文档内容
专题07 函数的奇偶性
真题再现
一、单选题
1．（2023·全国·统考高考真题）若 为偶函数，则 （ ）．
A． B．0 C． D．1
【解析】因为 为偶函数，则 ，解得 ，
当 时， ， ，解得 或 ，
则其定义域为 或 ，关于原点对称.
，
故此时 为偶函数.故选：B.
2．（2023·全国·统考高考真题）已知 是偶函数，则 （ ）
A． B． C．1 D．2
【解析】因为 为偶函数，则 ，
又因为 不恒为0，可得 ，即 ，
则 ，即 ，解得 .故选：D.
3．（2023·天津·统考高考真题）函数 的图象如下图所示，则 的解析式可能为（ ）A． B． C． D．
【解析】由图知：函数图象关于y轴对称，其为偶函数，且 ，
由 且定义域为R，即B中函数为奇函数，排除；
当 时 、 ，即A、C中 上函数值为正，排除；故选：D
4．（2022·天津·统考高考真题）函数 的图像为（ ）
A． B． C． D．
【解析】函数 的定义域为 ，且 ，
函数 为奇函数，A选项错误；
又当 时， ，C选项错误；
当 时， 函数单调递增，故B选项错误；故选：D.
5．（2022·全国·统考高考真题）已知函数 的定义域为R，且 ，
则 （ ）
A． B． C．0 D．1
【解析】[方法一]：赋值加性质
因为 ，令 可得， ，所以 ，令 可得， ，即 ，所以函数 为偶函数，
令 得， ，即有 ，
从而可知 ， ，故 ，即 ，
所以函数 的一个周期为 ．因为 ， ，
， ， ，
所以一个周期内的 ．由于22除以6余4，
所以 ．故选：A．
[方法二]：【最优解】构造特殊函数
由 ，联想到余弦函数和差化积公式
，可设 ，则由方法一中 知 ，
解得 ，取 ，所以 ，则
，
所以 符合条件，因此 的周期 ， ，
且 ，所以 ，
由于22除以6余4，所以 ．故选：A．
6．（2021·全国·统考高考真题）已知函数 的定义域为 ， 为偶函数， 为奇函数，
则（ ）A． B． C． D．
【解析】因为函数 为偶函数，则 ，可得 ，
因为函数 为奇函数，则 ，所以， ，
所以， ，即 ，故函数 是以 为周期的周期函数，
因为函数 为奇函数，则 ，故 ，其它三个选项未知.
故选：B.
7．（2021·全国·高考真题）设 是定义域为 R 的奇函数，且 .若 ，则
（ ）
A． B． C． D．
【解析】由题意可得： ，
而 ，故 .故选：C.
8．（2021·全国·统考高考真题）设函数 的定义域为R， 为奇函数， 为偶函数，当
时， ．若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【解析】[方法一]：
因为 是奇函数，所以 ①；
因为 是偶函数，所以 ②．
令 ，由①得： ，由②得： ，因为 ，所以 ，
令 ，由①得： ，所以 ．
思路一：从定义入手． ，
， ，
所以 ．
[方法二]：因为 是奇函数，所以 ①；
因为 是偶函数，所以 ②．
令 ，由①得： ，由②得： ，
因为 ，所以 ，
令 ，由①得： ，所以 ．
思路二：从周期性入手，由两个对称性可知，函数 的周期 ．
所以 ．故选：D．
9．（2021·全国·统考高考真题）设函数 ，则下列函数中为奇函数的是（ ）
A． B． C． D．
【解析】由题意可得 ，
对于A， 不是奇函数；对于B， 是奇函数；
对于C， ，定义域不关于原点对称，不是奇函数；
对于D， ，定义域不关于原点对称，不是奇函数.故选：B
二、多选题
10．（2023·全国·统考高考真题）已知函数 的定义域为 ， ，则
（ ）．
A． B． C． 是偶函数 D． 为 的极小值点
【解析】方法一：因为 ，
对于A，令 ， ，故 正确.
对于B，令 ， ，则 ，故B正确.
对于C，令 ， ，则 ，
令 ，
又函数 的定义域为 ，所以 为偶函数，故 正确，
对于D，不妨令 ，显然符合题设条件，此时 无极值，故 错误.
方法二：因为 ，
对于A，令 ， ，故 正确.
对于B，令 ， ，则 ，故B正确.
对于C，令 ， ，则 ，
令 ，
又函数 的定义域为 ，所以 为偶函数，故 正确，
对于D，当 时，对 两边同时除以 ，得到 ，
故可以设 ，则 ，当 肘， ，则 ，
令 ，得 ；令 ，得 ；
故 在 上单调递减，在 上单调递增，
因为 为偶函数，所以 在 上单调递增，在 上单调递减，
显然，此时 是 的极大值，故D错误.故选： .
11．（2022·全国·统考高考真题）已知函数 及其导函数 的定义域均为 ，记 ，若
， 均为偶函数，则（ ）
A． B． C． D．
【解析】[方法一]：对称性和周期性的关系研究
对于 ，因为 为偶函数，所以 即 ①，
所以 ，所以 关于 对称，则 ，故C正确；
对于 ，因为 为偶函数， ， ，所以 关于 对称，由①求
导，和 ，得 ，所
以 ，所以 关于 对称，因为其定义域为R，所以 ，结合 关于对称，从而周期 ，所以 ， ，故B正确，D错误；
若函数 满足题设条件，则函数 （C为常数）也满足题设条件，所以无法确定 的函数值，
故A错误.
故选：BC.
[方法二]：【最优解】特殊值，构造函数法.
由方法一知 周期为2，关于 对称，故可设 ，则 ，显然A，D错
误，选BC.故选：BC.
[方法三]：因为 ， 均为偶函数，
所以 即 ， ，
所以 ， ，则 ，故C正确；
函数 ， 的图象分别关于直线 对称，
又 ，且函数 可导，所以 ，
所以 ，所以 ，
所以 ， ，故B正确，D错误；
若函数 满足题设条件，则函数 （C为常数）也满足题设条件，所以无法确定 的函数值，
故A错误.故选：BC.
三、填空题
12．（2023·全国·统考高考真题）若 为偶函数，则 ________．
【解析】因为 为偶函数，定义域为 ，所以 ，即 ，
则 ，故 ，此时 ，
所以 ，又定义域为 ，故 为偶函数，所以 .
13．（2021·全国·统考高考真题）写出一个同时具有下列性质①②③的函数 _______．
① ；②当 时， ；③ 是奇函数．
【解析】取 ，则 ，满足①，
， 时有 ，满足②， 的定义域为 ，
又 ，故 是奇函数，满足③.
故答案为： （答案不唯一， 均满足）
14．（2021·全国·统考高考真题）已知函数 是偶函数，则 ______.
【解析】因为 ，故 ，
因为 为偶函数，故 时 ，整理得到 ，
故
四、双空题
15．（2022·全国·统考高考真题）若 是奇函数，则 _____， ______．
【解析】[方法一]：奇函数定义域的对称性，
若 ，则 的定义域为 ，不关于原点对称， ，
若奇函数的 有意义，则 且 ， 且 ，
函数 为奇函数，定义域关于原点对称， ，解得 ，由 得， ， ，故答案为： ； ．
[方法二]：函数的奇偶性求参
， 函数 为奇函数 ， ，
， ， ，
[方法三]：因为函数 为奇函数，所以其定义域关于原点对称．
由 可得， ，所以 ，解得： ，即函数的定义域为
，再由 可得， ．即 ，在定义域
内满足 ，符合题意．故答案为： ； ．
考点一 奇偶性的判断或证明
一、多选题
1．以下函数的图象是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【解析】对于A，由二次函数的性质可知，函数 无对称中心，故A错误；
对于B，根据幂函数的性质可知，函数 的图象关于原点对称，故B正确；
对于C， ，所以 的图象可以由反比例函数 的图象向右平移1个单位，
向上平移2个单位得到，且反比例函数 的图象关于原点对称，
所以函数 的图象关于点 对称，故C正确；
对于D，函数的定义域为 ,且 ，
当 时， ， ，当 时， ， ，
所以函数 为奇函数，图象关于原点对称，故D正确；故选：BCD.
2．设函数 的定义域都为 R，且 是奇函数， 是偶函数，则下列结论正确的是
（ ）
A． 是偶函数 B． 是奇函数
C． 是奇函数 D． 是偶函数
【解析】因为函数 的定义域都为R，所以各选项中函数的定义域也为R，关于原点对称，
因为 是奇函数， 是偶函数，所以 ，
对于A，因为 ，所以函数 是奇函数，故A错误；
对于B，因为 ，所以函数 是偶函数，故B错误；
对于C，因为 ，所以函数 是奇函数，故C正确；对于D，因为 ，所以函数 是偶函数，故D正确.
故选：CD.
3．若函数 在其定义域内是奇函数或偶函数，则称 具有奇偶性.以下函数中，具有奇偶性的函数
是（ ）
A． B． C． D．
【解析】选项A，令 ，则 ，解得 .
所以函数 的定义域是 ，定义域不关于原点对称，故不具有奇偶性；
选项B，为使函数 的分子有意义， ，于是 恒成立，
故 ，因为 ，故 是奇函数；
选项C，函数 的定义域是 ， ，
，故 为奇函数；
选项D，画出 的图象，如图，图象关于y轴对称，故 为偶函数.故选：BCD．
二、单选题
4．设函数 ，则下列函数中为奇函数的是（ ）
A． B． C． D．
【解析】对于A选项，令 ，则 ， ，
所以， ，故函数 不是奇函数；
对于B选项， ，则函数 为奇函数；
对于C选项，令 ，
因为 ， ，则 ，故函数 不是奇函数；
对于D选项，令 ，则 ，
，故函数 不是奇函数.故选：B.
5．函数 （ ）
A．是奇函数 B．是偶函数C．既是奇函数又是偶函数 D．既不是奇函数也不是偶函数
【解析】函数 的定义域为 ，函数 的定义域关于原点对称，
又 ， ， ，
所以函数 为奇函数，函数 不是偶函数，故选：A.
6．定义在R上的函数 满足：① ，② 是奇函数，则下列结论可能不正确的
是（ ）
A． 是偶函数 B． C． D． 关于x＝1对称
【解析】定义在 R 上的函数 ,满足 ，有 ，函数图像上的点
关于点 的对称点为 ，即 ，所以函数图像上的点关于点 的
对称点也在函数图像上，即函数图像关于点 对称； 是奇函数，有 ，
函数图像上的点 关于点 的对称点为 ，即 ，
所以函数图像上的点关于点 的对称点也在函数图像上，即函数图像关于点 对称，点
关于点 的对称点 ，所以 ；∴ ，令 ，则
，所以 ，得函数周期为4，B选项正确；
由 ，当 时，有 ，又函数周期为 4，有 ，所以，C选项正确；
令 ， ，所以 的图像
关于x＝1对称，D选项正确；
函数 ，满足题目中的条件，但 不是偶函数，A选项错误.故选：A
7．若定义在 上的函数 满足：对于任意的 、 ，恒有 ，则函数
为（ ）
A．奇函数 B．偶函数 C．非奇非偶函数 D．无法判断奇偶性
【解析】因为 ， ，
所以， ，则 ，
函数 的定义域为 ，令 ，可得 ，所以， ，
令 ，则 ，所以， ，故函数 为奇函数.
故选：A.
三、解答题
8．已知函数 （ ，且 ）.
(1)证明：函数 是偶函数；(2)若 在定义域上恒成立，求 的取值范围.
【解析】（1）证明：由于 ，则 ，得 ，∴函数 的定义域为 关于原点对称.
又∵ ，
∴函数 为偶函数.
（2）由（1）知 为偶函数，∴只需讨论 时的情况.
当 时，要使 ，只需 ，即 ，即 ，则 .
又∵ ，∴ ，∴当 时， .
9．判断下列函数的奇偶性：
(1) ；(2) ；(3) ；(4)
解：(1)函数的定义域为 ，因为 ，
所以函数 为偶函数；
(2)由函数 ，则 ，解得 ，奇函数的定义域为 关于原点对称，
故 ，所以函数 既是奇函数又是偶函数；(3)当 时， ，
当 时， ，则 ，
当 时， ，则 ，
综上，对于任意的 ，都有 ，所以函数 为奇函数；
(4)函数 的定义域为 ，
，
所以函数 为奇函数.
10．判断下列函数的奇偶性：
(1) ；(2) ；(3) ；(4) ．
【解析】（1）∵函数 的定义域是 ，关于坐标原点不对称
∴ 既不是奇函数也不是偶函数．
(2)∵函数 的定义域为 ，关于坐标原点对称．又
∴ 为偶函数．
(3)∵函数 的定义域为 ，关于坐标原点对称，∴ 既是奇函数也是偶函数．
(4) 的定义域为 ．∵
，∴ ，∴ 为奇函数．
11．若定义在R上的函数 满足： ， ，都有 成立，且当 时，
.
(1)求证： 为奇函数；
(2)求证： 为 上的增函数
【解析】（1）证明：由 得 ，
则 ，即 ，
故 ，故 为奇函数
（2）证明：设 ， ，
故 .当 时， ，又 ，故 ，
即 ，故 为 上的增函数.
12．设定义在 上的函数 对任意 均满足： ，且 ，当 时，.
(1)判断并证明 的奇偶性；
(2)判断并证明 在 上的单调性；
(3)若 ，解不等式 .
【解析】（1） 为奇函数，证明如下：依题意， ，
令 ，得 ，所以 ，所以 是奇函数.
（2） 在 上单调递增，证明如下：任取 ，则 ， ，
所以 ，所以 ，所以 在 上单调递增.
（3）由于 ，所以 ， ，
，而 在 上递增，所以 ，
所以不等式 的解集为 .
考点二 利用奇偶性求函数值或解析式
一、单选题
1．已知函数 是定义域为 的奇函数，当 时， ，则 （ ）
A．1 B．－1 C．5 D．－5
【解析】根据奇函数性质可知 ；而 ，所以 ，所以 .
故选：B2．已知 （其中 为常数且 ），如果 ，则 的值为
（ ）
A． B．3 C． D．5
【解析】设 ，
则 ，则函数 是奇函数；
，则函数 是周期为 的周期函数；
由 ，可得 ，则 ，所以 ，
则 ，故选：B .
3．已知 ，则 等于（ ）
A．8 B． C． D．10
【解析】函数 的定义域为R，
令函数 ，显然 ，
即函数 是R上的奇函数，因此 ，即 ，而 ，
所以 .故选：C
4． 为奇函数， 为偶函数，且 则 （ ）
A．3 B．-1 C．1 D．-3
【解析】因为 为奇函数， 为偶函数，则
所以 ，两式相加可得 ，即 ，故选：A.
5．已知函数 在 上的最大值与最小值分别为 和 ，则
（ ）
A． B．0 C．2 D．4【解析】已知 ， ，
则 ，函数 在定义域内为非奇非偶函数，
令 ，则
则 在定义域内为奇函数，设 的最大值为 ，则最小值为 ，
则 的最大值为 ，最小值为 ，所以 ，故选：C.
6．已知函数 在 上为偶函数，且当 时， ，则当 时， 的解析式是
（ ）
A． B． C． D．
【解析】当 时， ，由于 是偶函数，所以 .故选：C
7．已知函数 是偶函数，且当 时， ，那么当 时， 的解析式是
（ ）
A． B． C． D．
【解析】因为函数 是偶函数，所以 ， 时， ，
故 .故选：A
8．已知 为定义在R上的奇函数，且当 时， ，则 （ ）
A．﹣2022 B．2022 C． D．
【解析】因为 为定义在R上的奇函数，且当 时， ，
所以 ，故选：C.
二、填空题9．已知 为奇函数， ，若 ，则 __________.
【解析】 为奇函数，有 ，
因为 ，所以 ，所以 ，令 ，
则 .
10．设 为实数，函数 是奇函数，则 __．
【解析】因为 是奇函数，所以 ，所以 .
当 时， ．
11．若函数 是定义在 上的偶函数，则 ______．
【解析】 函数 是定义在 上的偶函数， ，即 ．
， ， ，∴ ,∴ .
12．已知定义在 上的奇函数 满足 ，且 则 __．
【解析】 定义在 上的奇函数 满足 ， ，
，解得 ， （3） ，
（7） （1） ． ．
考点三 由奇偶性解不等式
一、单选题
1．函数 是 R 上的偶函数，且在 上是增函数，若 ，则 a 的取值范围是（ ）
A． B． C． D． 或
【解析】 是R上的偶函数，且在 上是增函数
在 是减函数， ， ， ；故选：C．
2．已知 ，则不等式 的解集为（ ）
A． B． C． D．
【解析】由题意， 在 中， ，∴ 为奇函数，
设对于任意的 ，且 ，
∵ ，∴ ， ，∴ ，函数单调递增，
∵ ，∴ ，∴ ，解得：
∴不等式 的解集为 ，故选：A.
3．已知偶函数 ，则满足 的实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【解析】当 时， 单调递增，又 为偶函数，
故 ，所以 ，解得： .故选：C
4．已知函数 是定义在 上的偶函数，且在 上单调递减， ，则不等式 的解
集为 （ ）
A． B． C． D．【解析】依题意函数 是定义在 上的偶函数，且在 上单调递减，在 上递增，
.画出 的大致图象如下图所示，由图可知，不等式 的解集为 .
故选：A
5．已知定义在 上的奇函数 在 上单调递增，且 ，则满足 的 的取值
范围为（ ）
A． B． C． D．
【解析】因为定义在 上的奇函数 在 上单调递增，且 ，
所以 在 上也是单调递增，且 ， ，
所以当 时， ；当 时， ，
所以由 ，可得 或 ，
即 或 ，解得 ，得 的取值范围为 .故选：A．
6．已知 是定义在 R 上的偶函数，当 时， ，则不等式 的解集是
（ ）
A． B． C． D．
【解析】当 时， ，因为 ，所以 恒成立，
所以 在 单调递增，又因为 是定义在R上的偶函数，所以 在 单调递减，所以 ，所以由 可得 ，解得 ，故选:D.
7．函数 是定义在 上的奇函数，且在 上单调递增， ，则不等式 的解集为
（ ）
A． B． C． D．
【解析】因为函数 是奇函数，且在 上单调递增，所以函数 在 上也单调递增，
又因为 ，所以 ，不等式 等价于 或 ，
即 或 ，得到 ．故选：D．
二、多选题
8．已知函数 在 R 上单调递减，且为奇函数，若 ，则满足 的 x 值可能为
（ ）
A． B．0 C．1 D．2
【解析】由题设 ，且 ，又 在R上单调递减，
所以 ，即 ，符合要求的x值为C、D.故选：CD
三、填空题
9．定义在 上的偶函数 满足：在 上单调递减，则满足 的解集________.
【解析】因为 为定义在 上的偶函数，且在 上单调递减，
所以 ，所以 ，即 ，故答案为：
10．定义在 上的奇函数 在 上是减函数，若 ，则实数 的取值范围
为_____.
【解析】 是定义在 上的奇函数，且在 上是减函数，
在定义域 上是减函数，且 ，，即 ，
故可知 ，即可解得 ，实数 的取值范围为 .
11．设奇函数 的定义域为 ，若当 时， 的图象如下图，则不等式 的解是
______．
【解析】因为奇函数 的定义域为 ，所以函数图象关于原点对称，
由图可知，当 时， 或 ，所以不等式 的解是 .
12．已知函数 ，若 ，则 的取值范围是__________.
【解析】因为函数 ，定义域为 ，且 ，
则
，
即 ，即 为奇函数，
当 时 ， ， 均单调递增，所以 在 上单调递增，
则 在 上单调递增，所以 是奇函数且在 上单调递增，
由 ，可得 ，则 ，解得 ，
即 的取值范围为 .
四、双空题
13． 是定义在 上单调递增的奇函数，则 ________；若 ，则x的取值范围为________.
【解析】依题意， ，解得 ；
因此函数 是 上单调递增的奇函数，由 ，得 ，
于是 ，解得 ，所以x的取值范围为 .
五、解答题
14．已知函数 ， ．
(1)用定义法证明：函数 在 上单调递增；
(2)求不等式 的解集．
【解析】（1）任取 ，且 ，
，
因为 ，且 ，故 ， ， ， ， ，
所以 ， ，故函数 在 上单调递增；
（2） ，定义域关于原点对称，且 ，
所以 为奇函数， 变形为 ，
则要满足 ，解得： ，故不等式的解集为
15．已知定义在 的函数 在 单调递减，且 .
(1)若 是奇函数，求m的取值范围；
(2)若 是偶函数，求m的取值范围.【解析】（1）若 是奇函数，则 在 上单调递减，故 ，
解得： ，故m的取值范围为 ；
（2）若 是偶函数，因为 在 上单调递减，故在 上单调递增，由 得：
，故 ，解得： ，故m的取值范围为 .
16．已知 是定义在 上的奇函数．
(1)求实数 的值；
(2)若不等式 恒成立，求实数 的取值范围．
【解析】（1）因为 为定义在 上的奇函数，所以 ，所以 ．
此时 ，经验证， ，故 ．
（2）由（1）可知 ，任取 ，
则 ，
因为 ，则 ， ，所以 ，所以 是 上的增函数．
由 恒成立，得 恒成立，则 ，
所以 恒成立，因为 ，所以 ．
实数 的取值范围为： ．17．已知函数 是定义在 上的奇函数，当 时， ．
(1)求函数 的解析式．
(2)若 ，求实数 的取值范围．
【解析】（1）因为 为奇函数， ，设 ，则 ，
则 ,因为 为奇函数，则 ，
则 ．
（2）当 时， 为单调递增函数，
由奇函数可知 是定义在[﹣3，3]上的增函数，
又∵ ，∴ ，
故有： ，则有 ，解得： ，所以实数a取值范围是：
18．函数 是定义在 上的奇函数，且 ．
(1)确定 的解析式；
(2)判断 在 上的单调性，并证明你的结论；
(3)解关于 的不等式 ．
【解析】（1） 为定义在 上的奇函数， ，解得： ，
，解得： ；当 ， 时， ，，满足 为奇函数；
综上所述： .
（2） 在 上单调递增；证明如下：任取 ，
；
， ， ， ， ，
在 上单调递增.
（3） 为定义在 上的奇函数， 由 得： ，
又 在 上单调递增， ，解得： ，
不等式 的解集为 .
考点四 利用奇偶性求参
一、单选题
1．已知 是偶函数，则 （ ）
A． B．1 C． D．2
【解析】方法一：因为 ，所以 ，
由 ，得 ，解得 ；
方法二： ，因为 是偶函数，
所以 图像关于直线 对称，所以 ，解得 ，故选：D．
2．已知函数 是奇函数，则 （ ）A．0 B．1 C． D．
【解析】因为 为定义在 上的奇函数，所以 ，所以 ，
经验证， ，故 .故选：B.
3．若函数 是定义在 上的偶函数，则 （ ）
A． B． C．1 D．2
【解析】因为偶函数的定义域关于原点对称，则 ，解得 ,
而当 时，函数 是 上的偶函数，所以 .故选：A.
4．已知定义在 上的奇函数 ，当 时， ，则 的值为（ ）
A． B．8 C． D．24
【解析】因为奇函数 定义在 ，所以 解得 ，
所以 ，故选:C.
5．若 为奇函数，则 （ ）
A．3 B．2 C． D．
【解析】因为函数 为奇函数，所以 的定义域关于原点对称，
显然当 时， 没意义，所以当 时， 也没意义，但 是有意义的，
所以必定是 ，即 ，
， ，
即 ，则 ，是奇函数，
；故选：C.二、填空题
6．已知 是奇函数，则实数 __________．
【解析】由题意得 ，所以 ，解得 ．
7．已知定义域为 的奇函数 则 的值为__________．
【解析】因为函数 是定义在 上的奇函数，
则有 ，解得 ，
，解得 ，
所以 .
8．已知幂函数 为奇函数，则实数a的值为__________.
【解析】∵ 为幂函数，∴ ，解得： 或 ，
当 时， ，设 则 ，
∴ 在R上为偶函数，所以 不符合题意；
当 时， ，设 则
∴ 在R上为奇函数，所以 符合题意.
综述： .
9．已知函数 是奇函数，则a的值为______.
【解析】因为 ，即 在R上恒成立，
所以函数 的定义域为R，又函数 是奇函数，
所以 ，则 ，所以 .
10．偶函数 满足 ，且 时， ，则 _____.
【解析】因为 为偶函数，且 时， ，
所以 ，
解得 ，所以 ，
因为 ，所以函数 的周期为2，所以 .
三、解答题
11．已知函数 是定义在 上的奇函数，且 .
(1)求实数 ， 的值；
(2)判断函数 的单调性（不用证明），并解不等式 ；
(3)若 对 恒成立，求实数 的取值范围.
【解析】（1）由题意得 ，则 ①，又因为 ，则 ②，
联立①②解得 ，此时 ，
，且定义域为 ，关于原点对称，故此时 为奇函数.
（2） ，设 ，
，因为 ，所以 ，所以 ， ，
故 ，即 ，则 在 上单调递增，，即 ，即 ，
根据 在 上单调递增，则 ，解得 或 .故解集为 或 .
（3）由题意知 对 恒成立，设 ，则 ，
即为 对 ，即 对 恒成立，
设
， 当 且 仅 当 ， 即 等 号 成 立 ， 此 时
.
故 ，故 .
m=1,n=2
12．已知定义在 上的奇函数 ，（其中 为常数）.
(1)求实数 的值；
(2)求不等式 的解集.
【解析】（1）因为 是定义在 上的奇函数，所以 ，即 ，所以 ，
经检验符合题意，故 ，由 ，得 ，解得 ，
经检验，符合题意，所以 ， ；
（ 2 ） 由 （ 1 ） 得 ， 令 ， 则
，因为 ，所以 ，所以 ，即 ，
所以函数 在 上为减函数，
由函数为奇函数，得不等式 ，即为 ，
所以 ，即 ，整理得 ，所以 ，
所以不等式 的解集为 .
