文档内容
天津市耀华中学 2023 届高三年级第三次月考
数学试卷
本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分．考试用时120分钟．
第I卷（选择题 共45分）
一、选择题（本大题共9小题，每小题5分，共45分．在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的．将答案填在规定位置）
.
1 设集 .集合 .则 （ ）
A. B.
C. D.
2. 在△ABC中，“ ”是“A＜B”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
3. 函数 的图像大致是（ ）
A. B.C. D.
4. 2022年12月4日是第九个国家宪法日，主题为“学习宣传贯彻党的二十大精神，推动全面贯彻实施宪
法”，耀华园结合线上教育教学模式，开展了云升旗，云班会等活动．其中由学生会同学制作了宪法学习
问卷，收获了有效答卷2000份，先对其得分情况进行了统计，按照 、 、…、 分
成5组，并绘制了如图所示的频率分布直方图，下列说法不正确的是（ ）
A. 图中 的值为0.02
B. 由直方图中的数据，可估计75%分位数是85
C. 由直方图中的数据，可估计这组数据的平均数为77
D. 90分以上将获得优秀，则全校有20人获得优秀
5. 已知⊙M： ，直线 ： ， 为 上的动点，过点 作⊙M的切线
，切点为 ，当 最小时，直线 的方程为（ ）
A. B. C. D.
6. 设函数 ，则下列结论错误 是的（ ）A. 的最大值为
B. 的一个零点为
C. 的最小正周期为
D. 的图象关于直线 对称
7. 双曲线 的左右焦点分别是 ， ，离心率为 ，过 的直线交双曲线的左支于
， 两点，若 是以 为直角顶点的等腰直角三角形，则 等于（ ）
A. B.
C. D.
8. 已知 ， ， ，则（ ）
A. B. C. D.
9. 已知定义在 上的偶函数 ，满足 对任意的实数 都成立，且值
域为 .设函数 ，（ ），若对任意的 ，存在 ，使得
成立，则实数 的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
第Ⅱ卷（非选择题 共105分）
二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分．将答案填在答题纸相应位置上）
10. 若 ，则 ___________.11. 展开式中的常数项为__________．
12. “二十四节气”已经被列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录．我国古代天文学和数学
著作《周牌算经》中记载：冬至、小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒
的
种．这十二个节气 日影长依次成等差数列．若冬至的日影子长为15.5尺，芒种的日影子长为4.5尺，则
雨水、惊蛰、春分、清明的日影长的和是___________尺．
13. 在三棱锥 中， ， ，则三棱锥 外接
球的体积是______．
14. 已知正数 满足 ，则 的最小值是_________．
15. 已知O为矩形ABCD内一点，满足 ， ， ，则 __________．
三、解答题（本大题共5小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．将答
案填在答题纸上）
16. 已知在 中，角A，B，C所对边分别为a，b，c， .
（Ⅰ）求角C的大小；
的
（Ⅱ）若 ，求 值.
17. 如图，在四棱锥 中，平面 平面 ， ， ，
， ，点M为 的中点.
（1）求证： 平面 ；（2）求平面 与平面 夹角的正弦值；
（3）在线段 上是否存在一点N，使直线 与平面 所成的角正弦值为 ，若存在求出
的长，若不存在说明理由.
18. 已知椭圆 右焦点为 ，上顶点为 ，离心率为 ，且过点 且与 轴垂直
的
的直线被椭圆截得的线段长为 .
（1）求椭圆的标准方程；
（2）直线 与椭圆有唯一的公共点 ，与 轴的正半轴交于点 ，过 与 垂直的直线
交 轴于点 .若 ，求直线 的方程.
19. 已知数列 是公差为2的等差数列，其前8项的和为64．数列 是公比大于0的等比数列，
， ．
（1）求数列 和 的通项公式；
（2）记 ， ，求数列 的前 项和 ；
（3）设 ，记 ，证明：当 时， ．
20. 已知函数 有最大值 ，
（1）求实数 的值；
（2）若 与 有公切线 ，求 的值．
（3）若有 ，求 的最大值．
