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第4讲 函数性质的综合问题
函数的单调性与奇偶性
(1)设f(x)是定义在[－2b，3＋b]上的偶函数，且在[－2b，0]上为增函数，
则f(x－1)≥f(3)的解集为( )
A．[－3，3] B．[－2，4]
C．[－1，5] D．[0，6]
(2)(多选)定义在R上的奇函数f(x)为减函数，偶函数g(x)在区间[0，＋∞)上的
图象与f(x)的图象重合，设a>b>0，则下列不等式中成立的是( )
A．f(b)－f(－a)g(a)－g(－b)
C．f(a)＋f(－b)g(b)－g(－a)
【解析】 (1)因为f(x)是定义在[－2b，3＋b]上的偶函数，
所以－2b＋3＋b＝0，解得b＝3，
由函数 f(x)在[－6，0]上为增函数，得 f(x)在[0，6]上为减函数．故 f(x－
1)≥f(3)⇒f(|x－1|)≥f(3)⇒|x－1|≤3，故－2≤x≤4.
(2)函数f(x)为R上的奇函数，且为单调减函数，
偶函数g(x)在区间[0，＋∞)上的图象与f(x)的图象重合，
由a>b>0，得f(a)0上成立)，所以A正确；
对于B，f(b)－f(－a)>g(a)－g(－b)⇔f(b)＋f(a)－g(a)＋g(b)＝2f(b)>0，这与
f(b)<0矛盾，所以B错误；
对于C，f(a)＋f(－b)g(b)－g(－a)⇔f(a)－f(b)－g(b)＋g(a)＝2[f(a)－f(b)]>0，
这与f(a)f(x )或f(x )0，则实数m的取值范围是( )
A． B．(－∞，0)∪
C．∪ D．
解析：选C.因为f(x)为偶函数，且在[0，3)上是减函数，
所以f(x)在(－3，0)上是增函数．
f(m－1)－f(3m－1)>0可化为f(m－1)>f(3m－1)，
因为f(x)为偶函数，所以f(m－1)>f(3m－1)即为f(|m－1|)>f(|3m－1|)．
又f(x)在[0，3)上为减函数，
所以
解得m∈∪，故选C.
函数的周期性与奇偶性
(1)(2021·河南模拟)已知定义在R上的奇函数f(x)，对任意实数x，恒有
f(x＋3)＝－f(x)，且当x∈时，f(x)＝x2－6x＋8，则f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2 020)＝(
)A．6 B．3
C．0 D．－3
(2)已知函数y＝f(x)满足y＝f(－x)和y＝f(x＋2)是偶函数，且f(1)＝，设F(x)＝
f(x)＋f(－x)，则F(3)＝ ( )
A． B．
C．π D．
【解析】 (1)根据题意，对任意实数x，恒有f(x＋3)＝－f(x)．则有f(x＋6)＝－
f(x＋3)＝f(x)，即函数f(x)是周期为6的周期函数，又由f(x)为定义在R上的奇函数
得f(0)＝0，则f(3)＝－f(0)＝0.又由当x∈时，f(x)＝x2－6x＋8，得f(1)＝3，f(2)＝
f(－1＋3)＝－f(－1)＝f(1)＝3.
f(4)＝f(1＋3)＝－f(1)＝－3，f(5)＝f(2＋3)＝－f(2)＝－3.
则有f(0)＋f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋f(5)＝0，
则f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2 020)＝[f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(5)]×336＋f(0)＋
f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＝3.故选B.
(2)由y＝f(－x)和y＝f(x＋2)是偶函数知f(－x)＝f(x)，且f(x＋2)＝f(－x＋2)，则
f(x＋2)＝f(x－2)．
所以f(x＋4)＝f(x)，则y＝f(x)的周期为4.
所以F(3)＝f(3)＋f(－3)＝2f(3)＝2f(－1)＝2f(1)＝.
【答案】 (1)B (2)B
周期性与奇偶性结合，此类问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进
行转换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的定义域内求解．
1．已知f(x)是定义在R上以3为周期的偶函数，若f(1)<1，f(5)＝，则实数a的
取值范围为( )
A．(－1，4) B．(－2，1)
C．(－1，2) D．(－1，0)
解析：选A.因为函数f(x)是定义在R上以3为周期的偶函数，所以f(5)＝f(－
1)＝f(1)，即<1，化简得(a－4)(a＋1)<0，解得－1f(7)>f(12)，即m>p>q，故选C.
5．(多选)已知f(x)是定义域为R的奇函数，且函数f(x＋2)为偶函数，则下列结
论正确的是( )
A．函数y＝f(x)的图象关于直线x＝1对称
B．f(4)＝0
C．f(x＋8)＝f(x)
D．若f(－5)＝－1，则f(19)＝－1
解析：选BCD.根据题意，f(x)是定义域为R的奇函数，
则f(－x)＝－f(x)，
又由函数f(x＋2)为偶函数，
则函数f(x)的图象关于直线x＝2对称，
则有f(－x)＝f(4＋x)，
则有f(x＋4)＝－f(x)，
则f(x＋8)＝－f(x＋4)＝f(x)，
则函数f(x)是周期为8的周期函数；
据此分析选项：
对于A，函数f(x)的图象关于直线x＝2对称，A错误；
对于B，f(x)是定义域为R的奇函数，则f(0)＝0，又由函数f(x)的图象关于直线
x＝2对称，则f(4)＝0，B正确；对于C，函数f(x)是周期为8的周期函数，即f(x＋8)
＝f(x)，C正确；
对于D，若f(－5)＝－1，则f(19)＝f(－5＋24)＝f(－5)＝－1，D正确．
6．若函数f(x)＝为奇函数，则a＝________，f(g(－2))＝________．
解析：因为f(x)是R上的奇函数 ，所以f(0)＝0，即a＝0，若x<0，则－x>0，则f(－x)＝－f(x)，即f(x)＝－f(－x)，则g(2x)＝－(x2－2x－1)，令x＝－1，则g(－2)＝
－(1＋2－1)＝－2，f(－2)＝－f(2)＝－(4＋4－1)＝－7，故f(g(－2))＝－7.
答案：0 －7
7．设函数f(x)＝＋1在x∈[－9，9]上的最大值为M，最小值为m，则M＋m＝
________．
解析：f(x)＝＋1，其中上奇下偶明显是奇函数，最大、最小值之和为零，那么
f(x)的最大值与最小值之和就是2×1＝2.
答案：2
8．已知函数f(x)＝则f(2 021)＝________．
解析：当x>0时，f(x)＝f(x－2)＋1，
则f(2 021)＝f(2 019)＋1＝f(2 017)＋2＝…
＝f(1)＋1 010＝f(－1)＋1 011，
而f(－1)＝0，故f(2 021)＝1 011.
答案：1 011
9．已知函数y＝f(x)的图象关于原点对称，且当x>0时，f(x)＝x2－2x＋3.
(1)试求f(x)在R上的解析式；
(2)画出函数的图象，根据图象写出它的单调区间．
解：(1)因为函数f(x)的图象关于原点对称，所以f(x)为奇函数，则f(0)＝0.
设x<0，则－x>0，
因为x>0时，f(x)＝x2－2x＋3，
所以f(x)＝－f(－x)＝－(x2＋2x＋3)＝－x2－2x－3.
所以f(x)＝
(2)先画出函数在y轴右侧的图象，再根据对称性画出y轴左侧的图象，如图．
由图象可知函数f(x)的单调递增区间是(－∞，－1]，[1，＋∞)，单调递减区间
是(－1，0)，(0，1)．
10．函数f(x)的定义域为D＝{x|x≠0}，且满足对于任意x ，x ∈D，有f(x ·x )＝
1 2 1 2
f(x )＋f(x )．
1 2(1)求f(1)的值；
(2)判断f(x)的奇偶性并证明你的结论．
解：(1)因为对于任意x ，x ∈D，
1 2
有f(x ·x )＝f(x )＋f(x )，
1 2 1 2
所以令x ＝x ＝1，得f(1)＝2f(1)，所以f(1)＝0.
1 2
(2)f(x)为偶函数．证明如下：
令x ＝x ＝－1，
1 2
有f(1)＝f(－1)＋f(－1)，
所以f(－1)＝f(1)＝0.
令x ＝－1，x ＝x有f(－x)＝f(－1)＋f(x)，
1 2
所以f(－x)＝f(x)，所以f(x)为偶函数．
[B级 综合练]
11．(2020·新高考卷Ⅰ)若定义在R的奇函数f(x)在(－∞，0)单调递减，且f(2)
＝0，则满足xf(x－1)≥0的x的取值范围是( )
A．[－1，1]∪[3，＋∞)
B．[－3，－1]∪[0，1]
C．[－1，0]∪[1，＋∞)
D．[－1，0]∪[1，3]
解析：选D.通解：由题意知f(x)在(－∞，0)，(0，＋∞)单调递减，且f(－2)＝f(2)
＝f(0)＝0.当x＞0时，令f(x－1)≥0，得0≤x－1≤2，所以1≤x≤3；当x＜0时，令
f(x－1)≤0，得－2≤x－1≤0，所以－1≤x≤1，又x＜0，所以－1≤x＜0；当x＝0时，
显然符合题意．综上，原不等式的解集为[－1，0]∪[1，3]，选D.
优解：当x＝3时，f(3－1)＝0，符合题意，排除B；当x＝4时，f(4－1)＝f(3)＜
0，此时不符合题意，排除选项A，C.故选D.
12．(多选)已知f(x)是定义域为R的函数，满足f(x＋1)＝f(x－3)，f(1＋x)＝f(3
－x)，当0≤x≤2时，f(x)＝x2－x，则下列说法正确的是( )
A．f(x)的最小正周期为4
B．f(x)的图象关于直线x＝2对称
C．当0≤x≤4时，函数f(x)的最大值为2
D．当6≤x≤8时，函数f(x)的最小值为－
解析：选ABC.由f(x＋1)＝f(x－3)得，f(x)＝f[(x－1)＋1]＝f[(x－1)－3]＝f(x－
4)，故函数f(x)的周期为4，A正确；由f(1＋x)＝f(3－x)可得f(2＋x)＝f(2－x)，所以函数f(x)的图象关于直线x＝2对称，B正确；作出函数f(x)在[0，8]上的大致图象
如图所示，由图可知，当0≤x≤4时，函数f(x)的最大值为f(2)＝2.C正确；当
6≤x≤8时，函数f(x)的最小值为f＝f＝－，D错误．
13．已知定义在R上的函数f(x)满足：
①对任意的实数x，y∈R，有f(x－y＋1)＝f(x)·f(y)＋f(1－x)f(1－y)；
②f(x)在区间[0，1]上单调递增．
(1)求f(0)的值；
(2)求证：f(x)是图象关于直线x＝1对称的奇函数．
解：(1)令x＝y＝0，则f(1)＝f2(0)＋f2(1)， ①
再令x＝0，y＝可得f＝f(0)·f＋f(1)f.
若f＝0，则f(1)＝f2＋f2＝0，这与f(x)在区间[0，1]上单调递增矛盾，
故f≠0，故1＝f(0)＋f(1)． ②
联立①②解得f(0)＝0且f(1)＝1，或f(0)＝且f(1)＝(舍去)．
综上，f(0)＝0，f(1)＝1.
(2)证明：用y代替1－y得f(x＋y)＝f(x)·f(1－y)＋f(1－x)f(y)． ③
在③中令y＝－x，可得f(0)＝f(x)f(1＋x)＋f(1－x)·f(－x)． ④
由③式可知f(x＋1)＝f(x)f(0)＋f(1－x)·f(1)＝f(1－x)，
即f(x＋1)＝f(1－x)，故f(x)的图象关于直线x＝1对称，
将上式代入④可得0＝f(x)f(1＋x)＋f(1＋x)f(－x)．
又f(x＋1)不恒为0，故f(x)＋f(－x)＝0恒成立，故f(x)为奇函数．
14．已知函数f(x)＝(其中a，b，c，d是实数常数，x≠－d)．
(1)若a＝0，函数f(x)的图象关于点(－1，3)成中心对称，求b，d的值；
(2)若函数f(x)满足条件(1)，且对任意x ∈[3，10]，总有f(x )∈[3，10]，求c的取
0 0
值范围．
解：(1)因为a＝0，所以f(x)＝＝b＋.
我们知道函数y＝(x≠0)的图象关于点(0，0)对称，而f(x)＝b＋相当于将f(x)＝
向左平移d个单位，再向上平移b个单位得到，因此f(x)的对称中心是(－d，b)．
又因为函数f(x)的图象的对称中心是(－1，3)，
所以(2)由(1)知，f(x)＝3＋.
依据题意，对任意x ∈[3，10]，
0
恒有f(x )∈[3，10]．
0
①当c＝3时，f(x)＝3，符合题意．
②当c≠3且c<3时，对任意x∈[3，10]，恒有f(x)＝3＋<3，不符合题意．
所以c>3，函数f(x)＝3＋在[3，10]上是单调递减函数，且满足f(x)>3.
因此，当且仅当f(3)≤10，
即3x f(x )＋x f(x )，则称函数y＝f(x)为“H函数”．下列函数为“H函
1 1 2 2 1 2 2 1
数”的是( )
A．f(x)＝sin x B．f(x)＝ex
C．f(x)＝x3－3x D．f(x)＝x|x|
解析：选D.根据题意，对于任意两个不相等的实数 x ，x ，都有 x f(x )＋
1 2 1 1
x f(x )>x f(x )＋x f(x )恒成立，则有(x －x )·[f(x )－f(x )]>0恒成立，即函数f(x)是定
2 2 1 2 2 1 1 2 1 2
义在R上的增函数，则“H函数”为奇函数且在R上为增函数．对于A，f(x)＝sin
x为正弦函数，为奇函数但不是增函数，不符合题意；对于B，f(x)＝ex为指数函数，
不是奇函数，不符合题意；对于C，f(x)＝x3－3x为奇函数，但在R上不是增函数，
不符合题意；对于D，f(x)＝x|x|＝为奇函数且在R上为增函数，符合题意．故选D.
16．已知定义在R上的函数y＝f(x)满足条件f＝－f(x)，且函数y＝f为奇函数．
给出以下四个命题：
①函数f(x)是周期函数；
②函数f(x)的图象关于点对称；
③函数f(x)为R上的偶函数；
④函数f(x)为R上的单调函数．
其中真命题的序号为________．
解析：由f＝－f(x)，得f(x＋3)＝－f，即f(x＋3)＝f(x)，所以函数f(x)是周期为3
的周期函数，①正确．由函数y＝f为奇函数，得f＝－f，所以函数y＝f的图象关于
点对称，②正确．由f＝－f(x)，得f＝－f.又f＝－f，所以f＝f，即f(x)＝f(－x)，故③
正确．由①知f(x)为周期函数，所以f(x)不可能单调，故④错误．因此真命题的序号为①②③.
答案：①②③
