专题05相等关系与不等关系（解析版）_2.2025数学总复习_2024年新高考资料_2.2024二轮复习_2024年高三数学二轮优化提优专题训练

专题05 相等关系与不等关系
1、（2023年新课标全国Ⅰ卷）（多选题）噪声污染问题越来越受到重视．用声压级来度量声音的强弱，
定义声压级 ，其中常数 是听觉下限阈值， 是实际声压．下表为不同声源的声压
级：
声源 与声源的距离 声压级
燃油汽车 10
混合动力汽
10
车
电动汽车 10 40
已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车 处测得实际声压分别为 ，则（ ）．
A． B．
C． D．
【答案】ACD
【详解】由题意可知： ，
对于选项A：可得 ，
因为 ，则 ，即 ，
所以 且 ，可得 ，故A正确；
对于选项B：可得 ，因为 ，则 ，即 ，
所以 且 ，可得 ，
当且仅当 时，等号成立，故B错误；
对于选项C：因为 ，即 ，
可得 ，即 ，故C正确；
对于选项D：由选项A可知： ，
且 ，则 ，
即 ，可得 ，且 ，所以 ，故D正确；
故选：ACD.
2、（2023年新高考天津卷）7．若 ，则 的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】由 在R上递增，则 ，
由 在 上递增，则 .
所以 .
故选：D
3、【2020年新高考1卷（山东卷）】已知a>0，b>0，且a+b=1，则（ ）
A． B．C． D．
【答案】ABD
【解析】对于A， ，
当且仅当 时，等号成立，故A正确；
对于B， ，所以 ，故B正确；
对于C， ，
当且仅当 时，等号成立，故C不正确；
对于D，因为 ，
所以 ，当且仅当 时，等号成立，故D正确；
故选：ABD
4、（2021全国乙卷）设 ， ， ．则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】 ,
所以 ;
下面比较 与 的大小关系.
记 ,则 , ，
由于所以当0<x<2时， ,即 , ,
所以 在 上单调递增，
所以 ,即 ,即 ;
令 ,则 , ,
由于 ，在x>0时, ,
所以 ,即函数 在[0,+∞)上单调递减，所以 ,即 ,即b<c;
综上， ,
故选：B.
5、（2020全国I理14）若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】设 ，则 为增函数，∵ ，
∴ ，
∴ ，∴ ．
∴ ，
当 时， ，此时 ，有 ；当 时， ，
此时 ，有 ，∴C、D错误，故选B．6、（2020天津）设 ，则 的大小关系为( )
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由题知 ， ，易知函数 在 上单调递增，所以
，所以 ，故选D．
7、（2020年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅲ））设 ， ， ，则（
）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为 ， ，
所以 .
故选：A.
8、（2020年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅲ））已知55<84，134<85．设a=log 3，b=log 5，
5 8
c=log 8，则（ ）
13
A．a<b<c B．b<a<c C．b<c<a D．c<a<b
【答案】A
【解析】由题意可知 、 、 ，
， ；
由 ，得 ，由 ，得 ， ，可得 ；由 ，得 ，由 ，得 ， ，可得 .
综上所述， .
故选：A.
题组一、不等式的性质及运用
1-1、（2023·四川成都·成都七中校考模拟预测）实数a，b满足 ，则下列不等式成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】取 ,满足 ,但 ,所以A错误；
取 ,满足 ,但 ，所以B错误；
若 ，则 , ,所以C正确；
取 ,则 ,所以D错误.
故选:C.
1-2、（2023·浙江·统考模拟预测）已知 ，则下列选项中能使 成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BD
【详解】对于A，由 可得 ，A错误，
对于B，由 可得 ，B错误，
对于C，由 可得 ，C错误，对于D，由 可得 ，D正确，
故选：BD.
1-3、（2022·江苏苏州·高三期末）已知 则下列不等式一定成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】取 ，则 ，故A选项错误；
取 ， ， ，则B选项错误；
取 ， ，则 ， ，即 ，
故D选项错误；
关于C选项，先证明一个不等式： ，令 ， ，
于是 时 ， 递增； 时 ， 递减；
所以 时， 有极小值，也是最小值 ，
于是 ，当且仅当 取得等号，
由 ，当 时，同时取对数可得， ，
再用 替换 ，得到 ，当且仅当 取得等号，
由于 ，得到 ， ， ，即 ，
C选项正确.
故选：C.
1-4、（2021·江苏省滨海中学高三月考）下列命题为真命题的是（ ）
1 1

A．若ab0，则a b B．若a b0，则ac2 bc2a b a ac
 
C．若ca b0，则ca cb D．若a bc0，则b bc
【答案】D
【解析】
a 2,b1
解：对于A选项，当 时，不等式不成立，故是假命题；
c=0
对于B选项，当 时，不满足，故为假命题；
a 2 b 1
  
对于C选项，当c3,a 2,b1时，ca 32 cb 2，不满足，故为假命题.
a ac abcbac acbc abc
    0
对于D选项，由于 a bc0 ，所以b bc bbc bbc bbc ，即
a ac

b bc ，故为真命题.
故选：D.
题组二、不等式的解法
2-1、（2022·江苏宿迁·高三期末）不等式 成立的一个充分条件是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】 或 ，
因为 或 ，
所以不等式 成立的一个充分条件是 .
故选：C
2-2、【2022·广东省深圳市六校上学期第二次联考中学10月月考】
若不等式 的解集为 ，则二次函数 在区间 上的最大值、最小值分别为（ ）
A. -1，-7 B. 0，-8 C. 1，-1 D. 1，-7
【答案】D
【解析】
【分析】由题意可知 ，1是方程 的根，代入可求 ， ，然后结合二次函数的性质即可
求解
【详解】 的解集为 ， ，1是方程 的根，且 ，
， ， ，则二次函数 开口向下，对称轴
，
在区间 上，当 时，函数取得最大值1，当 时，函数取得最小值 .故选：D．
2-3、（2022·河北·石家庄二中模拟预测）不等式 的解集为___________.
【答案】
【分析】
根据分式不等式的解法进行求解.
【详解】
,
故答案为： .
2-4、（2022·河北·石家庄二中模拟预测）不等式 的解集为___________.
【答案】
【分析】
利用分式不等式的解法，即可求得不等式的解集.
【详解】由不等式 ，可得 ，
结合分式不等式的解法，可得 ，即不等式 的解集为 .
故答案为： .
2-5、（2022·广东·华南师大附中三模）当 时， 成立，则实数a的取值范围是____________．
【答案】
【分析】
由 可得 或 ，当 时， 成立，即可求出a的取值范围.
【详解】
或 ，则当 时， 成立，所以 .
故答案为： .
题组三、不等式的含参问题
x2 m3x3m0
x 3
3-1、（2022·山东威海市·高三期末）若关于 的不等式 的解集中恰有 个正整数，
m
则实数 的取值范围为（ ）
2,1 3,4 5,6 6,7
A． B． C． D．
【答案】D
x2 m3x3m0
3
【解析】因为不等式 的解集中恰有 个正整数，
x3xm0
3
即不等式 的解集中恰有 个正整数，
3,m
m3
所以 ，所以不等式的解集为
4,5,6 6m7 6a7
所以这三个正整数为 ，所以 ，即
故选：D
3-2、（2022年江苏盐城市高三月考试卷）（多选题）若“ ”是“”的充分不必要条件，则实数 可以是（ ）
A. B. C. 1 D. 4
【答案】ACD
【解析】
【详解】 ，解得 ，
即 ，解得 或 ，
由题意知 是 的真子集，
所以 或 ，
所以 或 ，
即 .
故选：ACD
3-3、(2022·江苏无锡期中)“a∈[0，1]”是“∀x∈R，”成立的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【考点】条件的判断、一元二次不等式的恒成立问题
【解析】由题意可知，对于∀x∈R，，则＝a2－4≤0，解得－2≤a≤2，因为[0，1] [－2，2]，所以
“a∈[0，1]”是“∀x∈R，”成立的充分不必要条件，故答案选A．
3-4、(2022·江苏镇江期中)(本小题满分10分)
设函数(a，b∈R，a≠0)，关于x的不等式f(x)＜k(k为常数)的解集为(－3，1)．
(1)若k＝0，求实数a，b的值；
(2)当x∈[1，3]时，f(x)＜x－2恒成立，试求a的取值范围．
【解析】
(1)当k＝0，关于x的不等式f(x)＜0，即ax2＋bx－3＜0的解集为(－3，1)，
可得－3，1是方程ax2＋bx－3＝0(a＞0)的两根，
则－3＋1＝－，－3×1＝－，
解得a＝1，b＝2；(2)关于x的不等式f(x)＜k(k为常数)的解集为(－3，1)，
可得－3，1是方程ax2＋bx－3－k＝0(a＞0)的两根，
则－3＋1＝－，即有b＝2a，
当x∈[1，3]时，f(x)＜x－2恒成立，即ax2＋2ax－3＜x－2，
即有a(x2＋2x)＜x＋1，即a≤对1≤x≤3恒成立．
设g(x)＝＝＝，
由1≤x≤3，可得2≤x+1≤4，
又y＝x＋1－在[1，3]递增，可得x＝3时，y＝x＋1－取得最大值，
所以g(x)的最小值为，
所以a≤，即a的取值范围是(－，]
1、（2022年湖南常德市高三月考模拟试卷）已知 ，且 ，则下列命题正确的是（ ）
A. 如果 ，那么 B. 如果 ，那么
C. 如果 ，那么 D. 如果 ，那么
【答案】D
【解析】
【详解】对于 ，如果 ，那么 ，所以错误；
对于 ，如果 ，那么 ，所以错误；
对于 ，如果 ，那么 ，所以错误；
对于 ，因为 ，那么 ，所以正确.
故选： .2、（2022年江苏宿迁市高三月考模拟试卷）命题“ ， ”为真命题的一个充分不必
要条件是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【详解】因为 为真命题，所以 或 ，
对A， 是命题“ ”为真命题的充分不必要条件，A对，
对B， 是命题“ ”为真命题的充要条件，B错，
对C， 是命题“ ”为真命题的必要不充分条件，C错，
对D， 是命题“ ”为真命题的必要不充分条件，D错，
故选：A
3、（2023·山西·统考一模）近年来受各种因素影响，国际大宗商品价格波动较大，我国某钢铁企业需要不
间断从澳大利亚采购铁矿石，为保证企业利益最大化，提出以下两种采购方案.方案一：不考虑铁矿石价格
升降，每次采购铁矿石的数量一定；方案二：不考虑铁矿石价格升降，每次采购铁矿石所花的钱数一定，
则下列说法正确的是（ ）
A．方案一更经济 B．方案二更经济
C．两种方案一样 D．条件不足，无法确定
【答案】B
【分析】设第一次价格为 ，第二次价格为 ，进而求解两种方案的平均数，并比较大小即可.
【详解】解：设第一次价格为 ，第二次价格为 ，方案一：若每次购买数量 ，则两次购买的平均价格为 ，
方案二：若每次购买钱数为 ，则两次购买的平均价格为 ，
所以， ，即 ，当且仅当 时，“=”
号成立，
所以方案二更经济.
故选：B.
4、（2022年湖南湘阴县知源高级中学高三月考试卷）（多选题）已知关于x的不等式 的
解集为 ，则（ ）
A.
B. 不等式 的解集是
C.
D. 不等式 的解集为
【答案】ABD
【解析】
【详解】关于 的不等式 的解集为 选项正确；
且－2和3是关于 的方程 的两根，由韦达定理得 ，则 ，则 ，C选项错误；
不等式 即为 ，解得 选项正确；
不等式 即为 ，即 ，解得 或 选项正确.
故选： .
5、（2022年湖南邵阳市高三月考试卷）（多选题）已知实数 ， ， 满足 ，则下列说法正
确的是（ ）
A. B.
C. D. 的最小值为4
【答案】ABC
【解析】
【详解】由题 ，所以有
，故A正确；
，故B正确；
，故C正确；
，当且仅当 即 时取等，
又因为 ，所以 ，即 无最小值，故D错误.
故选：ABC.6、(2022·江苏徐州期中)(多选题)十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“＝”作为
等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用“＜”和“＞”符号，并逐渐被数学界接受，不等号的引入
对不等式的发展影响深远．若a＜b，则下列结论错误的是
A． B． C． D．ln(b－a)＞0
【答案】ABD
【考点】新情景问题下的不等关系的判断
【解析】由题意可知，对于选项A，当a＜0＜b时，＜，故选项A错误；对于选项B，当a＜b＜0时，a2
＞b2，故选项B错误；对于选项C，因为函数y＝在R上单调递减，而a＜b，所以，故选项C正确；对于
选项D，因为a＜b，所以b－a＞0，但不能确定b－a＞1，所以不一定能得到ln(b－a)＞0，故选项D错误；
综上，答案选ABD．