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第 05 讲 四边形的证明与计算
（限时90分钟，满分120分）
一、选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（2025·河北秦皇岛·一模）点F是正五边形ABCDE边DE的中点，连接BF并延长与CD延长线交于点
G，则∠BGC的度数为（ ）
A．18° B．20° C．24° D．26°
2．（2025·江苏无锡·一模）如图，矩形ABCD中，AB=8，BC=6，将矩形ABCD绕点A逆时针旋转得到
矩形AB'C'D'，当点C，B'，C'三点共线时，AB'交DC于点E，则DE的长度是（ ）
7 25 7 25
A． B． C． D．
8 8 4 4
3．（2025·陕西西安·二模）如图，在平行四边形ABCD中，过D 作DE⊥BC于 点E，若∠A=60°，
DE=6，则 AB的长为（ ）
A．2√3 B．3 C．4√3 D．6√3
4．（2025·陕西·模拟预测）如图，在 ▱ABCD中，AB=4，BC=6，O是对角线BD的中点，E是边AB上
一点，连接EO并延长交CD于点F，延长FE交CB的延长线于点G．若BE=1，则BG的长为（ ）
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A．2.5 B．3 C．3．5 D．4
5．（2025·陕西·模拟预测）如图，在矩形ABCD中，AD=2AB,AC与BD相交于点O．过O作OE⊥CD，
OE
垂足为E，则 的值为（ ）
CD
1 √3
A． B． C．1 D．√3
2 2
1
6．（2025·山西长治·模拟预测）如图，在△ABC中，分别以点B，C为圆心，大于 BC的长为半径画弧，
2
两弧交于点D，E，且点D恰好在AC边上，直线DE与BC交于点F，连接BD,BE,CE．若
CD=2,∠ACB=30°，则四边形BECD的面积为（ ）
A．√3 B．2√3 C．4 D．8
7．（2025·湖南·模拟预测）如图，在矩形ABCD中，AB=1，BC=√3，AC为对角线，∠BAC的平分线
交BC于点E，连接DE交AC于点F．则下列结论中错误的是（ ）
2√3 √3 √21
A．∠BCA=30° B．EC= C．S ❑ = D．DF=
3 △ ADE 3 5
8．（2024·贵州贵阳·二模）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长为1，每个正方形的顶点叫做格
点，点A，B，C，D都在这些小正方形的顶点上，AB与CD相交于点P，则tan∠APD的值为（ ）
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A．2 B．❑√5 C．3 D．❑√6
9．（2024·甘肃·中考真题）如图1，动点P从菱形ABCD的点A出发，沿边AB→BC匀速运动，运动到
点C时停止．设点P的运动路程为x，PO的长为y，y与x的函数图象如图2所示，当点P运动到BC中点
时，PO的长为（ ）
A．2 B．3 C．√5 D．2√2
10．（2024·重庆·中考真题）如图，在正方形ABCD的边CD上有一点E，连接AE，把AE绕点E逆时针旋
FG
转90°，得到FE，连接CF并延长与AB的延长线交于点G．则 的值为（ ）
CE
3√2 3√3
A．√2 B．√3 C． D．
2 2
二、填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．（2025·上海浦东新·模拟预测）如图，在矩形ABCD中，AB=6，AD=8，点E是边AD上的一个动
点，把△BAE沿BE折叠，点A落在A'处，如果A'恰在矩形的对角线AC上，则AE的长为 ．
12．（2025九年级下·全国·专题练习）如图，M是正方形ABCD边CD的中点，P是正方形内一点，连接
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BP，线段BP以B为中心逆时针旋转90°得到线段BQ，连接MQ．若AB=4,MP=1，则MQ的最小值为
．
13．（2025·广东深圳·一模）如图，已知矩形ABCD的一边AD落在y轴的正半轴，它的顶点B与对角线
4
BD的中点E均在反比例函数y= (x>0)的图象上，则矩形ABCD的面积为 ．
x
14．（2025·陕西·模拟预测）如图，在菱形ABCD中，AB=6，∠A=60°，点E,F分别在边AB和AD上，
且EF=4．当△AEF的面积最大时，△CEF的面积为 ．
15．（2025·上海黄浦·一模）如图，将矩形ABCD平移到矩形EFGH的位置（点A对应点E，点B对应点F，
点C对应点G），边EH与CD交于点M，边EF与BC交于点N，其中DM:MC=3:2，BN:CN=3:2，
如果M、N两点的距离为a，那么A、E两点的距离为 ．（用含a的代数式表示）
16．（2025·新疆乌鲁木齐·三模）如图，在△ABC中，AB=AC=√5，BC=4，D为边AB上一动点（B点
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1
除外），以CD为一边作正方形CDEF，连接BE，则① tan∠ABC= ；② △ABC中，AB边上的高为
2
4 √5
√5；③ ∠EBC=45°；④当△BDE面积取最大值时，AD长为 ，以上结论正确的有 ．（写
5 5
序号）
三、解答题（共9小题，满分72分，其中17、18、19题每题6分，20题、21题每题7分，22题8分，23
题9分，24题10分，25题13分）
17．（2024·湖南长沙·三模）如图，菱形ABCD的对角线AC,BD相交于点O，过点D作DE∥AC，且
1
DE= AC，连接CE．
2
(1)求证：四边形OCED为矩形：
(2)连接AE．若BD=4,AE=2√10，求菱形ABCD的面积．
18．（2025·湖北十堰·一模）在四边形ABCD中，AB∥CD，点E，F在对角线BD上，BE=EF=FD，
∠BAF=∠DCE=90°．
(1)求证：△ABF≌△CDE；
(2)连接AE，CF，已知______（从以下两个条件中选择一个作为已知，填写
序号），请判断四边形AECF的形状，并证明你的结论．条件①：
∠ABD=30°；条件②：AB=BC．
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19．（2025·上海宝山·模拟预测）簪花结束后，小强和爸爸牵着妈妈的手，到蟳埔村参观游玩拍照纪念，
精美的镂空窗花搭配蚵壳墙，极具泉州古民居特色，给小强一家留下来极其深刻的印象，在感叹泉州人民
的勤劳与智慧的同时，聪明的小强发现有的窗花是由几种形状的正多边形组合镶嵌而成，具有很好的对称
美，小强爸爸给他出了如下两个题目，请帮帮小强一起解决．
(1)已知一扇窗户在某个结点处由两种边长相等的正多边形镶嵌而成，其中一种是等边三角形，另一个种不
能是下列哪种形状的正多边形______（填序号）
①正三角形 ②正四边形 ③正五边形 ④正六边形
(2)小强发现某个花纹用4个全等的正八边形进行拼接，使相等的两个正八边形有一条公共边，围成一圈后
中间形成一个正方形，如图1，小强猜想，如果用n个全等的正六边形按这种方式进行拼接，如图2，若围
成一圈后中间形成一个正多边形，则n的值为______，并简要说明理由
20．（2023·山东青岛·二模）【问题背景】
如图1，△ABC是一张等腰直角三角形纸板，∠C=90°，AC=BC=2．取AC、BC、AB中点进行第1
次剪取，记所得正方形面积为S ，如图2，在余下的△ADE和△BDF中，分别剪取正方形，得到两个相同
1
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的正方形，称为第2次剪取，并记这两个正方形面积和为S (如图2).
2
【问题探究】
（1）S = ______ ；
2
（2）如图3，再在余下的四个三角形中，用同样方法分别剪取正方形，得到四个相同的正方形，称为第3
次剪取，并记这四个正方形面积和为S 继续操作下去…，则第10次剪取时，S = ______ ；第n次剪取时，
3 10
S = ______ ．
n
【拓展延伸】在第10次剪取后，余下的所有小三角形的面积之和为______ ．
21．（2025·上海宝山·一模）如图，正方形ABCD的边长是3，点E、F分别在边AD、CD上，
∠EBF=45°，BE、BF分别与对角线AC交于点G、H．
(1)当∠ABE= °时，AG=CH，先补全条件；
(2)如果CH=√2，求BG的长．
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22．（2025·上海奉贤·一模）已知，如图，在△ABC中，点D在边AC上，点M、N在边BC上，AB是线
段AD与AC的比例中项，∠BAN=∠CAM,AM、AN分别交BD于点
E、F．
BD BC
(1)求证： = ；
AE AN
(2)若点O为BD边的中点，连接ON，且BD2=2BN·BC，求证：
ON∥AB．
6
23．（2025·山东临沂·一模）如图，直线 l :y=ax+b(a≠0)的图象与反比例函数y= 的图象交于
1 x
A(m,4)，B(−3,−2)两点． (1)求一次函数的解析式；
6
(2)请写出不等式 ≥ax+b的解集： ；
x
(3)将直线l 向右平移 3 个单位长度得直线l ，顺次连接两直线与坐标
1 2
轴的交点得到四边形CDEF，请判断它的形状，并说明理由．
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24．（23-24九年级上·安徽合肥·期末）在矩形ABCD的CD边上取一点E，将△BCE沿BE翻折，使C点恰
好落在AD边上点F处，且AB≠BC．
(1)如图1，若BC=2BA，求∠CBE的度数；
(2)如图2．当DE=4，且AF⋅FD=40时．求BC的长；
5
(3)如图3，作∠ABF的角平分线交AD于点N，若BC=5，NF= ．求AB的值．
3
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25．（2024·浙江宁波·二模）（1）如图 1，在三角形 ABC 中， N 是 BC 中点，连结 AN，M 是
AN 上任意一点，过点 M 作DE∥BC别交 AB，AC 于点 D、E ，求证：M 是DE中点；
（2）如图 2，在四边形 ABCD 中，AB∥CD，AD 与 BC 不平行， ∠DCB=60° ，
AD=AB=CB=2，连结对角线 AC，BD 交于点 O，E 是 AD 上的点，过点 E 作EF∥DB交 AB
于点 F，AC 于点 M ，求EM:MF的值；
（3）如图 3，在菱形 ABCD中，∠D=120° ， AB=4 ，分别取菱形各边的中点 G，H，P，Q 并
顺次连结得到四边形 PQGH ，连结 PG，HQ 交于点 O，E 是 PQ 上一动点，作EF∥QH交 PH
于点 F ，交 PG 于点 M ，过点 M 作 MN⊥EM交 QG 于点 N ，连结 EN ，求 EN 的最小值．
10
