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2025-2026 学年四川省名校联盟高三（上）期末数学试卷
一.单选题：共40分
1．（5分）已知集合M＝{x|0≤x≤4，且x Z}，N＝{﹣2，0，2}，则（ ）
A．N M B．M∪N＝M ∈ C．M∩N＝{2} D．M∩N＝{0，2}
⊆
2．（5分）复数 的虚部是（ ）
4
=
A．﹣1 2− B．﹣i C． D．
4 4
3．（5分）已知平面向量 （1，2）， （﹣2，m 5），且 ∥ ，则2 3 5等于（ ）
→ → → → → →
A．（﹣5，﹣10） B=．（﹣4，﹣8 ）= C．（﹣3， ﹣6 ） D+．（ ﹣2，﹣4）
4．（5分）从某网络平台推荐的影视作品中抽取400部，统计其评分数据，将所得400个评分数据分为8
组：[66，70），[70，74），…，[94，98），并整理得到如下的频率分布直方图，则评分在区间[82，86）
内的影视作品数量是（ ）
A．20 B．40 C．64 D．80
5．（5分）已知A，B，C，D，E是空间中的五个点，其中点A，B，C不共线，则“存在实数x，y，使得
x y 是“DE∥平面ABC”的（ ）
→ → →
A ． =充分 而+不 必 要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
6．（5分）已知双曲线 1（a＞0，b＞0）的离心率为2，过右焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交
2 2
于A，B两点．设A
，2 B−到
2双=曲线的同一条渐近线的距离分别为d1 和d2 ，且d1+d2 ＝6，则双曲线的方程
第1页（共19页）为（ ）
A． 1 B． 1
2 2 2 2
− = − =
C．4 12 1 D．12 4 1
2 2 2 2
7．（5分
3
）−已
9
知在=等比数列{an}中，a1 ＝1，a2020 ＝2，
9
若−函数
3
f=（x）＝x（x﹣a1 ）（x﹣a2 ）…（x﹣a2020 ）．则
f′（0）＝（ ）
A．2 B．21010 C．210 D．22020
8．（5分）用0，2，3，5，7，8这6个数字可以组成N个无重复数字的六位数，其中偶数有M个，则
（ ） =
A． B． C． D．
27 13 12 1
二、多选
50
题：本题共3小题，
2
共
5
18分。在每小题给出
25
的选项中，有多项符
2
合题目要求。
（多选）9．（6分）高斯是德国著名数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”称号，他和阿基米
德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设x R，用[x]表示不超过x的最大
整数，则y＝[x]称为高斯函数，例如[﹣2.1]＝﹣3，[2.1]＝2．已知函数f（∈x）＝sin|x|+|sinx|，函数g（x）
＝[f（x）]，则（ ）
A．函数g（x）的值域是{0，1，2}
B．函数g（x）是周期函数
C．函数g（x）的图象关于x 对称
=
D．方程 •g（x）＝x只有一个实2 数根
（多选）10．
2
（6分）已知：A（﹣1，0），B（1，0），直线AP，BP相交于P，直线AP，BP的斜率分别为
k1 ，k2 ，则（ ）
A．当k1 •k2 ＝﹣2时，P点的轨迹为除去A，B两点的椭圆
B．当k1 •k2 ＝2时，P点的轨迹为除去A，B两点的双曲线
第2页（共19页）C．当 时，P点的轨迹为一条直线
1
= 2
D．当 k21 ﹣k2 ＝2时，P的轨迹为除去A，B两点的抛物线
（多选）11．（6分）已知函数f（x）＝ex，g（x）＝sinx，记u（x）＝f（x）g（x），v（x）＝f（x）+ag（x），
则（ ）
A．若正数xn 为u（x）的从小到大的第n个极值点（n N*），则{xn}为等差数列
B．若正数xn 为u（x）的从小到大的第n个极值点（n∈N*），则{u（xn ）}为等比数列
C． a＞0，v（x）在（﹣ ，+∞）上有零点 ∈
D．∀a＜0，v（x）在（﹣π，+∞）上有且仅有一个零点
三.填空∃题：共15分 π
12．（5分）在1与4中间插入3个数，使这5个数成等比数列，则插入的3个数的乘积为 ．
13．（5分）已知 ，则f（x）的解析式为 ．
( +2)= +4
14．（5分）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C： （m＞4），点A（﹣2，2）是椭圆内一
2 2
点，B（0，﹣2），若椭圆上存在一点P，使得|PA|+|PB|＝+8，则=m的1 范围是 ，；
−4
当m取得最大值时，椭圆的离心率为
四.解答题：共77分：作答时必须写出详尽的解答过程
15．（13分）已知公比大于1的等比数列{an}满足a2+a4 ＝20，a3 ＝8．
（1）求{an}的通项公式；
（2）记bm 为{an}在区间（0，m]（m N*）中的项的个数，求数列{bm}的前100项和S100 ．
16．（15分）会员足够多的某知名咖啡店∈，男会员占60%，女会员占40%．现对会员进行服务质量满意度
调查．根据调查结果得知，男会员对服务质量满意的概率为 ，女会员对服务质量满意的概率为 ．
5 5
（1）随机选取一名会员，求其对服务质量满意的概率；
6 8
（2）从会员中随机抽取3人，记抽取的3人中，对服务质量满意的人数为X，求X的分布列和数学期
望．
17．（15分）已知函数f（x）＝nsinx+tanx，n N*．
（Ⅰ）求f（x）的导数f'（x）； ∈
（Ⅱ）当n＝1时，求证：f（x）＞2x在 ， 上恒成立；
∈ (0 )
（Ⅲ）若f（x）＞（n+1）x在 ， 上恒成立2 ，求n的最大值．
∈ (0 )
2
18．（17分）如图，已知椭圆的标准方程为 ，F1 ，F2 分别为椭圆的左、右焦点，点A为椭圆上
2
2
+ = 1
2第3页（共19页）一动点，且在x轴上方，延长AF1 ，AF2 分别交椭圆于点B，C．
（1）证明：△ABC的周长大于 ；
（2）若|AF1|＝3|AF2|，求直线BC4 的2方程；
（3）设A（x0 ，y0 ），用y0 表示△ABC的面积．
19．（17分）已知直三棱柱ABC﹣A1B1C1 ，AB⊥AC，D，E分别是边AB，B1C1 的中点．
（1）证明：DE∥平面ACC1A1 ；
（2）若三棱锥C1 ﹣A1CB体积为 ，且AB＝2，设BC1 与平面ACC1A1 所成的角为 ，求tan 的最大值；
8
θ θ
（3）在第二问tan 取最大值的条3件下，在平面C1A1B1 内将C1 绕着A1 顺时针旋转 角后，得到新的位
θ
置点M，求平面MA1B与平面A1BB1 夹角的余弦值． 6
第4页（共19页）2025-2026 学年四川省名校联盟高三（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 D C B D B C B B
二．多选题（共3小题）
题号 9 10 11
答案 AD ABD ABD
一.单选题：共40分
1．（5分）已知集合M＝{x|0≤x≤4，且x Z}，N＝{﹣2，0，2}，则（ ）
A．N M B．M∪N＝M ∈ C．M∩N＝{2} D．M∩N＝{0，2}
【分析⊆】先求出集合M，N，再利用集合的基本运算求解．
【解答】解：集合M＝{x|0≤x≤4，且x Z}＝{0，1，2，3，4}，
又∵N＝{﹣2，0，2}， ∈
∴M∪N＝{﹣2，0，1，2，3，4}，M∩N＝{0，2}．
故选：D．
2．（5分）复数 的虚部是（ ）
4
=
A．﹣1 2− B．﹣i C． D．
4 4
【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数的基本概念得答案 ．
5 5
【解答】解： ，
4 4(2+ ) 4(2+ ) 8 4
= = = 2 2 = +
则复数 的虚 2− 部 是 ( ． 2− )(2+ ) 2 − 5 5
4 4
故选： C．= 2− 5
3．（5分）已知平面向量 （1，2）， （﹣2，m），且 ∥ ，则2 3 等于（ ）
→ → → → → →
A．（﹣5，﹣10） B=．（﹣4，﹣8 ）= C．（﹣3， ﹣6 ） D+．（ ﹣2，﹣4）
【分析】利用向量共线定理、坐标运算性质即可得出．
第5页（共19页）【解答】解：∵ ∥ ，∴﹣4﹣m＝0，解得m＝﹣4．
→ →
则2 3 （2，4）+（﹣6，﹣12）＝（﹣4，﹣8）．
→ →
故选 ：+B． =
4．（5分）从某网络平台推荐的影视作品中抽取400部，统计其评分数据，将所得400个评分数据分为8
组：[66，70），[70，74），…，[94，98），并整理得到如下的频率分布直方图，则评分在区间[82，86）
内的影视作品数量是（ ）
A．20 B．40 C．64 D．80
【分析】由频率分布直方图先求频率，再求频数，即评分在区间[82，86）内的影视作品数量即可．
【解答】解：由频率分布直方图知，
评分在区间[82，86）内的影视作品的频率为（86﹣82）×0.05＝0.2，
故评分在区间[82，86）内的影视作品数量是400×0.2＝80，
故选：D．
5．（5分）已知A，B，C，D，E是空间中的五个点，其中点A，B，C不共线，则“存在实数x，y，使得
x y 是“DE∥平面ABC”的（ ）
→ → →
A ． =充分 而+不 必 要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
【分析】根据题意，由充分必要条件的定义结合向量共面定理分析，即可得答案．
【解答】解：根据题意，若存在实数x，y，使得 x y ，则DE∥平面ABC或DE 平面ABC，
→ → →
= + ⊂
反之，若DE∥平面ABC，则向量 与 、 共面，又由点A，B，C不共线，故一定存在实数x，y，
→ → →
第6页（共19页）使得 x y ，
→ → →
= +
故“存在实数x，y，使得 x y 是“DE∥平面ABC”的必要不充分条件；
→ → →
故选：B． = +
6．（5分）已知双曲线 1（a＞0，b＞0）的离心率为2，过右焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交
2 2
于A，B两点．设A
，2 B−到
2双=曲线的同一条渐近线的距离分别为d1 和d2 ，且d1+d2 ＝6，则双曲线的方程
为（ ）
A． 1 B． 1
2 2 2 2
− = − =
C．4 12 1 D．12 4 1
2 2 2 2
【分析−】画出=图形，利用已知条件，列出方程组转化−求解即=可．
3 9 9 3
【解答】解：由题意可得图象如图，CD是双曲线的一条渐近线
y ，即bx﹣ay＝0，F（c，0），
A = C⊥ CD，BD⊥CD，FE⊥CD，ACDB是梯形，
F是AB的中点，EF 3，
1+ 2
= =
EF b， 2
= 2 2 =
所以b＝ + 3， 双曲线 1（a＞0，b＞0）的离心率为2，可得 ，
2 2
2 − 2 = = 2
可得： ， 解得 a ．
2 2
+
2 = 4 = 3
则双曲线 的方程为： 1．
2 2
故选：C． − =
3 9
7．（5分）已知在等比数列{an}中，a1 ＝1，a2020 ＝2，若函数f（x）＝x（x﹣a1 ）（x﹣a2 ）…（x﹣a2020 ）．则
第7页（共19页）f′（0）＝（ ）
A．2 B．21010 C．210 D．22020
【分析】根据等比数列的通项公式即可求出a1a2 •••a2020 的值，然后根据基本初等函数和积的导数的求
导公式求导即可．
【解答】解：由f（x）＝x（x﹣a1 ）（x﹣a2 ）•••（x﹣a2020 ），
可知f′（x）＝（x﹣a1 ）（x﹣a2 ）•••（x﹣a2020 ）+x[（x﹣a1 ）（x﹣a2 ）•••（x﹣a2020 ）]′，
又等比数列{an}中，a1 ＝1，a2020 ＝2，∴a1a2 •••a2020 ＝（a1a2020 ）（a2a2019 ）•••（a1010a1011 ）＝21010，
∴ ．
1010
故′选 (：0)B=． 1 2⋅⋅⋅ 2020 =2
8．（5分）用0，2，3，5，7，8这6个数字可以组成N个无重复数字的六位数，其中偶数有M个，则
（ ） =
A． B． C． D．
27 13 12 1
【分5析0】根据排列组合知识25求出N，M，代入 可2得5结果． 2
【解答】解：从2，3，5，7，8中任选一个数
字排在首位，其余5个数字全排可得 ，
1 5 4
0排在个位的无重复数字的六位偶数有 个， = 5 5 =25 4
5
0不排在个位的无重复数字的六位偶数有 5 个，
1 1 4 4
故 ． 2 4 4 =8 4
5 4 4
= 5+8 4 =13 4
所以 ．
13
故选： B =． 25
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
（多选）9．（6分）高斯是德国著名数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”称号，他和阿基米
德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设x R，用[x]表示不超过x的最大
整数，则y＝[x]称为高斯函数，例如[﹣2.1]＝﹣3，[2.1]＝2．已知函数f（∈x）＝sin|x|+|sinx|，函数g（x）
＝[f（x）]，则（ ）
第8页（共19页）A．函数g（x）的值域是{0，1，2}
B．函数g（x）是周期函数
C．函数g（x）的图象关于x 对称
=
D．方程 •g（x）＝x只有一个实2 数根
【分析】
2
先根据函数奇偶性的定义进行判定，然后考虑x＞0的部分，讨论x的范围求出g（x）的解析
式，从而可得结论．
【解答】解：f（﹣x）＝sin|﹣x|+|sin（﹣x）|＝sin|x|+|sinx|＝f（x），
所以f（x）是偶函数，而sin|x|不是周期函数，|sinx|为周期函数，
对于x＞0，当2k ＜x＜ +2k 时，f（x）＝2sinx，
当 +2k ＜x＜2 +π2k 时，π f（πx）＝0，
，
π π π π
所以g（x） 2， =＜+＜2 ， ＜＜ ， ＜＜ ，k＝0，±1，
2
5
= 0，2 ＜＜+2 且+2 +2 +2 2 +2
6 6
5
±2，…， 1 +2 +2 ≠ +2
6 6 2
故A正确，由f（x）是偶函数，则g（x）为偶函数，
x＞0时，f（x）成周期性，但起点为x＝0，所以g（x）在（﹣∞，+∞）上不是周期函数，故B不正确；
函数g（x）的图象关于x＝0对称，不关于x 对称，故C不正确；
=
2
，当x＝0时，g（0）＝0，当x 时，g（ ）＝1， 与g（x）只有（0，0）交点即方程
2 2
•g (（ ) x =） ＝ x只有一个实数根，故D正确．= 2 2 2
故选：AD．
（多选）10．（6分）已知：A（﹣1，0），B（1，0），直线AP，BP相交于P，直线AP，BP的斜率分别为
k1 ，k2 ，则（ ）
A．当k1 •k2 ＝﹣2时，P点的轨迹为除去A，B两点的椭圆
第9页（共19页）B．当k1 •k2 ＝2时，P点的轨迹为除去A，B两点的双曲线
C．当 时，P点的轨迹为一条直线
1
= 2
D．当 k21 ﹣k2 ＝2时，P的轨迹为除去A，B两点的抛物线
【分析】设P（x，y），则k1 ，k2 ，依据每个选项条件计算可判断各项的正确性．
= =
【解答】解：设P（x，y），则 k + 1 1 ， k − 2 1 ，
= =
对于A：当k1 •k2 ＝﹣2时， • +1 2，化 简 −1 可得x2 1（y≠0），∴P点的轨迹为除去A，B两
2
点的椭圆，故A正确； +1 −1 =− + 2 =
对于B：当k1 •k2 ＝2时， • 2，化简得x2 1（y≠0），∴P点的迹为除去A，B两点的双
2
曲线，故B正确； +1 −1 = − 2 =
对于C：当 时，可得 2，化简得x＝﹣3（y≠0），∴P点的轨迹为一条直线（除去
1
与x轴的交点
2）=，2故C错误；
+1
÷
−1
=
对于D：当k1 ﹣k2 ＝2时，可得 2时，可得x2＝﹣y+1（y≠0），∴P的轨迹为除去A，B两
− =
点的抛物线，故D正确；
+1 −1
故选：ABD．
（多选）11．（6分）已知函数f（x）＝ex，g（x）＝sinx，记u（x）＝f（x）g（x），v（x）＝f（x）+ag（x），
则（ ）
A．若正数xn 为u（x）的从小到大的第n个极值点（n N*），则{xn}为等差数列
B．若正数xn 为u（x）的从小到大的第n个极值点（n∈N*），则{u（xn ）}为等比数列
C． a＞0，v（x）在（﹣ ，+∞）上有零点 ∈
D．∀a＜0，v（x）在（﹣π，+∞）上有且仅有一个零点
【分∃析】由u′（x）＝0，π求得 ， ，结合等差数列的定义，可判定A正确；由
=− + ∈ ( )=
，结合等比数列的定义，可判 4 定B正确；令v（x）＝0，即ex+asinx＝0，转化为 ，令
=−
，利用导数求得函数F（x）的单调性与极值，进而可判定C错误，D正确．
【(解 )答=】− 解 ： 由函数f（x）＝ex，g（x）＝sinx，
得u（x）＝f（x）g（x）＝exsinx，v（x）＝f（x）+ag（x）＝ex+asinx，
对于A，由 ，
′ ( )= ( + )= 2 ( + )
4
第10页（共19页）令u′（x）＝0，得 ，解得 ， ，即 ， ，
( + )=0 + = ∈ =− + ∈
∴数列{xn}的通项公式为 4 ，则xn+ 4
1
﹣xn ＝ （常数）， 4
=− + π
∴数列{xn}为等差数列，故A正4确；
对于B，由u（x）＝exsinx，得 ，
( )=
则 （常数），
+1
( +1) +1 +1 +1−
∴数 列 ( {)u（= xn ） } 为 等 比 数列=，故 B 正确⋅ ； =−
对于C、D，令v（x）＝ex+asinx＝0，
显然x＝k ，k＞﹣1且k Z时，不是函数v（x）＝ex+asinx的零点；
π ∈
当x≠k ，k＞﹣1且k Z时，sinx≠0，得 ，
π ∈ =−
令 ，其中x≠k ，k＞﹣1且k Z，可 得 ，
( − )
( )=− π ∈ ′ ( )= 2
令F′（x） ＝ 0，得cosx﹣sinx＝0，即tanx＝1，解得 ， k≥ ﹣1且k Z，
= + ∈
4
当 ＜＜ ， ， 时，F′（x）＞0，F（x）单调递增；
5
2 + 2 +2 ∈ ≥−1
当 4＜＜ ， ， 时，F′（x）＜0，F（x）单调递减；
5
2 + 2 + ∈ ≥−1
4
则当 ， ， 时，F（x）有极小值，且 ，
5 3
5 2 + 4 − 4
=2 + ∈ ≥−1 2 ≥ 2
当 ＜＜ 4 ， ， 时，F′（x）＞0，F（x）单调递增；
2 2 + ∈ ≥−1
当 ＜＜ 4 ， ， 时，F′（x）＜0，F（x）单调递减；
2 + 2 + ∈ ≥−1
4
∴当 ， ， 时，F（x）有极大值，且 ，
2 + 4 4
=2 + ∈ ≥−1 − 2 ≤− 2
4
∴函数的值域为 ， ， ，
3
−
4 4
(−∞ − 2 ]∪[ 2 +∞)
当 ＜＜ 时，函数y＝a与 没有公共点，
− 3 4
∴函0数 v（x 2） 在（﹣ ，+∞）上没 有( 零)=点−，
所
以C错误；
π
当 时，函数y＝a与 只有一个公共点，
4
即函 =数− v（2 x ）在（﹣ ，+∞） 上( 有)且=−仅 有 一 个零点，所以D正确．
故选：ABD． π
三.填空题：共15分
12．（5分）在1与4中间插入3个数，使这5个数成等比数列，则插入的3个数的乘积为 8 ．
第11页（共19页）【分析】根据等比中项的性质即可求解．
【解答】解：由题意，设插入的3个数为x，y，z，
则1，x，y，z，4成等比数列，
设此等比数列的公比为q，
可得y＝1×q2＝q2＞0，
又y2＝1×4，解得y＝2，
又由于xz＝y2＝4，
可得xyz＝8．
故答案为：8．
13．（5分）已知 ，则f（x）的解析式为f（x）＝x2﹣4（x≥2） ．
【分析】令t ( +2，)则= x＝+（4 t﹣ 2）2且t≥2，然后根据已知解析式代入即可求解．
【解答】解：=令 t +2 ，则x＝（t﹣2）2且t≥2，
∵ = +，2
∴ f（( t） +＝2t2)﹣=4 ，+t≥42
则f（x）＝x2﹣4（x≥2）
故答案为：f（x）＝x2﹣4（x≥2）
14．（5分）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C： （m＞4），点A（﹣2，2）是椭圆内一
2 2
点，B（0，﹣2），若椭圆上存在一点P，使得|PA|+|PB + |＝8，则= m 1的范围是 （6+2 ，25] ，；当m
−4
5
取得最大值时，椭圆的离心率为
2
【分析】用a表示出|PB|，|PF|，根据
5
三角形的三边关系列出不等式即可得出a的范围，再结合A在椭
圆内部从而求出m的范围．
【解答】解：显然椭圆的焦点在y轴上，设椭圆的半焦距为c，则c 2，
故B为椭圆的下焦点，设椭圆的上焦点为F（0，2）， = −( −4)=
则由椭圆定义可知|PF|+|PB|＝2a，
∵|PA|+|PB|＝8，∴|PA|＝8﹣|PB|，
于是||PA|﹣|PF||＝|8﹣|PB|﹣|PF||＝|8﹣2a|，
又||PA|﹣|PF||≤|AF|＝2，
∴|8﹣2a|≤2，解得：3≤a≤5，即3 5，
∴9≤m≤25． ≤ ≤
第12页（共19页）又A（﹣2，2）在椭圆内部，∴ ＜1，又m＞4，
4 4
解得m＞6+2 ．
+
−4
综上可得：6+25 ＜m≤25．
5
当m取得最大值25时，a＝5，此时椭圆的离心率为 ．
2
=
故答案为：（6+2 ，25]， ． 5
2
5
5
四.解答题：共77分：作答时必须写出详尽的解答过程
15．（13分）已知公比大于1的等比数列{an}满足a2+a4 ＝20，a3 ＝8．
（1）求{an}的通项公式；
（2）记bm 为{an}在区间（0，m]（m N*）中的项的个数，求数列{bm}的前100项和S100 ．
【分析】（1）设出等比数列的公比，由∈已知列式求得公比，进一步求出首项，可得等比数列的通项公式；
（2）由题意求得0在数列{bm}中有1项，1在数列{bm}中有2项，2在数列{bm}中有4项，…，可知
b63 ＝5，b64 ＝b65 ＝…＝b100 ＝6．则数列{bm}的前100项和S100 可求．
【解答】解：（1）设等比数列{an}的公比为q（q＞1），
∵a2+a4 ＝20，a3 ＝8，
∴ 8q＝20，
8
+
解得 q＝2或q （舍去），
1
∴a1 ＝2， = 2
∴an ＝2•2n﹣1＝2n，
（2）记bm 为{an}在区间（0，m]（m N*）中的项的个数，
∈ 第13页（共19页）∴2n≤m，
∴n≤log2m，
故b1 ＝0，b2 ＝1，b3 ＝1，b4 ＝2，b5 ＝2，b6 ＝2，b7 ＝2，
b8 ＝3，b9 ＝3，b10 ＝3，b11 ＝3，b12 ＝3，b13 ＝3，b14 ＝3，b15 ＝3，b16 ＝4，…，
可知0在数列{bm}中有1项，1在数列{bm}中有2项，2在数列{bm}中有4项，…，
由 ＜100， ＞100
6 7
1×(1−2 ) 1×(1−2 )
可知 1 b −632 ＝5，=b6 6 4 ＝3 b65 ＝…＝b 11−002 ＝6．= 127
∴数列{bm}的前100项和S100 ＝0+1×2+2×4+3×8+4×16+5×32+6×37＝480．
16．（15分）会员足够多的某知名咖啡店，男会员占60%，女会员占40%．现对会员进行服务质量满意度
调查．根据调查结果得知，男会员对服务质量满意的概率为 ，女会员对服务质量满意的概率为 ．
5 5
（1）随机选取一名会员，求其对服务质量满意的概率；
6 8
（2）从会员中随机抽取3人，记抽取的3人中，对服务质量满意的人数为X，求X的分布列和数学期
望．
【分析】（1）利用全概率公式求解；
（2）由题意可知，X可能的取值为0，1，2，3，利用二项分布的概率公式求出相应的概率，进而得到
X的分布列，再结合期望公式求解即可．
【解答】解：（1）记事件A1 ：会员为男会员，A2 ：会员为女会员，事件B：对服务质量满意，
则由题可知， ， ， ， ，
3 2 5 5
( 1)= ( 2)= ( | 1)= ( | 2)=
所以 5 5 ；6 8
3
（2） X ( 可)能=的 (取 1 值) 为( | 0 ， 1) 1 +， 2，( 3 2 ，) ( | 2)= 4
则 ，P（X＝1） ，P（X＝2） ，
0 3 0 1 3 1 1 3 1 2 9 2 3 2 1 27
( =0)= 3( ) ( ) = = 3( )×( ) = = 3×( ) × =
P（X＝3） 4 4， 64 4 4 64 4 4 64
3 3 27
所以X的分=布(列4 )为：=
64
X 0 1 2 3
P
1 9 27 27
所以E（X）＝0 64 64． 64 64
1 9 27 27 9
17．（15分）已知函×数64f（+ x 1）×＝64ns + inx 2 + × tan6x4，+ n 3× N*6．4 = 4
第∈ 14页（共19页）（Ⅰ）求f（x）的导数f'（x）；
（Ⅱ）当n＝1时，求证：f（x）＞2x在 ， 上恒成立；
∈ (0 )
（Ⅲ）若f（x）＞（n+1）x在 ， 上恒成立2 ，求n的最大值．
∈ (0 )
【分析】（I）直接利用导数公式求解；2
（II）构造函数g（x）＝f（x）﹣2x，转化为函数g（x）的最小值问题；
（III）先利用特值缩小n的范围，再构造函数h（x）＝f（x）﹣3x，证明这个取值符合条件即可．
【解答】解：（I）由f（x）＝nsinx+tanx，得 ；
1
′ ( )= + 2
（II）当n＝1时，令g（x）＝f（x）﹣2x＝sinx+tanx﹣2x，则 ；
1
′ ( )= + 2 −2
当 ， 时，因为 ＞ ，所以 ＞，
1 1 1
∈ (0 ) 2 ′ ( )= + −2 0
所以g（x）2在 ， 上 单 调 递增 ， 所以g（x）＞g（0）＝ 0 ，
(0 )
即f（x）＞2x在 2 ， 上恒成立．
∈ (0 )
（III）由条件知，当 2时，不等式成立，
=
4
即 ＞ ，解得 ＜ ，
2 4−
所以正 整+数1 n(最 大+为1)2⋅． ≈2.74
2 4 −2 2
当n＝2时，令h（x）＝f（x）﹣3x，则
1
′ℎ( )=2 + 2 −3
＞ ．
3
1 1
= + + 2 −3 3 ⋅ ⋅ 2 −3=0
所以h（x）在 ， 上单调递增，所以h（x ） ＞ h（0）＝0，
(0 )
即h（x）＞3x在 2 ， 上恒成立，
∈(0 )
所以n的最大值为2． 2
18．（17分）如图，已知椭圆的标准方程为 ，F1 ，F2 分别为椭圆的左、右焦点，点A为椭圆上
2
2
一动点，且在x轴上方，延长AF1 ，AF22 分+别交 椭=圆1于点B，C．
（1）证明：△ABC的周长大于 ；
（2）若|AF1|＝3|AF2|，求直线BC4 的2方程；
（3）设A（x0 ，y0 ），用y0 表示△ABC的面积．
第15页（共19页）【分析】（1）连接BF2 ，由题可知|F2C|+|BC|＞|BF2|，两边同时加上|AB|+|AF2|即可；
（2）设A（x0 ，y0 ），B（x1 ，y1 ），C（x2 ，y2 ），由椭圆的定义和两点间距离公式计算得出x0 ＝1，联立
，求得 ， ， ， ，根据两点求出直线BC的方程；
2
2
+ =1 7 2 2
2 (− − ) (1 − )
5 10 2
（ 3 =）2联立5 −1 和 方程，利用韦达定理得出 和 ，再利用
2 2 2 2
+2 =2 +2 =2 0 0
1 =− 2 =−
面积比求出 即 = 可 ． −1 = +1 2 0+3 3−2 0
【解答】解：（1）连接BF2 ，注意到|F2C|+|BC|＞|BF2|，
故△ABC的周长为 ＞ ．
（2）设A（x0 ，y0 ）| ， B|（+x| 1 ， 2y| 1 ）+，| C2（ |x+ 2 ，| y2 ）|，| |+| 2|+| 2|=4 =4 2
由 ，且|AF1|＝3|AF2|，故 ，
3
| 1|+| 2|=2 =2 2 | 1|= 2
2
又 ，
2
2 2 2 0 2
| 1|= ( 0+1) + 0 = ( 0+1) +1− = 2+ 0
则 ，即x0 ＝1，因此 ， 2， 2
2 3 2
2+ 0 = 2 (1 )
故直线A2B的方程2 为： ，即 2 ，
0+1
= −1 =2 2 −1
0
直线AC的方程为：x＝1，联立 ，得 ，
2
2
+ =1 2
2 10 −4 2 −1=0
=2 5 −1
则 ，即 ，因此 ， ，
2 2 2 2 7 2
1+ = 1 =− (− − )
2 5 10 5 10
而 ， ，因此 ，
2 2
2 −2−(−10) 2
(1 − ) = 7 =−
2 1−(−5) 6
故直线BC的方程为： ，即 ．
2 2 2 2
（3）因为点A在x轴上 方+，
2
所=以−直
6
线( A−B1，)AC斜 率=−不为
6
0，−
3
设直线AB：x＝my﹣1，直线AC：x＝ny+1，A（x0 ，y0 ），B（x1 ，y1 ），C（x2 ，y2 ），y0 ＞0，
联立 ，可得（m2+2）y2﹣2my﹣1＝0，则 ，
2 2
+2 =2 2
1+ 0 = 2
= −1 +2
第16页（共19页）注意到 ，故 ．
+1
0
2
0+1 0 2 0( 0+1) 2 0( 0+1) 0
= 0 1 = ( 0 +1 ) 2 +2 − 0 = ( 0+1)+2 0 2− 0 = 2 0+3 − 0 =− 2 0+3
联立 ，可得（n2+ 0 2）y2+2ny﹣1＝0，则 ，
2 2
+2 =2 2
2+ 0 =− 2
= +1 +2
注意到 ，故 ．
−1
0
2
0−1 0 2 0( 0−1) 2 0( 0−1) 0
= 0 2 =− ( 0 −1 ) 2 +2 − 0 =− ( 0−1)+2 0 2− 0 =− −2 0+3 − 0 =− −2 0+3
则 0 ， ．
2
0 0 6 0 0
1+ 2 =− − =− 2 1 2 = 2
注意到 2 0+3 3−2 0 9，−因4 为0 9−4 0， ，
1 | | 0− 1 | | 0− 2
△ 1 2 = | 1 2|⋅ 0 = 0 = =
所以 2 | 1|， 0 | 2| 0
△ | |⋅| | ( 0− 1)( 0− 2)
= = 2
则 △ 1 2 | 1|⋅| 2| 0 ．
3
( 0− 1)( 0− 2) 1 2 6 0 0 8 0+8 0
△ = = 0−( 1+ 2)+ = 0+ 2+ 2 = 2
19．（17分）已知直三 0棱柱ABC﹣A1B1C1 ，AB⊥AC ，0D，E分别9−是4 边0 AB9，−4B 10C1 的1中+点8 ． 0
（1）证明：DE∥平面ACC1A1 ；
（2）若三棱锥C1 ﹣A1CB体积为 ，且AB＝2，设BC1 与平面ACC1A1 所成的角为 ，求tan 的最大值；
8
θ θ
（3）在第二问tan 取最大值的条3件下，在平面C1A1B1 内将C1 绕着A1 顺时针旋转 角后，得到新的位
θ
置点M，求平面MA1B与平面A1BB1 夹角的余弦值． 6
【分析】（1）取A1C1 中点F，连接EF、FA，证明出四边形ADEF为平行四边形，则DE∥AF，再利用
线面平行的判定定理可证得结论成立；
（2）证明出AB⊥平面AA1C1C，可知∠BC1A即为BC1 与平面ACC1A1 所成的角，利用锥体的体积可得
出AC•AA1 ＝8，利用基本不等式可求得tan 的最大值；
（3）以A点为原点，AB、AC、AA1 所在直θ线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，利用空间
向量法可求得平面MA1B与平面A1BB1 夹角的余弦值．
【解答】证明：（1）如下图所示，取A1C1 中点F，连接EF、FA，
第17页（共19页）因为E是B1C1 的中点，所以EF为△A1B1C的中位线，所以EF∥A1B且 ，
1
= 1 1
又AD∥A1B1 且 ，所以EF∥AD且EF＝AD， 2
1
所以四边形ADE F 为=平2 行 1 四 1 边形，所以DE∥AF，
又因为AF 平面ACC1A1 ，DE 平面ACC1A1 ，
所以DE∥⊂平面ACC1A1 ； ⊄
（2）如下图所示，连接AC1 ，
因为ABC﹣A1B1C1 是直三棱柱，所以AA1 ⊥平面ABC，
因为AB 平面ABC，所以AA1 ⊥AB，
因为AB⊂⊥AC，AA1 ∩AC＝A，A1A，AC 平面AA1C1C，
所以AB⊥平面AA1C1C， ⊂
所以AC1 就是BC1 在平面ACC1A1 内的射影，
所以∠BC1A即为BC1 与平面ACC1A1 所成的角 ，
θ
因为 ，
1 8
1− 1 = − 1 1 = △ 1 1 ⋅ =
所以 ，则AC 3•AA1 ＝8， 3
1
所以 2A C 2 ⋅ 1 = 2 4 AC•AA1 ＝16（当且仅当AC＝AA1 ＝2 时等号成立），
2
+ 1 ≥ 2
第18页（共19页）所以在Rt△ABC1 中， ，
2 2 1
= = ≤ =
故tan 的最大值为 ； 1 2 + 1 2 16 2
1
（3）θ由（2）可得
2
，
以A点为原点，AB 、 A=C 、 A1A=
1
所2 在2直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，
则 ，， ，B（2，0，0），
因为 1(0 0 2 2，)∠MA1B1 ，所以M（ ， ，2 ），
1 =2 2 = 2 6 2
3
设平面A1MB的一个法向量为 （x，y，z），
→
=
则 ，， ， ， ， ，
→ →
1 =(2 0 −2 2) 1 =( 2 6 0)
则 ，取 ，可得 ， ， ，
→ →
1 ⋅ =2 −2 2 =0 →
→ → =− 6 =(− 6 2 3)
1 ⋅ = 2 + 6 =0
易得平面A1BB1 的一个法向量为 ，， ，
→
=(0 1 0)
cos＜ ， ＞|＝| | ，
→ →
→ → ⋅ 2 22
→ → = =
| || | 1× 11 11
故平面MA1B与平面A1BB1 夹角的余弦值为 ．
22
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