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第 4 讲 功能关系 能量守恒定律
目标要求 1.熟练掌握几种常见的功能关系，并会用于解决实际问题.2.掌握一对摩擦力做
功与能量转化的关系.3.会应用能量守恒观点解决综合问题．
考点一 功能关系的理解和应用
1．对功能关系的理解
(1)做功的过程就是________________的过程，不同形式的能量发生相互转化是通过做功来
实现的．
(2)功是能量转化的________，功和能的关系，一是体现在不同的力做功，对应不同形式的
能转化，具有一一对应关系，二是做功的多少与能量转化的多少在数值上相等．
2．常见的功能关系
能量 功能关系 表达式
重力做的功等于重力势能减少量
弹力做的功等于弹性势能减少量
势能 W＝E －E ＝－ΔE
p1 p2 p
静电力做的功等于电势能减少量
分子力做的功等于分子势能减少量
动能 合外力做的功等于物体动能变化量 W＝E －E ＝mv2－mv2
k2 k1 0
除重力和弹力之外的其他力做的功等
机械能 W ＝E－E＝ΔE
其他 2 1
于机械能变化量
摩擦产生 一对相互作用的滑动摩擦力做功之和
Q＝F·x
f 相对
的内能 的绝对值等于产生的内能
电能 克服安培力做的功等于电能增加量 W ＝E－E＝ΔE
电能 2 1
1．一个物体的能量增加，必定有别的物体的能量减少．( )
2．合力做的功等于物体机械能的改变量．( )
3．克服与势能有关的力(重力、弹簧弹力、静电力等)做的功等于对应势能的增加量．( )
4．滑动摩擦力做功时，一定会引起机械能的转化．( )功的正负与能量增减的对应关系
(1)物体动能的增加与减少要看合外力对物体做正功还是做负功．
(2)势能的增加与减少要看对应的作用力(如重力、弹簧弹力、静电力等)做负功还是做正功．
(3)机械能的增加与减少要看重力和弹簧弹力之外的力对物体做正功还是做负功．
考向1 功能关系的理解
例1 (多选)如图所示，楔形木块abc固定在水平面上，粗糙斜面ab与水平面的夹角为
60°，光滑斜面bc与水平面的夹角为30°，顶角b处安装一定滑轮．质量分别为M、m(M>m)
的两滑块A和B，通过不可伸长的轻绳跨过定滑轮连接，轻绳与斜面平行．两滑块由静止释
放后，沿斜面做匀加速运动，A、B不会与定滑轮碰撞．若不计滑轮的质量和摩擦，在两滑
块沿斜面运动的过程中( )
A．轻绳对滑轮作用力的方向竖直向下
B．拉力和重力对M做功之和大于M动能的增加量
C．拉力对M做的功等于M机械能的增加量
D．两滑块组成系统的机械能损失等于M克服摩擦力做的功
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例2 (多选)如图所示，质量为m的物体(可视为质点)以某一速度从A点冲上倾角为30°的
固定斜面，其减速运动的加速度大小为g，此物体在斜面上能够上升的最大高度为h，则在
这个过程中物体( )
A．重力势能增加了mgh
B．机械能损失了mgh
C．动能损失了mgh
D．克服摩擦力做功mgh
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考向2 功能关系与图像的结合例3 (多选)(2020·全国卷Ⅰ·20)一物块在高3.0 m、长5.0 m的斜面顶端从静止开始沿斜面
下滑，其重力势能和动能随下滑距离 s的变化如图中直线Ⅰ、Ⅱ所示，重力加速度取10
m/s2.则( )
A．物块下滑过程中机械能不守恒
B．物块与斜面间的动摩擦因数为0.5
C．物块下滑时加速度的大小为6.0 m/s2
D．当物块下滑2.0 m时机械能损失了12 J
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考点二 摩擦力做功与能量转化
两种摩擦力做功特点的比较
类型
静摩擦力做功 滑动摩擦力做功
比较
(1)一部分机械能从一个物体转
只有机械能从一个物体
移到另一个物体
转移到另一个物体，而
能量的转化 (2)一部分机械能转化为内能，
没有机械能转化为其他
此部分能量就是系统机械能的
形式的能
不同点 损失量
一对滑动摩擦力做功的代数和
一对摩擦力 一对静摩擦力所做功的 总是负值，总功W＝－Fs
f 相
的总功 代数和总等于零 ，即发生相对滑动时产生的
对
热量
两种摩擦力对物体可以做正功，也可以做负功，还可以不
相同点 做功情况
做功
例4 (多选)如图所示，一个长为L，质量为M的木板，静止在光滑水平面上，一个质量
为m的物块(可视为质点)，以水平初速度v ，从木板的左端滑向另一端，设物块与木板间的
0
动摩擦因数为μ，当物块与木板相对静止时，物块仍在长木板上，物块相对木板的位移为d，木板相对地面的位移为s，重力加速度为g.则在此过程中( )
A．摩擦力对物块做的功为－μmg(s＋d)
B．摩擦力对木板做的功为μmgs
C．木板动能的增量为μmgd
D．由于摩擦而产生的热量为μmgs
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例5 (多选)(2019·江苏卷·8)如图所示，轻质弹簧的左端固定，并处于自然状态．小物块
的质量为m，从A点向左沿水平地面运动，压缩弹簧后被弹回，运动到A点恰好静止．物块
向左运动的最大距离为s，与地面间的动摩擦因数为μ，重力加速度为g，弹簧未超出弹性限
度．在上述过程中( )
A．弹簧的最大弹力为μmg
B．物块克服摩擦力做的功为2μmgs
C．弹簧的最大弹性势能为μmgs
D．物块在A点的初速度为
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考点三 能量守恒定律的理解和应用
1．内容
能量既不会凭空产生，也不会凭空消失，它只能从一种形式转化为其他形式，或者从一个物
体转移到别的物体，在转化或转移的过程中，能量的总量保持不变．
2．理解
(1)某种形式的能量减少，一定存在其他形式的能量增加，且减少量和增加量一定相等；
(2)某个物体的能量减少，一定存在其他物体的能量增加，且减少量和增加量一定相等．
例6 (多选)(2023·广东省金山中学高三检测)如图所示，轻弹簧放在倾角为37°的斜面体上，
轻弹簧的下端与斜面底端的挡板连接，上端与斜面上b点对齐，质量为m的物块在斜面上
的a点由静止释放，物块下滑后，压缩弹簧至c点时速度刚好为零，物块被反弹后返回b点
时速度刚好为零，已知ab长为L，bc长为，重力加速度为g，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8.则(
)A．物块与斜面间的动摩擦因数为0.5
B．物块接触弹簧后，速度先减小后增大
C．弹簧具有的最大弹性势能为0.5mgL
D．物块在上述过程因摩擦产生的热量为0.6mgL
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例7 如图所示，固定斜面的倾角θ＝30°，物体A与斜面之间的动摩擦因数μ＝，轻弹簧下
端固定在斜面底端，弹簧处于原长时上端位于C点，用一根不可伸长的轻绳通过轻质光滑
的定滑轮连接物体A和B，滑轮右侧绳子始终与斜面平行，A的质量为2m＝4 kg，B的质量
为m＝2 kg，初始时物体A到C点的距离L＝1 m，现给A、B一初速度v＝3 m/s，使A开始
0
沿斜面向下运动，B向上运动，物体A将弹簧压缩到最短后又恰好能弹回到C点．已知重力
加速度大小g＝10 m/s2，不计空气阻力，整个过程中轻绳始终处于伸直状态．求在此过程中：
(1)物体A向下运动刚到C点时的速度大小；
(2)弹簧的最大压缩量；
(3)弹簧的最大弹性势能．
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应用能量守恒定律解题的步骤
1．首先确定初、末状态，分清有几种形式的能在变化，如动能、势能(包括重力势能、弹性
势能、电势能)、内能等．
2．明确哪种形式的能量增加，哪种形式的能量减少，并且列出减少的能量 ΔE 和增加的能
减
量ΔE 的表达式．
增
例8 如图所示，一自然长度小于R的轻弹簧左端固定，在水平面的右侧，有一底端开口
的光滑圆环，圆环半径为R，圆环的最低点与水平轨道相切，用一质量为m的小物块(可看
作质点)压缩弹簧右端至P点，P点到圆环最低点距离为2R，小物块释放后，刚好过圆环的
最高点，已知重力加速度为g，小物块与水平面间的动摩擦因数为μ.(1)弹簧的弹性势能为多大？
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(2)改变小物块的质量，仍从P点释放，要使小物块在运动过程中不脱离轨道，小物块质量
满足的条件是什么？
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