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微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结
北京八中大兴分校 2022-2023 第二学期初二年级章节达标练习
初二数学
考试时间：120分钟 满分100分
第一部分 选择题
一、选择题（每小题2分）
1. 下列二次根式为最简二次根式的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】分母中无根号，根号下无分母，不能再开方的二次根式是最简二次根式，根据定义判断．
【详解】解：A、 ，故不符合题意；
B、 是最简二次根式，故符合题意；
C、 ，故不符合题意；
D、 ，故不符合题意；
故选：B．
【点睛】此题考查了最简二次根式的定义，化简二次根式，正确掌握最简二次根式的定义是解题的关键．
2. 下列计算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用二次根式的加减法的法则，二次根式的乘除法的法则对各项进行运算，然后作出判断即可．
【详解】解：A、 与 不是同类二次根式，不能合并，故此选项不符合题意；
B、 ，故此选项符合题意；
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C、 ，故此选项不符合题意；
D、 ，故此选项不符合题意．
故选：B．
【点睛】本题考查二次根式的加减乘除运算．熟练掌握相应的运算法则是解题的关键．
3. 如图，为测量位于一水塘旁的两点A，B间的距离，在地面上确定点O，分别取OA，OB的中点C，
D，量得CD＝10m，则A，B之间的距离是（ ）
A. 5m B. 10m C. 20m D. 40m
【答案】C
【解析】
【分析】根据三角形中位线定理解答即可．
【详解】解：∵点C，D分别是OA，OB的中点，
∴AB=2CD=20（m），
故选：C．
【点睛】本题考查了三角形中位线定理，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题
的关键．
4. 下列选项中，平行四边形不一定具有的性质是( )
A. 两组对边分别平行 B. 两组对边分别相等
C. 对角线互相平分 D. 对角线相等
【答案】D
【解析】
【分析】根据平行四边形的性质：平行四边形的对边相等且平行，对角线互相平分，可得正确选项．
【详解】解：∵平行四边形的对边平行且相等，对角相等，对角线互相平分，
∴选项A. B. C正确，D错误.
故选：D．
【点睛】本题考查平行四边形的性质，解题关键在于对平行四边形性质的理解．
5. 以下列各组数为边长，能构成直角三角形的是（ ）
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A. 1， ，2 B. 1，1，2 C. 2，3，4 D. 4，5，6
【答案】A
【解析】
【分析】根据勾股定理的逆定理的内容和三角形三边关系逐个判断即可．
【详解】解：A、∵12+（ ）2＝22
∴以1， ，2为边能组成直角三角形，故本选项符合题意
B、1+1＝2，不符合三角形三边关系定理，不能组成三角形，也不能组成直角三角形，故本选项不符合题
意
C、∵22+32≠42
∴以2，3，4为边不能组成直角三角形，故本选项不符合题意
D、∵42+52≠62
∴以4，5，6为边不能组成直角三角形，故本选项不符合题意
故选：A．
【点睛】本题主要考查勾股定理的逆定理及三角形三边关系，掌握勾股定理的逆定理及三角形三边关系是
解题的关键．
6. 如图，在▱ABCD中，AE平分∠BAD，交CD边于E，AD=3，EC=2，则AB的长为（ ）
A. 5 B. 3 C. 2 D. 1
【答案】A
【解析】
【分析】首先证明 ，再根据平行四边形的性质即可解决问题．
【详解】解： 四边形 是平行四边形，
， ，
，
平分 ，
，
，
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，
，
．
故选：A．
【点睛】本题考查平行四边形 的性质，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活应用这些知识
解决问题．
7. 在 中，延长AB到E，使 ，连结DE交BC于F，则下列结论不一定成立的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】首先根据平行四边形的性质可得CD∥AB，再根据平行线的性质可得∠E=∠CDF；首先证明
△DCF≌△EBF可得EF=DF；根据全等可得CF=BF= BC，再利用等量代换可得AD=2BF；根据题意不能
证明AD=BE，因此BE不一定等于2CF．
【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD∥AB，
∴∠E=∠CDF，（故A成立）；
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD=AB，CD∥BE，
∴∠C=∠CBE，
∵BE=AB，
∴CD=EB，
在△CDF和△BEF中，
，
∴△DCF≌△EBF（AAS），
∴EF=DF，（故B成立）；
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∵△DCF≌△EBF，
∴CF=BF= BC，
∵AD=BC，
∴AD=2BF，（故C成立）；
∵AD≠BE，
∴2CF≠BE，（故D不成立）；
故选：D．
【点睛】此题主要考查了平行四边形的性质，关键是掌握平行四边形对边平行且相等．
8. 如图，正方体盒子的棱长为2，M为BC的中点，则一只蚂蚁从A点沿盒子的表面爬行到M点的最短距
离为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先利用展开图确定最短路线，再利用勾股定理求解即可．
【详解】解：如图，蚂蚁沿路线AM爬行时距离最短；
∵正方体盒子棱长为2，M为BC的中点，
∴ ，
∴ ，
故选：B．
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【点睛】本题考查了蚂蚁爬行的最短路径为题，涉及到了正方形的性质、正方体的展开图、勾股定理、两
点之间线段最短等知识，解题关键是牢记相关概念与灵活应用．
第二部分 解答题
二、填空题（每小题2分）
9. 若二次根式 有意义，则实数 的取值范围是______．
【答案】
【解析】
【分析】根据被开方数大于等于0列式计算即可得解．
【详解】由题意得， ，
解得： ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，解题的关键是掌握二次根式有意义的条件．
10. 如图，在数轴上点A表示 的实数是__．
【答案】
【解析】
【分析】根据勾股定理求出 的长度，然后根据点A在数轴上的位置即可解答．
【详解】解：如图，
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∵ ，
∴ ，
∴点A表示的实数是 ．
故本题答案为： ．
【点睛】本题考查了实数与数轴，勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
11. 化简 ______．
【答案】5
【解析】
【分析】根据二次根式的性质化简即可．
【详解】 ，
故答案为：5．
【点睛】本题考查了二次根式的化简，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键．
12. 如图，在四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，AD∥BC，请添加一个条件：______，使四边形
ABCD为平行四边形（不添加任何辅助线）．
【答案】AD=BC．
【解析】
【分析】直接利用平行四边形的判定方法直接得出答案．
【详解】当AD∥BC，AD=BC时，四边形ABCD为平行四边形．
故答案是AD=BC（答案不唯一）．
的
13. 在平面直角坐标系中，点 ，则点A到原点O 距离为________．
【答案】
【解析】
【分析】根据两点间的距离公式，即可求解．
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【详解】解：点 到原点O的距离为 ，
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查两点间的距离公式，掌握勾股定理是解题的关键．
14. 我国古代数学著作《九章算术》中的一个问题：一根竹子高 1 丈（1 丈=10 尺），折断后顶端落在
离竹子底端 3 尺处，问折断处离地面的高度为多少尺？如图，设折断处离地面的高度为 x 尺，根据题
意，可列出关于 x 方程为:__________.
【答案】
【解析】
【分析】设折断处离地面的高度为 x 尺，根据勾股定理列出方程即可
【详解】解：设折断处离地面的高度为 x 尺，根据题意可得：
故答案为：
【点睛】本题考查了勾股定理的应用，掌握勾股定理是解题的关键．
的
15. 已知n是正整数， 是整数，则满足条件 所有n的值为__________．
【答案】 或 或
【解析】
【分析】先利用算术平方根有意义的条件求得正整数 的取值范围，然后令 等于所有可能的平方
数即可求解．
【详解】解：由题意得 ，
解得 ，
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∵n 是正整数，
∴
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ 是整数，
∴ 或 或 或 或 ，
解得 或 或 或 或 ，
∵n是正整数，
∴ 或 或 ，
故答案为： 或 或
【点睛】本题考查了算术平方根的性质，理解掌握被开方数是平方数时算术平方根才是整数是解题的关键．
16. 如图，在等边 中， ，射线 ，点E从点A出发沿射线 以 的速度
运动，点F从点B出发沿射线 以 的速度运动．如果点E、F同时出发，设运动时间为t，当
________s时，以A、C、E、F为顶点四边形是平行四边形．
【答案】 或5
【解析】
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【分析】分别从当点F在C的左侧时与当点F在C的右侧时去分析，由当 时，以A、C、E、F
为顶点四边形是平行四边形，可得方程，解方程即可求得答案．
【详解】解：①当点F在C的左侧时，根据题意得： ， ，
则 ，
∵ ，
当 时，四边形 是平行四边形，
即 ，
解得： ；
②当点F在C的右侧时，根据题意得： ， ，
则 ，
∵ ，
∴当 时，四边形 是平行四边形，
即 ，
解得： ；
故答案为： 或5．
【点睛】此题考查了平行四边形的判定；注意掌握分类讨论思想、数形结合思想与方程思想的应用是解题
的关键．
三、解答题（17、18、20、21、27、28题各5分，19、23、24、25、26各6分，22题8分．
共68分）
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17. 计算：
【答案】
【解析】
【分析】先化简二次根式，再根据二次根式的加减计算法则求解即可．
【详解】解：
．
【点睛】本题主要考查了二次根式的加减计算，二次根式的化简，熟知二次根式的相关计算法则是解题的
关键．
18. 计算： ．
【答案】
【解析】
【分析】先利用二次根式的性质进行化简，然后进行混合运算即可．
【详解】解：原式 ．
【点睛】本题考查了二次根式的性质，二次根式的混合运算．解题的关键在于熟练掌握二次根式的性质与
混合运算的法则．
19. 若 ，求 的值．
【答案】6
【解析】
【分析】先计算a+b，ab，根据 ，代入计算即可．
【详解】∵ ，
∴ ，
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∴
=
=6．
【点睛】本题考查了条件型的化简求值，二次根式的性质，完全平方公式的变形计算，熟练掌握公式的变
形是解题的关键．
20. 如图，在▱ABCD中，DE⊥AB，BF⊥CD，垂足分别为E，F．求证：BE＝DF．
【答案】见解析.
【解析】
【分析】由平行四边形的对边平行得到DC与AB平行，得到∠CDE为直角，利用三个角为直角的四边形
为矩形即可得证．
【详解】证明∵四边形ABCD为平行四边形，
∴CD∥AB，
∴∠CDE+∠DEB＝180°，
∵DE⊥AB，BF⊥CD，
∴∠CDE＝90°，
∴∠CDE＝∠DEB＝∠BFD＝90°，
则四边形BFDE为矩形，
∴BE＝DF．
【点睛】此题考查了矩形的判定，以及平行四边形的性质，熟练掌握矩形的判定方法是解本题的关键．
21. 下面是小明设计“过三角形的一个顶点作该顶点对边的平行线”的尺规作图过程．
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已知：如图1， ．
求作：直线 ，使 ．
作法：如图2，①分别以点A、C为圆心，以大于 为半径作弧，两弧交于点上E、F；
②作直线 ，交 于点O；
③作射线 ，在射线 上截取 （B与D不重合），使得 ；
④作直线 ，∴直线 就是所求作平行线．
根据小明设计的尺规作图过程，完成下面的填空和证明．
（1）直线 和线段 的关系是：___________
（2）证明：连接 ．
∵ ， ，
∴四边形 是平行四边形（ ）（填推理依据）．
∴ （ ）（填推理依据）．
【答案】（1） 垂直平分
（2）对角线互相平分的四边形是平行四边形；平行四边形的对边平行
【解析】
【分析】（1）根据作图过程分析可得 垂直平分 ；
（2）根据平行四边形的判定和性质定理依次解答．
【小问1详解】
解：根据小明设计的尺规作图过程，直线 和线段 的关系是： 垂直平分 ，
故答案为： 垂直平分 ；
【小问2详解】
证明：连接 ．
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∵ ， ，
∴四边形 是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形）．
∴ （平行四边形的对边平行）．
故答案为：对角线互相平分的四边形是平行四边形；平行四边形的对边平行．
【点睛】此题考查了作线段的垂直平分线，平行四边形的判定和性质定理，熟练掌握基本作图及平行四边
形的判定和性质定理是解题的关键．
22. 在 ， ， ， 的对边分别为 ， ， ， ，
（1）如果 ， ，求 、 的长度；
（2）如果 ， ，求 、 的长度；
【答案】（1）
（2） ，
【解析】
【分析】（1）根据 求出 ，再根据勾股定理求出b；
（2）求出 ，利用勾股定理列方程求出a，b的长度．
【小问1详解】
解：在 ， ， ， ，
∴ ，
∴ ；
【小问2详解】
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在 ， ， ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】此题考查了勾股定理，直角三角形30度角的性质，熟记勾股定理的计算是解题的关键．
23. 如图，在平行四边形 中，点E，F分别在 上，且 求证：
（1） ；
（2）四边形 是平行四边形．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
【解析】
【分析】（1）根据平行四边形的性质得到 ，即可根据 证明 ，
即可得到结论；
（2）由四边形 是平行四边形，得到 ， ，推出 ，即可证得四边形
是平行四边形．
【小问1详解】
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证明：∵四边形 是平行四边形，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
【小问2详解】
∵四边形 是平行四边形，
∴ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴四边形 是平行四边形．
【点睛】此题考查了平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握各判定和性质定理是
解题的关键．
24. 如图，平行四边形 的对角线 与 交于点O．若 ， ， ，求
以及 和 之间的距离．
【答案】 ， ， 和 之间的距离为
【解析】
【分析】先根据平行四边形的性质得到 ， ，再利用勾股定理求出
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，得到 ，即可利用勾股定理求出 ，则 ，最后利用等面积法求出
和 之间的距离即可．
【详解】解：∵四边形 是平行四边形，
∴ ， ，
∵ ，
∴由勾股定理得 ，
∴ ，
在 中，由勾股定理得 ，
∴ ；
设 和 之间的距离为h，
∵ ，
∴ ．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，勾股定理，熟知平行四边形的性质是解题的关键．
25. 如图，每个小正方形的边长都为1，
（1）填空 ___________； ___________
（2） 是直角吗？如果是，请证明，如果不是请说明理由．
（3）直接写出点D到 的距离．
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【答案】（1） ，
（2） 是直角，证明见解析
（3）
【解析】
【分析】（1）利用勾股定理求解即可；
（2）利用勾股定理得逆定理进行求解即可；
（3）利用割补法求出 的面积，再用等面积法求解即可．
【小问1详解】
解：由题意得， ， ，
故答案为： ， ；
【小问2详解】
解： 是直角，证明如下：
由题意得 ， ，
∵ ，
∴ 是直角三角形，即 ，
∴ 是直角；
【小问3详解】
解：设点D到 的距离为 ，
由题意得： ，
∴ ，
∴ ，
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∴ ，
∴点D到 的距离为 ．
【点睛】本题主要考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，分母有理化，熟知勾股定理和勾股定理得逆定理
是解题的关键．
26. 如图，在△ABC 中，∠ABC=90°，在边 AC 上截取 AD=AB，连接 BD，过点 A 作 AE⊥BD 于点
E，F 是边 BC 的中点，连接 EF . 若 AB＝5，BC＝12，求 EF 的长度.
【答案】4
【解析】
【分析】根据等腰三角形三线合一，得出点E是线段BD的中点，结合点F为线段BC的中点，进而得出
线段EF是△BCD的中位线，从而得出EF的长度．
【详解】解：∵在△ABD中，AB=AD，AE⊥BD，
∴BE=ED，即点E是线段BD的中点，
又∵点F是线段BC的中点，
∴EF是△BCD的中位线，
∴EF= DC
∵在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB＝5，BC＝12，
∴AC= ，
又∵AD=AB=5，
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∴DC=AC-AD=13-5=8，
∴EF= DC=4
【点睛】本题考查了等腰三角形三线合一，勾股定理，三角形的中位线等知识，掌握三角形中位线的性质
是解题的关键．
27. 如图，在 中， ，M为边 上一点，且 ，N为边B一点，且 ，
连接 交于点P，试猜想 的度数，并证明你的猜想．
【答案】猜想 ，证明见解析
【解析】
【分析】如图所示，过点M作 使得 ，则可证四边形 是平行四边形，得到
， ，再证明 ，得到 ，
，进而证明 是等腰直角三角形，即 ，再由 ，即可得到
．
【详解】解：猜想 ，证明如下：
如图所示，过点M作 使得 ，
∵ ，即 ，
∴ ，
∴四边形 是平行四边形，
∴ ， ，
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∵ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ 是等腰直角三角形，即 ，
∵ ，
∴ ．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，等腰直角三角形的性质与
判定等等，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．
28. 对于平面直角坐标系 中的图形M、N，给出如下定义：P为图形M上任意一点，Q为图形N上任
意一点，如果P、Q两点间的距离有最小值，那么称这个最小值为图形M，N间的“近距离”，记作
．在 中，点 ， ， ， ，如图1．
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（1）直接写出 （点O， ） ___________．
（2）若点P在y轴正半轴上，d（点P， ） ，求点P坐标；
（3）已知点 、 、 、 ，顺次连接点E、F、H、G，将得到的四边形记为图
形W（包括边界）．在图2中画出图形W，直接写出 （W， ）的值．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）过点O作 于点T，由 ， ，得到 ，求出
，即可得到答案；
（2）过点P作 于点H，设 交y轴于点Q，得到 ，利用 ，利用勾股定
理求出 ，得到 即可；
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（3）过点 H 作 于点 J，延长 交 于点 K，由 ，得到 ，求出
，根据等腰直角三角形的性质得到 即可．
【小问1详解】
解：过点O作 于点T，
∵点 ， ， ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴
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∴ （点O， ）
故答案为 ；
【小问2详解】
如图1中，过点P作 于点H，
设 交y轴于点Q，
∵d（点P， ） ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ；
【小问3详解】
图形W如图2，过点H作 于点J，延长 交 于点K，
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∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
在 中， ，
∴ ，
∴
∴ （W， ） ．
【点睛】此题考查了新定义，勾股定理，等腰直角三角形的性质，正确理解新定义解决问题是解题的关键．
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