域为 ，当 时， ；当
时， ， 在 上单调递减，在 上单调递增，因此该函数在定
义域内不单调，故选C.
3. ，故选B.
4.设点 ，则 整理得 ，解得 或 ，故选C.
5. 的定义域为 .当 时， 的定义域为 ，
即 .令 ，解得 的定义域为 ，即 .
“ ”是“ ”的必要不充分条件，故选B.
6.由题， 解得 ，所以
，当且仅当 ，即 时，等号成立，
，故选C.
7.设 的二项展开式的通项公式为 ，
，所以二项展开式共6项.当 时的项为无理项；当 时的项为有理项.两项乘积为有
理数当且仅当此两项同时为无理项或同时为有理项，故其概率为 ，故选A.
8.由题， ，即圆心为 ，半径为 ，且 ， 为 的
直径. 与 相外切， .由中线关系，有
，当且仅当 时，等号成立，所以 的最大值为20，故选A.
二､多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多
项符合题目要求，全部选对的得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分）
题号 9 10 11
答案 ACD BC BCD
【解析】
9.对于A选项，由分布列性质可知正确；对于B选项，由两点分布定义可知错误；对于C选项，
，正确；
对于D选项，令 ，则 服从两点分布， ，
，正确，故选ACD.
10.令 ，对于A选项， 的定义域为 或
，故A错误；对于B选项， 的值域为 在定义域内的值域为
，故B正确；对于C选项， 的最大值为 在定义域内的最小值
为 ，故C正确；对于D选项， 有极值 在定义域内有极值
且 ，故D选项错误，故选BC.
11.对于A选项，因为 为奇函数，所以 ，又由 ，可得
，故A错误；对于B选项，由 可得
为常数，又由 ，可得 ，则
，令 ，得 ，所以 ，所以的图象关于直线 对称，故B正确；对于C选项，因为 为奇函数，
所以 ，所以 ，所以
是一个周期为4的周期函数， ，
所以 也是一个周期为4的周期函数，故C正确；对于D选项，因为 为奇函数，所以
，又 ，又 是周期为4的周期函数，所以
，故D正确，故选BCD.
三､填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）
题号 12 13 14
答案 144
【解析】
12.设切点坐标为 切线方程为 .将 代入得 ，可得
切点纵坐标为 .
13.先对小七孔和千户苗寨两个相邻元素捆绑共有 种方法，再安排梵净山的位置共有 种方法，再排其
余元素共有 种排法，故共有 种不同的方案.
14.设 ，由 的函数图象知， ，又 ，
.令
在 上单调递增，则
， 的最大值为 .
四､解答题（共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
15.（本小题满分13分）
（1）解：数列 是首项为1，公比为3的等比数列，因此 ；数列 是首项为1，公比为 的等比数列，因此， .
（2）证明：由（1）可得
因为 ，
所以 ，所以 .
16.（本小题满分15分）
（1）证明：如图1，连接 ，设 ，连接 ，
三棱台 ，则 ，又 ，
四边形 为平行四边形，
则 .
点 是 的中点，.
又 平面 平面 ，
平面 .
（2）解：因为平面 分三棱台 所成两部分几何体的体积比为 ，
所以 ，
即 ，
化简得 ，
此时点 与点 重合.
，
且都在平面 ，则 平面 ，
又 为等腰直角三角形，则 .
又由（1）知 ，则 平面 ，
建立如图2所示的坐标系
则 ，
设平面 的法向量 ，则 令 ，解得 ，
设平面 的法向量 ，
则 令 ，解得 .
设二面角 的平面角为 ，
，
所以 ，
所以二面角 的正弦值为 .
17.（本小题满分15分）
解：（1）由题意可知双曲线 的焦距为 ，
解得 ，即双曲线 .
因为双曲线 与双曲线 的离心率相同，
不妨设双曲线 的方程为 ，
因为双曲线 经过点 ，所以 ，解得 ，
则双曲线 的方程为 .
（2）易知直线 的斜率存在，不妨设直线 的方程为
，
联立 消去 并整理得此时 可得 ，
当 时，由韦达定理得 ；
当 时，由韦达定理得 ，
则 ，
化简可得 ，
由（1）可知圆 ，
则圆心 到直线 的距离 ，
所以直线 与圆 相切或相交.
18.（本小题满分17分）
解：（1）由频率分布直方图知，200只小白鼠按指标值分布为：
在 内有 （只）；
在 ）内有 （只）；
在 ）内有 （只）；
在 ）内有 （只）；
在 内有 （只）
由题意，有抗体且指标值小于60的有50只；而指标值小于60的小白鼠共有 （只），所
以指标值小于60且没有抗体的小白鼠有20只，同理，指标值不小于60且没有抗体的小白鼠有20只，故
列联表如下：
单位：只
指标值
抗体 合计
小于60 不小于60有抗体 50 110 160
没有抗体 20 20 40
合计 70 130 200
零假设为 ：注射疫苗后小白鼠产生抗体与指标值不小于60无关联.
根据列联表中数据，得 .
根据 的独立性检验，没有充分证据认为注射疫苗后小白鼠产生抗体与指标值不小于60有关.
（2）（i）令事件 “小白鼠第一次注射疫苗产生抗体”，事件 “小白鼠第二次注射疫苗产生抗
体”，事件 “小白鼠注射2次疫苗后产生抗体”.
记事件 发生的概率分别为 ，则 ，
.
所以一只小白鼠注射2次疫苗后产生抗体的概率 .
（ii）由题意，知随机变量 ，
所以 .
又 ，设 时， 最大，
所以
解得 ，因为 是整数，所以 .
19.（本小题满分17分）
（1）若选①，证明如下：
若选②，证明如下：.
（2）（i）解： ，
当 时， 恒成立，所以 在 上单调递增，至多有一个零点；
当 时，令 ，得 ；令 ，得 ，
令 ，得 或 ，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增.
有三个零点，则 即 解得 ，
当 时， ，
且 ，
所以 在 上有唯一一个零点，
同理
所以 在 上有唯一一个零点.
又 在 上有唯一一个零点，所以 有三个零点，
综上可知 的取值范围为 .
（ii）证明：设 ，
则 .
又 ，所以 .
此时 ，
方程 的三个根均在 内，
方程 变形为 ，令 ，则由三倍角公式 .
因为 ，所以 .
因为 ，所以 ，
所以
.
