专题15直线与圆（解析版）_2.2025数学总复习_2024年新高考资料_2.2024二轮复习_2024年高三数学二轮优化提优专题训练

专题15 直线与圆 1、（2023年新课标全国Ⅰ卷）过点 与圆 相切的两条直线的夹角为 ，则 （ ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【详解】方法一：因为 ，即 ，可得圆心 ，半径 ， 过点 作圆C的切线，切点为 ， 因为 ，则 ， 可得 ， 则 ， ， 即 为钝角， 所以 ； 法二：圆 的圆心 ，半径 ， 过点 作圆C的切线，切点为 ，连接 ， 可得 ，则 ， 因为且 ，则 ， 即 ，解得 ， 即 为钝角，则 ， 且 为锐角，所以 ； 2、（2023年全国乙卷数学（文））已知实数 满足 ，则 的最大值是 （ ） A． B．4 C． D．7 【答案】C 【详解】法一：令 ，则 ， 代入原式化简得 ， 因为存在实数 ，则 ，即 ， 化简得 ，解得 ， 故 的最大值是 ， 法二： ，整理得 ， 令 ， ，其中 ， 则 ， ，所以 ，则 ，即 时， 取得最大值 ， 法三：由 可得 ， 设 ，则圆心到直线 的距离 ，解得 故选：C. 3、（2023年新课标全国Ⅱ卷）已知直线 与 交于A，B两点，写出满足 “ 面积为 ”的m的一个值______． 【答案】 （ 中任意一个皆可以） 【详解】设点 到直线 的距离为 ，由弦长公式得 ， 所以 ，解得： 或 ， 由 ，所以 或 ，解得： 或 ． 故答案为： （ 中任意一个皆可以）． 4、（2021年全国新高考Ⅰ卷数学试题）（多选题）已知点 在圆 上，点 、 ，则（ ） A．点 到直线 的距离小于 B．点 到直线 的距离大于 C．当 最小时， D．当 最大时， 【答案】ACD 【解析】圆 的圆心为 ，半径为 ， 直线 的方程为 ，即 ，圆心 到直线 的距离为 ， 所以，点 到直线 的距离的最小值为 ，最大值为 ，A选项正确，B选项错 误； 如下图所示： 当 最大或最小时， 与圆 相切，连接 、 ，可知 ， ， ，由勾股定理可得 ，CD选 项正确. 故选：ACD. 5、（2020全国Ⅲ文8）点(0，﹣1)到直线 距离的最大值为（ ） A． 1 B． C． D． 2 【答案】B 【解析】由 可知直线过定点 ，设 ，当直线 与 垂直时，点 到直线 距离最大，即为 ． 6、（2020·新课标Ⅰ文）已知圆 ，过点（1，2）的直线被该圆所截得的弦的长度的最小值 为（ ）A． 1 B． 2 C． 3 D． 4 【答案】B 【解析】圆 化为 ，所以圆心 坐标为 ，半径为ABCD， 设DP=BQ=λ(0<λ<2)，当过点λ=1的直线和直线GH//EF;垂直时，圆心到过点EB=2的直线的距离最大，所求的弦长最短， GEFH 根据弦长公式最小值为 ． 2x−y−3=0 7、（2020·新课标Ⅱ文理5）若过点 的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线 的距离为 （ ） √5 2√5 3√5 4√5 5 5 5 5 A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由于圆上的点 在第一象限，若圆心不在第一象限，则圆与至少与一条坐标轴相交，不合乎 题意，∴圆心必在第一象限，设圆心的坐标为 ，则圆的半径为 ，圆的标准方程为 ．由题意可得 ，可得 ，解得 或 ， ∴圆心的坐标为 或 ，圆心到直线 的距离均为 ， ∴圆心到直线 的距离为 ．故选B． 8、（2020全国Ⅰ理11】已知⊙ ，直线 ， 为 上的动点， 过点 作⊙ 的切线 ，切点为 ，当 最小时，直线 的方程为 （ ） A． B． C． D．【答案】D 【解析】圆的方程可化为 ，点 到直线 的距离为 ，∴ 直线 与圆相离．依圆的知识可知，四点 四点共圆，且 ， ∴ ，而 ， 当直线 时， ， ，此时 最小． ∴ 即 ，由 解得， ． ∴以 为直径的圆的方程为 ，即 ，两圆的方程相减可得： ，即为直线 的方程，故选D． 9、【2022年全国甲卷】设点M在直线2x+ y−1=0上，点(3,0)和(0,1)均在⊙M上，则⊙M的方程为 ______________． 【答案】(x−1) 2+(y+1) 2=5 【解析】：∵点M在直线2x+ y−1=0上， ∴设点M为(a,1−2a)，又因为点(3,0)和(0,1)均在⊙M上， ∴点M到两点的距离相等且为半径R， ∴√(a−3) 2+(1−2a) 2=√a2+(−2a) 2=R， a2−6a+9+4a2−4a+1=5a2，解得a=1， ∴M(1,−1)，R=√5， ⊙M的方程为(x−1) 2+(y+1) 2=5. 故答案为：(x−1) 2+(y+1) 2=5 10、【2022年全国乙卷】过四点(0,0),(4,0),(−1,1),(4,2)中的三点的一个圆的方程为____________．【答案】(x−2) 2+(y−3) 2=13或(x−2) 2+(y−1) 2=5或 ( x− 4) 2 + ( y− 7) 2 = 65 或 3 3 9 ( x− 8) 2 +(y−1) 2= 169 ； 5 25 【解析】依题意设圆的方程为x2+ y2+Dx+Ey+F=0， 若过(0,0)，(4,0)，(−1,1)，则¿，解得¿， 所以圆的方程为x2+ y2−4x−6 y=0，即(x−2) 2+(y−3) 2=13； 若过(0,0)，(4,0)，(4,2)，则¿，解得¿， 所以圆的方程为x2+ y2−4x−2y=0，即(x−2) 2+(y−1) 2=5； 若过(0,0)，(4,2)，(−1,1)，则¿，解得¿， 所以圆的方程为x2+ y2− 8 x− 14 y=0，即 ( x− 4) 2 + ( y− 7) 2 = 65 ； 3 3 3 3 9 若过(−1,1)，(4,0)，(4,2)，则¿，解得¿， 所以圆的方程为x2+ y2− 16 x−2y− 16 =0，即 ( x− 8) 2 +(y−1) 2= 169 ； 5 5 5 25 故答案为：(x−2) 2+(y−3) 2=13或(x−2) 2+(y−1) 2=5或 ( x− 4) 2 + ( y− 7) 2 = 65 或 3 3 9 ( x− 8) 2 +(y−1) 2= 169 ； 5 25 11、【2022年新高考1卷】写出与圆x2+ y2=1和(x−3) 2+(y−4) 2=16都相切的一条直线的方程 ________________． 3 5 7 25 【答案】y=− x+ 或y= x− 或x=−1 4 4 24 24 【解析】圆x2+ y2=1的圆心为O(0,0)，半径为1，圆(x−3) 2+(y−4) 2=16的圆心O 为(3,4)，半径为4， 1 两圆圆心距为√32+42=5，等于两圆半径之和，故两圆外切， 如图， 4 3 3 当切线为l时，因为k = ，所以k =− ，设方程为y=− x+t(t>0) OO 1 3 l 4 4|t| d= =1 5 3 5 O到l的距离 √ 9 ，解得t= ，所以l的方程为y=− x+ ， 1+ 4 4 4 16 当切线为m时，设直线方程为kx+ y+p=0，其中p>0，k<0， 7 25 由题意¿，解得¿，y= x− 24 24 当切线为n时，易知切线方程为x=−1， 3 5 7 25 故答案为：y=− x+ 或y= x− 或x=−1. 4 4 24 24 题组一、直线与圆的位置关系 1-1、（2023·江苏南通·统考一模）已知圆 ，设直线 与两坐标轴的交点 分别为 ，若圆 上有且只有一个点 满足 ，则 的值为__________. 【答案】 【分析】根据 可得 在 的垂直平分线上，且垂直平分线与圆相切可求解. 【详解】 在 的垂直平分线上， 所以中垂线的斜率为 ， 的中点为 ，由点斜式得 ， 化简得 ， 在圆 满足条件的 有且仅有一个， 直线 与圆相切， ，故答案为: . 1-2、（2023·江苏南京·南京市秦淮中学校考模拟预测）设点 ，若直线 关于 对称的 直线与圆 有公共点，则a的取值范围是________． 【答案】 【分析】首先求出点 关于 对称点 的坐标，即可得到直线 的方程，根据圆心到直线的距离小于等 于半径得到不等式，解得即可； 【详解】解： 关于 对称的点的坐标为 ， 在直线 上， 所以 所在直线即为直线 ，所以直线 为 ，即 ； 圆 ，圆心 ，半径 ， 依题意圆心到直线 的距离 ， 即 ，解得 ，即 ； 故答案为： . 1-3、（2023·江苏徐州·徐州市第七中学校考一模）过点 作圆 的两条切线，切 点分别为 ，则 的直线方程为___________. 【答案】 【分析】根据题意以 为圆心， 为半径作圆 ，两圆方程作差即可得直线 的方程. 【详解】圆 的圆心 ，半径 ，方程化为一般式方程为 ，则 ， 以 为圆心， 为半径作圆 ，其方程为 ，方程化为一般式 方程为 ， ∵ ，则 是圆 与圆 的交点， 两圆方程作差可得： ， ∴直线 的方程为 . 故答案为： . 1-4、（2023·黑龙江大庆·统考一模）已知直线 与圆 相离，则整数 的一个取值可以是______． 【答案】 或 或 （注意：只需从 中写一个作答即可） 【分析】利用直线与圆的位置关系列出不等式组，解出整数 的范围． 【详解】因为圆 的圆心为 ，所以圆心到直线 的距离 ，因为圆 的方程可化简为 ，即半径为 ，所以 ，所以 ，故整数 的取值可能是 ． 故答案为： 或 或 （注意：只需从 中写一个作答即可） 题组二、圆与圆的位置关系 2-1、（2023·江苏南京·南京市秦淮中学校考模拟预测）圆 与圆 的交点为A，B，则弦AB的长为______． 【答案】 【分析】先求出两圆的公共弦方程，观察发现 的圆心在公共弦上，从而得到弦AB的长为圆 的直径，求出公共弦长. 【详解】圆 与圆 联立可得： 公共弦的方程为 ， 变形为 ， 故 的圆心为 ，半径为 ， 而 满足 ，故弦AB的长为圆 的直径， 故弦AB的长为 ． 故答案为： . 2-2、（2023·江苏泰州·泰州中学校考一模）设 与 相交于 两点，则 ________． 【答案】 【分析】先求出两圆的公共弦所在的直线方程，然后求出其中一个圆心到该直线的距离，再根据弦长、半 径以及弦心距三者之间的关系求得答案. 【详解】将 和 两式相减： 得过 两点的直线方程： ， 则圆心 到 的距离为 ， 所以 ， 故答案为： . 2-3、（2023·云南红河·统考一模）古希腊数学家阿波罗尼奥斯的著作《圆锥曲线论》中有这样一个命题：平面内与两定点的距离的比为常数k（ 且 ）的点的轨迹为圆，后人将这个圆称为阿波罗尼奥斯圆． 已知点 圆C： 上有且只有一个点P满足 ，则r的值是 （ ） A．2 B．8 C．8或14 D．2或14 【答案】D 【分析】先求点P的轨迹方程，再结合两圆相切即可求. 【详解】设 由 ，得 ，化简并整理得点P的轨迹方程为 ， 其圆心为 半径为6． 又因为点P在圆C； 上，圆C的圆心为 ，半径为r． 由题意知，两圆相切，且圆心距为8．若两圆外切，则有 ，解得 ； 若两圆内切，则有 ，解得 ． 故选：D． 2-4、（2022·山东淄博·三模）（多选）已知圆 和圆 的交点为 ， ，则（ ） A．圆 和圆 有两条公切线 B．直线 的方程为 C．圆 上存在两点 和 使得 D．圆 上的点到直线 的最大距离为 【答案】ABD 【解析】对于A，因为两个圆相交，所以有两条公切线，故正确； 对于B，将两圆方程作差可得 ，即得公共弦 的方程为 ，故B正确；对于C，直线 经过圆 的圆心 ，所以线段 是圆 的直径，故圆 中不存在比 长的弦，故C错误； 对于D，圆 的圆心坐标为 ，半径为2，圆心到直线 的距离为 ，所以圆 上的点到直线 的最大距离为 ，D正确.故选：ABD. 题组三、圆中的最值问题 3-1、（2022·湖北省鄂州高中高三期末）已知圆： ，过直线 ： 上的一点 作圆 的 一条切线，切点为 ，则 的最小值为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】圆 ： 中，圆心 ，半径 设 ，则 ，即 则 （当且仅当 时等号成立） 故选：A 3-2、（2023·江苏苏州·苏州中学校考模拟预测）在圆幂定理中有一个切割线定理：如图1所示，QR为圆O 的切线，R为切点，QCD为割线，则 ．如图2所示，在平面直角坐标系xOy中，已知点 ，点P是圆 上的任意一点，过点 作直线BT垂直AP于点T，则 的 最小值是（ ）A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先利用 和余弦定理得到 ，可得 ，即可求 ，进而求得 ，再利用基本不等式即可得到答案 【详解】连接 ， 在 中，因为 是 的中点， 所以 ，平方得 ， 将 代入可得 ， 因为 ，所以 ， 所以 ， 在 ， ，所以 ， 当且仅当 即 时，取等号, 故选：A 3-3、（2023·吉林通化·梅河口市第五中学校考一模）在平面直角坐标系中，直线 与 轴和 轴分别交于 ， 两点， ，若 ，则当 ， 变化时，点 到点 的距离的最大值 为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求得A， 两点坐标，根据 得到 ，再结合 可得到C轨迹为动 圆，求得该动圆圆心的方程，即可求得答案. 【详解】由 得 ， 故 由 得 ， 由 得 ，设 ，则 ， 即 ，即点C轨迹为一动圆， 设该动圆圆心为 ，则 ， 整理得 ，代入到 中， 得： ，即C轨迹的圆心在圆 上， 故点（1,1）与该圆上的点 的连线的距离加上圆的半径即为点 到点 的距离的最大值，最大值为， 故选：B. 3-4、（2023·重庆·统考三模）过直线 上任一点P作直线PA，PB与圆 相切，A， B为切点，则 的最小值为______． 【答案】 【详解】 由已知可得，圆心 ，半径 . 因为 为切线，所以 ， 所以， 四点共圆， 过圆心， 所以， 是圆 与圆 的公共弦，所以 ， 且 . 设四边形 面积为 ，则 . 又 ， 所以， . 显然，当 增大时， 也增大， 所以，当 最小时， 有最小值. 当 时， 最小， ，此时 . 故答案为： . 题组四、直线与圆的综合性问题 4-1、（2023·安徽安庆·校考一模）（多选题）将两圆方程作差，得到直线 的方程，则 （ ） A．直线 一定过点 B．存在实数 ，使两圆心所在直线的斜率为 C．对任意实数 ，两圆心所在直线与直线 垂直 D．过直线 上任意一点一定可作两圆的切线，且切线长相等 【答案】BCD 【分析】利用分离参数法求出直线恒过的定点即可判断A；利用两圆心坐标求斜率进而判断B；利用垂直 直线的斜率之积为-1判断C；设直线 上一点 ，利用两点坐标求距离公式和勾股定理化 简计算即可判断D. 【详解】由题意知， ， 两式相减，得 ， A：由 ，得 ， 则 ，解得 ，所以直线 恒过定点 ，故A错误； B： ，故B正确； C：因为 ，故C正确； D： ， ， 则圆心 到直线 的距离为 ，圆心 到直线 的距离为 ， 又 ，得 ，即直线 与圆 相离， ，得 ，即直线 与圆 相离， 所以过直线 上任一点可作两圆的切线. 在直线 上任取一点 ， 设点P到圆 的切线长为 ，到圆 的切线长为 ， 则 ， ， 所以 ，即 ，故D正确. 故选：BCD. 4-2、（2023·江苏南通·三模）（多选题）直线 与圆 交于 两点， 为圆上任 意一点，则( ). A．线段 最短长度为 B． 的面积最大值为 C．无论 为何值， 与圆相交 D．不存在 ，使 取得最大值 【答案】CD 【详解】由直线 可知 ，该直线过定点 , 且直线斜率一定存在， 当 时，弦 的弦心距最长，则 长最短为 ， 此时 的斜率不存在，与题意矛盾，故A错误；的面积为 , 若 的面积取到最大值，则 为直角， 由于 ,此时 ，与题意矛盾，B错误； 由于直线 过定点 , 在 内， 故无论 为何值， 与圆相交，C正确； 为圆上任意一点，假设当 与x轴垂直时，如图中虚线位置， 此时劣弧 最短， 最大，但由于直线l斜率存在， 故直线取不到图中虚线位置，即不存在 ，使 取得最大值，D正确， 故选：CD 4-3、（2022·山东省淄博实验中学高三期末）（多选题）在平面直角坐标系 中，过直线 上 任一点 做圆 的两条切线，切点分别为 、 ，则下列说法正确的是（ ） A．四边形 为正方形时，点 的坐标为 B．四边形 面积的最小值为1 C． 不可能为钝角 D．当 为等边三角形时，点 的坐标为 【答案】ABC 【解析】解：对A：设 ，由题意，四边形 为正方形时， ，解得 ，所以点 的坐标为 ，选项A正确；对B：四边形 面积 ， 因为 ，所以 ，故选项B正确； 对C：由题意， ，在直角三角形 中， ， 由选项B知 ，所以 ， 因为 为锐角，所以 ，所以 ，故选项C正确； 对D：当 为等边三角形时， ，所以 ，则 ，解得 或 ，此时点 的坐标为 或 ，故选项D错误； 故选：ABC. 1、（2022·河北保定·高三期末）若 为圆 的弦 的中点，则直线 的方程为 （ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】圆 的圆心为 ，则 .因为 ，所以 ，故 直线 的方程为 . 故选：A 2、（2022·广东清远·高三期末）直线 被圆 截得的最短弦长为（ ）A． B． C． D． 【答案】D 【解析】将圆化为一般方程为 ，因此可知圆C的圆心为 ，半径为4， 因为直线l过定点 ，所以当圆心到直线l的距离为 时， 直线l被圆C截得的弦长最短，且最短弦长为 ． 故选：D 3、（2022·青海西宁·二模）已知圆 ，圆 ，若圆 平分圆 的圆周，则正数 的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】圆 ，化为 ，则圆心 ， 两圆方程相减可得 ，即为两圆的相交弦方程， 因为圆 平分圆 的圆周，所以圆心 在相交弦上， 所以 ，解得 或 （舍去）， 故选：A 4、（2023·山西·统考一模）经过 , , 三点的圆与直线 的位置关系为 （ ） A．相交 B．相切 C．相交或相切 D．无法确定 【答案】A 【分析】先根据圆上三点坐标求出圆的方程及圆心半径,再根据圆心到直线的距离与半径之间的大小关系, 得出圆与直线的位置关系. 【详解】解:由题知,圆过 , , 三点,因为 , 所以 ,即 , 所以该圆是以 为直径的圆,可得圆心为 ,即 ,半径 , 故圆的方程为 , 因为直线方程为: , 所以圆心到直线的距离 , 当 时,有 ,所以圆与直线相交, 当 时,有 ,所以圆与直线相交, 综上:圆与直线的位置关系是相交. 故选：A. 5、（2023·河北石家庄·统考三模）已知直线 经过圆 的圆心，其中 且 ，则 的最小值为（ ） A．9 B． C．1 D． 【答案】A 【详解】圆 的圆心为 ，依题意， ，即 ， 由 ，知 ，令 ，则 ， 因此 ，当且仅当 ，即 时取等号， 所以当 时， 取得最小值9.故选：A y2 6、（2021·山东日照市·高三二模）若实数x、y满足条件x2  y2 1，则 x1 的范围是（ ）  3 , A．   0, 2  B． 3,5 C． ,1 D．   4   【答案】D y2 【解析】 x1 的几何意义即圆上的点(x,y)到定点(1,2)的斜率，由图知，斜率的范围处在圆的两条切 线斜率之间，其中AC斜率不存在，设AB的斜率为k， y k(x1)2kxk2 则AB的方程为 ， k2 3 y2  3 由切线性质有， 1k2 1 ，解得 k  4 ，故 x1 的取值范围为   , 4   ， 故选：C 7、（2023·江苏苏州·苏州中学校考模拟预测）已知抛物线 ： ，圆 ： ，在抛物 线 上任取一点 ，向圆 作两条切线 和 ，切点分别为 ， ，则 的取值范围是______ ． 【答案】 【分析】设点 ，由已知关系，可用 点坐标表示出 .在 ，有 ，进而可推出 ，根据 的范围，即可得到结果.【详解】 由已知， ， . 如图，设点 ，则 ， ， 在 中，有 ， 易知 ，则 ， 则 ， 因为， ，所以当 时， 取得最大值 ， 又 ，所以， . 所以， 的取值范围是 . 故答案为： . 8、（2023·云南玉溪·统考一模）已知直线 与圆C： 相交于点 A，B，若 是正三角形，则实数 ________【答案】 【分析】由 是正三角形得到圆心点 到直线 的距离为 ，从而用点到直线距离公式即可 求解. 【详解】设圆 的半径为 ， 由 可得， 因为 是正三角形，所以点 到直线 的距离为 , 即 ， 两边平方得 ，解得 . 故答案为: . 9、（2023·云南·统考一模）若P，Q分别是抛物线 与圆 上的点，则 的最小值为 ________． 【答案】 【分析】设点 ，圆心 ， 的最小值即为 的最小值减去圆的半径，求出 的最小值 即可得解． 【详解】依题可设 ，圆心 ，根据圆外一点到圆上一点的最值求法可知， 的最小值即为 的最小值减去半径． 因为 ， ， 设 ，，由于 恒成立， 所以函数 在 上递减，在 上递增，即 ， 所以 ，即 的最小值为 ． 故答案为： ． 10、（2023·黑龙江·黑龙江实验中学校考一模）古希腊数学家阿波罗尼斯发现如下结论：“平面内到两个 定点A，B的距离之比为定值 的点的轨迹是圆”．在平面直角坐标系中，已知点 ， 点P满足 ，设点P的轨迹为圆M，点M为圆心，若直线 与圆M相交于D，G两点， 且 ，则 ____________． 【答案】 或 【分析】设点 由 求出圆M方程，根据 截圆弦长 求得 值. 【详解】设点 点 满足 ， ∴ ， 化为: ，即点 的轨迹圆 ，圆心 ，半径 . 圆心 到直线 的距离 ， ∴ ， ∴ ，解得 或 故答案为: 或 . 11、（2023·湖南岳阳·统考三模）写出与圆 和 都相切的一条直线方程 ____________．【答案】 或 中任何一个答案均可 【详解】圆 的圆心为 ，半径为 ， 圆 的圆心为 ，半径为 ， 则 ， 所以两圆外离， 由两圆的圆心都在 轴上，则公切线的斜率一定存在， 设公切线方程为 ，即 ， 则有 ， 解得 或 或 或 所以公切线方程为 或 . 故答案为： .（答案不唯一，写其它三条均可） 12、（2023·辽宁·大连二十四中校联考三模）在平面直角坐标系 中，笛卡尔曾阐述：过圆 上一点 的切线方程 .若 ，直线 与圆 相交于 两点，分别以点 为切点作圆 的切线 ，设直线 ， 的交点为 ；若 时，则直线 的方程是__________；若圆O： ，且 与圆 相 切，则 的最小值为__________. 【答案】 / 【详解】设 ， 由题意可得： ， 因为直线 ， 的交点为 ，则 ， 所以直线 的方程 ，即 . 空1：若 时，则直线 的方程是 ，即 ；空2：圆O： 的圆心 ，半径为1， 因为 与圆 相切，则 ，整理得 ， 当 时， 取到最小值 . 故答案为： ； .