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专题09 利用导数研究函数的性质
1、【2022年新高考2卷】曲线y=ln|x|过坐标原点的两条切线的方程为____________，____________．
1 1
【答案】 y= x y=− x
e e
【解析】 因为y=ln|x|，
1 1
当x>0时y=lnx，设切点为(x ,lnx )，由y'= ，所以y'| = ，所以切线方程为
0 0 x x=x 0 x
0
1
y−lnx = (x−x )，
0 x 0
0
1 1 1
又切线过坐标原点，所以−lnx = (−x )，解得x =e，所以切线方程为y−1= (x−e)，即y= x；
0 x 0 0 e e
0
1 1
当x<0时y=ln(−x)，设切点为(x ,ln(−x ))，由y'= ，所以y'| = ，所以切线方程为
1 1 x x=x 1 x
1
1
y−ln(−x )= (x−x )，
1 x 1
1
1 1
又切线过坐标原点，所以−ln(−x )= (−x )，解得x =−e，所以切线方程为y−1= (x+e)，即
1 x 1 1 −e
1
1
y=− x；
e
1 1
故答案为：y= x；y=− x
e e
2、【2022年新高考1卷】已知函数f(x)=x3−x+1，则（ ）
A．f(x)有两个极值点 B．f(x)有三个零点
C．点(0,1)是曲线y=f(x)的对称中心 D．直线y=2x是曲线y=f(x)的切线
【答案】AC
√3 √3
【解析】由题，f'(x)=3x2−1，令f'(x)>0得x> 或x<− ，
3 3√3 √3
令f' (x)<0得− 0，f( )=1− >0，f (−2)=−5<0，
3 9 3 9
( √3)
所以，函数f (x)在 −∞,− 上有一个零点，
3
√3 (√3) (√3 )
当x≥ 时，f (x)≥f >0，即函数f (x)在 ,+∞ 上无零点，
3 3 3
综上所述，函数f(x)有一个零点，故B错误；
令ℎ(x)=x3−x，该函数的定义域为R，ℎ(−x)=(−x) 3−(−x)=−x3+x=−ℎ(x)，
则ℎ(x)是奇函数，(0,0)是ℎ(x)的对称中心，
将ℎ(x)的图象向上移动一个单位得到f(x)的图象，
所以点(0,1)是曲线y=f(x)的对称中心，故C正确；
令f'(x)=3x2−1=2，可得x=±1，又f(1)=f (−1)=1，
当切点为(1,1)时，切线方程为y=2x−1，当切点为(−1,1)时，切线方程为y=2x+3，
故D错误.
故选：AC.
3、【2022年全国乙卷】已知x=x 和x=x 分别是函数f(x)=2ax−ex2（a>0且a≠1）的极小值点和极大
1 2
值点．若x 0，
1 2 1 2若a>1时，当x<0时，2lna⋅ax>0,2ex<0，则此时f'(x)>0，与前面矛盾，
故a>1不符合题意，
若01
的可能取值为（ ）．
1 1
A．− B．− C．4 D．6
2 4
【答案】BD
【解析】因为函数y=x3与函数 yx 交于点(1,1),
yx
由函数图象的性质得函数y=(x−a) 3与 在(1,+∞)上至多一个交点，
a−|2x+1|,x≤1
由题意，函数 f(x)={ ，函数y=f(x),y=x有两个交点，
(x−a) 3,x>1
1 1
a−|2×(− )+1|>−
2 2
若 x1 时，y=f(x)−x恰有两个零点时，如图（1）所示，则满足{ ，解得
a−|2×1+1|≤1
(1−a) 3>1
1
− −
a−|2×(− )+1|=− 2 2
则{ 2 2或{ 解得a4，
a−|2×1+1|>1
(1−a) 3<1
(1−a) 3<1
1
结合选项，可得 a 的可能取值为− 和6. 故选：BD.
4
题组三、利用导数研究函数性质的综合性问题
3-1、（2022·江苏通州·高三期末）（多选题）已知函数f(x)＝ekx，g(x)＝ ，其中k≠0，则（ ）
A．若点P(a，b)在f(x)的图象上，则点Q(b，a)在g(x)的图象上
B．当k＝e时，设点A，B分别在f(x)，g(x)的图象上，则|AB|的最小值为
C．当k＝1时，函数F(x)＝f(x)－g(x)的最小值小于
D．当k＝－2e时，函数G(x)＝f(x)－g(x)有3个零点
【答案】ACD
【解析】由 得 ， ，所以 是 的反函数，它们的图象关于直线
对称，A正确；时， ， ，由 得 ， ，
所以函数 的与直线 平行的切线的切点是 ， 到直线 的距离是
，所以 ，B错；
时， ，则 ， 是增函数，
， ，所以 在 ，即在 上存在唯一零点 ，
， 时， ， 时， ，即 在 上递减，在 上递
增，所以 ， ， ，所以 ，
由对勾函数知 在 上是减函数， ，所以 ，C正确；
时， 是减函数， 也是减函数，它们互为反函数，作出它们的图象，如图，易
知它们有一个交点在直线 上，在右侧， 的图象在 轴上方，而 的图象在 处穿过 轴过渡
到 轴下方，之间它们有一个交点，根据对称性，在左上方，靠近 处也有一个交点，因此函数
与 的图象有3个交点，所以 有3个零点，D正确．
故选：ACD．
3-2、（2022·广东·铁一中学高三期末）已知直线 恒在函数 的图象的上方，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】很明显 ，
否则 时，函数 单调递减，且 时 ，
而 当 时 ，不合题意，
时函数 为常函数，
而 当 时 ，不合题意，
当 时，构造函数 ，
由题意可知 恒成立，注意到： ，
据此可得，函数在区间 上的单调递减，在区间 上单调递增，
则： ，
故 ， ，
构造函数 ，则 ，还是 在 处取得极值，
结合题意可知： ，即 的取值范围是 .
故选：A.
3-3、（2022·湖南常德·高三期末）若函数 为定义在R上的奇函数， 为 的导函数，当 时，
，则不等式 的解集为（ ）
A． B．
C．（0，2） D．
【答案】D【解析】令 ，则 ，
因为，当 时， ，
所以当 时， ，
所以 在 上单调递增，
因为 为定义在R上的奇函数，
所以 ，所以 ，
所以不等式 转化为 ，
因为 在 上单调递增，所以 ，
所以当 时， ，
因为 为定义在R上的奇函数，
所以当 时， 不满足 ，
综上，不等式的解集为
故选：D
3-4、（2022·广东揭阳·高三期末）已知函数 ，过点 可作两条直线与函数 相
切，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． 的最大值为2 D．
【答案】B
【解析】设切点为 ，又 ，则切线的斜率
又 ，即有 ，整理得 ，
由于过点 可作两条直线与函数 相切所以关于 的方程 有两个不同的正根，设为 ，则
，得 ，
，故B正确，A错误，
对于C，取 ，则 ，所以 的最大值不可能为2，故C错误，
对于D，取 ，则 ，故D错误.
故选：B.
3-5、（2022·湖北襄阳·高三期末）关于函数 有下列四个结论：
①函数 的图象关于点 中心对称；②函数 在定义域内是增函数；
③曲线 在 处的切线为 ；④函数 无零点；
其中正确结论的个数为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】C
【解析】对于函数 ，有 ，
故 的图象关于点 中心对称，所以①不正确；
，而 ，当且仅当x=0时取等号，
所以 ，故 在定义域内是增函数，故②正确；
，故线 在 处的切线为 ，
即 ，故③正确；
由 可知， 在（-1,0）之间有零点，故④错误，
故选：C.
1、（2022·广东揭阳·高三期末）已知函数f (x)=ex ⋅sinx，该函数在 处的切线方程为__________.
【答案】
【解析】对函数 求导可得f'(x)=ex(sinx+cosx)，把 代入可得f'(0)=1，
则切线方程的斜率 .又因为 ，所以切点为 ，从而可得切线方程为 .
故答案为： .
2
y ex x2 x
2、（2021·山东聊城市·高三三模）曲线 3 在x 0处的切线的倾斜角为，则
sin 2
2 __________．
4
【答案】5
2 2 1
y f(x)ex 2x f(0)e0
【解析】由题得 3 ，所以 3 3，
1 3
tan ,(0, ),cos
所以 3 2 10 ，
9 4
sin 2 cos22cos212 1
所以 2 10 5 .
4
故答案为：53、（2022·湖北武昌·高三期末）函数f (x)=|2ex−1|−2x的最小值为______．
【答案】1
【解析】当x≥−ln2时，2ex−1≥0，此时f (x)=2ex−1−2x，f'(x)=2ex−2，令 得： ，
令 得：−ln2≤x<0，故此时f (x)=2ex−1−2x在 处取得最小值，f (0)=1；
当x<−ln2时，2ex−1<0，此时f (x)=1−2ex−2x，此时f (x)=1−2ex−2x在(−∞,−ln2)单调递减，
且f (−ln2)=2ln2>1；
综上：函数f (x)=|2ex−1|−2x的最小值为1.
故答案为：1
1
4、（2022·湖北·恩施土家族苗族高中高三期末）函数f(x)=ex− x2−ax是R上的单调递增函数，则a的
2
取值范围是______．
【答案】
【解析】
由题设，f' (x)=ex−x−a，又 在 R上的单调递增函数，
∴a≤ex−x恒成立，令y=ex−x，则y'=ex−1，
∴当x∈(−∞,0)时y'<0，则 递减；当x∈(0,+∞)时y'>0，则 递增.
∴y = y| =1，故 .
min x=0
故答案为： .
{ 2x−t,x≥0,
5、（2022·江苏如东·高三期末）函数f(x)=
有三个零点x，x，x，且x＜x＜x，则
−x2−4x−t,x<0 1 2 3 1 2 3
xxx 的取值范围是__________.
1 2 3
【答案】[0,8)
{ 2x,x≥0,
【解析】设g(x)=
−x2−4x,x<0{ 2x−t,x≥0,
函数f(x)=
有三个零点x，x，x，
−x2−4x−t,x<0 1 2 3
即y=g(x)的图像与直线y=t有三个交点.作出函数的图像y=g(x)，如图.
根据图像可得1≤t<4
则 是−x2−4x−t=0的两个实数根，则x x =t
1 2
x 满足2x 3−t=0，即x =log t
3 3 2
tlnt
所以x x x =tlog t=
1 2 3 2 ln2
tlnt 1
设ℎ(t)= ，则ℎ '(t)= (1+lnt)
ln2 ln2
1
由1≤t<4，则ℎ '(t)= (1+lnt)>0
ln2
tlnt
所以ℎ(t)= 在[1,4)上单调递增，
ln2
所以ℎ(t)∈[0,8)
故答案为：[0,8)
6、（2022·山东烟台·高三期末）若 是函数f (x)=(x2+ax+1)e−x的极值点，则 的极大值为
______．
4
【答案】 ，
e
【解析】由f (x)=(x2+ax+1)e−x，得f'(x)=(2x+a)e−x−(x2+ax+1)e−x，
因为 是函数f (x)=(x2+ax+1)e−x的极值点，
所以f' (−1)=0，即(−2+a)e−(1−a+1)e=0，解得a=2，所以f (x)=(x2+2x+1)e−x，f'(x)=(2x+2)e−x−(x2+2x+1)e−x=(−x2+1)e−x，
令f' (x)=0，则(−x2+1)e−x=0，得x=±1，
，f' (x)和 变化情况如下表：
(−∞,−1) −1 (−1,1) 1
f' (x) − 0 + 0 −
递减 极小值 递增 极大值 递减
4
所以当 时，函数取得极大值f (1)=4e−1= ，
e
4
故答案为：
e
f x2sinxsin2x
7、（2021·山东潍坊市·高三三模）（多选题）已知函数 ，则下列结论正确的是（
）
π
A． f x的周期为 B．y f x的图象关于x 对称
2π 2
3 3 2π 4π
,
C． f x 的最大值为 2 D． f x 在区间在 3 3 上单调递减
【答案】ACD
f x2π2sinx2πsin2x2π2sinxsin2x f x
【解析】由于 ，故A正确；
f πx2sinπxsin2πx2sinxsin2x f x
由于 ，
π
即y f x的图象不关于x 对称，故B错误；
2
fx2cosx2cos2x2cosx2 2cos2 x1 4cos2 x2cosx2
1
4cosx1 cosx
2 2 2
x 2k, 2k ,kZ
当 3 3 时， fx0，函数 f x 单调递增；
2 2
x 2k, 2k x 2k,2k ,kZ
当 3 或 3 时， fx0，函数 f x 单调递减；
2 2 2 3 3
f x f 2sin sin2
所以 max 3 3 3 2 ，故C正确；
2 4
,
由C项分析可知， f x 在 3 3 上单调递减，故D正确；
故选：ACD.
f'(x)
8、（2022·湖北·黄石市有色第一中学高三期末）（多选题）设函数f (x)=xlnx，g(x)= ，则下列说
x
法正确的有（ ）
(1 )
A．不等式g(x)>0的解集为 ,+∞ ；
e
gx
B．函数 在(0,e)单调递增，在(e,+∞)单调递减；
(1 )
C．当x∈ ,1 时，总有f (x)0)
x
对于A：由g(x)= lnx+1 >0，可得lnx>−1，解得x> 1 ，所以解集为 (1 ,+∞ ) ，故A正确；
x e e
1
⋅x−(lnx+1)
对于B： g' (x)= x = −lnx，令g' (x)=0，解得x=1，
x2 x2
x(0,1) g(x)
所以当 时，g' (x)>0，函数 为增函数，
g(x)
当x∈(1,+∞)时，g' (x)<0，函数 为减函数，故B错误；(1 )
对于C：当x∈ ,1 时，若f (x)0，函数ℎ ' (x)为增函数，
e
又ℎ ' (1)=0+1−1=0，所以ℎ ' (x)<0在x∈ (1 ,1 ) 是恒成立，
e
所以ℎ(x)=x2lnx−lnx−1,x∈ (1 ,1 ) 为减函数，
e
又ℎ(x) = ℎ (1) =− 1 <0，所以ℎ(x)=x2lnx−lnx−1<0在x∈ (1 ,1 ) 是恒成立，
max e e2 e
(1 )
所以当x∈ ,1 时，总有f (x)0，函数m(x)为增函数，
当x∈(1,+∞)时，m' (x)<0，函数m(x)为减函数，
又当x0时，m(x)→−∞，当x时，m(x)→0，m(1)=1，
( 1)
所以2a∈(0,1)，解得a∈ 0, ，故D正确.
2
故选：ACD
