文档内容
2022—2023 学年度第一学期北京师大附中初三数学阶段性练习
一、选择（本题共24分，每题3分）
1. 下列方程中，是一元二次方程的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据一元二次方程的定义进行解答．
【详解】解：A、 ，是一元二次方程，符合题意；
B、 不是一元二次方程，不符合题意；
C、 ，未知数x的最高次数不是2次，所以该方程不是一元二次方程，不符合题意；
D、 不是整式方程，所以不是一元二次方程，不符合题意．
故选：A．
【点睛】本题考查了一元二次方程的概念．只有一个未知数且未知数最高次数为 2的整式方程叫做一元二
次方程，一般形式是 （且 ）．特别要注意 的条件．这是在做题过程中容易忽
视的知识点．
2. 抛物线 的顶点坐标是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】直接根据顶点式的特点写出顶点坐标．
【详解】∵ 为抛物线的顶点式，
∴根据顶点式 的坐标特点可知，顶点坐标为 ；
故答案为：C．【点睛】主要考查了求抛物线的顶点坐标，掌握抛物线顶点式的特点是解题的关键.
3. 将抛物线 先向左平移2个单位，再向上平移3个单位后，得到（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】直接利用抛物线平移规律：“上加下减，左加右减”，进而得出平移后的解析式．
【详解】解：抛物线 向左平移2个单位．再向上平移3个单位，
∴平移后的抛物线解析式为 ．
故选：A．
【点睛】本题考查了二次函数图象的平移变换，是基础题，掌握平移规律“左加右减，上加下减”是解题
的关键．
4. 方程 的根的情况是（ ）
A. 方程有两个不相等的实数根 B. 方程有两个相等的实数根
C. 方程没有实数根 D. 无法确定
【答案】C
【解析】
【分析】求出一元二次方程根的判别式的值，即可作出判断．
【详解】解：一元二次方程 ，
∵ ，
∴方程没有实数根．
故选：C．
【点睛】此题考查了根的判别式，一元二次方程 （ ），当 ＞0时，方程有
两个不相等的实数根；当 ＜0时，方程没有实数根；当 =0时，方程有两个相等的实数根，
反之也成立．5. 市政府为了解决市民看病难的问题，决定下调药品的价格．某种药品经过连续两次降价后，由每盒200
元下调至162元，设这种药品平均每次降价的百分率为x，则可列方程（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据题意直接列出方程即可．
【详解】解：设这种药品平均每次降价的百分率为 x，第一次降价后的价格为 ；第二次降价后
的价格为 ，
即 ，
故选：A．
【点睛】题目主要考查一元二次方程的应用，理解题意是解题关键．
6. 二次函数 （ ）的图象是抛物线G，自变量x与函数y的部分对应值如下表：
﹣ ﹣
x … ﹣5 ﹣3 ﹣1 0 …
4 2
﹣
y … 4 0 ﹣2 0 4 …
2
下列说法正确的是（ ）
A. 抛物线G的开口向下
B. 抛物线G的对称轴是直线
C. 抛物线G与y轴的交点坐标为(0，4)
D. 当x＞﹣3时，y随x的增大而增大
【答案】C
【解析】
【分析】由表格信息，及二次函数图象的对称性可得抛物线的对称轴，及与x、y轴的交点，继而判断抛物
线的开口方向及增减性．
【详解】由表中数据可得，抛物线与y轴交点为： ，故C正确；x轴的交点坐标为： ，因此可得抛物线的对称轴为 ，故B错误；
由上可知，抛物线开口向上，故A错误；
当 时，y随x的增大而增大，当 时，y随x的增大而减小，故D错误，
故选：C．
【点睛】本题考查二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征等知识，是重要考点，难度较易，掌握
相关知识是解题关键．
7. 函数 与 在同一坐标系中的图象可能是（ ）
A. B. C.
D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据一次函数和二次函数图象与系数的关系解答．
【详解】解： 中，当 时， ；
中，当 时， ；
∴两个函数同时经过点 ，即与y轴的交点为同一个点，
∴由选项得只有D选项符合题意
故选：D．
【点睛】本题考查一次函数和二次函数的综合应用，熟练掌握一次函数和二次函数图象与系数的关系是解题关键．
8. 在平面直角坐标系xOy中，四条抛物线如图所示，其解析式中的二次项系数一定小于1的是（ ）
A. y B. y C. y D. y
1 2 3 4
【答案】A
【解析】
【分析】由图象的点的坐标，根据待定系数法求得解析式即可判定．
【详解】由图象可知：
抛物线y 的顶点为（-2，-2），与y轴的交点为（0，1），根据待定系数法求得y= （x+2）2-2；
1 1
的
抛物线y 顶点为（0，-1），与x轴的一个交点为（1，0），根据待定系数法求得y=x2-1；
2 2
抛物线y 的顶点为（1，1），与y轴的交点为（0，2），根据待定系数法求得y=（x-1）2+1；
3 3
抛物线y 的顶点为（1，-3），与y轴的交点为（0，-1），根据待定系数法求得y=2（x-1）2-3；
4 4
综上，解析式中的二次项系数一定小于1的是y
1
故选A．
【点睛】本题考查了二次函数的图象，二次函数的性质以及待定系数法求二次函数的解析式，根据点的坐
标求得解析式是解题的关键．
二、填空（本题共24分，每题3分）
9. 抛物线 与y轴的交点坐标是____________．
【答案】
【解析】
【分析】把 代入抛物线 ，即得抛物线 与 轴的交点坐标．
【详解】解：由题意得，当 时，抛物线 与 轴相交，把 代入 ，得 ，
∴抛物线 与 轴的交点坐标为 ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了二次函数，求抛物线与 轴 的交点坐标，令 代入抛物线是解题的关键．
10. 若x＝2是一元二次方程x2＋ax－6＝0的一个根，则a＝_________．
【答案】1
【解析】
【分析】把x＝2代入一元二次方程x2＋ax－6＝0即可解题．
【详解】解：把x＝2代入一元二次方程x2＋ax－6＝0得，
4+2a－6=0
解得a=1,
故答案为：1．
【点睛】本题考查一元二次方程的解，解一元一次方程等知识，是基础考点，掌握相关知识是解题关键．
11. 若抛物线 与x轴有公共点，则m的取值范围为___________.
【答案】
【解析】
【分析】抛物线 与x轴有公共点，也就是方程 有实数根，根据根的判别式
列式求解即可.
【详解】∵抛物线 与x轴有公共点，
∴方程 有实数根，
∴∆=16-4m≥0，
∴ .
故答案为 .
【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点与一元二次方程根的关系；熟记抛物线与x轴的交点个数和一元
二次方程根的关系是解决问题的关键．当二次函数与x轴有一个交点时，则对应的一元二次方程有两个相
等的实数根；当二次函数与x轴有两个交点时，则对应的一元二次方程有两个不相等的实数根；当二次函数与x轴没有交点时，则对应的一元二次方程没有实数根.
12. 如果 是方程 的一个根，求 的值____________．
【答案】9
【解析】
【分析】首先将已知方程的根代入方程求得a、b的和，然后将代数式化简求值即可．
【详解】解：∵ 是方程 的一个根，
∴ ，
∴ ，
故答案为9．
【点睛】此题考查一元二次方程的解及求代数式的值，解题关键在于求得a、b的和．
13. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线 经过平移得到抛物线 ，其对称轴与两段抛
物线所围成的阴影部分的面积是_______
【答案】4
【解析】
【分析】确定出抛物线 的顶点坐标，然后求出抛物线的对称轴与原抛物线的交点坐标，从而
判断出阴影部分的面积等于三角形的面积，再根据三角形的面积公式列式计算即可得解．
【详解】∵ ，
∴平移后抛物线的顶点坐标为（2，−2），对称轴为直线x＝2，当x＝2时， ，
∴平移后阴影部分的面积等于如图三角形的面积，
×（2＋2）×2＝4，
故填：4．
【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换，确定出与阴影部分面积相等的三角形是解题的关键．
14. 如图，抛物线 与直线 相交于点 ， ，则关于 的方程
的解为_______________ .
【答案】x ＝﹣3，x ＝1
1 2
【解析】
【分析】关于x的方程ax2+bx=mx+n的解为抛物线y=ax2+bx与直线y=mx+n交点的横坐标，由此即可得到
答案．
【详解】∵抛物线y=ax2+bx与直线y=mx+n相交于点A（﹣3，﹣6），B（1，﹣2），∴关于x的方程
ax2+bx=mx+n的解为x=﹣3，x=1．
1 2
故答案为x=﹣3，x=1．
1 2
【点睛】本题考查了抛物线与直线的交点问题：把求二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化解关于x的一元二次方程即可求得交点横坐标．也考查了二次函数的性质．
15. 二次函数 的图象如图所示，则下列结论，其中正确的个数是____________个．
① ；② ；③ ；④ ．
【答案】②③④
【解析】
【分析】根据函数图象得出 ， ， ，然后结合函数图象依次判断即可得出结果．
【详解】解：根据函数图象得，
∵开口向上，
∴ ，
∵与y轴的交点在负半轴，
∴ ，
∵对称轴为 ，
∴ ，
∴ ，故①错误，不符合题意；
由图象可得：当 时， ，即 ，
∵ ，
∴ ，故②正确，符合题意；
由函数图象得抛物线与坐标轴有两个交点，∴ ，故③正确，符合题意；
由图象得，抛物线与x轴的交点坐标在 与 之间，对称轴为 ，
另一个交点坐标在3与4之间，
∴当 时， ，
即 ，故④正确，符合题意；
综上可得：②③④正确，
故答案为：②③④．
【点睛】题目主要考查二次函数的基本性质及图象，根据图象得出二次函数的基本性质再结合图象进行判
断是解题关键．
16. 如图1，在 ABC中，AB>AC，D是边BC上的动点．设B，D两点之间的距离为x，A，D两点之间的
距离为y， 表示△ y与x的函数关系的图象如图2所示．线段AC的长为_________________，线段AB的长
为____________．
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】从图象看，当x=1时，y= ，即BD=1时，AD= ，当x=7时，y= ，即BD=7时，C、D
重合，此时y=AD=AC= ，则CD=6，即当BD=1时， ADC为以点A为顶点腰长为 的等腰三角形，
△
进而求解．
【详解】解：从图象看，当x=1时，y= ，
即BD=1时，AD= ，当x=7时，y= ，即BD=7时，C、D重合，
此时y=AD=AC= ，则CD=6，
即当BD=1时， ADC为以点A为顶点腰长为 的等腰三角形，如下图：
△
过点A作AH⊥BC于点H，
在Rt ACH中， ，
△
则 ，
在Rt ABH中， ，
△
故答案为： ， ．
【点睛】本题考查的是动点问题的函数图象，解题的关键是：弄清楚不同时间段，图象和图形的对应关系，
进而求解．
三、解答题（本题共52分）
17. 解方程：
（1） ；
（2） ；
（3） ；
（4） ．
【答案】（1） ，
（2） ，（3） ，
（4） ，
【解析】
【分析】（1）将方程整理，然后运用直接开方法求解即可；
（2）运用因式分解法求解方程即可；
（3）运用公式法求解方程即可；
（4）运用因式分解法解方程即可．
【小问1详解】
解：
∴ ，
∴ ， ；
【小问2详解】
∴ ， ；
【小问3详解】
其中a=1，b=2，c=-1，
，
，∴ ， ；
【小问4详解】
，
∴ ， ．
【点睛】题目主要考查解一元二次方程，熟练掌握直接开方法、因式分解法及公式法是解题关键．
18. 已知二次函数 ．
（1）将其化为 的形式____________；
（2）求抛物线的顶点坐标____________；
（3）求图象与y轴的交点坐标____________；
（4）求图象与x轴的交点坐标____________；
（5）画出函数图象；
（6）求顶点及图象与x轴两交点围成的三角形面积____________；
（7）当 时，x的取值范围是____________；
（8）当 时，y的取值范围是____________．
【答案】（1）（2）
（3）
（4） ，
（5）见解析 （6）8
（7） 或
（8）
【解析】
【分析】（1）将二次函数直接化为顶点式即可；
（2）由（1）中顶点式即可确定顶点坐标；
（3）令x=0得出y的值即可确定与y轴的交点坐标；
（4）令y=0，求解一元二次方程即可确定与x轴的交点坐标；
（5）由得出关键点在坐标系中描出，然后用光滑的曲线连接即可；
（6）根据图象得出 ，然后利用三角形面积公式求解即可；
（7）直接根据函数图象即可得出结果；
（8）先求出 时的函数值，然后根据函数图象即可得出结果．
【小问1详解】
解： ，
∴ ，
故答案为： ；
【小问2详解】
由（1）得抛物线的顶点坐标为 ，
故答案为：
【小问3详解】
当 时， ，∴图象与y轴的交点坐标为 ，
故答案为： ；
【小问4详解】
当 时，
，
解得： ， ，
∴图象与x轴的交点坐标为 ， ，
故答案为： ， ；
【小问5详解】
函数图象如图所示：
【小问6详解】
设图象与x轴的交点坐标分别为D、E，顶点坐标为点C，
∴ ，
∴顶点及图象与x轴两交点围成的三角形为 ，面积为： ，
故答案为：8；
【小问7详解】
结合函数图象得：当 时， 或 ，
故答案为： 或 ；
【小问8详解】
当 时， ，
当 时， ，
故答案为： ．
【点睛】题目主要考查二次函数的基本性质及图象，利用图象求不等式的解集等，理解题意，熟练掌握二
次函数的性质是解题关键．
19. 若m是方程 的一个根，求代数式 的值．
【答案】
【解析】
【分析】根据 是方程 的一个根，可得 ，然后将 变形代入计算即
可．
【详解】解：根据题意，得 ，则 ，
即 ，
则．
【点睛】本题考查一元二次方程的根及整式的化简求值，根据题意适当变形是解本题的关键．
20. 已知关于x的一元二次方程x2－（m＋3）x＋m＋2＝0
（1）求证：方程总有两个实数根；
（2）若方程两个根的绝对值相等，求此时m的值．
【答案】（1）见解析；（2）-3或-1
【解析】
【分析】（1）先求出判别式△的值，再对“△”利用完全平方公式变形即可证明；
（2）根据求根公式得出x=m+2，x=1，再由方程两个根的绝对值相等即可求出m的值．
1 2
【详解】解：（1）∵ ，
∴方程总有两个实数根；
（2）∵ ，
∴ ， .
∵方程两个根的绝对值相等，
∴ .
∴ 或-1.
【点睛】本题考查的是根的判别式及解一元二次方程，在解答（2）时得到方程的两个根是解题的关键．
21. 某商店经销一种健身球，已知这种健身球的成本价为每个20元，市场调查发现，该种健身球每天的销
售量y（个）与销售单价x（元）有如下关系： ，设这种健身球每天的销售利
润为w元．
（1）如果销售单价定为25元，那么健身球每天的销售量是____________个；
（2）求w与x之间的函数关系式；
（3）该种健身球销售单价定为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？
【答案】（1）30 （2）
（3）该种健身球销售单价定为30元时，每天的销售利润最大，最大利润是200元【解析】
【分析】（1）将销售单价25元代入 即可得答案；
（2）根据总利润=单价×销售量，列出w与x、y的函数关系式，再将 代入即可；
（3）将二次函数配方成顶点式，即可解题．
【小问1详解】
解：将销售单价 代入 ，得 ，
∴如果销售单价定为25元，那么健身球每天的销售量是30个；
【小问2详解】
，
∴w与x的函数关系式为： ；
【小问3详解】
，
∵ ，
∴当 时，w有最大值，w最大值为200，
∴销售单价定为30元时，每天销售利润最大，最大销售利润200元．
【点睛】本题考查了二次函数的应用，解题的关键是理解题意，找到题目蕴含的相等关系，并据此得出函
数解析式及二次函数的性质．
22. 在平面直角坐标系 中，抛物线 的顶点在x轴上，若 ，
是此抛物线上的两点．
（1）若 ，①当 时，求 ， 的值；
②将抛物线沿y轴平移，使得它与x轴的两个交点间的距离为4，求平移后抛物线的解析式；
（2）若存在实数c，使得 ，且 成立，则m的取值范围是____________．
【答案】（1）①x＝0，x＝2；②
1 2
（2）
【解析】
【分析】（1）由抛物线顶点在x轴上，即可得出 ，当a＝1时，b＝1，由此可得出抛物线的解析式
为 ．①由 ，可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出 、x 的值；②设平移
2
后的抛物线为 ，由平移后的抛物线与x轴的两个交点的距离为4，可得出（3，0）是平移
后的抛物线与x轴的一个交点，将其代入 即可求出结论；
（2）解 可得出PQ＝ ，由x 、x 的范围可得出关于m的不等式，解之即可得出m
1 2
的取值范围．
【小问1详解】
解：∵抛物线 的顶点在x轴上，
∴ ，
∴ ．
∵a＝1，
∴b＝1，
∴抛物线 的解析式为 、．
①∵m＝b＝1，
∴ ，解得：x＝0，x＝2．
1 2
②设平移后的抛物线为 ．
∵抛物线的对称轴是直线x＝1，平移后与x轴的两个交点之间的距离是4，
∴（3，0）是平移后的抛物线与x轴的一个交点，
∴ ，即k＝﹣4，
∴平移后的抛物线方程为 ；
【
小问2详解】
解：∵ ，
解得： ， ，
∴ ．
又 ， ，
∴ ，
∴ ．
故答案为 ．
【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点、二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征以及二次函数
图象与几何变换，解题的关键是：（1）①通过解一元二次方程求出x、x 的值；②利用二次函数图象上点
1 2
的坐标特征求出k值；（2）通过解方程求出 ．
