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2021－2022 学年北京市西城区鲁迅中学
七年级（上）期中数学试卷
一、选择题：本大题共10小题，每小题2分，共20分．在每小题的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的．
1. 在5， ，0.56， ，0.001， 这六个数中，分数有（ ）
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
【答案】D
【解析】
【分析】根据分数的有关定义求解即可，分数包括正分数和负分数，有限小数和无限循环小数都是分数．
【详解】解：在5， ，0.56， ，0.001， 这六个数中，
分数有 ，0.56，0.001， ，共4个．
故选：D．
【点睛】此题考查了分数 的概念，解题的关键是掌握分数的有关概念．
2. 一年之中地球与太阳之间的距离随时间而变化，1个天文单位是地球与太阳之间的平均距离，即
149600000千米．则用科学记数法表示1个天文单位是（ ）千米．
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变
成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．
【详解】解：将149600000用科学记数法表示为： ．
故选： ．
【点睛】本题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为
整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
3. 下列说法正确的是（ ）A. 符号相反的两个数互为相反数
B. 一个数的绝对值越大，表示它的点在数轴上越靠右
C. 一个数的绝对值越大，表示它的点在数轴上离原点越近
D. 当 时， 总是大于0
【答案】D
【解析】
【分析】利用有理数中相反数的定义，绝对值的定义，数轴的表示方法，即可进行本题的求解．
【详解】解： 、符号相反的两个数互为相反数，例如，3与 不是相反数，错误；
、一个数的绝对值越大，表示它的点在数轴上离原点越远，不一定越靠右，错误；
、一个数的绝对值越大，表示它的点在数轴上离原点越远，错误；
、 ，不论 为正数还是负数， 都大于0，正确．
故选：D．
【点睛】本题主要考察的是有理数章节中的基础定义，熟练掌握定义并进行应用是解题的关键．
4. 下列各式错误的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据有理数的乘方分别计算各选项，即可得出答案．
【详解】解：A选项，（-2）2=4＞0，正确，故该选项不符合题意；
B选项，22=4，（-2）2=4，相等，故该选项不符合题意；
C选项，22=4，-22=-4，不相等，故该选项符合题意；
D选项，（-3）3=-27，-33=-27，相等，故该选项不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了有理数的乘方，明确（-2）2与-22底数的不同是解题的关键．
5. 下列运算正确的是（ ）
A. 2x2-x2=2 B. 5xy-4xy=xy
C. 5c2+5d2=5c2d2 D. 2m2+3m3=5m5
【答案】B
【解析】
【分析】根据同类项的概念和合并同类项的方法判断，合并即可．【详解】解：A、 ，故本项错误；
B、 ，故本项正确；
C、 不能合并，故本项错误；
D、 不能合并，故本项错误；
故选：B．
【点睛】本题主要考查了同类项的概念和合并的方法，正确理解同类项的概念是解决问题的关键．
6. 设 为有理数，若 ，则（ ）
A. 为正数 B. 为负数 C. 为非正数 D. 为非负数
【答案】B
【解析】
【分析】根据 ，若要满足 ，则 ，由此即可得到答案
【详解】解：根据绝对值的非负性可知： ，若要满足 ，则 ，即 必为负数．
故选B．
【点睛】本题主要考查了绝对值的非负性，解题的关键在于能够熟练掌握绝对值的非负性．
7. 下列变形正确的是( )
A. 4x﹣5＝3x+2变形得 4x﹣3x＝2﹣5
B. 变形得x＝1
C. 3(x﹣1)＝2(x+3)变形得3x﹣1＝2x+6
D. 变形得3x＝15
【答案】D
【解析】
【分析】利用去括号，移项，合并同类项，不等式的性质对四个选项逐一分析，即可得出答案．
【详解】解：选项A，4x﹣5＝3x+2变形得 4x﹣3x＝2+5，
﹣5从左边移项到右边要变号，而选项A没变号，
∴选项A错误，故选项A不符合题意；选项B，方程两边同时乘以 ，而选项B方程左边乘以 ，右边乘以 ，
不满足不等式的性质2，
∴选项B错误，故选项B不符合题意；
选项C，去括号得，3（x﹣1）＝2（x+3）变形得，3x﹣3＝2x+6，
而去括号时，左边的﹣1没乘以3，
∴选项C错误，故选项C不符合题意；
选项D，去分母得，5（x﹣1）﹣2x＝10，去括号得，5x﹣5﹣2x＝10，
移项得，5x﹣2x＝10+5，合并同类项得，3x＝15，
∴选项D正确，符合题意．
故选D．
【点睛】此题主要考查了解一元一次方程，涉及到不等式的性质，去括号，移项，合并同类项，解本题
的关键不等式的性质，去括号，移项，合并同类项法则．
8. 当式子 取最小值时， 等于（ ）
A. 2 B. C. 0.5 D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据非负数的性质解答即可．
【详解】解： ，
时，式子 取最小值，
．
故选： ．
【点睛】本题考查了非负数 的性质，掌握一个数的偶次方是非负数是解题的关键．
9. 已知代数式 的值为9，则 的值为（ ）
A. 3 B. 24 C. 18 D. 12
【答案】D
【解析】
【分析】将原式变形即可得出答案．【详解】∵代数式3x2﹣4x的值为9，∴3x2﹣4x＝9，则6x2﹣8x﹣6＝2（3x2﹣4x）﹣6＝2×9﹣6＝12．
故选D．
【点睛】本题考查了代数式求值，正确应用已知条件是解题的关键．
10. 将一刻度尺按如图所示放在数轴上(数轴的单位长度是1 cm)，刻度尺上的“0 cm”和“15 cm”分别对
应数轴上的-3.6和x，则( )．
A. 9<x<10 B. 10<x<11 C. 11<x<12 D. 12<x<13
【答案】C
【解析】
【详解】解：根据数轴可知：x-（-3.6）=15-0，
解得x=11.4．
故选：C．
二、填空题：本大题共10小题，每小题2分，共20分．
11. 比较大小：（1） ______ （2） _____
【答案】 ①. ； ②. ．
【解析】
【分析】（1）根据正数和负数比较大小的法则进行比较；
（2）根据负数的特点进行比较；
【详解】（1）根据有理数比较大小的方法，可得
故答案为：
（2）根据有理数比较大小的方法，可得
故答案为：
【点睛】有理数比较大小与实数比较大小相同．（1）正数都大于0，负数都小于0，正数大于一切负数；
（2）两个负数，绝对值大的反而小．
12. 在数轴上的点A表示的数是﹣3，则与点A相距4个单位长度的点表示的数是_______．
【答案】1或﹣7##-7或1【解析】
【分析】此类题注意两种情况：要求的点可以在已知点 的左侧或右侧．
【详解】解：若点 在 右侧，则点 为1，
若点 在 左侧，则点 为 ，
则与点 相距4个单位长度的点表示的数是1或 ，
故答案是：1或﹣7．
【点睛】本题考查了数轴上两点的距离，解题的关键是掌握点在已知点的左侧时，用减法；要求的点在已
知点的右侧时，用加法．
13. 1.804精确到百分位的结果是__；3.8963精确到0.1的结果是__．
【答案】 ①. 1.80 ②. 3.9
【解析】
【分析】要求精确到某一位，应当对下一位的数字进行四舍五入．
【详解】解：1.804精确到百分位的结果是1.80；
3.8963精确到0.1的结果是3.9；
故答案为：1.80，3.9；
【点睛】本题考查了近似数与精确度，熟练掌握精确度的定义是解答本题的关键．
14. 单项式 的系数是__，次数是__．
【答案】 ①. -3 ②. 5
【解析】
【分析】根据单项式次数和系数 的定义进行求解即可．
【详解】解：单项式 的系数是： ，次数是 ．
故答案为： ，5．
【点睛】本题主要考查了单项式的次数、系数的定义，解题的关键在于能够熟知相关定义：表示数或字母
的积的式子叫做单项式，单独的一个数或一个字母也是单项式，单项式中数字因数叫做这个单项式的系数，
所有字母的指数之和叫做单项式的次数．
15. 两片棉田，一片有 公顷，平均每公顷产棉花 千克；另一片有 公顷，平均每公顷产棉花 千克，
则用式子表示两片棉田上棉花的总产量为__千克．
【答案】（am+bn）##（bn+am）【解析】
【分析】根据一片有m公顷，平均每公顷产棉花a千克；另一片有n公顷，平均每公顷产棉花b千克，可
以得到两片棉田上棉花的总产量，本题得以解决．
【详解】解：∵一片有m公顷，平均每公顷产棉花a千克；另一片有n公顷，平均每公顷产棉花b千克，
∴两片棉田上棉花的总产量为：（am+bn）千克，
故答案为：（am+bn）．
【点睛】本题考查列代数式，解题的关键是明确题意，列出相应的代数式．
16. 若 与m互为相反数，则 ________．
【答案】3
【解析】
【分析】根据题意列方程，解方程即可求解．
【详解】解：因为 与m互为相反数，
所以 ，
解得 ．
故答案为：3
【点睛】本题考查了相反数意义，一元一次方程的解法，根据相反数的意义列出一元一次方程是解题关键．
17. 若代数式3a5bm与﹣2anb2是同类项，那么m=_____，n=_____．
【答案】 ①. m=2 ②. n=5．
【解析】
【分析】根据同类项的定义可知同类项的字母相同，相同字母的指数也相同即可得答案.
【详解】∵代数式3a5bm与﹣2anb2是同类项，
∴n=5；m=2，
故答案为(1)m=2； (2) n=5．
【点睛】本题考查同类项的定义：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项，熟记同类
项的定义是解题关键.
18. 若多项式x2－2kxy＋y2＋6xy－6不含xy的项，则k＝________．
【答案】3
【解析】
【分析】先合并同类项，令xy的系数为零，求解即可．
【详解】∵ －2kxy＋ ＋6xy－6= +（6-2k）xy＋ －6，且多项式 －2kxy＋ ＋6xy－6不含xy的
项，∴6-2k=0，
∴k=3，
故答案为：3．
【点睛】本题考查了多项式的不含有项的问题，熟练掌握合并同类项，令系数为零是解题的关键．
19. 已知 是关于 的方程 的解，则 的值是__．
【答案】
【解析】
【分析】把 代入方程，求得 ，然后整体代入计算即可．
【详解】解：把 代入方程 得：
，
解得： ，
所以 ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了一元一次方程的解和整体代入思想，解此题的一般思路是“见解代入”，把已知的解
代入原方程即可．
20. 下列图案由边长相等的黑、白两色正方形按一定规律拼接而成，依此规律，第10个图形中白色正方形
的个数为__，第n个图形中白色正方形的个数为__．（用含n的式子表示）
【答案】 ①. 32 ②. 3n+2##2+3n
【解析】
【分析】根据图形的变化规律得出每个图形都比前一个多3个白色正方形，归纳出第n个图形有3n+2个白
色正方形即可．
【详解】解：由题知，
第1个图形中白色正方形的个数为5=3+2，第2个图形中白色正方形的个数为8=3×2+2，
第3个图形中白色正方形的个数为11=3×3+2，
…，
第10个图形中白色正方形的个数为3×10+2=32，
…，
第n个图形中白色正方形的个数为3n+2，
故答案为：32，3n+2．
【点睛】本题主要考查了图形的变化规律，根据图形的变化归纳出第n个图形有3n+2个白色正方形是解题
的关键．
三、解答题：第21、22、24题中每小题24分，23题5分，共45分．
21. 计算：
（1） ；
（2） ；
（3） ；
（4） ；
（5） ；
（6） ．
【答案】（1）-21；（2）-16；（3）-4；（4） ；（5）-2；（6）
【解析】
为
【分析】（1）将减法化 加法，根据加法法则解答；
（2）先同时计算乘法和除法，再计算加减法；
（3）根据乘法分配律解答；
（4）将除法化为乘法，根据乘法法则解答；
（5）先计算乘方，再计算加减法；
（6）先计算乘方、小括号，再计算乘法，最后计算加减法．【详解】解：（1）原式
；
（2）原式
；
（3）原式
；
（4）原式
；
（5）原式
；
（6）原式
．
【点睛】此题考查了有理数的计算，正确掌握有理数减法法则，乘法分配律，含乘方的有理数混合运算法
则，乘除法法则是解题的关键．
22. 化简下列各式：
（1）化简： ；（2）化简： ．
【答案】（1） ；（2）
【解析】
【分析】（1）先去括号，再合并同类项即可；
（2）原式合并同类项化简即可．
【详解】解：（1）
；
（2）
．
【点睛】本题考查了合并同类项以及去括号法则，熟练掌握运算法则是解题的关键．注意同类项的条件有
两个：1、所含的字母相同；2、相同字母的指数也分别相同．
23. 先化简： ，再求当 ， 的值．
【答案】 ，
【解析】
【分析】原式先去括号，再合并同类项化成最简，最后把x、y的值代入计算即可．
【详解】解：原式 ，
当 ， 时，原式 ．
【点睛】本题考查了整式的加减—化简求值，熟练掌握运算法则是解题的关键．
24. 解关于 的方程：
（1） ；（2） ．
【答案】（1） ；（2）
【解析】
【分析】（1）先移项、合并同类项，再系数化为1求解；
（2）先去分母，再移项、合并同类项、系数化为1求解．
【详解】解：（1）移项合并同类项得： ，
解得： ；
（2）去分母得： ，
移项合并同类项得： ，
解得： ．
【点睛】此题考查了解一元一次方程，掌握解一元一次方程的方法和步骤是解题的关键．
四、解答题：25题5分，26题4分，27题6分，共15分．
25. （6分）有理数a，b在数轴上的对应点位置如图所示，且|a|=|c|．
（1）用“＜”连接这四个数：0，a，b，c；
（2）化简：|a+b|﹣2|a|﹣|b+c|．
【答案】（1） ；（2）0
【解析】
【分析】（1）根据数轴上点的位置判断即可；
（2）判断出绝对值里边式子的正负，利用绝对值的代数意义化简，去括号合并即可得到结果．
【详解】解：（1）根据数轴得： ；
（2）由图可知： ， 与 互为相反数，即 ，
∴原式= ．26. 阅读下面一段文字：
问题：0 能用分数表示吗？
.
探求：步骤①设x 0 ，
= .
步骤②10x 10×0 ，
= .
步骤③10x 8 ，
= .
步骤④10x 8 0 ，
= + .
步骤⑤10x 8 x，
步骤⑥9x =8，+
=
步骤⑦x ．
=
根据你对这段文字的理解，回答下列问题：
（1）步骤①到步骤②的依据是 ；
______
（2）仿照上述探求过程，请你尝试把0 表示成分数的形式．
.
【答案】（1）等式的基本性质2：等式两边都乘以或除以同一个数（除数不能为0），所得的等式仍然成
立；（2）见解析，
.
【解析】
【分析】(1)利用等式的基本性质得出答案；
(2)利用已知设x=0. ，进而得出100x=36+x，求出即可．
【详解】(1)步骤①到步骤②，等式的两边同时乘10，依据的是等式的基本性质2：等式两边都乘以或除以
同一个数(除数不能为0)，所得的等式仍然成立，
故答案为等式的基本性质2：等式两边都乘以或除以同一个数(除数不能为0)，所得的等式仍然成立；
(2)设x=0. ，
100x=100×0. ，100x=36. ，100x=36+ 0. ，
100x=36+x，
99x=36，
解得：x= ．
【点睛】本题主要考查了等式的基本性质以及一元一次方程的应用，根据题意得出正确等量关系是解题关
键．
27. 如图，已知数轴上三点M、O、N分别对应数-1、0、3，点P为数轴上任意一点，其对应数为x，
（1）MN的长为 ；
（2）若点P到点M、N的距离相等，则x的值为 ；
（3）若点P到点M、N的距离之和为8，请求出x的值；
（4）若点P以每分钟1个单位长度的速度从点O向左运动，同时点M和点N分别以每分钟2个单位长度
和每分钟3个单位长度的速度也向左运动．设t分钟时点P到点M和点N的距离相等，则t的值为
．
【答案】（1）4；（2）1；（3）-3或5；（4）4或
【解析】
【分析】（1）MN的长为3-（-1）=4，即可解答；
（2）根据题意列出关于x的方程，求出方程的解即可得到x的值；
（3）可分为点P在点M的左侧和点P在点N的右侧，点P在点M和点N之间三种情况计算；
（4）分别根据①当点M和点N在点P同侧时；②当点M和点N在点P异侧时，进行解答即可．
【详解】解：（1）MN的长为3-（-1）=4；
（2）根据题意得：x-（-1）=3-x，
解得：x=1；
（3）①当点P在点M的左侧时．
根据题意得：-1-x+3-x=8．
解得：x=-3．
②P在点M和点N之间时，则x-（-1）+3-x=8，方程无解，即点P不可能在点M和点N之间．
③点P在点N的右侧时，x-（-1）+x-3=8．解得：x=5．
∴x的值是-3或5；
（4）设运动t分钟时，点P到点M，点N的距离相等，即PM=PN．
点P对应的数是-t，点M对应的数是-1-2t，点N对应的数是3-3t．
①当点M和点N在点P同侧时，点M和点N重合，
所以-1-2t=3-3t，解得t=4，符合题意．
②当点M和点N在点P异侧时，点M位于点P的左侧，点N位于点P的右侧（因为三个点都向左运动，
出发时点M在点P左侧，且点M运动的速度大于点P的速度，所以点M永远位于点P的左侧），
故PM=-t-（-1-2t）=t+1．PN=（3-3t）-（-t）=3-2t．
所以t+1=3-2t，解得t= ，符合题意．
综上所述，t的值为 或4．
【点睛】此题主要考查了数轴的应用以及一元一次方程的应用，根据M，N位置的不同进行分类讨论得出
是解题关键．
五、附加题：第28题6分，29、30题每题7分，共20分．
28. 对于任意四个有理数 ， ， ， ，可以组成两个有理数对 与 ．我们规定： ★
．例如： ★ ．
根据上述规定解决下列问题：
（1）有理数对 ★ ；
（2）若有理数对 ★ ，则 ；
（3）当满足等式 ★ 的 是整数时，求整数 的值．
【答案】（1）﹣5；（2）1；（3） ， ， ， ．
【解析】
【分析】（1）结合题目的规定解答即可；
（2）结合题目的规定列出方程，解方程即可；
（3）结合题目的规定列出方程，化简为 ，由x为整数，可得 可取 和 ，即可求出k的值．
【详解】解：（1）根据题意得：原式 ；
故答案为： ；
（2）根据题意化简得： ，
移项合并得： ，
解得： ；
故答案为：1；
（3） 等式 ★ 的 是整数，
，
，
，
∵x是整数，
或 ，
， ， ， ．
【点睛】本题考查了解一元一次方程和新定义的题型，解题的关键是读懂题目给的计算方法并灵活运用．
29. 已知 ， ， ， 四个数， ，满足 ，其中 且为正整数．
（1）若 ．
①当 ， ，求 的值；
的
②给定有理数 ，满足 ，请用含 ， 式子表示 ；
（2）若 ， 且 ，求 的值．
【答案】（1）①3；② ；（2）5
【解析】
【分析】（1）根据绝对值的性质和a＜b＜c＜d的特点，去掉绝对值符号，代入所给的已知条件求出相应
的结论；（2）用（1）中的方法去掉绝对值符号，通过等式的变形得出关于n的一元一次方程，求出n的值．
【详解】解：（1） ，且 ，
，
，
．
①当 ， 时，则 ．
解得 ．
② ， ，
．
当 时，则 ，
，
当 时，则 ，
；
（2） ，且 ， ，
， ，
，
，
，
由（1）得 ，
解得 ．
【点睛】本题重点考查了绝对值的性质，解题关键是根据数的大小关系，去绝对值符号再进行等式的变形，
得出结论．30. 阅读理解：
材料一：对于一个四位正整数 ，如果千位数字与十位数字之和减去百位数字与个位数字之和的差是 的
倍数，则称这个四位数为“顺数”；
材料二：对于一个四位正整数 ，如果把各个数位上的数字重新排列，必将得到一个最大的四位数和一个
最小的四位数，把最大的四位数与最小的四位数的差叫做极差，记为 ．
例如 ：
， ，
是“顺数”， ．
（1）判断 与 是否是顺数，若是“顺数”，请求出它的极差；
（2）若一个十位数字为 ，百位数字为 的“顺数” 加上其个位数字的 倍能被 整除，且个位数字
小于 ，求满足的“顺数” 的极差 的值．
【答案】（1）1372不是“顺数”；9614是“顺数”，极差是8172；（2）8624，6174．
【解析】
【分析】（1）根据“顺数”的定义对 与 进行判断后，再求解即可；
（2）设出千位上的数字为x，个位上的数字为y，根据题意求出“顺数”，再进行解答即可．
【详解】解：（1）∵ ，3不是6的整倍数，
∴1372不是“顺数”；
∵ ， ，
∴9614是“顺数”
∴ ；
（2）设千位上的数字为x，个位上的数字为y，则四位数记为 ，
∵四位数 是“顺数”∴ 是6的倍数，
∵
∴
当y=0时，x=4，此时“顺数”为4620，但4620不能被 整除，故不符合题意；
当y=1时，x=5，此时“顺数”为5621，但5621+2=5623，5623不能被 整除，故不符合题意；
当y=2时，x=6，此时“顺数”为6622，但6622+4=6626，6626不能被 整除，故不符合题意；
当y=3时，x=7，此时“顺数”为7623，但7623+3=7629，7629不能被 整除，故不符合题意；
当y=4时，x=8，此时“顺数”为8624，8624+8=8632，8632÷13=664，符合题意；
∴
【点睛】此题主要考查了新定义，倍数问题，理解新定义是解本题的关键．
