文档内容
人教版初中数学八年级下册
17.2.1 勾股定理的逆定理 教学设计
一、教学目标：
1.掌握勾股定理逆定理的概念并理解互逆命题、定理的概念、关系及勾股数.
2.能证明勾股定理的逆定理，能利用勾股定理的逆定理判断一个三角形是直角三角形.
二、教学重、难点：
重点：灵活运用勾股定理及其逆定理解决问题.
难点：灵活运用勾股定理及其逆定理解决问题.
三、教学过程：
复习回顾
1.勾股定理的内容是什么?
如果直角三角形的两条直角边长分别为a,b,斜边为c,那么a2+b2=c2.
2.求以线段a、b为直角边的直角三角形的斜边c的长.
① a＝3，b＝4；
② a＝2.5，b＝6；
③ a＝4，b＝7.5.
思考：以前我们已经学过了通过角的关系来确定直角三角形，可不可以通过边来确定直角三
角形呢？
情境引入
据说古埃及人用下图的方法画直角：把一根长绳打上等距离的13个结，然后以3个结间
距、4个结间距、5个结间距的长度为边长，用木桩钉成一个三角形，其中一个角便是直角．
你知道为什么吗？知识精讲
这个问题意味着，如果围成的三角形的三边分别为3、4、5，满足关系：32+42=52，那么
围成的三角形是直角三角形.
画画看，如果三角形的三边分别为2.5cm，6cm，6.5cm，它们满足关系
“2.52+62=6.52”，画出的三角形是直角三角形吗？换成三边分别为4cm，7.5cm，8.5cm，再
试一试.
由上面的几个例子，我们猜想：如果三角形的三边长 a，b，c 满足 a2+b2=c2，那么这个
三角形是直角三角形.
命题1 如果直角三角形的两条直角边长分别为 a，b，斜边长为 c，那么 a2+b2=c2.
命题2 如果三角形的三边长 a，b，c 满足 a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形.
命题1、命题2的题设、结论分别是什么？
我们看到，命题2与命题1的题设、结论正好相反.我们把像这样的两个命题叫做互逆命题.
如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题.例如，如果把命题1当成原命题，
那么命题2是原命题1的逆命题.
【针对练习】说出下列命题的逆命题，并判断它们是否正确.
1.原命题：同位角相等，两直线平行.( )
逆命题：两直线平行，同位角相等.( )
2.原命题：对顶角相等.( )
逆命题：相等的角是对顶角.( )
3.原命题：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等.( )
逆命题：与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上.( )4.原命题：角平分线上的点到角的两边的距离相等.( )
逆命题：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上.( )
在图(1)中，已知△ABC的三边长分别为a，b，c，且满足a2+b2=c2，要证△ABC一定是直
角三角形.我们可以先画一个两条直角边长分别为a，b的Rt△A′B′C′如图(2)，如果△ABC
与Rt△A′B′C′全等，那么△ABC就是一个直角三角形.
已知△ABC，BC=a，AC=b，AB=c，且a2+b2=c2.
求证：△ABC是直角三角形.
证明：作Rt△A′B′C′，使B′C′=a，A′C′=b，∠C′=90°.
根据勾股定理，A′B′2=B′C′2+A′C′2=a2+b2=c2
∴ A′B′=c
在△ABC和△A′B′C′中，
BC=a=B′C′，AC=b=A′C′，AB=c=A′B′
∴ △ABC≌△A′B′C′(SSS)
∴ ∠C=∠C′=90°
即△ABC是直角三角形.
【归纳】勾股定理 如果直角三角形的两条直角边长分别为a，b，斜边长为 c，那么
a2+b2=c2.
勾股定理的逆定理 如果三角形的三边长 a，b，c 满足 a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三
角形.
一般地，如果一个定理的逆命题经过证明是正确的，那么它也是一个定理，称这两个定
理互为逆定理.
典例解析
例1 判断由线段a，b，c组成的三角形是不是直角三角形：
(1) a=15，b=8，c=17；(2) a=13，b=14，c=15.
解：(1)∵ 152+82=225+64=289，172=289∴ 152+82=172，根据勾股定理的逆定理，这个三角形是直角三角形.
(2)∵ 132+142=169+196=365，152=225
∴ 132+142≠152，根据勾股定理，这个三角形不是直角三角形.
【点睛】根据勾股定理的逆定理，判断一个三角形是不是直角三角形，只要看两条较小边长
的平方和是否等于最大边长的平方.
【归纳】像15，8，17这样，能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数.
常见勾股数：3，4，5；6，8，10；5，12，13；8，15，17；7，24，25等等.
勾股数拓展性质：一组勾股数，都扩大相同倍数k(k为正整数)，得到一组新数，这组数同样
是勾股数. 如：3，4，5；6，8，10；9，12，15；12，16，20…
【针对练习】若△ABC的三边a,b,c满足 a:b: c=3:4:5，是判断△ABC的形状.
解：设a=3k,b=4k,c=5k(k＞0),
∵(3k)2+(4k)2=25k2,(5k)2=25k2,
∴(3k)2+(4k)2=(5k)2,
∴△ABC是直角三角形，且∠C是直角.
【点睛】已知三角形三边的比例关系判断三角形形状：先设出参数，表示出三条边的长，再
用勾股定理的逆定理判断其是否是直角三角形.如果此直角三角形的三边中有两个相同的数，
那么该三角形还是等腰三角形.
例2.若△ABC的三边 a,b,c 满足a2+b2+c2+50=6a+8b+10c. 试判断△ABC的形状.
解：∵ a2+b2+c2+50=6a+8b+10c，
∴ a2－6a+9+b2－8b+16+c2－10c+25=0.
即 (a－3)²+ (b－4)²+ (c－5)²=0.
∴ a=3, b=4, c=5，
即 a2+b2=c2.
∴ △ABC是直角三角形.
【针对练习】若△ABC的三边a,b,c，且a+b=4,ab=1,c=❑√14，试说明△ABC是直角三角形.
解：∵a+b=4,ab=1,
∴a2+b2=(a+b)2-2ab=16-2=14.
又∵c2=14,
∴a2+b2=c2,
∴△ABC是直角三角形.例3.已知△ABC的三条边长分别为a，b，c，且a=m2-n2，b=2mn，c=m2+n2（m>n，m，n
是正整数）．△ABC是直角三角形吗？请证明你的判断．
解：△ABC是直角三角形．证明如下：
∵a=m2-n2，b=2mn，c=m2+n2（m>n，m，n是正整数），
∴
a2+b2=(m2-n2) 2 +(2mn) 2
=m4-2m2n2+n4+4m2n2
=m4+2m2n2+n4
．
=(m2+n2) 2 =c2
△ABC是直角三角形．
【针对练习】已知△ABC的三边a=m-n(m>n>0)，b=2❑√mm，c=m+n．
求证：△ABC是直角三角形．
解：∵△ABC的三边a=m-n(m>n>0)，b=2❑√mm，c=m+n，
而 ， ， ，
(m+n) 2=m2+2mn+n2 (2❑√mn) 2=4mn (m-n) 2=m2-2mn+n2
∵m2-2mn+n2+4mn=m2+2mn+n2，
∴ ，
(m-n) 2+(2❑√mn) 2=(m+n) 2
即a2+b2=c2，
∴△ABC是直角三角形.
例4.已知A(0,4)，B(2,0)，C(4,1)．
(1)在坐标系中描出各点，画出三角形ABC；
(2)求三角形ABC的面积;
(3)仅用无刻度的直尺作出AC边上的高BD，并直接写出BD的长．（保留作图痕迹）
解：（1）如图所示：1 1 1
（2）S =4×4- ×2×4- ×1×2- ×3×4=5
△ABC 2 2 2
（3）如图所示的线段BD即所求作的高.
由图可得：
AB=❑√22+42=2❑√5,BC=❑√12+22=❑√5,
，
AC=❑√32+42=5
∴AB2+BC2=AC2
∴△ABC是直角三角形，
1 1
∴S = AB·BC= AC·BD
△ABC 2 2
∴AB·BC=AC·BD
∴2❑√5×❑√5=5BD
∴BD=2
1
例5.如图，在正方形ABCD中，F是CD的中点，E为BC上一点，且CE＝ CB，试判断AF与EF
4
的位置关系，并说明理由．解：AF⊥EF.理由如下：
设正方形的边长为4a,
则EC＝a，BE＝3a，CF＝DF＝2a.
在Rt△ABE中，得AE2＝AB2＋BE2＝16a2＋9a2＝25a2.
在Rt△CEF中，得EF2＝CE2＋CF2＝a2＋4a2＝5a2.
在Rt△ADF中，得AF2＝AD2＋DF2＝16a2＋4a2＝20a2.
在△AEF中，AE2＝EF2＋AF2，
∴△AEF为直角三角形，且AE为斜边．
∴∠AFE＝90°，即AF⊥EF.
课堂小结
1.本节课你有哪些收获？2.还有没解决的问题吗？
【设计意图】培养学生概括的能力。使知识形成体系，并渗透数学思想方法。
达标检测
1.下列各组数中，是勾股数的( )
A.0.3，0.4，0.5 B.9，16，25 C.5，12，13 D.10，15，18
2.下面三角形中是直角三角形的有( )
①三角形三内角之比为1:2:3;
②三角形三内角之比为3:4:5;
③三角形三边之比为1:2:3;
④三角形三边之比为3:4:5.
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
3.下列命题中，逆命题为真命题的是( )
A.全等三角形的对应角相等 B.等角对等边
C.若a=b，则|a|=|b| D.若ac2
