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专题10 导数的综合运用
1、【2022年全国乙卷】已知x=x 和x=x 分别是函数f(x)=2ax−ex2（a>0且a≠1）的极小值点和极大
1 2
值点．若x <x ，则a的取值范围是____________．
1 2
2、【2021年新高考2卷】已知函数 ，函数 的图象在点 和点
的两条切线互相垂直，且分别交y轴于M，N两点，则 取值范围是_______．
3、（2023年新课标全国Ⅰ卷）1．已知函数 ．
(1)讨论 的单调性；
(2)证明：当 时， ．
4、（2023年新课标全国Ⅱ卷）（1）证明：当 时， ；
（2）已知函数 ，若 是 的极大值点，求a的取值范围．5、（2023年全国乙卷数学（理））8．已知函数 .
(1)当 时，求曲线 在点 处的切线方程；
(2)是否存在a，b，使得曲线 关于直线 对称，若存在，求a，b的值，若不存在，说明理由.
(3)若 在 存在极值，求a的取值范围.
ex
6、【2022年全国甲卷】已知函数f (x)= −lnx+x−a．
x
(1)若f (x)≥0，求a的取值范围；
(2)证明：若f (x)有两个零点x ,x ，则环x x <1．
1 2 1 2
7、【2022年全国乙卷】已知函数f (x)=ln(1+x)+axe−x
(1)当a=1时，求曲线y=f (x)在点(0,f (0))处的切线方程；
(2)若f (x)在区间(−1,0),(0,+∞)各恰有一个零点，求a的取值范围．题组一、函数的零点、极值点的综合性问题
f'(x)
1-1、（2022·湖北·黄石市有色第一中学高三期末）（多选题）设函数f (x)=xlnx，g(x)= ，则下列
x
说法正确的有（ ）
(1 )
A．不等式g(x)>0的解集为 ,+∞ ；
e
gx
B．函数 在(0,e)单调递增，在(e,+∞)单调递减；
(1 )
C．当x∈ ,1 时，总有f (x)<g(x)恒成立；
e
( 1)
D．若函数F(x)=f (x)−ax2有两个极值点，则实数a∈ 0,
2
1-2、（2023·江苏连云港·统考模拟预测）已知函数 ．
(1)求函数 在区间 上的最大值；
(2)若关于 的方程 有两个不相等的实数根，求实数 的取值范围．
1-3、（2022·河北深州市中学高三期末）已知函数 ．
(1)证明：函数 在 上存在唯一的零点；
(2)若函数 在区间 上的最小值为1，求a的值．题组二、利用导数研究不等式及证明问题
2-1、（2023·江苏徐州·徐州市第七中学校考一模）已知函数 .
(1)若 且函数 在 上是单调递增函数，求 的取值范围；
(2)设 的导函数为 ，若 满足 ，证明： .
2-2、（2023·江苏南通·统考一模）已知函数 和 有相同的最大值.
(1)求实数 ；
(2)设直线 与两条曲线 和 共有四个不同的交点，其横坐标分别为
，证明： .2-3、（2023·江苏南通·统考模拟预测）设函数 ， .
(1)若函数 图象恰与函数 图象相切，求实数 的值；
(2)若函数 有两个极值点 ， ，设点 ， ，证明： 、
两点连线的斜率 .
2-4、（2023·江苏南京·南京市秦淮中学校考模拟预测）已知函数 ．
(1)当 时，讨论 的单调性；
(2)当 时， ，求a的取值范围；
(3)设 ，证明： ．题组三、利用导数研究含参问题
3-1、（2023·江苏泰州·泰州中学校考一模）已知函数 （ 为自然对数的底数）.
(1)若不等式 恒成立，求实数 的取值范围；
(2)若不等式 在 上恒成立，求实数 的取值范围.
3-2、（2023·江苏南京·校考一模）已知函数 (其中 为自然对数的底数).
（1）当 时，求证：函数 图象上任意一点处的切线斜率均大于 ；
（2）若 对于任意的 ， 恒成立，求实数 的取值范围.3-3、（2023·云南曲靖·统考一模）已知函数 的图像与直线l： 相切于点
．
(1)求函数 的图像在点 处的切线在x轴上的截距；
(2)求c与a的函数关系 ；
(3)当a为函数g（a）的零点时，若对任意 ，不等式 恒成立．求实数k的最值．
1、（2023·黑龙江·黑龙江实验中学校考一模）设函数 .
(1)若曲线 在点 处的切线斜率为 ，求 的值；
(2)若 存在两个极值点 ，且对任意 恒成立，求实数 的取值范围.
2、（2023·吉林通化·梅河口市第五中学校考一模）已知 ．
(1)求证：当x>0时，(2)若不等式 ，（其中 ）恒成立时，实数m的取值范围为（-∞，t]，求证：
．
3、（2023·黑龙江大庆·统考一模）已知函数 的两个不同极值点分别为 ， （
）.
(1)求实数 的取值范围；
(2)证明： （ 为自然对数的底数）.
4、（2023·四川广安·四川省广安友谊中学校考模拟预测）已知函数 ．
(1)若函数 在 处的切线斜率为 ，求实数 的值；(2)若函数 有且仅有三个不同的零点，分别设为
（i）求实数 的取值范围；
（ii）求证： ．
