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专题05 相等关系与不等关系
1、【2022年新高考2卷】若x，y满足x2+ y2−xy=1，则（ ）
A．x+ y≤1 B．x+ y≥−2
C．x2+ y2≤2 D．x2+ y2≥1
【答案】BC
(a+b) 2 a2+b2
【解析】因为ab≤ ≤ （a,b∈R），由x2+ y2−xy=1可变形为，
2 2
(x+ y) 2−1=3xy≤3
(x+ y) 2
，解得−2≤x+ y≤2，当且仅当x= y=−1时，x+ y=−2，当且仅当
2
x= y=1时，x+ y=2，所以A错误，B正确；
x2+ y2
由x2+ y2−xy=1可变形为(x2+ y2)−1=xy≤ ，解得x2+ y2≤2，当且仅当x= y=±1时取等号，所
2
以C正确；
因为x2+ y2−xy=1变形可得 ( x− y) 2 + 3 y2=1，设x− y =cosθ, √3 y=sinθ，所以
2 4 2 2
1 2
x=cosθ+ sinθ,y= sinθ，因此
√3 √3
5 2 1 1 1
x2+ y2=cos2θ+ sin2θ+ sinθcosθ=1+ sin2θ− cos2θ+
3 √3 √3 3 3
= 4 + 2 sin ( 2θ− π ) ∈ [2 ,2 ] ，所以当x= √3 ,y=− √3 时满足等式，但是x2+ y2≥1不成立，所以D错
3 3 6 3 3 3
误．
故选：BC．
2、【2020年新高考1卷（山东卷）】已知a>0，b>0，且a+b=1，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABD【解析】对于A， ，
当且仅当 时，等号成立，故A正确；
对于B， ，所以 ，故B正确；
对于C， ，
当且仅当 时，等号成立，故C不正确；
对于D，因为 ，
所以 ，当且仅当 时，等号成立，故D正确；
故选：ABD
3、（2021全国乙卷）设 ， ， ．则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】 ,
所以 ;
下面比较 与 的大小关系.
记 ,则 , ，
由于
所以当00时, ,
所以 ,即函数 在[0,+∞)上单调递减，所以 ,即 ,即bb，则
A．ln(a−b)>0 B．3a<3b
C．a3−b3>0 D．│a│>│b│
【答案】C
【解析】取 ，满足 ， ，知A错，排除A；因为 ，知B错，排
除B；取 ，满足 ， ，知D错，排除D，因为幂函数 是增函数，
，所以 ，故选C．
题组一、不等式的性质及运用
1-1、（2021·河北石家庄市高三二模）（多选题）若实数 ， 满足 ，则下列选项中一定成立的
有（ ）
A． B． C． D．
【答案】AD
【解析】因为 ，所以 ，
所以 或 ，
所以 或 ，所以 ，故A正确；
若 ，则 ，故B错误；
若 ，则 ，所以 ，故C错误；
因为 或 ，所以 ，
所以 ，故D正确.
故选：AD
1-2、（2022·江苏如皋·高三期末）已知 ＝ ，b＝3－ln4，c＝ ，则下列选项正确的是（ ）
A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．c＜b＜a D．c＜a＜b
【答案】C
【解析】 ， ,即 ，
， ，
， ， ，
故选：C
1-3、（2022·江苏苏州·高三期末）已知 则下列不等式一定成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】取 ，则 ，故A选项错误；
取 ， ， ，则B选项错误；
取 ， ，则 ， ，即 ，故D选项错误；
关于C选项，先证明一个不等式： ，令 ， ，
于是 时 ， 递增； 时 ， 递减；
所以 时， 有极小值，也是最小值 ，
于是 ，当且仅当 取得等号，
由 ，当 时，同时取对数可得， ，
再用 替换 ，得到 ，当且仅当 取得等号，
由于 ，得到 ， ， ，即 ，
C选项正确.
故选：C.
1-4、（2021·江苏省滨海中学高三月考）下列命题为真命题的是（ ）
1 1
A．若ab0，则a b B．若a b0，则ac2 bc2
a b a ac
C．若ca b0，则ca cb D．若a bc0，则b bc
【答案】D
【解析】
a 2,b1
解：对于A选项，当 时，不等式不成立，故是假命题；
c=0
对于B选项，当 时，不满足，故为假命题；
a 2 b 1
对于C选项，当c3,a 2,b1时，ca 32 cb 2，不满足，故为假命题.
a ac abcbac acbc abc
0
对于D选项，由于 a bc0 ，所以b bc bbc bbc bbc ，即a ac
b bc ，故为真命题.
故选：D.
a,b,c abc abc0
1-5、（2021·山东泰安市·高三其他模拟）（多选题）已知实数 ．满足 且 ，则下列不
等关系一定正确的是（ ）
c c b a
2
aln c bln c
A．acbc B．a b C．a b D．
【答案】BC
c c
cba
【解析】由已知得a b0c或cba0，所以acbc，A项错误；a b ab ，因为
c c
ab0，ba0，c0，所以a b ，B项正确；由题意知ab0，
b a b a
2 2
则a b a b ，C项正确；当 a2 ， b1 ， c1 时，显然D项错误．
故选：BC
1-6、（2022·江苏无锡·高三期末）（多选题）已知 ，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABD
【解析】 ，则 ，因为 ，所以 ，A选项正确；
因为 ，所以 ，由基本不等式得： ，B选项正确；
， ，C选项错误；， ， ，D选项正确，
故选：ABD
题组二、不等式的解法
2-1、（2022·江苏宿迁·高三期末）不等式 成立的一个充分条件是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】 或 ，
因为 或 ，
所以不等式 成立的一个充分条件是 .
故选：C
2-2、【2022·广东省深圳市六校上学期第二次联考中学10月月考】
若不等式 的解集为 ，则二次函数 在区间 上的最大
值、最小值分别为（ ）
A. -1，-7 B. 0，-8 C. 1，-1 D. 1，-7
【答案】D
【解析】
【分析】由题意可知 ，1是方程 的根，代入可求 ， ，然后结合二次函数的性质即可
求解
【详解】 的解集为 ， ，1是方程 的根，且 ，
， ， ，则二次函数 开口向下，对称轴
，
在区间 上，当 时，函数取得最大值1，当 时，函数取得最小值 .故选：D．2-3、（2021·湖南永州市高三模拟）已知集合 ，集合 ，则
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题首先可通过求解 得出 ，然后通过求解 得出
，最后通过并集的相关性质即可得出结果.
【解析】 ，即 ， ， ， ，
，即 ，解得 ， ，
则 ，
故选：C.
2-4、（2021·江苏南京市高三三模）已知集合 ， ，则 （
）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】 ,
所以
故选：D
2-5、(2022·江苏苏州市第十中学10月月考)已知不等式 的解集为 ，则不等式
的解集为_________.【答案】 或
【解析】因为不等式 的解集为 ，所以a<0且2和4是 的两根.所以
可得： ，所以 可化为： ，因为 a<0，所以
可化为 ，
即 ，解得： 或 ，所以不等式 的解集为 或 .
故答案为： 或 .
题组三、不等式的含参问题
x2 m3x3m0
x 3
3-1、（2021·山东威海市·高三期末）若关于 的不等式 的解集中恰有 个正整数，
m
则实数 的取值范围为（ ）
2,1 3,4 5,6 6,7
A． B． C． D．
【答案】D
x2 m3x3m0
3
【解析】因为不等式 的解集中恰有 个正整数，
x3xm0
3
即不等式 的解集中恰有 个正整数，
3,m
m3
所以 ，所以不等式的解集为
4,5,6 6m7 6a7
所以这三个正整数为 ，所以 ，即
故选：D方法点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法：
（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；
（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；
（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，
利用数形结合的方法求解．
3-2、(2022·江苏苏州期中)(多选题)已知不等式的解集是{x|x≠d}，则b的值可能是
A．－1 B．3 C．2 D．0
【答案】BC
【考点】一元二次不等式的应用
【解析】由题意可知，方程x2＋2ax＋b－1＝0的根为d，则＝4a2－4(b－1)＝0，则b－1＝a2≥0，所以
b≥1，则选项B、C正确；选项A、D错误；综上，答案选BC．
3-3、(2022·江苏无锡期中)“a∈[0，1]”是“∀x∈R，”成立的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【考点】条件的判断、一元二次不等式的恒成立问题
【解析】由题意可知，对于∀x∈R，，则＝a2－4≤0，解得－2≤a≤2，因为[0，1] [－2，2]，所以
“a∈[0，1]”是“∀x∈R，”成立的充分不必要条件，故答案选A．
3-4、(2022·江苏镇江期中)(本小题满分10分)
设函数(a，b∈R，a≠0)，关于x的不等式f(x)＜k(k为常数)的解集为(－3，1)．
(1)若k＝0，求实数a，b的值；
(2)当x∈[1，3]时，f(x)＜x－2恒成立，试求a的取值范围．
【解析】
(1)当k＝0，关于x的不等式f(x)＜0，即ax2＋bx－3＜0的解集为(－3，1)，
可得－3，1是方程ax2＋bx－3＝0(a＞0)的两根，
则－3＋1＝－，－3×1＝－，
解得a＝1，b＝2；
(2)关于x的不等式f(x)＜k(k为常数)的解集为(－3，1)，
可得－3，1是方程ax2＋bx－3－k＝0(a＞0)的两根，
则－3＋1＝－，即有b＝2a，
当x∈[1，3]时，f(x)＜x－2恒成立，即ax2＋2ax－3＜x－2，即有a(x2＋2x)＜x＋1，即a≤对1≤x≤3恒成立．
设g(x)＝＝＝，
由1≤x≤3，可得2≤x+1≤4，
又y＝x＋1－在[1，3]递增，可得x＝3时，y＝x＋1－取得最大值，
所以g(x)的最小值为，
所以a≤，即a的取值范围是(－，]
1、（2022·山东泰安·高三期末）若 ，则下列不等式中，一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】BCD
【分析】
以求差法判断选项AB；以均值定理判断选项C；以绝对值的几何意义判断选项D.
【详解】
选项A： ，由 ，可知 ， ， ，
则 ，即 .选项A判断错误；
选项B： ，由 ，可知 ， ， ，则 ，即 .选项B判断正确；
选项C：当 时， .选项C判断正确；
选项D：当 时， .选项D判断正确.
故选：BCD
2、（2022·山东济南·高三期末）已知实数 ， ， 满足 ，则下列说法正确的是（ ）
A． B．C． D． 的最小值为4
【答案】BC
【分析】
对于A，利用不等式的性质判断，对于BC，作差判断即可，对于D，利用基本不等式判断
【详解】
对于A，因为 ，所以 ， ，所以 ，所以A错误，
对于B，因为 ，所以 ，
所以 ，所以 ，所以B正确，
对于C，因为 ，所以 ，所以
，所以 ，所以C正确，
对于D，因为 ，所以 ，当且仅当 即 时取等
号，因为 ，所以取不到等号，所以 的最小值不为4，所以D错误，
故选：BC
3、(2022·江苏徐州期中)(多选题)十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“＝”作为
等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用“＜”和“＞”符号，并逐渐被数学界接受，不等号的引入
对不等式的发展影响深远．若a＜b，则下列结论错误的是
A． B． C． D．ln(b－a)＞0
【答案】ABD
【考点】新情景问题下的不等关系的判断
【解析】由题意可知，对于选项A，当a＜0＜b时，＜，故选项A错误；对于选项B，当a＜b＜0时，a2
＞b2，故选项B错误；对于选项C，因为函数y＝在R上单调递减，而a＜b，所以，故选项C正确；对于选项D，因为a＜b，所以b－a＞0，但不能确定b－a＞1，所以不一定能得到ln(b－a)＞0，故选项D错误；
综上，答案选ABD．
4、【2022·广东省梅江市梅州中学10月月考】(多选题)
已知 ，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】CD
【解析】
【分析】根据不等式的性质判断，结合指数函数性质判断D．
【详解】命题意图本题考查不等式的性质.∵ ，∴ ，
∴ ，A错误； ，B错误； ，C正确， ，D正确．
故选：CD.
5、(2022·江苏常州期中)(多选题)已知关于x的不等式aex＋bx＋c＞0的解集为(－1，2)，则
A．a＞0 B．b＞0 C．c＞0 D．a＋b＋c＞0
【答案】BCD
【考点】不等式与方程的转化，方程思想的应用
【解析】由题意可知，当a＝0时，不等式不成立；当a≠0时，－1，2是方程aex＋bx＋c＝0的两个根，
则有，所以，故选项B正确；选项C正确；对于选项D，a＋b＋c＝a－(e2－e)－(e2－2e)＝a[1－(e2－e)－(e2
－2e)]＝a(1－＋－－)＝a(1－－)＞0，故选项D正确；综上，答案选BCD．
6、（2020届山东实验中学高三上期中）设命题 ，命题 ，若
是 的充分不必要条件，则实数 的取值范围是_____________．
【答案】【解析】由题意得， ，解得 ，所以 ，由
，解得 ，即 ，要使得 是 的充分不必要条
件，
则 ，解得 ，所以实数 的取值范围是 ．
