文档内容
顺义区 2022-2023 学年度第一学期期末九年级教学质量检测
数学试卷
第一部分选择题
一、选择题（共16分，每题2分）
第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．
1. 中国高铁是一张亮丽的名片，中国成功建设世界上规模最大、现代化水平最高的高速铁路网，形成了具
有自主知识产权的世界先进高铁技术体系，打造了具有世界一流运营品质的中国高铁品牌．截止到2021年
底，中国电气化铁路总里程突破11万公里，其中高铁41000公里．将41000用科学记数法表示应为
（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据科学记数法的表示方法： ，进行表示即可．
【详解】解： ；
故选D．
【点睛】本题考查科学记数法．熟练掌握科学记数法的表示方法，是解题的关键．
2. 已知 ，那么下列比例式不成立的是（ ）
.
A B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用比例的性质，逐一进行判断即可．
【详解】解：A、∵ ，∴ ，与已知不符，符合题意；
B、∵ ，∴ ，与已知相符，不符合题意；
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学科网（北京）股份有限公司C、∵ ，∴ ，与已知相符，不符合题意；
D、∵ ，∴ ，与已知相符，不符合题意；
故选A．
【点睛】本题考查比例的性质．熟练掌握内项积等于外项积，是解题的关键．
3. 在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，那么∠B的余弦值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意画出图形，由勾股定理求出AB的长，再根据三角函数的定义解答即可．
【详解】如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，
∴AB= =5，
∴cos∠B= ，
故选C．
【点睛】本题考查锐角三角函数的定义，关键是熟练掌握在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余
弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边．
4. 在平面直角坐标系中，将抛物线 平移，可以得到抛物线 ，下列平移的叙述正确的
是（ ）
A. 向上平移1个单位长度 B. 向下平移1个单位长度
C. 向左平移1个单位长度 D. 向右平移1个单位长度
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学科网（北京）股份有限公司【答案】C
【解析】
【分析】将 转化为顶点式，再根据抛物线的平移规则，进行判断即可．
【详解】解： ，它的图象是由 的图象向左平移一个单位得到的；
故选C．
【点睛】本题考查二次函数图象的平移．熟练掌握抛物线的平移规则：上加下减，左加右减，是解题的关
键．
5. 如图，为测楼房 的高，在距楼房50米的 处，测得楼顶的仰角为 ，则楼房 的高为( )
A. 米 B. 米 C. 米 D. 米
【答案】A
【解析】
【分析】根据三角形三角函数的计算可以求得BC、AC的关系，根据AC即可求得BC的长度，即可解题.
【详解】解：在直角△ABC中，sinα= ，cosα= ，
∴ =tanα，
∴BC=AC•tanα=50tanα．
故选A.
【点睛】本题考查了三角函数的定义，考查了三角函数在直角三角形中的运用，本题中计算BC、AC的关
系是解题的关键.
6. 如图，在菱形 中，点E在边 上，射线 交 的延长线于点F，若 ， ，则
AF的长为（ ）
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学科网（北京）股份有限公司A. 1 B. C. D. 2
【答案】C
【解析】
【分析】根据菱形的性质，得到： ，从而得到： ，再根据菱形的四边相等，
和 ，得到 ，再根据相似三角形对应边对应成比例，列式求解即可．
【详解】解：∵四边形 为菱形，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，即： ，
解得： ；
故选C．
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学科网（北京）股份有限公司【点睛】本题考查菱形的性质，相似三角形的判定和性质．熟练掌握菱形的对边平行，四边相等，证明三
角形相似，是解题的关键．
7. 如图，现有一把折扇和一把圆扇．已知折扇的骨柄长等于圆扇的直径，折扇扇面的宽度是骨柄长的 ，
折扇张开的角度为120°，则两把扇子扇面面积较大的是（ ）
A. 折扇 B. 圆扇 C. 一样大 D. 无法判断
【答案】A
【解析】
【分析】分别利用扇形面积公式和圆的面积公式求出两把扇子的扇面面积，然后比较即可．
【详解】解：折扇的扇面面积为为：
圆扇扇面的面积为
∵
∴折扇的扇面面积大．
故选A．
【点睛】本题主要考查了扇形的面积公式、圆的面积公式等知识点，牢记扇形的面积公式是解答本题的关
键．
8. 下面两个问题中都有两个变量：
①矩形的周长为20，矩形的面积y与一边长x；
②矩形的面积为20，矩形的宽y与矩形的长x．
的
其中变量y与变量x之间 函数关系表述正确的是（ ）
A. ①是反比例函数，②是二次函数 B. ①是二次函数，②是反比例函数
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学科网（北京）股份有限公司C. ①②都是二次函数 D. ①②都是反比例函数
【答案】B
【解析】
【分析】先根据矩形的周长和面积公式列出函数关系式，然后根据反比例函数和二次函数的定义即可解答．
【详解】解：①∵矩形的周长为20，一边长x
∴另一边长为
∴ 为二次函数；
②∵矩形的面积为20，矩形的长x
∴ 是反比例函数．
故选B．
【点睛】本题主要考查了反比例函数、二次函数解析式的判定等知识点，正确列出函数解析式是解答本题
的关键．
第二部分非选择题
二、填空题（共16分，每题2分）
9. 分解因式：x2y-4y=____．
【答案】y(x+2)(x-2)
【解析】
【分析】要将一个多项式分解因式的一般步骤是首先看各项有没有公因式，若有公因式，则把它提取出来，
之后再观察是否是完全平方公式或平方差公式，若是就考虑用公式法继续分解因式．
【
详解】x2y-4y=y(x2-4)=y(x+2)(x-2)，
故答案为：y(x+2)(x-2)．
【点睛】提公因式法和应用公式法因式分解．
10. 对于二次函数 ，当 的取值范围是___________时， 随 的增大而减小．
【答案】
【解析】
【分析】根据二次函数的顶点式，可知二次函数的顶点坐标是 ，且图像开口向下，由此即可求解．
【详解】解： 二次函数 的顶点坐标是 ，图象开口向下，
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学科网（北京）股份有限公司当 时， 随 的增大而减小，
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查二次函数的图像的性质和特点，理解二次函数图像的性质是解题的关键．
11. 某一时刻，小明测得一高为1m的竹竿的影长为 ，小李测得一棵树的影长为 ，那么这棵树
的高是___________．
【答案】
【解析】
【分析】根据同一时刻，物高与影长的比对应成比例，列式求解即可．
【详解】解：设树高为： ，则由题意，得：
，
解得： ；
∴这棵树的高是 ；
故答案为： ．
【点睛】本题考查利用影长求物高．熟练掌握同一时刻，物高与影长的比对应成比例，是解题的关键．
12. 将二次函数 化为 的形式，则 ___________， ___________．
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】将 转化为顶点式，即可得解．
【详解】解： ；
∴ ；
故答案为： ．
【点睛】本题考查将二次函数的一般式转化为顶点式．熟练掌握配方法，将一般式转化为顶点式，是解题
的关键．
13. 如图，点A，B，C都在 上，如果 ，那么 的度数为___________．
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学科网（北京）股份有限公司【答案】 ##120度
【解析】
【分析】如图：在优弧 AC 上取一点 D，连接 ,由圆周角定理和圆的内接四边形可得
, ，再结合 求得 ，最后根据
四边形的内角和定理即可解答．
【详解】解：如图：在优弧AC上取一点D，连接 ,
∴ ,
∵
∴ ，解得：
∵四边形
∴
∴ ．
故答案为： ．
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学科网（北京）股份有限公司【点睛】本题主要考查了圆周角定理、圆的内接四边形、四边形的内角和等知识点，掌握圆的内接四边形
对角互补是解答本题的关键．
14. 若抛物线 与x轴有交点，则k的取值范围是___________．
【答案】
【解析】
【分析】根据抛物线与x轴有交点， ，列式计算即可．
【详解】解：∵抛物线 与x轴有交点，
∴ ，
解得： ；
故答案为： ．
【点睛】本题考查二次函数图象与 轴交点问题．熟练掌握抛物线与 轴有交点： ，是解题的关键．
15. 如图，在等腰直角 中， ，点D是AC上一点，如果 ， ，那么
AB的长为___________．
【答案】
【解析】
【分析】先根据正弦的定义和已知条件求得 ，再运用勾股定理求得 ，再根据等腰直角三角
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学科网（北京）股份有限公司形的性质可得 ，最后运用勾股定理求得 即可．
【详解】解：∵ ，，
∴
∵
∴ ，解得：
∴
∵等腰直角
∴
∴ ．
故答案为 ．
【点睛】本题主要考查了正弦的定义、勾股定理、等腰三角形的性质等知识点，根据正弦定义求得
是解答本题的关键．
16. 如图，正方形 的顶点A，B都在 上，且 边与 相切于点E，如果 的半径为1，
那么正方形 的边长为___________．
【答案】
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学科网（北京）股份有限公司【解析】
【分析】连接 并延长，交 于点 ，连接 ，设正方形的边长为 ，根据正方形的性质和切线的
性质，得到 ， ，根据垂径定理和勾股定理，进行求解即可．
【详解】解：连接 并延长，交 于点 ，连接 ，
∵正方形 的 边与 相切于点E，
∴ ， ， ，
∴ ，
∴四边形 为矩形，
∴ ，
∵正方形 的顶点A，B都在 上，
∴ ，
∵ 的半径为1，
∴ ，
设正方形的边长为 ，则： ， ，
在 中： ，
即： ，
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学科网（北京）股份有限公司解得： （舍掉）或 ；
∴正方形的边长为： ；
故答案为： ．
【点睛】本题考查切线 的性质，垂径定理，正方形的性质以及勾股定理．添加辅助线构造直角三角形，是
解题的关键．
三、解答题（共68分，第17-21题，每题5分，第22-23题，每题6分，第24题5分，第25-
26题，每题6分，第27-28题，每题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．
17. 计算： ．
【答案】
【解析】
【分析】先化简各式，再进行加减运算．
详解】解：原式
【
．
【点睛】本题考查特殊角的三角函数值，零指数幂，二次根式的性质和运算．熟记特殊角的三角函数值，
熟练掌握二次根式的性质和运算法则，零指数幂法则，是解题的关键．
18. 解不等式组： ．
【答案】
【解析】
【分析】分别求出每一个不等式的解集，再根据口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小
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学科网（北京）股份有限公司找不到确定不等式组的解集．
【详解】解：由 ，得 ，
由 ，得 ，
不等式组的解集为： ．
【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集，熟知“同大取大，同小取小，大
小小大中间找，大大小小找不到”的原则是解题的关键．
19. 如图，在 中，点D在边 上，且满足 ．请找出图中的一对相似三角形，并证
明．
【答案】 ；证明见解析
【解析】
【分析】根据 得出 ，然后根据相似三角形的判定方法可得， ．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定，解题的关键是根据 得出 ，熟记相
似三角形的判定方法．
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学科网（北京）股份有限公司20. 已知：在平面直角坐标系 中，反比例函数 的图象与直线 都经过点
．
（1）分别求k，m的值；
（2）若点P的坐标为 ，过点P作平行于y轴的直线与直线 和反比例函数 的图
象分别交于点C，D，若点D在点C的上方，直接写出n的取值范围．
【答案】（1） ，
（2）
【解析】
【分析】（1）根据题意，把 的坐标分别代入 和 ，得出两个方程，
分别解出，即可得出答案；
（2）根据（1）的结论，得出反比例函数的解析式为 ，正比例函数的解析式为 ，然后根据题
意，得出 ， ，进而得出 且 ，然后再求出两图象的交点，观
察图象，即可得出n的取值范围．
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学科网（北京）股份有限公司【小问1详解】
解：∵反比例函数 的图象与直线 都经过点 ，
∴把 的坐标分别代入 和 ，
∴可得： ， ，
解得： ， ；
【小问2详解】
解：由（1）可知： ， ，
∴反比例函数的解析式为 ，正比例函数的解析式为 ，
∵点P的坐标为 ，过点P作平行于y轴的直线，
∴过点P作平行于y轴的直线为： ，
又∵直线 与直线 和反比例函数 的图象分别交于点C，D，若点D在点C的上方，
∴ ， ，
∵点D在点C的上方，
∴可得： 且 ，
如图，
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学科网（北京）股份有限公司∵直线 与直线 相交于两点分别为 和 ，
∴观察图象，可得： 的取值范围为 ．
【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题、用图象法解不等式，解本题的关键在正确求出 ，
的值．
21. 在 中， ，若 ．请你添加一个条件：___________，设计一道解直角三角
形的题目（不用计算器计算），并画出图形，解这个直角三角形．
【答案】见解析
【解析】
【分析】已知斜边 ，可添加 ，先根据勾股定理求出第三边，再灵活选择三角函数求出两
锐角．
【详解】解：如图，添加条件为： （答案不唯一）
在 中，
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学科网（北京）股份有限公司由勾股定理得， ，
，
，
．
【点睛】本题考查了解直角三角形，熟练掌握解直角三角形的解法和特殊角的三角函数值是解题的关键．
22. 如图，A是 的直径 延长线上的一点，点B在 上， ．
（1）求证： 是 的切线；
（2）若 ，求 的长．
【答案】（1）见解析 （2）6
【解析】
【 分 析 】 （ 1 ） 如 图 ： 连 接 ， 先 根 据 三 角 形 内 角 和 定 理 可 得 ， 再 说 明
，然后再说明 即可证明结论；
（2）如图：过B作 ,垂足为E，先根据直角三角形的性质求得 ，再由勾股定理求得
，然后再说明三角形 是等腰三角形，最后根据等腰三角形的性质即可解答．
【小问1详解】
解：如图：连接
∵
∴
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学科网（北京）股份有限公司∵
∴
∴
∴ 是 的切线．
【小问2详解】
解：如图：过B作 ，垂足为E
∵ ，
∴
∴
∵
∴
∵
∴ ．
【点睛】本题主要考查了切线的证明、等腰三角形的判定与性质、直角三角形的性质等知识点，灵活运用
相关性质成为解答本题的关键．
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学科网（北京）股份有限公司23. 如图，将等边三角形 折叠，使点A落在 边上的点D处（不与B、C重合），折痕为 ．
（1）求证： ；
（2）若 ， ，分别求 ， 的周长；
（3）在（2）的条件下，求BE的长．
【答案】（1）见解析 （2）14,10
（3）2.8
【解析】
【分析】（1）由等边三角形的性质、折叠的性质以及三角形外角的性质可得 、
即可证明结论；
（2）有已知条件可得 ，由等边三角形的性质可得 ，再由折叠的性质可得
, ，最后根据三角形周长的定义即可解答；
（3）根据相似三角形的性质列式求解即可．
【小问1详解】
证明：∵等边三角形
∴
∵三角形 折叠，使点A落在 边上的点D处
∴
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学科网（北京）股份有限公司∵ ,
∴
∵
∴ ．
【小问2详解】
解：∵ ，
∴
∵等边三角形
∴
∵三角形 折叠，使点A落在 边上的点D处
∴ ,
∴ 的周长为：
的周长为： ．
【小问3详解】
解：∵ ， 的周长为14， 的周长为：10
∴
∵
∴
∴ ．
【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质、折叠的性质、相似三角形的判定、相似三角形的性质等知识
点，掌握相似三角形的判定与性质是解答本题的关键．
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学科网（北京）股份有限公司24. 在证明圆周角定理时，某学习小组讨论出圆心与圆周角有三种不同的位置关系（如图1，2，3所示），
小敏说：当圆心O在∠ACB的边上时，只要利用三角形内角和定理的推论和等腰三角形的性质即可证明．
小亮说：当圆心O在∠ACB的内部或外部时，可以通过添加直径这条辅助线，把问题转化为圆心O在
∠ACB的边上时的特殊情形来解决．请选择图2或图3中的一种，完成证明．
圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．
已知：如图，在 中， 所对的圆周角是∠ACB，圆心角是∠AOB．
求证： ．
【答案】见解析
【解析】
【分析】由等腰三角形的性质可得 ，然后根据三角形外角的性质可得 ，
同理可得： ，然后根据 即可证明结论．
【详解】证明：∵
∴
∴
同理：
∵
∴ ,即 ．
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学科网（北京）股份有限公司【点睛】本题主要考查了圆周角定理、等腰三角形的性质、三角形外角等知识点，理解圆周角定理是解答
本题的关键．
25. 如图1是某条公路的一个具有两条车道的隧道的横断面．经测量，两侧墙 和 与路面 垂直，
隧道内侧宽 米，为了确保隧道的安全通行，工程人员在路面 上取点E，测量点E到墙面 的
距离 ，点E到隧道顶面的距离 ．设 米， 米．通过取点、测量，工程人员得到了x
与y的几组值，如下表：
x（米） 0 2 4 6 8
y（米） 4.0 5.5 6.0 5.5 4.0
（1）根据上述数据，直接写出隧道顶面到路面AB的最大距离为___________米，并求出满足的函数关系
式 ；
（2）请你帮助工程人员建立平面直角坐标系．描出上表中各对对应值为坐标的点，画出可以表示隧道顶
面的函数的图像．
（3）若如图2的汽车在隧道内正常通过时，汽车的任何部位需到左侧墙及右侧墙的距离不小于1米且到隧
道顶面的距离不小于0.35米．按照这个要求，隧道需标注的限高应为多少米（精确到0.1米）？
【答案】（1）6， ．
（2）见解析
（3）隧道需标注的限高应为4.5米
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学科网（北京）股份有限公司【解析】
【分析】（1）根据二次函数的对称性可知在 时y取得最大值，然后运用待定系数法求出函数解析式
即可；
（2）根据题意，以点A为原点， 为x轴， 为y轴建立平面直角坐标，画出函数图像即可；
（3）令 ，求得相应的y值，结合到隧道顶面的距离不小于0.35米,可得汽车最高点距地面的距离即可
解答．
【小问1详解】
解：根据二次函数的对称性可知，当 时，y有最大值6，
设
∵D的坐标为
∴ ，解得
∴ ．
故答案为：6， ．
【小问2详解】
解：根据题意，以点A为原点， 为x轴， 为y轴建立平面直角坐标,画出图像如图所示：
【小问3详解】
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学科网（北京）股份有限公司解：令 ，可得
隧道需标注的限高应为 （米）．
答：隧道需标注的限高应为4.5米．
【点睛】本题主要考查了二次函数在实际问题中的应用、数形结合、待定系数法等知识点，理清题中的数
量关系、求得函数解析式是解题的关键．
26. 已知：二次函数 ．
（1）求这个二次函数图象的对称轴和顶点坐标；
（2）若点 ， 在抛物线 上，且 ，求n的取值
范围．
【答案】（1）对称轴为 ，顶点坐标为
（2）
【解析】
【分析】（1）将 转化为顶点式，即可得解；
（2）根据二次函数的性质，分点 在对称轴的同侧和异侧两种情况，进行讨论求解即可．
【小问1详解】
解： ，
∴抛物线的对称轴为： ；顶点坐标为： ；
【小问2详解】
解： ，
∵ ，抛物线开口向上，对称轴为： ，
∴在对称轴的左侧， 随 的增大而减小，在对称轴的右侧， 随 的增大而增大；
①当点 在对称轴的同侧时：
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学科网（北京）股份有限公司∵ ， ，
∴ 随 的增大而减小；
∴点 在对称轴的左侧，即： ，解得： ；
②当点 在对称轴的异侧时：即： ，解得： 时，
根据抛物线的对称性，可得， 和 的函数值相等，
∵在对称轴的右侧， 随 的增大而增大， ，
∴ ，解得： ，
∴当 时， ；
综上：当 时， ．
【点睛】本题考查二次函数的图象和性质．熟练掌握二次函数的图象和性质，利用数形结合的思想进行求
解，是解题的关键．
27. 已知：在平行四边形 中， 于点 ， 平分 ，交线段 于点 ．
（1）如图1，若 ，延长 到点 ，使得 ，连接 ，依题意补全图形并证明
；
（2）在（1）的条件下，用等式表示线段 ， ， 之间的数量关系，并证明；
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学科网（北京）股份有限公司（3）如图2，若 ，用等式表示线段 ， ， 之间的数量关系，直接写出结果．
【答案】（1）见解析 （2） ，证明见解析
（3）
【解析】
【分析】（1）如图，由平行四边形的性质得 ， ，得出 ，进而
由 证得 ，从而得到 ；
（2）由（1） ，得到 ， ，再由平行四边形的性质，得出
， ， ，再由角平分线的定义，
可知 ，进而得出 ，根据等边对等角得 ，最后得出
；
（3）延长 至点 ，使得 ，连接 ，根据两边对应成比例且夹角相等，证得
， 求 得 相 似 比 ， 与 （ 2 ） 同 理 ，
．
【小问1详解】
证明：如图所示，
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学科网（北京）股份有限公司四边形 是平行四边形，
，
，
，即 ，
在 与 中，
，
；
【小问2详解】
，证明如下：
，
， ，
，
，
，即 ，
平分 ，
，
， ，
，
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学科网（北京）股份有限公司，
即 ；
【小问3详解】
，
如图，延长 至点 ，使得 ，连接 ，
四边形 是平行四边形，
， ， ，
，
，即 ，
又 ， ，
，
，
，
平分 ，
，
，
，
，
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学科网（北京）股份有限公司．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定，相似三角形的性质和判定，角平分线的性质，平行四边形
的性质，解题的关键在于要有类比推理的思想．
28. 在平面直角坐标系 中，图形M上存在一点P，将点P先向右平移一个单位长度，再向上平移一个
单位长度得到点Q，若点Q在图形N上，则称图形M与图形N成“斜关联”．
（1）已知点 ， ， ， ．
①点A与B、C、D中的哪个点成“斜关联”？
②若线段 与双曲线 成“斜关联”，求k的取值范围；
（2）已知 的半径为1，圆心T的坐标为 ，直线l的表达式为 ，若 与直线l成
“斜关联”，请直接写出t的取值范围．
【答案】（1）①点 ②
（2）
【解析】
【分析】（1）①根据斜关联的定义，将点 先向右平移一个单位，再向上平移一个单位即可得到与点
成“斜关联”的点；②先求出线段 的“斜关联”线段 ，使它与双曲线 有交点，从而求出
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学科网（北京）股份有限公司的取值范围；
（2）先求出直线 的“斜关联”直线 ，使它与 至少有一个交点，利用临界条件相切，再利用相似求
出 的取值范围即可．
【小问1详解】
解：①将点 先向右平移一个单位，再向上平移一个单位得到： ，与点 相同，
∴点 与点 成“斜关联”；
②点 “斜关联”坐标为 ，点 “斜关联”坐标为 ，
∴线段 与线段 成“斜关联”，
∵线段 与双曲线 成“斜关联”，
∴线段 与双曲线 相交，如图所示：
线段 所在直线解析式为 ，将 代入双曲线 ，得到 ，
∵交点落在点 和 之间，
∴ ，
解得： ；
【小问2详解】
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学科网（北京）股份有限公司将直线 先向右平移一个单位长度，再向上平移一个单位长度得到直线 ，
整理得 ，
∴直线 ： 与直线 ： 成“斜关联”，
∵ 与直线 成“斜关联”，
∴直线 与 至少有一个交点，
设直线 与 轴， 轴分别交于点 ，点 ，当 与直线 相切于点 时， 在直线右侧，连接 ，
如图所示，则： ，
直线 ： ，令 ，则 ，
∴点 ，
令 ，则 ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
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学科网（北京）股份有限公司∴ ，
∴ ，即： ，
∴ ，
∴ ，即： ；
当 与直线 相切于点 时， 在直线左侧，连接 ，如图所示：
同理可得 ，
∴ ，即 ；
综上所述： ．
【点睛】本题考查坐标与图形，一次函数的综合应用，反比例函数的综合应用，切线的性质，相似三角形
的判定和性质．理解并掌握“斜关联”的定义，利用数形结合，分类讨论的思想进行求解，是解题的关键．
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