文档内容
2025-2026 学年辽宁省沈阳市五校高三（上）期末数学试卷
一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题
目要求的）
1．（5分）已知复数z满足 ，则|z|＝（ ）
(1−2 ) =1+
A． B． C． D．
5 2 2 5 10
2．（5分5）已知条件p： 5 ，条件q：log2 （x﹣15）≤1，则p是q的（5 ）
−3
A．充分不必要条件
−1
≤ 0
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
3．（5分）已知圆C：x2+y2﹣2x﹣3＝0，若直线l：ax﹣2y+1﹣a＝0与圆C相交于A，B两点，则|AB|的最
小值为（ ）
A． B． C．3 D．
4．（5分2）3下列函数中，最小正1周5 期是 的偶函数是（ ） 2 2
A． π B．y＝|sinx|+|cosx|
2 2
= −
C．y＝tan|x| 2 2 D．y＝3﹣2sin2x
5．（5分）已知等比数列{an}中，各项都是正数，且a1 ， ，2a2 成等差数列，则 （ ）
1 4+ 3
3 =
A． B． C． 2 D． 2+ 1
6．（5分1）+下2列说法正确的是1（− 2） 3+2 2 3−2 2
A．两个随机变量的线性相关程度越强，相关系数越接近于1
B．数据7，4，2，9，1，5，8，6的70%分位数为6
C．某物理量的测量结果服从正态分布N（10，σ2），σ越大，该物理量在一次测量中在（9.8，10.2）
的概率越大
D．已知某4个数据的平均数为5，方差为3，现又加入一个数据5，此时这5个数据的方差为2.4
7．（5分）在△ABC中， ，则cosC的最小值为（ ）
→ → → → → →
3 ⋅ +2 ⋅ = ⋅
A． B． C． D．
3 6 2 2
8．（5分）已知函数y＝f（x）与函数y＝ax（a＞0且a≠1）互为反函数，记g（x）＝f（x）[f（x）+2f（2）
3 3 3 3
第1页（共21页）﹣1]．若y＝g（x）在区间 ， 上是增函数，则实数a的取值范围是（ ）
1
[ 2]
4
A． ， B． ， ，
3
1 2
[ 1) [ 1)∪(1 16]
C．（04，1） D． 2，
1
二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共( 1 0 8分4.在] 每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.
全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
（多选）9．（6分）设函数f（x）＝x3﹣3x2+5，则下列说法正确的有（ ）
A．函数f（x）有三个零点
B．x＝2是f（x）的极小值点
C．函数f（x）的对称中心为（1，3）
D．过（3，1）可以作三条直线与y＝f（x）的图象相切
（多选）10．（6分）已知数列{an}的前n项和为Sn ，满足a1 ＝3，且 ，则
∗
下列结论中正确的是（ ） 3( +1) − +1 =0( ∈ )
A．{nan}为等比数列
B． 为等比数列
{ }
C．
= ⋅3
D．
(2 −1) +1 3
（多选） 1 = 1．（64分）⋅3若四面+体4 各棱长是1或2且该四面体不是正四面体，则其体积的可能值是（ ）
A． B． C． D．
14 14 11 11
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12 6 12 6
12．（5分）已知点O为△ABC的外心，且 ， ，则 ．
→ → → →
| |=3 | |=2 ⋅ =
13．（5分）设A，B是一个随机试验中的两个事件，且 ， ， ，则P（B|A）
2 1 3
＝ ． ( )= 3 ( )= 2 ( + )= 4
14．（5分）已知F1 、F2 是双曲线 ＞，＞ 的左、右焦点，过F2 作双曲线一条渐近线的
2 2
2 − 2 = 1( 0 0)
垂线，垂足为点 A，交另一 条 渐近线于点 B，且 ，则该双曲线的离心率
1
为 ． | 2|= 3 | 2|
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
第2页（共21页）15．（13分）设 ，其中 ＞0．
( )=4 ( − ) −2 2 (2 + ) ω
（1）求函数f（x）的值域； 4
（2）若f（x）在区间 ， 内单调递减，求 的取值范围．
( ) ω
16．（15分）甲乙两人进行2围棋比赛，约定先连胜两局者直接赢得比赛，若赛完5局仍未出现连胜，则判
定获胜局数多者赢得比赛．假设每局甲获胜的概率为 ，乙获胜的概率为 ，各局比赛结果相互独立．
2 1
（Ⅰ）求甲在4局以内（含4局）赢得比赛的概率；
3 3
（Ⅱ）记X为比赛决胜出胜负时的总局数，求X的分布列和均值（数学期望）．
17．（15分）如图，在三棱锥P﹣ABC中，AB⊥BC，AB＝2， ， ， ，BP，
AP，BC，AC的中点分别为D，E，O，F． =2 2 = = 6 = 14
（1）证明：平面ADO⊥平面BEF；
（2）求二面角D﹣AO﹣C的正弦值．
18．（17分）在平面直角坐标系xOy中，已知点A（﹣2，0），B（2，0），动点E满足直线AE与BE的斜
率之积为 ，记E的轨迹为曲线C．
3
（1）求C −的4方程，并说明C是什么曲线；
（2）过点D（1，0）的直线l交C于P，Q两点，
（i）求|PQ|的最小值；
（ii）过点P作直线x＝4的垂线，垂足为G，过点O作OM⊥QG，垂足为M．证明：存在定点N，使
得|MN|为定值．
19．（17分）已知函数f（x）＝xlnx， ＞ ．
2
−1
（1）直线l过点P（0，﹣1）且与 y (＝ ) f（= x）2相切(， 求0直) 线l的方程；
（2）若f（x）＜g（x）对x （1，+∞）恒成立，求a的取值范围；
∈
（3）证明： ＞ ．
1 1 1 1
+ +⋯+ ∗
+1 +2 2 4
⋅ 2( ∈ 第) 3页（共21页）2025-2026 学年辽宁省沈阳市五校高三（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 D C B D C D B D
二．多选题（共3小题）
题号 9 10 11
答案 BCD BCD ACD
一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题
目要求的）
1．（5分）已知复数z满足 ，则|z|＝（ ）
(1−2 ) =1+
A． B． C． D．
5 2 2 5 10
【分析】根据复数的运算法则和模长公式计算可得．
5 5 5 5
【解答】解：由 ，得 ，
1+ (1+ )(1+2 ) −1+3 −1+3
(1−2 ) =1+ = = = 2 =
1−2 (1−2 )(1+2 ) 1−4 5
所以z ，则|z| ．
1 3 1 2 3 2 10
故选：=
D
−．
5
−
5
= (−
5
) +(−
5
) =
5
2．（5分）已知条件p： ，条件q：log2 （x﹣1）≤1，则p是q的（ ）
−3
A．充分不必要条件
−1
≤ 0
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【分析】解出p和q对应x的范围，然后根据充分条件和必要条件的定义即可求解．
【解答】解：对于q：log2 （x﹣1）≤1，则log2 （x﹣1）≤log22，
∴0＜x﹣1≤2，解得{x|1＜x≤3}，
对于p： ，
−3
≤ 0
−1
第4页（共21页）则 ，解得{x|1＜x≤3}，
( −3)( −1)≤0
所以
−p是 1≠q的
0
充要条件．
故选：C．
3．（5分）已知圆C：x2+y2﹣2x﹣3＝0，若直线l：ax﹣2y+1﹣a＝0与圆C相交于A，B两点，则|AB|的最
小值为（ ）
A． B． C．3 D．
2 3 15 2 2
【分析】利用几何性质可知圆心到直线的最大距离为 ，从而可求出|AB|的最小值．
1
【解答】解：将直线l：ax﹣2y+1﹣a＝0整理可得：a |（ x |﹣= 12）+1﹣2y＝0，
联立 ，解得 ，
=1
−1=0
1
所以可1得−直2 线= l 0必过定点 =，2 ，
1
又由圆C：x2+y2﹣2x﹣3＝ ( 0 1方程2 )可得圆心C（1，0），半径r＝2，
由点 ， 到圆心C（1，0）距离为 ＜，
1 1 1
可得直 (线1 与圆)相交， | |= 0+ = 2
2 4 2
所以点C（1，0）到直线l：ax﹣2y+1﹣a＝0的距离 ，
1
≤| |=
2
则 ，经验证此时a值存在．
2 2 2 1
故选| ：| B =．2 − =2 4− ≥2 4− 4 = 15
4．（5分）下列函数中，最小正周期是 的偶函数是（ ）
A． π B．y＝|sinx|+|cosx|
2 2
= −
C．y＝tan|x| 2 2 D．y＝3﹣2sin2x
【分析】根据三角恒等变换公式、三角函数的周期性、奇偶性，对各项的函数逐一验证，即可得到本题
的答案．
【解答】解：根据 ，可知函数的最小正周期是2 ，A项不符合题意；
2 2
= − = π
令f（x）＝|sinx|+|cosx|，可得2 f（x 2）＝|sin（x ）|+|cos（x ）|＝|cosx|+|﹣sinx|＝|sinx|+|cosx|，
+ + +
所以f（x ）＝f（x），可得 是f（2 x）的一个周期2，B项不符合题2 意；
令f（x）＝+ 2tan|x|，
2
根据 ， ，
2 2 2 1 1 1
(− )= |− |= =− 3 ( )= | |= = 3
3 3 3 第5页（3共21页） 3 3且 ，则周期不是 ，故C项不符合题意；
2 2 1
(− )≠ (− + )= ( ) π
根据二倍3 角公式，化3简得 3 ，
2 1− 2
=3−2 =3−2× =2+ 2
所以函数y＝3﹣2sin2x的周期T ，结合y＝3﹣2 2 sin2x是偶函数，可得D符合题意．
2
故选：D． = 2 =π
5．（5分）已知等比数列{an}中，各项都是正数，且a1 ， ，2a2 成等差数列，则 （ ）
1 4+ 3
3 =
A． B． C． 2 D． 2+ 1
【分1析+】根2据题意，运用等1比−数列2的通项公式、等差3+中2项的2 性质，推导出3公−比2q2满足的关系式，结合{an}
各项为正算出 ，进而可得所求式子的值．
【解答】解：设 =等1比+数列2{an}的公比为q，
根据a1 、 、2a2 三项成等差数列，可得 a3 ，
1 1
即a1+2a1q2 ＝ 3 a1q2，结合a1 ≠0，化简得q2﹣ 1 2q +﹣2 1 ＝ 2 = 0，2解×得2 q 3 = ，
因为等比数列{an}中，各项都是正数，所以q＞0，可得 =1±， 2
=1+ 2
所以 ．
2 2
4+ 3 2 + 1 2 2
故选：
2+C．
1
=
2+ 1
= = (1+ 2) = 3 + 2 2
6．（5分）下列说法正确的是（ ）
A．两个随机变量的线性相关程度越强，相关系数越接近于1
B．数据7，4，2，9，1，5，8，6的70%分位数为6
C．某物理量的测量结果服从正态分布N（10，σ2），σ越大，该物理量在一次测量中在（9.8，10.2）
的概率越大
D．已知某4个数据的平均数为5，方差为3，现又加入一个数据5，此时这5个数据的方差为2.4
【分析】逐一分析各选项，结合相关系数、分位数、正态分布、方差的性质判断正误．
【解答】解：对于A：线性相关程度越强时，相关系数的绝对值越接近1，负相关时会接近﹣1，故A
错误；
对于B：将数据按从小到大排列为：1，2，4，5，6，7，8，9，
因为8×0.7＝5.6，所以70%分位数为第6个数，即为7，故B错误；
对于C：正态分布中σ越大，数据离散程度越高，区间（9.8，10.2）内的概率越小，故C错误；
对于D：原4个数据的 ，加入数据5后，新方差为 ，故D
2
4 2 12+(5−5)
=1( −5) =4×3=12 = 2.4
5
第6页（共21页）正确．
故选：D．
7．（5分）在△ABC中， ，则cosC的最小值为（ ）
→ → → → → →
3 ⋅ +2 ⋅ = ⋅
A． B． C． D．
3 6 2 2
【分析】先利用向量数量积的概念，结合余弦定理，探索三角形边a，b，c的关系，再利用余弦定理结
3 3 3 3
合基本不等式，可求cosC的最小值．
【解答】解：在△ABC中， ，
→ → → → → →
根据平面向量数量积公式可得3 3 b⋅cc o sA++22a c co⋅s B ＝=ab c os⋅C ，
根据余弦定理，可得 ，
2 2 2 2 2 2 2 2 2
+ − + − + −
所以3（b2+c2﹣a2）+ 3 2 （ a ×2+c2﹣2 b 2）＝+ a 22+ b 2×﹣c2 2 a2 ＝3c =2， 即 × 2 ，
⇒ = 3
由 ，
2 2 2 2 2 2 2
+ − +2 2 ⋅2 6
当且 仅 当= b2＝22 c 2，即= 2 3 时≥等 2 号 3 成 立，= 3
= 2
则cosC的最小值为 ．
6
故选：B．
3
8．（5分）已知函数y＝f（x）与函数y＝ax（a＞0且a≠1）互为反函数，记g（x）＝f（x）[f（x）+2f（2）
﹣1]．若y＝g（x）在区间 ， 上是增函数，则实数a的取值范围是（ ）
1
[ 2]
4
A． ， B． ， ，
3
1 2
[ 1) [ 1)∪(1 16]
C．（04，1） D． 2，
1
【分析】先明确函数y＝f（x）的解析式，分0＜a (＜0 1和4 ] a＞1，结合复合函数单调性进行讨论，可求实
数a的取值范围．
【解答】解：因为y＝f（x）与函数y＝ax互为反函数，
所以f（x）＝logax，g（x）＝logax•（logax+2loga2﹣1） ．
2
设y＝t2+（2loga2﹣1）t，t＝logax， =( ) +(2 2−1)⋅
当0＜a＜1时，t＝logax在 ， 上单调递减，所以 ， ，
1 1
[ 2] ∈[ 2 ]
又y＝g（x）在区间 ， 上4是增函数， 4
1
[ 2]
所以y＝t2+（2loga2﹣4 1）t在 ， 上单调递减，
1
[ 2 ]
第4 7页（共21页）所以 ．
1
− 2 2−1 ≥ 1 ⇒− 2+ 1 ≥−2 2⇒ 2≥− 1 = − 2
又0＜a＜1，2 所以 4 2 ． 2
1 1
2≥ − 2 ⇒ − 2 ≥2⇒ ≤ 1
结合0＜a＜1，所以 ＜ ． 4
1
0 ≤
当a＞1时，t＝logax在 ，4 上单调递增，所以 ， ，
1 1
[ 2] ∈[ 2]
又y＝g（x）在区间 ，4 上是增函数， 4
1
[ 2]
所以y＝t2+（2loga2﹣4 1）t在 ， 上单调递增，
1
[ 2]
4
所以 ，
1
− 2 2−1 ≤ 1 ⇒− 2+ 1 ≤−2 2⇒ 2≤− 1 = − 2
2 4 2 2
又a＞1，所以 不成立．
1 1
− −
2≤ 2 ⇒ 2 ≥2
综上可知： ＜ ．
1
故选：D．0 ≤
4
二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.
全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
（多选）9．（6分）设函数f（x）＝x3﹣3x2+5，则下列说法正确的有（ ）
A．函数f（x）有三个零点
B．x＝2是f（x）的极小值点
C．函数f（x）的对称中心为（1，3）
D．过（3，1）可以作三条直线与y＝f（x）的图象相切
【分析】先求导函数，根据导函数正负得出函数的单调性得出极值进而得出零点判断A，B；应用对称
性定义计算判断C，先设切点再得出切线方程代入计算求参即可得出三个根判断D．
【解答】解：由题f′（x）＝3x2﹣6x，
当x＞2或x＜0时，f′（x）＞0，当0＜x＜2时，f′（x）＜0，
因此函数f（x）在（﹣∞，0），（2，+∞）上单调递增，在（0，2）上单调递减，
因此f（x） ＝f（0）＝5，f（x） ＝f（2）＝1，又f（﹣2）＝﹣15，
极大值 极小值
因此函数f（x）仅有1个零点，且该零点在区间（﹣2，0）上，故A选项错误，B选项正确；
由f（x）＝x3﹣3x2+5＝x2（x﹣3）+5，
得f（1+x）+f（1﹣x）＝（1+x）2（1+x﹣3）+5+（1﹣x）2（1﹣x﹣3）+5＝6，
因此函数f（x）的图象关于（1，3）对称，故C选项正确；
第8页（共21页）设切点为 ， ，则 ，
3 2 2
故切线方程( 0为 0−3 0+5) ′ ( 0)=3 0−6 0 ，
3 2 2
又过点（3，1 ），−因( 此0−3 0+5)= (3 0−6 0)( − 0) ，
3 2 2
整理得 1−( 0，−3 0+5)= (3 0−6 0)(3− 0)
3 2
即 0−6 0+9 0−2=0，解得x0 ＝2或 或 ，
2
因此( 0过−（43 ，0+1）1)可( 以0−作2三)条=直0 线与y＝f（x）的 0图=象2相+切3，故 0D=选2项−正3确．
故选：BCD．
（多选）10．（6分）已知数列{an}的前n项和为Sn ，满足a1 ＝3，且 ，则
∗
下列结论中正确的是（ ） 3( +1) − +1 =0( ∈ )
A．{nan}为等比数列
B． 为等比数列
{ }
C．
= ⋅3
D．
(2 −1) +1 3
= ⋅3 +
【分析】由题4设得 是4首项、公比为3的等比数列，即可判断A、B、C；应用错位相减法、等比数
{ }
列前n项和判断D．
【解答】解：由 ，
∗
3( +1) − +1 =0( ∈ )
得 ，又a1 ＝3，则 ，
+1 1
3⋅ = = 3
∴ 是以 3 +为1 首项、以3为公1比的等比数列，
{ }
∴ ，则 ．
= 3 = ⋅3
故{
nan}不是等比数列，故A错误，B、C正确；
，
1 2
=1×3 +2×3 +⋯+ ⋅3 ，
2 3 +1
3 =1×3 +2×3 +⋯+( −1)⋅3 + ⋅3
∴ ，
+1
1 2 +1 3(1−3 ) +1 (1−2 )3 −3
−2 =3 +3 +⋯+3 − ⋅3 = − ⋅3 =
得 ，故D正确． 1−3 2
+1
(2 −1)3 +3
故选 ：= BCD．4
（多选）11．（6分）若四面体各棱长是1或2且该四面体不是正四面体，则其体积的可能值是（ ）
A． B． C． D．
14 14 11 11
12 6
第9页（共 1221页）
6【分析】分三种情况分别计算棱锥的体积即可．
【解答】解：（1）若底边长为2，2，2，侧棱长为2，2，1；
设AB＝1，AB的中点为E，则AB⊥CE，AB⊥DE，
∴AB⊥平面CDE，
∵CE＝DE ，CD＝2，∴cos∠CED ，
2 2 2
2 1 2 15 + − 7
= 2 −( ) = = =
∴sin∠CED ．2 2 2 ⋅ 15
4 11
=
∴V 15 ．
1 1 1 15 15 4 11 11
（2）=若
3
底 △ 边 长⋅为 1=， 31，×12 ，×侧
2
棱长×为 22，×2， 152；×1=
6
设底面中心为O，则OB ，
3 2 3
= × =
∴棱锥的高h 2 3 ，3
2 3 2 11
= 2 −( ) =
∴V 3 3 ．
1 1 3 11 11
（3）=若 3 底 △ 面 边⋅长ℎ =为 32 ×，24 ，× 1，侧 3 棱=长 1 为 2 2，2，1，
设AB＝CD＝1，其余各棱长均为2，由（1）可知cos∠CED ，
2 2 2
+ − 13
= =
∴sin∠CED ， 2 ⋅ 15
2 14
=
∴V 15 ．
1 1 1 15 15 2 14 14
故选=： 3A C △ D ． ⋅ = 3 × 2 × 2 × 2 × 15 ×1= 12
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
第10页（共21页）12．（5分）已知点O为△ABC的外心，且 ， ，则 ．
→ → → →
5
| |=3 | |=2 ⋅ =
【分析】取AB，AC的中点D，E，把所求数量积中的 化为 展开结合2 向量投影知识不难得解．
→ → →
−
【解答】解：
如图，取AB，AC的中点D，E，
则
→ → → → →
⋅ = ⋅( − )
→ → → →
= ⋅ − ⋅
→ → → →
=| || |−| || |
＝3 2×1
3
× −
，2
5
=
故答2 案为： ．
5
13．（5分）设2A，B是一个随机试验中的两个事件，且 ， ， ，则P（B|A）
2 1 3
( )= ( )= ( + )=
＝ ． 3 2 4
5
【分
8
析】由和事件的概率公式求出 ，再由全概率公式求出P（AB），最后由条件概率公式计算可
得． ( )
【解答】解：由题意可知， ，
2 1
( )=1− =
又 3，可3得 ，
3 1
( + )= ( )+ ( )− ( )= ( )=
由 ，可得 4 12 ，
5
( )+ ( )= ( ) ( )= ( )− ( )=
12
所以 ．
5
( ) 12 5
( | )= = 2 =
( ) 8
3
第11页（共21页）故答案为： ．
5
14．（5分）已8知F1 、F2 是双曲线 ＞，＞ 的左、右焦点，过F2 作双曲线一条渐近线的
2 2
2 − 2 = 1( 0 0)
垂线，垂足为点A，交另一条渐 近线于 点B，且 ，则该双曲线的离心率为 或 ．
1 6
| 2|= | 2| 3
【分析】由题意，分 ， 、 3 两种情况，分别求解，根据2双曲线的几
→ → → → → →
1 1
何性质，即可求得b的 值 1⋅， 代 2 入=离0心 率 公 2=式3， 即 2 可求 2 得 答=案3 ． 2
【解答】解：双曲线 ＞，＞ 的渐近线方程为 ，右焦点F2 （c，0），
2 2
2 − 2 = 1( 0 0) =±
则点F2 （c，0）到渐 近线 即bx﹣ay＝0的距离为： ．
| |
根据图形位置，可分两种情 况 = ： 2 + 2 = =
点A在第一象限，交另一条渐近线于点B在第四象限，如图1：
在直角△OAF2 中，|AF2|＝b，|OF2|＝c，|OA|＝a，
设∠AOF2 ＝ ，则 ，
α =
∵ ，∴|BF2 |＝3b．
1
| 2|= | 2|
在直角△O 3 AB中，|AB|＝4b，|OA|＝a，而∠AOB＝2 ，则 ．
4
α 2 =
又 ，即 ．
2
2
2 4 1
2 = 2 2 = ⇒ 2 =
1− 2
1− 2
∴ ．
2 2 2 2
+ 1 6
点 A=在
第=一象
2限=，交另
2一条=渐1近+线
于2 =点B1在+第
2
二=象
2
限，如图2：
第12页（共21页）在直角△OAF2 中，|AF2|＝b，|OF2|＝c，|OA|＝a，
设∠AOF2 ＝ ，则 ．
α =
∵ ，∴|BF2 |＝3b．
1
| 2|= | 2|
在直角△O 3 AB中，|AB|＝2b，|OA|＝a，而∠AOB＝ ﹣2 ，则 ．
2
π α ( −2 )=
又 ，
2
( −2 )=− 2 =− 2
1−
∴ ，可得 ．
2 2
2
− 1− 2 2 = 2 = 2
∴ ．
2 2 2 2
+
= = 2 = 2 = 1+ 2 = 1+2= 3
故答案 为： 或 ．
6
四、解答题：本题共35小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
2
15．（13分）设 ，其中 ＞0．
( )=4 ( − ) −2 2 (2 + ) ω
（1）求函数f（x）的值域； 4
（2）若f（x）在区间 ， 内单调递减，求 的取值范围．
( ) ω
【分析】（1）将函数化简2 为正弦型函数，结合正弦函数的值域求解；
（2）确定函数的单调递减区间，结合已知区间的包含关系，求解 的范围．
【解答】解：（1） ω
( )=4 ( − ) −2 2 (2 + )
4
2 2
=4( + ) +2 2 2
2 2
2
=2 2 +2 2 +2 2 2
= 2 2 + 2(1− 2 )+2 2 2
第13页（共21页）= 2 2 + 2 2 ， + 2
=2 (2 + )+ 2
因 4 ， ，
(2 + )∈ [−1 1]
则f（x）的值4域为[ ， ]．
2−2 2+2
（2）令 （k Z），
3
2 + ≤2 + ≤2 + ∈
解得 2 4 ，f（x）的2 单调递减区间为 ， ，
5 5
+ ≤ ≤ + [ + + ] ∈
要求 ，8 ，8 ， ，8 ， 8
5 8 + 8 +5
( )⊆[ + + ]= [ ] ∈
2 8 8 8 8
则 ， ①，
8 + 1
≤ 2 + ≤
8 2 4
8 +5 5
由于 ＞0，k≥ Z，所 以+k≤≥﹣ 1时，①无解，
8 8
ω ∈
当k＝0时，①解得 ，
1 5
≤ ≤
当k≥1时， 4 8 ＞，①无解，
1 5 3
2 + −( + )= − 0
所以 的范围是 4， ．8 8
1 5
16．（15 ω分）甲乙两[人4进行8 ]围棋比赛，约定先连胜两局者直接赢得比赛，若赛完5局仍未出现连胜，则判
定获胜局数多者赢得比赛．假设每局甲获胜的概率为 ，乙获胜的概率为 ，各局比赛结果相互独立．
2 1
（Ⅰ）求甲在4局以内（含4局）赢得比赛的概率；
3 3
（Ⅱ）记X为比赛决胜出胜负时的总局数，求X的分布列和均值（数学期望）．
【分析】（1）根据概率的乘法公式，求出对应的概率，即可得到结论．
（2）利用离散型随机变量分别求出对应的概率，即可求X的分布列；以及均值．
【解答】解：用A表示甲在4局以内（含4局）赢得比赛的是事件，Ak 表示第k局甲获胜，Bk 表示第k
局乙获胜，
则P（Ak ） ，P（Bk ） ，k＝1，2，3，4，5
2 1
= =
（Ⅰ）P（A）3＝P（A1A2 ）+ 3 P（B1A2A3 ）+P（A1B2A3A4 ）＝（ ）2 （ ）2 （ ）2 ．
2 1 2 2 1 2 56
（Ⅱ）X的可能取值为2，3，4，5． 3 + 3 × 3 + 3 × 3 × 3 = 81
P（X＝2）＝P（A1A2 ）+P（B1B2 ） ，
5
=
9
第14页（共21页）P（X＝3）＝P（B1A2A3 ）+P（A1B2B3 ） ，
2
=
P（X＝4）＝P（A1B2A3A4 ）+P（B1A2B3B4 ）9 ，
10
=
P（X＝5）＝P（A1B2A3B4A5 ）+P（B1A2B3A4B5 ）81 +P（B1A2B3A4A5 ）+P（A1B2A3B4B5 ） ，
24 8
= =
或者P（X＝5）＝1﹣P（X＝2）﹣P（X＝3）﹣P（X＝4） ， 243 81
8
故分布列为： = 81
X 2 3 4 5
P
5 2 10 8
E（X）＝2 3 4 9 5 ．9 81 81
5 2 10 8 224
17．（15分）如×图9，+在×三9棱+锥× P81﹣+ AB × C8中1，= A8B1⊥BC，AB＝2， ， ， ，BP，
AP，BC，AC的中点分别为D，E，O，F． =2 2 = = 6 = 14
（1）证明：平面ADO⊥平面BEF；
（2）求二面角D﹣AO﹣C的正弦值．
【分析】（1）以 ， ， 为空间向量的一组基底，利用空间向量证明AO⊥BF，AO⊥BE，再利用
→ → →
线面垂直判断面{面 垂直 ； }
（2）找出二面角D﹣AO﹣C的平面角，利用空间向量可求二面角的正弦值．
【解答】解：（1）证明：在三棱锥P﹣ABC中，连接PO，
第15页（共21页）因为 ，O为BC中点，所以OP⊥BC．
= = 6
所以 ．
1 3
∠ = ⋅ =
在△ABP中， 2 3 ，
2 2 2
+ − 6
∠ = =−
则 ， ， 2⋅ ， ⋅ ，6 ，
→ → → → → → →
2 2 2
=4 =8 =6 ⋅ =0 ⋅ =−2
．
→ →
⋅ =4
又 ， ， ，
→ → → → → → → → →
1 1 1
= ( + ) = − = ( + )
所以 2 2 0，2
→ → → → → →
1 1
⋅ = ( + )⋅( − )=
所以 2 2
→ → → → → →
1 1
⋅ = ( + )⋅( − )
2 0，2
→ → → →
1 2 1 1 2
=所以2 ( O A⊥+ B2F， O ⋅ A ⊥ B − E2， B E )，= BF 平面BEF，BE∩BF＝B，
所以OA⊥平面BEF，又OA 平面⊂ADO，
所以平面ADO⊥平面BEF．⊂
（2）设BF∩AO＝M，BE∩AD＝N，连接MN．
因为D，E，O，F分别为BP，AP，BC，AC中点，
所以M，N分别为△ABC和△ABP的重心，
所以 ，所以MN∥OD．
2
由（1 ） 得=， O A =⊥ 3 平面BEF，MN，MF 平面BEF，所以OA⊥MN，OA⊥MF，
所以∠NMF即为二面角D﹣AO﹣C的平⊂面角，设为 ，
又MN∥OD， θ
所以 ， ， ，
→ → → →
= =
第16页（共21页）又 ， ，
→ → → → → →
1 1 1 6
= = ( − ) | |= | |=
2 2 ， 2． 2
→ → → → →
1 1
= ( + ) | |= | |= 3
所以 2 2 ，
→ → → → → →
1 3
⋅ = ( − )⋅( + )=−
4 2
所以 ．
→ → 3
⋅ −2 2
= → → = 6 =− 2
| |⋅| | 2× 3
所以 ．
2
18．（17 分 ）=在平
2
面直角坐标系xOy中，已知点A（﹣2，0），B（2，0），动点E满足直线AE与BE的斜
率之积为 ，记E的轨迹为曲线C．
3
（1）求C −的4方程，并说明C是什么曲线；
（2）过点D（1，0）的直线l交C于P，Q两点，
（i）求|PQ|的最小值；
（ii）过点P作直线x＝4的垂线，垂足为G，过点O作OM⊥QG，垂足为M．证明：存在定点N，使
得|MN|为定值．
【分析】（1）设动点E（x，y），由直线AE与BE的斜率之积为 及A（﹣2，0），B（2，0）可知x
3
−
≠±2，利用斜率公式求出kAE ，kBE ，由 得到x，y的方4 程即为所求．
3
（2）（i）过点D（1，0）的直线l交C于 P，⋅ Q 两=点−，4 ①当直线l不存在斜率时，求出直线l的方程，
从而求出|PQ|的值；②当直线l存在斜率时，设直线l的方程为点斜式，直线l和椭圆C联立方程组，
消去y，得到关于x的一元二次方程，得到Δ＞0，根据根与系数的关系写出x1+x2 ，x1x2 ，利用弦长公
式求出|PQ|，利用k2≥0求出|PQ|的范围，从而得到|PQ|的最小值；
（ii）由过点D（1，0）的直线l交C于P，Q两点，设l的直线方程，直线l和椭圆C联立方程组，消
去x，得到关于y的一元二次方程，根据根与系数的关系得到y1+y2 ，y1y2 ，通过求出 解出m，
1+ 2 2
利用点斜式写出直线QG的方程，从而得到直线QG恒过定点H，由OM⊥QG得到 △1 O2HM =为 3 直角三角
形，取OH的中点N，得到 ，故|MN|为定值．
1
| |= | |
【解答】解：（1）设动点E（x，y），2 因为直线AE与BE的斜率之积为 ，
3
A（﹣2，0），B（2，0），因此x≠±2， − 4
， ，
−0 −0
= = = =
−(−2) +2 −2 −2
第17页（共21页）因为 ，因此 ，因此 ，因此 ，
2 2 2
3 3 3
⋅ =− ⋅ =− 2 =− + = 1
因此C的方程为 4 +2（x ≠−±2 2），4曲线C为 椭−4圆除去4（﹣2，40），（32，0）这两个点；
2 2
+ = 1
4 3
（2）（i）过点D（1，0）的直线l交C于P，Q两点，
①当直线l不存在斜率时，直线l的方程为x＝1，将x＝1代入 ，
2 2
+ = 1
解得 ，则 ， ， ， ，解得|PQ|＝3， 4 3
3 3 3
②当 直=线± 2l存在 斜(率1 时2，)设 直(1线l −的2方)程为y＝k（x﹣1），
联立 ，消去y得 ，
2 2 2
= ( −1) ( −1)
2 2
+ = 1
+ =1 4 3
4 3
整理得到 ，即（3+4k2）x2﹣8k2x+4k2﹣12＝0，
2 2 2
( −1)
因为过点D（+1，0）的直=线1l交C于P，Q两点，
4 3
因此Δ＝（﹣8k2）2﹣4（3+4k2）（4k2﹣12）＝144k2+144＞0，因此k2+1＞0，因此k R，
设P（x1 ，y1 ），Q（x2 ，y2 ）， ∈
因为过点D（1，0）的直线l交C于P，Q两点，
因此（3+4k2）x2﹣8k2x+4k2﹣12＝0的解为x1 ，x2 ，因此
8
2 ，
1+ 2 = 2
3+4
2
4 −12
1 2 = 2
因此 3+4 ，
2 2 2
2 2 8 2 4 −12 2 12( +1)
| |= ( 1+ 2) −4 1 2⋅ +1 = ( 2) −4 2 ⋅ +1= 2
因此 ， 3+4 3+4 3+4
2
3(4 +3)+3 3
| |= 2 =3+ 2
因为k2≥0，因3此+44 k2+3≥3，因3此+4 ＜ ，因此 ＜ ，
1 1 3
0 2 ≤ 0 2 ≤1
因此 ＜ ，因此3＜|PQ|≤4 4，+3 3 4 +3
3
3 3+ 2 ≤4
综合①②，43 ≤+|P3Q|≤4，因此（|PQ|） min ＝3；
（ii）证明：因为过点D（1，0）的直线l交C于P，Q两点，C的方程为 （x≠±2），
2 2
因此l与x轴不重合，因此设l的直线方程为x＝my+1， + = 1
4 3
第18页（共21页）联立 ，消去x得 ，
2 2
= +1
( +1)
2 2
+ = 1
+ =1 4 3
整理得4到（33m2+4）y2+6my﹣9＝0，
设P（x1 ，y1 ），Q（x2 ，y2 ），
因为过点D（1，0）的直线l交C于P，Q两点，
因此y1 ，y2 是（3m2+4）y2+6my﹣9＝0的两个根，
因此 ，因此 6 ，
6
1+ 2 =− 2 1+ 2 − 3 2+4 2
3 +4
= 9 =
因此 1 2 =− 3 9 2 +4 1 2 − 3 2+4 ， 3
3 1+ 2 3 1 2 3 1 1
= = ( + )= ( + )
因为过点2P作 1直 2线x2＝4 的1 垂2 线 ，1 垂2 足为2G ，2因 此1 G（4，y1 ），
因为Q（x2 ，y2 ）是l：x＝my+1上的点，因此x2 ＝my2+1，因此Q（my2+1，y2 ），
因为G（4，y1 ），因此 ，
2− 1 2− 1
= =
因为 ，因此 2+1−4 2−3 ，
3 1 1 2− 1 2− 1 2− 1 2− 1 2 1
因此直 线 = 2 Q ( G 2 的 + 方 程 1 ) 为 = 2+1−4 ， = 整 [ 理 3 2( 得 1 2 + 到 1 1 )] 2−3 =3 2( 2 1 − ， 1) =3 2( 2 − 1 1 ) = 3
2 1 2 1 5
− 1 = ( −4) = ( − )
因此直线QG恒过定点 ， ，3 3 2
5
因为OM⊥QG，因此△ O ( H2M为0)直角三角形，
取OH的中点 ， ，则 ，
5 1 5
故|MN|为定值， (综4上可0)知，存| 在 |定=点2 | N ， 使|=得4|MN|为定值．
19．（17分）已知函数f（x）＝xlnx， ＞ ．
2
−1
（1）直线l过点P（0，﹣1）且与 y (＝ ) f（= x）2相切(， 求0直) 线l的方程；
（2）若f（x）＜g（x）对x （1，+∞）恒成立，求a的取值范围；
∈
（3）证明： ＞ ．
1 1 1 1
+ +⋯+ ∗
+1 +2 2 4
【分析】（1） 求导得f′（x）⋅ ＝lnx2+(1 ，∈再 设)出切点坐标，得到相关方程，解出切点坐标即可得到切线
第19页（共21页）方程；
（2）分离参数得 ＞ ，设新函数并多次求导得到其值域即可得到范围；
2 +1
2
（3）取a＝1得 ＜ ，再令 ，从而得到一系列不等式，累加后再进行指对互换即可证明．
2
−1 +1
【解答】解：（1 ） 由题意2 f（x）＝ xl = nx，
对函数求导可得f′（x）＝lnx+1，
设A（x0 ，x0lnx0 ）是y＝f（x）上的一点，
则过点A的切线方程l为y﹣x0lnx0 ＝（lnx0+1）（x﹣x0 ），
又因为P（0，﹣1）在直线l上，
所以﹣1﹣x0lnx0 ＝（lnx0+1）（﹣x0 ），解得x0 ＝1，
所以直线l为y＝x﹣1；
（2）由题意f（x）＜g（x）对x （1，+∞）恒成立，
∈
即对x （1，+∞），xlnx＜ 恒成立，
2
−1
∈
即当x （1，+∞）时， ＞ 2 ，
2 +1
∈ 2
设h（x） ，x （1，+ ∞），则 ，
2 +1 2( −1− )
设x （1，= +∞） ，2 则u′∈（x）＝﹣lnx＜′ 0 ℎ，( )= 3
∴u（∈x）在（1，+∞）上单调递减，∴u（x）＜u（1）＝0，∴h′（x）＜0，
∴h（x）在（1，+∞）上单调递减，∴h（x）＜h（1）＝1，∴a≥1，
∴a的取值范围是[1，+∞）；
（3）证明：由（2）取a＝1，当x （1，+∞）时，f（x）＜g（x）恒成立，
∈
即 ＜ 恒成立，即 ＜ 恒成立，
2 2
−1 −1
2 2
令 ，得 ＜ ，
+1 2
+1 +1 ( ) −1 2 +1 1 1
= +1 = = +
2⋅ 2 ( +1) 2 2( +1)
∴ ＜ ， ＜ ， ， ＜ ，
+1 1 1 +2 1 1 2 1 1
+ + ⋯ +
∴ 2 2( +1) +1＜2( +1) 2( +2) 2 −1 2(2 −1) 2(2 )
+1 +2 2 1 1 1 1 1 1
+ +⋯+ + + + +⋯+ +
+1 2 −1 2 2( +1) 2( +1) 2( +2) 2(2 −1) 2(2 )
，
1 1 1 1
= + +⋯+ +
∴ +1＜ +2 2 4 ，
1 1 1 1
2 + +⋯+ +
+1 +2 2 4
第20页（共21页）∴ ＞ ．
1 1 1 1
+ +⋯+ ∗
+1 +2 2 4
⋅ 2( ∈ )
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