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第 3 课时 专题强化：电场中的图像问题 电场中的功能
关系
目标要求 1.掌握静电力做功的计算方法及电场中常用的功能关系。2.掌握电场中的几种常
见图像。
考点一 电场中的功能关系
几种常见的功能关系：
(1)合外力做功等于动能的变化，即W ＝E －E ＝ΔE(动能定理)。
合 k2 k1 k
(2)重力做功等于物体重力势能的变化，即W ＝E －E ＝－ΔE。
G pG1 pG2 p
(3)静电力做功等于电势能的变化，即W ＝E －E ＝－ΔE 。
电 p电1 p电2 p电
(4)弹簧弹力做功等于弹性势能的变化，即W ＝E －E ＝－ΔE 。
弹 p1 p2 p弹
(5)除了重力和弹簧弹力之外其他力做的总功等于物体机械能的变化，即 W ＝E －E
其他力 机2 机1
＝ΔE 。
机
说明：动能定理可以把不同力对物体做的功联系起来；能量守恒定律可以把系统中参与变化
的所有能量联系起来。
例1 (2023·四川泸州市期末)如图所示，带正电小球A固定在绝缘天花板上，绝缘轻弹簧
的下端固定在水平地面上，弹簧处于自由状态，现将与 A完全相同的带正电小球B放在弹
簧上端并由静止释放，若A、B球心和弹簧轴线始终在一条竖直线上，则小球B从释放到第
一次运动到最低点的过程中，下列说法中正确的是( )
A．小球B速度最大时所受弹簧弹力和库仑力的合力为零
B．小球B的加速度先减小后增大
C．小球B与弹簧组成系统的机械能一定减小
D．小球A与B组成系统的电势能一定先减小后增大
答案 B
解析 小球B向下运动的过程中受到重力、库仑力、弹簧的弹力作用，当弹簧的弹力、重
力、库仑力的合力为0时，小球B的加速度为0，速度最大，故A错误；开始运动时，弹簧的弹力小于重力和库仑力之和，合力竖直向下，小球向下做加速运动，由于弹簧的弹力逐渐
增大，库仑力减小，合力减小，加速度减小，当合力减小为0时，速度最大，之后弹簧的弹
力大于重力与库仑力之和，合力竖直向上，小球向下做减速运动，弹簧的弹力逐渐增大，库
仑力减小，合力竖直向上，加速度增大，因此小球 B的加速度先减小后增大，故B正确；
由于库仑力对小球B做正功，由功能关系可知，小球B与弹簧组成系统的机械能一定增大，
故C错误；库仑力对小球B做正功，小球A与B组成系统的电势能一直减小，故D错误。
例2 如图所示，在水平向右的匀强电场中，质量为m的带电小球，以初速度v从M点竖
直向上运动，通过N点时，速度大小为2v，方向与电场方向相反，则小球从M运动到N的
过程( )
A．动能增加mv2 B．机械能增加2mv2
C．重力势能增加mv2 D．电势能增加2mv2
答案 B
解析 小球动能的增加量为ΔE ＝m(2v)2－mv2＝mv2，A错误；小球在竖直方向上的分运动
k
为匀减速直线运动，到N时竖直方向的速度为零，则M、N两点之间高度差为h＝，小球重
力势能的增加量为ΔE ＝mgh＝mv2，C错误；静电力对小球做正功，则小球的电势能减少，
p
由能量守恒定律可知，小球减小的电势能等于重力势能与动能的增加量之和，则电势能的减
少量为ΔE′＝mv2＋mv2＝2mv2，D错误；由功能关系可知，除重力外的其他力对小球所做
p
的功在数值上等于小球机械能的增加量，即2mv2，B正确。
考点二 电场中的图像问题
1．电场中的v－t图像
根据v－t图像的速度变化、斜率变化(即加速度大小的变化)，可确定电荷所受静电力的方向
与静电力的大小变化情况，进而确定电场的方向、电势的高低及电势能的变化。
例3 (多选)(2023·宁夏银川市一中模拟)一带负电粒子仅在静电力的作用下从A点沿直线运
动到B点，速度由v 变为v，其速度—时间图像如图所示，下列说法正确的是( )
1 2A．A、B两点的电势关系为φ >φ
A B
B．A点附近的等势面要比B点附近的等势面稀疏
C．A、B两点的电场强度大小关系为E >E
A B
D．粒子从A点到B点的过程中，可能两次经过同一个等势面
答案 AC
解析 根据速度由v 变为v ，速度减小，可知静电力对粒子做负功，电势能增加。根据带
1 2
电粒子在电场中的运动规律可知，负电荷高势低能，则 φ >φ ，故A正确；电场线密集的位
A B
置等势面密集，电场强度更大，则带电粒子受到的静电力更大，加速度大，在 v－t图像中
斜率的绝对值更大，A处斜率的绝对值大于B处斜率的绝对值，则电场强度的关系E >E ，
A B
A点附近的等势面要比B点附近的等势面密集，故B错误，C正确；粒子从A点到B点的过
程中，速度一直减小，则静电力一直做负功，电势能一直增大，故不可能两次经过同一个等
势面，故D错误。
2．φ－x图像(电场方向与x轴平行)
(1)电场强度的大小等于φ－x图线的切线斜率的绝对值，如果图线是曲线，电场为非匀强电
场；如果图线是倾斜的直线，电场为匀强电场(如图)。切线的斜率为零时沿x轴方向电场强
度为零。
(2)在φ－x图像中可以直接判断各点电势的高低，并可根据电势大小关系确定电场强度的方
向，进而可以判断电荷在电场中的受力方向。(如图)
(3)电场中常见的φ－x图像
①点电荷的φ－x图像(取无限远处电势为零)，如图。
②两个等量异种点电荷连线上的φ－x图像，如图。③两个等量同种点电荷的φ－x图像，如图。
例4 (多选)(2023·贵州贵阳市一中检测)如图所示，在x轴上的O点(x＝0)和b点(x＝15 cm)
分别固定放置两点电荷q 、q ，其静电场的电势φ在x轴上分布如图所示，取无穷远处的电
1 2
势为零，下列说法正确的是( )
A．a、c两点的电场强度相同
B．q 所带电荷量是q 所带电荷量的4倍
1 2
C．将一负电荷从a点移到c点，静电力做功为零
D．将一负电荷从c点移到d点，电势能增大
答案 BC
解析 φ－x图像的斜率的绝对值表示电场强度的大小，斜率的正负表示电场强度的方向，
由题图可知，a、c两点电势相等，但电场强度大小和方向均不同，故 A错误；由题图可知，
d点图像斜率为零，表明该点的合电场强度为零，而 d点到两点电荷q 、q 的距离之比为
1 2
2∶1，根据点电荷电场强度公式E＝可得，q、q 电荷量之比为4∶1，故B正确；a、c两点
1 2
电势相等，电势差为零，负电荷从a点移到c点，静电力做功为零，故C正确；c、d间电场
方向向左，负电荷从c点移到d点，静电力做正功，电势能减小，故D错误。
3．E－x图像(电场方向与x轴平行)
(1)E－x图像为静电场在x轴上的电场强度E随x的变化关系，若规定x轴正方向为电场强度
E的正方向，则E>0，电场强度E沿x轴正方向；E<0，电场强度E沿x轴负方向。
(2)E－x图线与x轴所围图形“面积”表示电势差(如图所示)，两点的电势高低根据电场方向
判定。在与粒子运动相结合的题目中，可进一步确定粒子的电性、动能变化、电势能变化等
情况。(3)电场中常见的E－x图像(沿x轴正方向为电场强度正方向)
①点电荷的E－x图像
正点电荷及负点电荷的电场强度E随坐标x变化关系的图像大致如图所示。
②两个等量异种点电荷的E－x图像，如图。
③两个等量正点电荷的E－x图像，如图。
例5 (2023·辽宁大连市一模)如图甲所示，在真空中固定的两个相同点电荷A、B关于x轴
对称，它们在x轴上的E－x图像如图乙所示(规定x轴正方向为电场强度的正方向)。若在坐
标原点O由静止释放一个正点电荷q，它将沿x轴正方向运动，不计重力。则( )
A．A、B带等量正电荷
B．点电荷q在x 处电势能最大
1
C．点电荷q在x 处动能最大
3
D．点电荷q沿x轴正方向运动的最远距离为2x
2
答案 D
解析 由E－x图像可知，在x轴上的P点对应x 点，在P点的左侧电场强度为正值，沿x
2
轴正方向，右侧为负值，可知A、B带等量负电荷，A错误；电荷量为q的正点电荷，从O点到P点，静电力做正功，电势能减小，从P点沿x轴正方向运动，静电力做负功，电势能
增加，因此点电荷q在x 处电势能不是最大，且点电荷q在x 处动能最大，B、C错误；由
1 2
对称性可知，点电荷q沿x轴正方向最远能到达O′处，由动能定理qU ＝ΔE ＝0，则
OO′ k
U ＝0，由对称性知O′与O关于P点对称，故点电荷q沿x轴正方向运动的最远距离为
OO′
2x，D正确。
2
4．E－x图像、E－x图像
p k
(1)E－x图像
p
由静电力做功与电势能变化关系F x＝E －E ＝－ΔE 知E －x图像的切线斜率k＝，其绝
电 p1 p2 p p
对值等于静电力大小，正负代表静电力的方向。
(2)E－x图像
k
当只有静电力对带电体做功，由动能定理 F x＝E －E ＝ΔE 知E －x图像的切线斜率k
电 k k0 k k
＝，斜率表示静电力。
例6 (2023·北京市北师大实验中学检测)一带负电的粒子只在静电力作用下沿x轴正方向运
动，其电势能E 随位置x变化的关系如图所示，其中0～x 段是关于直线x＝x 对称的曲线，
p 2 1
x～x 段是直线，则下列说法正确的是( )
2 3
A．x 处电场强度最小，但不为零
1
B．粒子在0～x 段做匀变速运动，x～x 段做匀速直线运动
2 2 3
C．若x、x 处电势分别为φ、φ，则φ<φ
1 3 1 3 1 3
D．x～x 段的电场强度大小、方向均不变
2 3
答案 D
解析 E －x图像的斜率表示粒子所受静电力F，根据F＝qE可知x 处电场强度最小且为零，
p 1
选项A错误；粒子在0～x 段切线的斜率发生变化，静电力发生变化，所以加速度也在变化，
2
做变速运动，x ～x 段斜率不变，所以做匀变速直线运动，选项B错误；带负电的粒子从x
2 3 1
到x 的过程中电势能增加，说明电势降低，即φ>φ ，选项C错误；x ～x 段斜率不变，所
3 1 3 2 3
以这段电场强度大小、方向均不变，选项D正确。
课时精练
1.(2024·湖北省模拟)如图所示，空间有一带正电的点电荷，图中的实线是以该点电荷为圆心的同心圆，这些同心圆位于同一竖直平面内，MN为一粗糙直杆，A、B、C、D是杆与实线
圆的交点，一带正电的小球(视为质点)穿在杆上，以速度v 从A点开始沿杆向上运动，到达
0
C点时的速度为v，则小球由A点运动到C点的过程中，下列说法正确的是( )
A．小球减少的机械能一定等于克服摩擦力做的功
B．小球减少的机械能一定大于克服摩擦力做的功
C．小球的机械能守恒
D．小球的机械能增大
答案 B
解析 小球由A点运动到C点，重力做负功，重力势能增加，静电力做的总功为负功，电
势能增加，摩擦力做负功，产生热量，由能量守恒定律知，小球减少的机械能等于增加的电
势能与产生的热量之和，故A错误，B正确；静电力和摩擦力都做负功，机械能一定减少，
故C、D错误。
2．如图甲所示，两个点电荷Q、Q 固定在x轴上距离为L的两点，其中Q 带正电，位于原
1 2 1
点O，a、b是它们连线延长线上的两点，其中b点与O点相距3L。现有一带电的粒子q以
一定的初速度沿x轴从a点开始经b点向远处运动(粒子只受静电力作用)，设粒子经过a、b
两点时的速度分别为v、v，其速度随坐标x变化的图像如图乙所示，则以下判断正确的是(
a b
)
A．Q∶Q＝4∶9
1 2
B．b点的电场强度一定为零
C．a点的电势比b点的电势高
D．粒子在a点的电势能比在b点的电势能小
答案 B
解析 由图像可知，粒子在b点之前做加速运动，b点之后做减速运动，可知在b点加速度
为0，由于粒子只受静电力，所以 b点电场强度为0，且Q 带负电，因此k－k＝0，解得
2
Q∶Q＝9∶4，故A错误，B正确；
1 2
因为Q 带正电、Q 带负电，所以在ab段电场线方向由b指向a，沿电场线方向电势逐渐降
1 2
低，故a点的电势比b点的电势低，故C错误；粒子从a到b过程中在做加速运动，故静电力做正功，电势能在减小，所以粒子在a点的电势能比在b点的电势能大，故D错误。
3．(2023·江西赣州市模拟)带电球体的半径为R，以球心O为原点建立x轴，轴上各点电势
φ随x变化如图所示，下列说法正确的是( )
A．球体带正电荷
B．球心处电场强度最大
C．A、B两点电场强度相同
D．一带负电的试探电荷在B点的电势能比在C点的电势能大
答案 D
解析 从球边缘出发向两侧电势升高，而沿着电场线电势降低，故球带负电荷，A错误；球
是等势体，故内部任意两点间的电势差为零，故电场强度为零，B错误；A点与B点的电场
强度大小相等，但方向相反，C错误；从B到C，电势升高，根据E＝qφ，故负电荷在B点
p
的电势能比在C点的电势能大，D正确。
4.(多选)一带正电微粒只在静电力作用下沿 x轴正方向运动，其电势能随x变化的关系如图
所示，其中O～x 段是曲线，x ～x 段是平行于x轴的直线，x ～x 段是倾斜直线，则下列说
1 1 2 2 3
法正确的是( )
A．O～x 段电势逐渐升高
1
B．O～x 段微粒做加速度逐渐减小的加速运动
1
C．x～x 段电场强度为零
1 2
D．x～x 段的电势沿x轴均匀降低
2 3
答案 ACD
解析 电势能E ＝φq，由于微粒带正电，O～x 段电势能变大，所以电势升高，A正确；根
p 1
据ΔE＝FΔx，图线斜率反映静电力，O～x 段图线斜率变小，静电力减小，加速度逐渐减小，
p 1
由于电势能增加，静电力做负功，则微粒做减速运动，即微粒做加速度减小的减速运动，B
错误；x ～x 段斜率为零，不受静电力，即电场强度为零，C正确；x 到x ，电势能均匀减
1 2 2 3
小，微粒带正电，所以电势沿x轴均匀降低，D正确。
5.(2023·山东潍坊市模拟)如图所示，在方向竖直向下的匀强电场中，两个质量相同、带电荷
量分别为－q和＋q的小球a、b固定于绝缘轻杆的两端，轻杆可绕中点O处的固定轴在竖直
面内无摩擦转动。已知O点电势为0，不考虑带电小球间的相互作用力，以O点所在水平面为零势能面，杆从静止开始由水平位置顺时针转动180°的过程中( )
A．小球a、b总动能一直增加
B．小球a、b系统机械能始终不变
C．小球a、b系统电势能始终不变
D．小球a、b任一时刻的电势能相等
答案 D
解析 静电力对a球先做正功再做负功，对b球也是先做正功再做负功，所以杆从静止开始
由水平位置顺时针转动90°的过程中小球a、b与轻杆组成的系统电势能减小，总动能增加，
机械能增加；杆从90°转到180°的过程中，系统电势能增大，总动能减小，机械能减小，最
后与初始位置的电势能相等，机械能也相等，总动能为零，故A、B、C错误；由于O点处
电势为零，由W ＝0－E，在匀强电场中W ＝Eqx
电 p 电
因为两小球运动过程中在任一时刻竖直方向上的位移大小相同，所以小球 a、b任一时刻的
电势能相等，D正确。
6.(多选)真空中，点电荷a、b分别位于x轴上的x＝－L处的P点和x＝L处的Q点，它们之
间连线上电场强度E随位置x变化的图像如图所示。一带正电的试探电荷由 x＝－0.5L处的
M点由静止释放后能通过x＝0.5L处的N点。不计试探电荷的重力，O为坐标原点，以下判
断正确的是( )
A．a、b均带正电
B．a电荷量大于b电荷量
C．x轴上从P至Q电势先降低再升高
D．M、O间的电势差大于O、N间的电势差
答案 BD
解析 由题图可知，从P到Q电场强度方向不变，带正电的试探电荷从M点由静止释放后
能通过N点，说明a带正电、b带负电，故A错误；a带正电、b带负电，合电场强度最小
时，a、b在该点产生的电场强度相等，设合电场强度最小时横坐标为x，则有E＝k，E ＝
a b
k，可知Q>Q ，故B正确；从P到Q电场强度方向不变，从正电荷指向负电荷，沿着电场
a b
线的方向电势降低，可知x轴上从P至Q电势逐渐降低，故C错误；M、O间的平均电场强
度大于O、N间的平均电场强度，M、O间距离和O、N间距离相等，根据E＝，可知M、O间的电势差大于O、N间的电势差，故D正确。
7.有一电场在x轴上各点的电场强度分布如图所示。现将一带正电的粒子(不计重力)从O点
由接近于0的速度释放，仅在静电力的作用下，带电粒子沿x轴向右运动，则关于该电场在
x轴上各点的电势(φ)、带电粒子的电势能(E)、动能(E)以及动能与电势能之和(E)随x变化
p k 0
的图像，正确的是( )
答案 C
解析 根据x轴上各点电场强度的分布特点可知，该电场的分布类似于等量正电荷中垂线上
电场强度的分布，电场线的方向与x轴正方向一致。在x轴上，沿电场线的方向，电势逐渐
降低，所以O点的电势最高，故A错误；带电粒子的电势能E ＝qφ，由题意知带电粒子带
p
正电，所以粒子在O点的电势能最大，故B错误；由动能定理知，静电力做的功等于动能
的变化量，有qEx＝E －E ，由题意知带电粒子的初动能E ＝0，得E ＝qEx，静电力始终
k k0 k0 k
做正功，动能一直增大。由于电场强度随x先增大后减小，所以动能随x变化的图像的切线
斜率先增大后减小，故C正确；带电粒子在运动过程中，只有静电力做功，故电势能与动
能的总和保持不变，故D错误。
8．如图甲，粗糙绝缘的水平地面上，电荷量为Q 、Q 的两个点电荷分别固定于相距为6L
A B
的A、B两处。一质量为m、电荷量为q的带负电小滑块(可视为质点)从x＝－L处由静止释
放后沿x轴正方向运动，在x＝2L处开始反向运动。滑块与地面间的动摩擦因数为μ，滑块
在不同位置所具有的电势能E 如图乙所示，P点是图线最低点，重力加速度为g。下列说法
p
正确的是( )A．两固定点电荷均为正电荷
B．Q ＝2Q
A B
C．x＝L处电势最低
D．从－L到2L，电势升高
答案 D
解析 小滑块带负电，结合题意可知两固定点电荷均为负电荷，在x＝L处电势能最低，则
x＝L处电势最高，故A、C错误；根据功能关系知E －x图像的斜率表示静电力，可知在x
p
＝L处静电力为零，则k＝k，解得Q ＝4Q ，故B错误；对滑块，从－L到2L，由动能定理
A B
有－qU－μmg·3L＝0－0，解得U＝，则从－L到2L，电势差为负，电势升高，故D正确。
9.(多选)(2023·福建厦门市质检)空间中有水平方向上的匀强电场，一质量为 m、带电荷量为
q的微粒在某平面内运动，其电势能和重力势能随时间的变化如图所示，则该微粒( )
A．一定带正电
B．0～3 s内静电力做的功为－9 J
C．运动过程中动能不变
D．0～3 s内除静电力和重力外所受其他力对微粒做的功为12 J
答案 BCD
解析 由于不清楚电场强度的方向，故无法确定微粒的电性，故A错误；由题图可知，0～
3 s内电势能增加9 J，则0～3 s静电力做的功为－9 J，故B正确；由题图可知，电势能均匀
增加，即静电力做的功与时间成正比，说明微粒沿静电力方向做匀速直线运动，同理，沿重
力方向也做匀速直线运动，则微粒的合运动为匀速直线运动，所以运动过程中速度不变，动
能不变，故C正确；由功能关系可知，0～3 s内重力势能与电势能共增加12 J，又微粒的动
能不变，故0～3 s内除静电力和重力外所受其他力对微粒做的功为12 J，故D正确。
10．(2021·山东卷·6)如图甲所示，边长为a的正方形，四个顶点上分别固定一个电荷量为＋
q的点电荷；在0≤x
