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微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结
顺义区 2023—2024 学年度第一学期期末九年级教学质量检测
数学试卷
考生须知：
1. 本试卷共8页，共三道大题，28道小题.满分100分.考试时间120分钟.
2. 在答题卡上准确填写学校、班级、姓名和准考证号.
3. 试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效.
4. 在答题卡上，选择题、作图题用2B铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答.
5. 考试结束，将答题卡交回.
一、选择题（共16分，每题2分）
第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个.
1. 实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，则正确的结论是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查实数与数轴，掌握数轴上右边的数总比左边的大是解题的关键．
根据实数a对应的点在 左侧， 右侧判断A、B选项；根据数轴上右边的数总比左边的大判断C、D
选项．
【详解】解：A选项， ，故该选项不符合题意；
B选项， ，故该选项不符合题意；
C选项， 在 和 之间， ，故该选项不符合题意；
D选项符合题意；
故选：D．
2. 在 中， ，则 等于（ ）
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A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查了余弦的定义，解题的关键是掌握直角三角形中，余弦等于邻边与斜边的比．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
故选：A．
3. 将二次函数 化为 的形式，则所得表达式为（ ）
.
A B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了将二次函数解析式化为顶点式，解题的关键是熟练掌握将二次函数解析式化为顶
点式的方法和步骤，以及完全平方公式．
【详解】解： ，
故选：B．
4. 如图，在 中，弦 相交于点P， ， ，则 的度数为（
）
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A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查圆周角定理，三角形外角的性质等知识，解题的关键是掌握圆周角定理，属于中考常考
题型．利用圆周角定理以及三角形的外角的性质解决问题．
【详解】解： ，
，
，
，
故选：D．
5. 如图，D是 的边AB上一点（不与点A，B重合），若添加一个条件使 ，则这个
条件不可以是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了相似三角形的判定，掌握相似三角形的判定方法是解题的关键．利用相似三角形的判
定方法依次判断可求解．
【详解】解：若 ，且 ，则 ，故选项A不符合题意；
若 ，且 ，则 ，故选项B不符合题意；
若 ，且 ，则无法证明 ，故选项C符合题意；
若 ，且 ，则 ，故选项D不符合题意；
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故选：C．
6. 对于反比例函数 ，下列说法正确的是（ ）
A. 它的图象分布在第二、第四象限 B. 点 在它的图象上
C. 当 时，y随x的增大而减小 D. 当 时，y随x的增大而增大
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了反比例函数的图象与性质，熟练掌握反比例函数的图象与性质是解答本题的关键，根
据反比例函数的图象与性质，对各选项逐一分析即可．
【详解】选项A，因为 ，所以图象在第一、第三象限，不符合题意；
选项B，对于反比例函数 ，当 时， ，所以点 不在它 图的象上，不符合题
意；
选项C，对于反比例函数 ，当 时，图象在第一象限内，所以y随x的增大而减小，符合题意；
选项D，对于反比例函数 ，当 时，图象在第三象限内，所以y随x的增大而减小，不符合题意．
故选C．
7. 已知 .如图，
（1）连接 ；
（2）作弦 的垂直平分线 ，分别交 ，弦 于C，D两点；
（3）作线段 的垂直平分线 ， ，分别交 于E，F两点，交弦 于G，H两点；
（4）连接
根据以上作图过程及所作图形，下列结论中错误的是（ ）
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A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查作图 复杂作图，线段的垂直平分线等知识，解题的关键是读懂图象信息．本题考查作
图 复杂作图，线段的垂直平分线等知识，解题的关键是读懂图象信息．
【详解】解：由作图可知， ， ，
∵ 垂直平分弦 ，
∴ ，且直线 过圆心，
∵ ， 分别垂直平分线段 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
，且 ，
∴四边形 是矩形，
，
故选项A，C，D正确，
故选：B．
8. 学习解直角三角形时，小明编了这样一道题：
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已知：在 中， ， ， ，解这个直角三角形.
从同学们的解答思路中节选出以下四个步骤：
①由 的度数，根据直角三角形的性质得到 的度数；
②由 ， 的值，根据 的正切值得到 的度数；
③由 ， 的值，根据勾股定理得到 的值；
④由 ， 的值，根据 的余弦值得到 的度数.
请你从中选择三个步骤并排序，形成完整的解上述直角三角形的思路，则下列排序错误的是（ ）
A. ③④① B. ④①③ C. ②①③ D. ③②①
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了三角函数解直角三角形，勾股定理，熟练掌握三角函数的定义是解决本题的关键．
【详解】解：A. 由 ， 的值，根据勾股定理得到 的值，再由 的余弦值得到 的度数，
进而求出 的度数，选项排序正确，不符合题意；
B. 条件④需要知道 的值，才能得到 的余弦值，而 的值并没有计算出来，由此可知选项排序
错误，符合题意；
C. 由 ， 的值，根据 的正切值得到 的度数，进而求出 的度数，再由 ， 的值，
根据勾股定理得到 的值，选项排序正确，不符合题意；
D. 由 ， 的值，根据勾股定理得到 的值，再由 ， 的值，根据 的正切值得到
的度数，进而求出 的度数；
故选：B．
二、填空题（共16分，每题2分）
9. 若 在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是___________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，列出不等式 进行求解即可，掌握二次根式被开方数
是非负数是解答本题的关键．
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【详解】解： 在实数范围内有意义，
，
，
故答案为： ．
10. 若将抛物线 向右平移2个单位长度，则所得抛物线的表达式为______.
【答案】 或
【解析】
【分析】本题考查了二次函数图象的平移，根据“左加右减，上加下减”即可得，掌握二次函数图象平移
的规律是解题的关键．
【详解】解：根据题意得 ，
故答案为： 或 ．
11. 如图，直线 交于点O， ．若 ， ， ．则 的值为
______．
【答案】 ##0.75
【解析】
【分析】本题主要考查了平行线分线段成比例．根据平行线分线段成比例，可得 ，即可求解．
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【详解】解：∵ ，
∴ ，
∵ ， ， ，
∴ ，
∴ ．
故答案为： ．
12. 物理课上我们学习过凸透镜成像规律．如图，蜡烛AB的高为 ，蜡烛 与凸透镜的距离 为
，蜡烛的像 与凸透镜的距离 为 ，则像 的高为______ ．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查相似三角形的判定与性质的实际应用及分析问题、解决问题的能力．利用数学知识解决
实际问题是中学数学的重要内容．解决此问题的关键在于正确理解题意的基础上建立数学模型，把实际问
题转化为数学问题．
根据相似三角形的判定与性质求解即可．
【详解】解： ，
，
，
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,
的高为 , 为 , 为 ,
，
故答案为：
13. 如图， 分别与 相切于A，B两点，C是优弧 上的一个动点，若 ，则
______ ．
【答案】52
【解析】
【分析】本题主要考查了切线的性质，圆周角定理，四边形内角和定理，，连接 ，由切线的性质
得到 ，由四边形内角和定理得到 ，则由圆周角定理可得
．
【详解】解；如图所示，连接 ，
∵ 分别与 相切于A，B两点，
∴ ，
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∵ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
14. 已知二次函数 的部分图象如图所示，写出一个满足不等式 的x的值，
这个值可以是______.
【答案】1（答案不唯一）
【解析】
【分析】本题考查了二次函数与不等式组，数形结合是解题的关键．先求出 时的 的值，然后结合
图象求解即可．
【详解】解：由图象可知，当 时， ，
当 时， ．
不等式 的解为
满足不等式 的 的值可以是1．
故答案为：1（答案不唯一）．
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15. 在平面直角坐标系 中，点 在双曲线 上，点 在双曲线 上，则
的值为______．
【答案】0
【解析】
【分析】本题考查了反比例函数解析式，代数式求值．熟练掌握反比例函数解析式，代数式求值是解题的
关键．
由题意知， ， ，然后代值求解即可．
【详解】解：∵点 在双曲线 上，点 在双曲线 上，
∴ ， ，
∴ ，
故答案为：0．
16. 已知 ， 是抛物线上两点，下面有四个推断：
①该抛物线与x轴有两个交点；
②若该抛物线开口向下，则它与y轴的交点一定在y轴的负半轴上；
③若该抛物线开口向下，则它的对称轴在直线 右侧；
④若该抛物线开口向上，则在A，B两点中，点B到它的对称轴距离较小.
所有正确推断的序号是______.
【答案】①③④
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，设抛物线的解析式 ，将点 ，
代入得计算得 ， ，则 ，根据 得 ，抛物线
与x轴有两个交点，故①正确；根据 得 ，若该抛物线开口向下，则它与y轴的交点在
y轴的负半轴上或y轴的正半轴上，故②错误；故居 得 ，故居 得
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，则若该抛物线开口向下，则它的对称轴在直线 右侧，故③正确；故居
得 ，则当 ， 在对称轴两侧，y随x的增大而增大，点B关
于直线 对称的点 ，故点B到它的对称轴距离较小，故④正确；综上，即可得．
【详解】解：设抛物线的解析式为 ，将点 ， 代入得，
， ，
∴
∵ ，
∴ ，
∴抛物线与x轴有两个交点，
故①正确；
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴若该抛物线开口向下，则它与y轴的交点在y轴的负半轴上或y轴的正半轴上，
故②错误；
∵ ，
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∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴若该抛物线开口向下，则它的对称轴在直线 右侧，
故③正确；
∵ ，
∴ ，
∴当 ， 在对称轴两侧，y随x的增大而增大，点B关于直线 对称的点
，故点B到它的对称轴距离较小，
故④正确；
综上，①③④正确，
故答案为：①③④．
三、解答题（共68分，第17-18题，每题5分，第19题6分，第20-21题，每题5分，第22
题6分，第23-24题，每题5分，第25-26题，每题6分，第27-28题，每题7分）
17. 解不等式组： .
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组．分别求出两个不等式的解集，再根据“同大取大，同小取
小大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”即可求解．
【详解】解：解不等式 ，得 ，
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解不等式 ，得 ，
∴不等式组的解集为 ．
18. 计算： .
【答案】3
【解析】
【分析】本题考查的是实数的运算，零指数幂的计算法则、特殊角的三角函数值，根据运算法则分别计算
出各数，再根据实数混合运算的法则进行计算即可．
【详解】解：
19. 已知 ，求代数式 的值.
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了整式 的化简求值，能正确根据整式的运算法则进行计算是解此题的关键．先根据完全
平方公式和多项式乘多项式进行计算，合并同类项，求出 ，最后代入求出答案即可．
【详解】原式
∵ ，
∴ ，
原式
20. 如图， 平分 ， .
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（1）求证： ；
（2）若 ， ，求 的长.
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，解题关键是要懂得找相似三角形，利用相似三角形的
性质求解．
（1）利用两角法证得结论；
（2）根据相似三角形的对应边成比例列出比例式，代入相关数值计算．
【小问1详解】
证明： 平分 ，
．
，
；
【小问2详解】
解： ，
．
， ，
．
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．
21. 如图，抛物线 与x轴交于点 ，点 ．
（1）求二次函数的解析式；
（2）直接写出 时，自变量x的取值范围．
【答案】（1）
（2） 或
【解析】
【分析】本题考查了待定系数法求函数解析式及二次函数与不等式；
（1）利用待定系数法即可求解；
（2）根据交点坐标即可求解；
熟练掌握待定系数法求函数解析式是解题的关键．
【小问1详解】
解：∵抛物线 与x轴交于点 ，点 ，
∴ ，
解得
∴ ．
【小问2详解】
∵抛物线 与x轴交于点 ，点 ，其开口向上，
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∴当 时，自变量x的取值范围为： 或 ．
22. 在一次数学综合实践活动中，某数学小组的同学们一起测量一座小山的高度．如图，在点A处测得山
顶E的仰角为 ，向山的方向前进 ，在点C处测得山顶E的仰角为 ，已知观测点A，C到地
面的距离 ， ．求小山 的高度（精确到 ）．（参考数据： ，
， ， ）
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了解直角三角形的应用中的仰角俯角问题，要求借助仰角构造直角三角形是解题的关键．
【详解】解：依题意可知 ， ， ，
∴ ，
∴ ，
在 中， ，
∴ ，
∴ ．
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23. 如图， 是 的直径， 于点E， .
（1）求证： ；
的
（2）若 半径为2，求 ， 的长.
【答案】（1）见解析 （2） ；
【解析】
【分析】本题主要考查垂径定理，弧长公式，含30度角的直角三角形的性质：
（1）根据垂径定理可得 ，根据同弧所对的圆心角相等，可得 ；
（2）先证 ， ， 相等且度数都是 ，再证 ，根据30度角所对的直角边等于
斜边的一半可求 ，根据弧长公式可求 的长．
【小问1详解】
证明：∵ 是 的直径， 于点E，
∴ ，
∴ .
【小问2详解】
解：∵ 是 的直径， 于点E，
∴ ，
又∵ ，
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∴ ， ， 相等且度数都是 ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
在 中， ， ，
∴ ，
的长 ．
24. 正面双手前掷实心球是发展学生力量和协调性的运动项目之一.实心球出手后的飞行路线可以看作是抛
物线的一部分，建立如图所示的平面直角坐标系，从出手到着地的过程中，实心球的竖直高度y（单位：
m）与水平距离x（单位：m）近似满足函数关系 .
小明进行了三次训练.
（1）第一次训练时，实心球的水平距离x与竖直高度y的几组数据如下：
水平距离x/m 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
竖直高度y/m 2 2.7 3.2 3.5 3.6 3.5 3.2 2.7 2 1.1
根据上述数据，求出满足的函数关系 ，并求出实心球着地点的水平距离 ；
（2）第二次、第三次训练时，实心球的竖直高度y与水平距离x的函数图象的一部分如图所示，其中A，
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B分别为第二次、第三次训练抛物线的顶点.
记小明第二、三次训练时实心球着地点的水平距离分别为 ， ，则 ， ， 的大小关系为______.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查二次函数的应用，待定系数法求函数关系式，实数大小比较，解题的关键是读懂题意，
能够从表格中获取有用信息列出函数关系式．
（1）先根据表格中的数据找到顶点坐标，即可得出实心球竖直高度的最大值；选出表格中的数据，利用
待定系数法即可求出函数解析式；再令 求出 的值即可；
（2）根据三次投掷实心球所得抛物线的对称轴和抛物线都过点 ，由函数的对称性得出结论．
【小问1详解】
根据表格中的数据可知，抛物线的顶点坐标为 ，
抛物线的解析式可表示为： ，
当 时， ，
，
解得 ，
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函数解析式为 ；
令 ，则 ，
解得 ， （舍去），
，
实心球着地点的水平距离 为10米；
【小问2详解】
根据图象知，第二次、第三次抛物线的对称轴分别为直线 和直线 ，
三次抛物线都过点 ， ，
小明第一、第二、三次训练时实心球着地点的水平距离 ，
故答案为： ．
25. 如图， 为 的弦，点C为 的中点， 的延长线交 于点D，连接 ，过点D作
的切线交 的延长线于点E.
（1）求证： ；
（2）若 的半径为3， ，求 的长.
【答案】（1）证明见解析
（2）4
【解析】
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【分析】本题考查切线的性质，勾股定理，解直角三角形，垂径定理的推论及平行线的判定，关键是由勾
股定理得到 ，求出 的长．
（1）由垂径定理的推论推出 ，由切线的性质得到 ，即可证明 ；
（ 2 ） 由 ， 令 , 得 到 ， 由 勾 股 定 理 得 到
，求出 ，得到 ，由相似三角形 判定与性质得到
的
，代入有关数据即可求出 长．
【小问1详解】
证明：∵C为弦 中点， 的延长线交 于点D，
∴ .
是 的切线，
∴ .
∴ .
【小问2详解】
解：在 中， ，故设 ， ，
∵ 的半径为3，
∴ ，
在 中， ，
解得 . ，
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∵ ， ，
∴ .
∴ ，
解得 .
26. 在平面直角坐标系 中，抛物线 与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧）．
（1）若 ，求抛物线的对称轴及A，B两点的坐标；
（2）已知点 ， ， 在该抛物线上，若 ， ， 中有且仅有一个大于0，求
a的取值范围．
【答案】（1） ， ，对称轴：直线 ．
（2） ， ．
【解析】
【分析】本题考查抛物线与x轴交点、二次函数的图象与性质等知识，解题的关键是理解题意，学会分类
讨论，属于中考常考题型．
（1）将 代入二次函数 ，求得二次函数解析式，再令 ，解方程即可得出抛
物线的对称轴及A，B两点的坐标；
（2）将抛物线解析式 整理成顶点式，再令 ，解方程即可得出抛物线与x轴交
点坐标，最后根据二次函数图象与性质进行分类讨论即可．
【小问1详解】
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将 代入二次函数 ，得： ，
令 ，得 ，
解得： ，
， ，对称轴：直线 ．
【小问2详解】
将抛物线解析式 整理得 ．
令 ，得 ，
解得： ，
∴抛物线与x轴交点坐标分别为 ， ．
∵抛物线开口向上，且 ，
∴结合图象可知 ．
∵ ， ， 中有且只有一个大于零， ．
∴①当 时， ．
，解得 ．
②当 时， ．
，解得 ．
综上所述， ， ．
27. 在菱形 中， ，点P是对角线 上一点（不与点A重合），点E，F分别是边
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上的点，且 ，射线 分别与 的延长线交于点M，N．
（1）如图1，若点P与C重合，且 平分 ，求证： ；
（2）连接 ，若 ， ，且 不平分 ．
①依题意补全图2；
②用等式表示线段 的数量关系，并证明．
【答案】（1）证明见解析
（2）①补全图见解析；② ，证明见解析．
【解析】
【分析】（1）由点 P 与 C 重合，且 平分 ，得 ，由菱形的性质得
， ， 所 以 和 都 是 等 边 三 角 形 ， 则
，所以 ，而 ，即可根据“ ”证明
，得 ；
（2）①按题中所给条件补全图形即可；
② 作 于 点 H ， 由 ， 得 ，
， 而 ， 可 证 明 ， 所 以
， 则 ， 所 以 ， 因 为 ， 所 以
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，则 ，因为 ，所以 ，即
可证明 ．
【小问1详解】
证明： 平分 ，
∴
∵菱形 ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ．
【小问2详解】
①如图补全图．
②数量关系： ，
证明：过P作 与H，
∵ ， ，
∴ ，
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∵菱形 ， ，
∴ 为等边三角形，
∴ ，
∴ ，
∴
∵菱形 ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴
∴ ，
∴ ，
∴
【点睛】此题重点考查菱形的性质、等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的
判定与性质、锐角三角函数与解直角三角形等知识与方法，此题综合性强，难度较大，属于考试压轴题．
28. 在平面直角坐标系 中，有如下定义：对于图形 、 ，若存在常数d，使得图形 上的任意一
点P，在图形 上至少能找到一个点Q，满足 ，则称图形 是图形 的“映图”，d是 关于
的“映距”．
（1）如图，点 ， ， ， ， ， ， ， ．
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在线段 ， ， 中，线段 的映图是______．
（2） 的半径为1．
①求 关于直线 的“映距” 的最小值；
②若直线 被坐标轴所截的线段是 的映图，直接写出m的取值范围．
【答案】（1） 、 ．
（2）①4；② 或
【解析】
【分析】（1）根据坐标得 ，且平行线之间的距离相等，结合“映图”定义有线段
的“映图”大于或等于 ，即可求答案；
（2）①根据直线 得 ，有 ，过O作MN的垂线交 与 ，
，交 于点Q，可得 ，进一步得 和 ，结合映距定义即可求得；②（a）当 时，过
点O作直线的垂线，垂足为K，分别交 与点M，N，设 与x轴交于点C，D，与y轴交于点E，
F，可知 关于直线 的映距d的最小值为 ，设直线 与坐标轴交于点A，B，
有 和 为等腰直角三角形，且 和 ，再结合 上的点到端点A和B的最小距离为
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和 ，即可求得m；（b）当 时，同理可求得m．
【小问1详解】
解：由题意得， ，且平行线之间的距离相等，
∵若存在常数d，使得图形 上的任意一点P，在图形 上至少能找到一个点Q，满足 ，则称图
形 是图形 的“映图”，
∴线段 的“映图”大于或等于 ，且“映距”d的最小值为两条平行线段的距离，
∴线段 的“映图”为： ， ，
故答案为∶ ， ；
【小问2详解】
①记直线 与y轴，x轴分别交于点M，N，
令 ，得 ．即 ．所以 ．
令 ，得 ．即 ．所以 ．
则 ．
又∵平面直角坐标系，x轴与y轴垂直，
∴ ．
过O作 的垂线交 与 ， ，交 于点Q，如图，
在 中， ．
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则 ，
当点P在 位置时，P到直线 上每一点的距离大于等于2；
当点P在 位置时，P到直线 上每一点的距离大于等于4，
所以，根据 上任意一点P都能在直线上找到对应点Q，满足 ，则 ．
故 关于直线 的映距d的最小值为4．
②（a）当 时，过点O作直线 的垂线，垂足为K，分别交 与点M，N，设
与x轴交于点C，D，与y轴交于点E，F，如图
根据①知， 关于直线 的映距d的最小值为 ，设直线 与坐标轴交于点A，
B，
令 ，则 ，令 ，则 ，则 ， ，
那么， ，
故 为等腰直角三角形，
∴ ，
∵ ，
∴ 为等腰直角三角形，
∴ ，
则 ，
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∵直线 被坐标轴所截的线段是 的映图， 上的点到端点A，B的最小距离为
，
∴ ，解得 ，
（b）当 时，过点O作直线 的垂线，垂足为K，分别交O与点M，N，设 与x轴交于
点C，D，与y轴交于点E，F，如图，
同理可得∶ ．
综上，若直线 被坐标轴所截的线段是 的映图，m的取值范围 或
．
【点睛】本题主要考查新定义下圆的有关性质，涉及平行线的性质、等腰直角三角形的性质、一次函数的
性质，一次函数图象上点的坐标的特征，解题的关键是理解新定义，并熟练应用圆和直线的性质．
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