专题07函数的性质及其应用（解析版）_2.2025数学总复习_2024年新高考资料_2.2024二轮复习_2024年高三数学二轮优化提优专题训练

专题07 函数的性质及其应用 1、（2023年新课标全国Ⅱ卷）若 为偶函数，则 （ ）． A． B．0 C． D．1 【答案】B 【详解】因为 为偶函数，则 ，解得 ， 当 时， ， ，解得 或 ， 则其定义域为 或 ，关于原点对称. ， 故此时 为偶函数. 故选：B. 2、（2023年新课标全国Ⅰ卷）设函数 在区间 上单调递减，则 的取值范围是 （ ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】函数 在R上单调递增，而函数 在区间 上单调递减， 则有函数 在区间 上单调递减，因此 ，解得 ，所以 的取值范围是 . 故选：D 3、（2023年全国乙卷数学（文）(理)）已知 是偶函数，则 （ ） A． B． C．1 D．2 【答案】D 【详解】因为 为偶函数，则 ， 又因为 不恒为0，可得 ，即 ， 则 ，即 ，解得 . 故选：D. 4、（2023年新高考天津卷）函数 的图象如下图所示，则 的解析式可能为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由图知：函数图象关于y轴对称，其为偶函数，且 ，由 且定义域为R，即B中函数为奇函数，排除； 当 时 、 ，即A、C中 上函数值为正，排除； 故选：D [ π π] 5、【2022年全国甲卷】函数y=(3x−3−x)cosx在区间 − , 的图象大致为（ ） 2 2 A． B． C． D． 【答案】A π π 【解析】令f(x)=(3x−3−x )cosx,x∈[− , ]， 2 2 则f(−x)=(3−x−3x )cos(−x)=−(3x−3−x )cosx=−f(x)， 所以f(x)为奇函数，排除BD； π 又当x∈(0, )时，3x−3−x>0,cosx>0，所以f(x)>0，排除C. 2 故选：A. 6、【2022年全国乙卷】已知函数f(x),g(x)的定义域均为R，且f(x)+g(2−x)=5,g(x)−f(x−4)=7． ❑ 22 若y=g(x)的图像关于直线x=2对称，g(2)=4，则∑ ❑f(k)=（ ） k=1 A．−21 B．−22 C．−23 D．−24【答案】D 【解析】因为y=g(x)的图像关于直线x=2对称， 所以g(2−x)=g(x+2)， 因为g(x)−f(x−4)=7，所以g(x+2)−f(x−2)=7，即g(x+2)=7+f(x−2)， 因为f(x)+g(2−x)=5，所以f(x)+g(x+2)=5， 代入得f(x)+[7+f(x−2)]=5，即f(x)+f(x−2)=−2， 所以f (3)+f (5)+…+f (21)=(−2)×5=−10， f (4)+f (6)+…+f (22)=(−2)×5=−10. 因为f(x)+g(2−x)=5，所以f(0)+g(2)=5，即f (0)=1，所以f(2)=−2−f (0)=−3. 因为g(x)−f(x−4)=7，所以g(x+4)−f(x)=7，又因为f(x)+g(2−x)=5， 联立得，g(2−x)+g(x+4)=12， 所以y=g(x)的图像关于点(3,6)中心对称，因为函数g(x)的定义域为R， 所以g(3)=6 因为f(x)+g(x+2)=5，所以f (1)=5−g(3)=−1. 所以 ❑ 22 ∑ ❑f(k)=f (1)+f (2)+[f (3)+f (5)+…+f (21)]+[f (4)+f (6)+…+f (22)]=−1−3−10−10=−24. k=1 故选：D 7、【2022年新高考2卷】已知函数f(x)的定义域为R，且f(x+ y)+f(x−y)=f(x)f(y),f(1)=1，则 22 ∑❑f(k)=（ ） k=1 A．−3 B．−2 C．0 D．1 【答案】A 【解析】因为f (x+ y)+f (x−y)=f (x)f (y)，令x=1,y=0可得，2f (1)=f (1)f (0)，所以f (0)=2，令 x=0可得，f (y)+f (−y)=2f (y)，即f (y)=f (−y)，所以函数f (x)为偶函数，令y=1得， f (x+1)+f (x−1)=f (x)f (1)=f (x)，即有f (x+2)+f (x)=f (x+1)，从而可知f (x+2)=−f (x−1)， f (x−1)=−f (x−4)，故f (x+2)=f (x−4)，即f (x)=f (x+6)，所以函数f (x)的一个周期为6． 因为f (2)=f (1)−f (0)=1−2=−1，f (3)=f (2)−f (1)=−1−1=−2，f (4)=f (−2)=f (2)=−1， f (5)=f (−1)=f (1)=1，f (6)=f (0)=2，所以一个周期内的f (1)+f (2)+⋯+f (6)=0．由于22除以6余4， 22 所以∑f (k)=f (1)+f (2)+f (3)+f (4)=1−1−2−1=−3． k=1 故选：A． 8、（2020年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅱ））设函数 ，则f(x)（ ） A．是偶函数，且在 单调递增 B．是奇函数，且在 单调递减 C．是偶函数，且在 单调递增 D．是奇函数，且在 单调递减 【答案】D 【解析】由 得 定义域为 ，关于坐标原点对称， 又 ， 为定义域上的奇函数，可排除AC； 当 时， ， 在 上单调递增， 在 上单调递减， 在 上单调递增，排除B； 当 时， ， 在 上单调递减， 在定义域内单调递增，根据复合函数单调性可知： 在 上单调递减，D正确. 故选：D. 9、（2019年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅲ））设 是定义域为 的偶函数，且在 单调递减，则 A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 是R的偶函数， ． ， 又 在(0，+∞)单调递减， ∴ ， ，故选C． 题组一 运用函数的性质进行图像的辨析1-1、（2023·安徽蚌埠·统考三模）函数 的图象大致为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】依题意， 因为 ， 所以 ， 所以 ，所以 为奇函数，所以D选项错误； 因为 ，所以C选项错误； 因为 ，所以B选项错误； 因此排除了BCD选项，而A选项图象符合函数 的性质. 故选：A. 1-2、（2022·江苏无锡·高三期末）已知函数 ，则函数 的图象可能是（ ） A． B．C． D． 【答案】A 【解析】函数的定义域为： ， ， 为 奇函数，图象关于原点对称，排除D. 时， ， ， ， 时， ， ， ， 时， . 故选：A. 1-3、（2022·广东汕尾·高三期末）我国著名数学家华罗庚先生曾说：数缺形时少直观，形缺数时难入微， 数形结合百般好，隔裂分家万事休，在数学的学习和研究中，函数的解析式常用来研究函数图象的特征， 函数 的图象大致为（ ） A． B． C． D．【答案】A 【解析】 所以函数 为奇函数，图象关于原点对称，排除B，D； 又 ，排除C， 故选：A． 1-4、（2023·四川成都·石室中学校考模拟预测）函数 的部分图象大致形状是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由 ， ，定义域关于原点对称， 得 ， 则函数 是偶函数，图象关于 轴对称，排除BD； 当 时， ， ， ，所以 ， 排除A. 故选：C. 题组二 函数的性质 2-1、（2023·黑龙江大庆·统考一模）已知函数 ， 的定义域均为 ，且 ，，若 的图象关于直线 对称， ，则 （ ） A． B． C．0 D．2 【答案】A 【分析】依题意可得 ，再由 可得 ，即可得到 为偶 函数，再由 得到 ，即可得到 的周期为 ，再根据所给条件计算可得. 【详解】因为 的图象关于直线 对称，所以 ， 所以 ， 因为 ，所以 ，所以 为偶函数． 因为 ，所以 ， 所以 ，所以 ， 所以 ，所以 ，所以 的周期为 ，所以 ． 因为 ，所以 ，故 ． 故选：A. 2-2、（2023·云南·统考一模）（多选题）已知 是定义在 上的偶函数， 是定义在 上的奇函数， 且 ， 在 单调递减，则（ ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】由奇偶函数的单调性的关系确定两函数的单调性，再结合 ， 逐 项判断即可.【详解】因为 是定义在R上的偶函数， 是定义在R上的奇函数，且两函数在 上单调递减， 所以 在 上单调递增， 在 上单调递减， 在 上单调递减， 所以 ， ， 所以 ， ， ， 所以BD正确，C错误； 若 ，则 ，A错误. 故选：BD. 2-3、（2022·山东烟台·高三期末）若定义在R上的奇函数 在 上单调递减，且 ，则满 足 的x的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意，定义在R上的奇函数 在 上单调递减，且 ， 则 在 上单调递减，且 ， ， 因为 ， 当 时，即 ，此时满足不等式 ； 当 时，即 ，可得 ，且满足 ， 则 ，解得 ；当 时，即 ，可得 ，且满足 ， 则 ，解得 ， 综上可得，不等式的解集为 . 故选：C. 2-4、（2022·江苏如皋·高三期末）“函数f(x)＝sinx＋(a－1)cosx为奇函数”是“a＝1”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】函数f(x)＝sinx＋(a－1)cosx为奇函数, 则 ， 化简得： ，故 ， 当 时，f(x)＝sinx是奇函数， 因此“函数f(x)＝sinx＋(a－1)cosx为奇函数”是“a＝1”充要条件， 故选:C. 2-5、（2022·江苏海门·高三期末）写出一个同时具有下列性质①②③的函数f (x)=__________． f x fx0 ① 为偶函数；②f (x x )=f (x )+f (x )；③当x∈(0,+∞)时， . 1 2 1 2 【答案】−ln|x|（答案不唯一） f x 0, 【解析】由题意可知函数 为偶函数且在 上为减函数，可取f (x)=−ln|x|， 对于①，函数f (x)=−ln|x|的定义域为{x|x≠0}，f (−x)=−ln|−x|=−ln|x|=f (x)，故函数 f (x)=−ln|x|为偶函数； x x 对于②，对任意的非零实数 1、 2，f (x x )=−ln|x x |=−ln|x |−ln|x |=f (x )+f (x )； 1 2 1 2 1 2 1 2 f x 0, 对于③，当x∈(0,+∞)时，f (x)=−lnx，则函数 在 上为减函数. 综上所述，函数f (x)=−ln|x|满足条件.故答案为：−ln|x|（答案不唯一） 题组三、函数性质的综合运用 3-1、（2023·浙江·统考模拟预测）（多选题）已知定义在R上的函数 满足 ，且 为奇函数， ， .下列说法正确的是（ ） A．3是函数 的一个周期 B．函数 的图象关于直线 对称 C．函数 是偶函数 D． 【答案】AC 【详解】对于A项，因为 ，所以 ，所以3是函数 的 一个周期，故A正确； 对于B项，因为， 为奇函数，所以 ， 所以，点 是函数 图象的对称中心，故B错误； 对于C项，因为， 为奇函数，所以 ， 所以 . 又因为 ，所以 ，所以 ， 所以，函数 是偶函数，故C项正确； 对于D项，由C知，函数 是偶函数，所以 . 又3是函数 的一个周期， 所以 ， ， ， 所以， ， 所以， ，故D错误. 故选：AC. 3-2、（2023·黑龙江·黑龙江实验中学校考一模）（多选题）已知函数 的定义域为R，且 为奇函 数， 为偶函数，且对任意的 ，且 ，都有 ，则下列结论正确的为 （ ） A． 是偶函数 B． C． 的图象关于 对称 D． 【答案】ABC 【分析】由已知奇偶性得出函数 的图象关于点 对称且关于直线 对称，再得出函数的单调性， 然后由对称性变形判断ABC，结合单调性判断D． 【详解】 为奇函数， 为偶函数， 所以 的图象关于点 对称且关于直线 对称， 所以 ， ， ，，所以 是周期函数，4是它的一个周期． ， ，B正确； ， 是偶函数，A正确； 因此 的图象也关于点 对称，C正确； 对任意的 ，且 ，都有 ，即 时， ，所以 在 是单调递增， ， ， ， ，∴ ，故D错． 故选：ABC． f x 3-3、（2021·山东青岛市·高三二模）已知定义在R上的函数 的图象连续不断，有下列四个命题： f x 甲： 是奇函数； f x x1 乙： 的图象关于直线 对称； f x 1,1 丙： 在区间 上单调递减； f x 丁：函数 的周期为2. 如果只有一个假命题，则该命题是（ ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】D 【解析】 f x 1,1 由连续函数 的特征知：由于区间 的宽度为2， f x 1,1 f x 所以 在区间 上单调递减与函数 的周期为2相互矛盾，即丙、丁中有一个为假命题； f xf x f x1 f 1x 若甲、乙成立，即 ， ， f x2 f x11 f 11x f xf x 则   ， f x4 f x22f x2 f x f x 所以 ，即函数 的周期为4， 即丁为假命题. 由于只有一个假命题，则可得该命题是丁， 故选：D. 3-4、（2022·江苏无锡·高三期末）（多选题）高斯被人认为是历史上最重要的数学家之一，并享有“数学 王子”之称.有这样一个函数就是以他名字命名的：设 ，用 表示不超过 的最大整数，则 称为高斯函数，又称为取整函数.如： ， .则下列结论正确的是（ ） A．函数 是 上的单调递增函数 B．函数 有 个零点 C． 是 上的奇函数 D．对于任意实数 ，都有 【答案】BD 【解析】对于A， ， ， ， 在 上不是单调增函数，所以A错. 对于B，由 ，可得 ，所以 ，若函数 要有零点，则 ，得 ，因为 要想为 ，必须 也为整数，在这个范围内，只有 两 个点，所以B正确， 对于C， ， ， 不是奇函数，所以C错，对于D，如果我们定义 这样一个函数，就会有 ，同时有 ，当 时，会有 ，当 时， ，所以 D正确， 故选：BD. 1、（2022·山东济南·高三期末）已知函数 的定义域为 ，则“ 是偶函数”是“ 是偶函 数”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】A 【解析】偶函数的图像关于 轴对称，奇函数图像关于原点对称，根据这一特征，若 是偶函数，则 是偶函数，若 是奇函数， 也是偶函数，所以“ 是偶函数”是“ 是偶函数”的 充分不必要条件 故选：A 2、（2022·山东德州·高三期末）已知函数 ，则函数 的大致图象为 （ ） A． B．C． D． 【答案】D 【解析】由题可知：函数定义域为 ， ， 所以 ，故该函数为奇函数，排除A,C 又 ，所以排除B, 故选：D 3．（2023·安徽安庆·校考一模）函数 与 在同一直角坐标系下的图象大致是 （ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据 ， ，结合对数函数与指数函数的单调性判断即可. 【详解】 ，为定义域上的单调递增函数 ，故 不成立；，为定义域上的单调递增函数， ，故C和D不成立. 故选：B. 4、（2023·江苏南通·统考一模）已知函数 的定义域为 ，且 为偶函数， ，若 ，则 （ ） A．1 B．2 C． D． 【答案】A 【分析】设 ，满足题意，即可求解. 【详解】因为 为偶函数，所以 ， 则 关于 对称， 设 ， ，关于 对称， . ， 即 满足条件， . 故选：A.5、（2023·江苏南京·校考一模）（多选题）已知函数 则下列结论正确的是 （ ） A． 是偶函数 B． C． 是增函数 D． 的值域为 【答案】BD 【分析】利用反例可判断AC错误，结合函数的解析式可判断BD为正确，从而可得正确的选项. 【详解】 ，而 ，故 不是偶函数，故A错误. 因为 ，故 不是增函数，故C错误. ，故B正确. 当 时， ，当 时， ， 故 的值域为 ，故D正确. 故选：BD. 6、（2023·江苏南通·统考模拟预测）（多选题）已知偶函数 与奇函数 的定义域均为R， 且满足 ， ，则下列关系式一定成立的是（ ） A． B．f（1）=3 C．g（x）=-g（x+3） D． 【答案】AD 【分析】根据函数的奇偶性及所给抽象函数的性质，利用 换为 可判断A，利用赋值可判断B，推理得出 后赋值可判断C，由条件推理可得 ，即可判断D. 【详解】由 ，将 换为 知 ，故A对； ，奇函数 中 ， 则 ， ，由 为偶函数， ，故B错； ， ， 又 ， ， ， ，故C错， ，则 ，即 . ， ， ，即 ， 为偶函数， ， ①， ② 由①②知 ，故D对. 故选：AD. 7、（2023·云南红河·统考一模）已知函数 ，则不等式 的解集为____________． 【答案】 或 【分析】由导数得出 的单调性，进而由其奇偶性解不等式.【详解】因为 ， ，所以 在R上单调递增， 不等式 可化为 ； ，即 为奇函数， 所以 ，所以 ， 即 ，解得 或 . 故答案为： 或 8、（2023·山西·统考一模）写出一个同时满足下列三个条件的函数 的解析式______. ① ；② ；③ 在 上单调递增. 【答案】 （答案不唯一，满足条件即可） 【分析】根据题意得 图像关于直线 对称，点 对称，进而结合三角函数性质和条件③求解 即可. 【详解】解：由① 可知，函数 图像关于直线 对称； 由② 可知函数 图像关于点 对称； 所以， ，即 ， 所以 ，即函数 的周期为 ， 故考虑余弦型函数，不妨令 ，所以， ，即 ，满足性质①②， 由③ 在 上单调递增可得 ， 故不妨取 ，即 ，此时满足已知三个条件. 故答案为： .