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小题满分练 3
一、选择题
1．(2022·全国甲卷)设全集U＝{－2，－1，0,1,2,3}，集合A＝{－1,2}，B＝{x|x2－4x＋3＝
0}，则∁ (A∪B)等于( )
U
A．{1,3} B．{0,3} C．{－2,1} D．{－2,0}
答案 D
解析 集合B＝{1,3}，所以A∪B＝{－1,1,2,3}，所以∁ (A∪B)＝{－2,0}．
U
2．(2022·衡水模拟)已知复数z＝(a∈R)在复平面上对应的点在直线x＋y＝0上，则a等于(
)
A．－2 B．2 C．－3 D．3
答案 D
解析 因为z＝＝
＝，
所以其在复平面内对应点的坐标为，
由题意知＋＝0，解得a＝3.
3．(2022·济南模拟)函数f(x)＝的大致图象是( )
答案 D
解析 因为f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，
且f(x)＝f(－x)，
所以f(x)是偶函数，排除B；
又f(1)＝0，排除C；
当x>1时，函数y＝ex＋e－x比y＝ln x增长得更快，故函数的大致图象为D选项．
4．在等比数列{a}中，“a0，得或
3 2 2 2 2
∴a－a＝a(q5－q2)＝aq2(q3－1)>0，
7 4 2 2
∴“a0，得或
7 4 2 2
∴a－a＝aq－a＝a(q－1)>0，
3 2 2 2 2
∴“ab>0)的左、右焦点分别为F ，F ，直线y＝kx(k>0)
1 2
与C相交于M，N两点(M在第一象限)．若M，F ，N，F 四点共圆，且直线NF 的倾斜角
1 2 2
为，则椭圆C的离心率为( )
A. B.－1 C. D.－1
答案 B
解析 根据题意四边形MF NF 为平行四边形，
1 2又由M，F，N，F 四点共圆，可得平行四边形MF NF 为矩形，即NF ⊥NF .
1 2 1 2 1 2
又直线NF 的倾斜角为，
2
则有∠MF F＝，则|MF |＝|FF|＝c，
1 2 2 1 2
|MF |＝|FF|＝c，
1 1 2
则2a＝|MF |＋|MF |＝(1＋)c，
1 2
即c＝a＝(－1)a，
则椭圆C的离心率e＝＝－1.
7.(2022·六安模拟)我国古代数学家刘徽在《九章算术注》中提出了割圆术：“割之弥细，所
失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆合体，而无所失矣”．这可视为中国古代极限思
想的佳作．割圆术可以视为将一个圆内接正n边形等分成n个等腰三角形(如图所示)，当n
变得很大时，等腰三角形的面积之和近似等于圆的面积．运用割圆术的思想，可得到 sin 2°
的近似值为( )
A．0.035 B．0.026
C．0.018 D．0.038
答案 A
解析 将一个单位圆分成180个扇形，
则每个扇形的圆心角度数均为2°，
∵这180个扇形对应的等腰三角形的面积之和近似于单位圆的面积，
∴180××1×1×sin 2°＝90sin 2°≈π，
∴sin 2°≈≈0.035.
8．(2022·济宁模拟)在某市高三年级举行的一次模拟考试中，某学科共有20 000人参加考试．
为了了解本次考试学生成绩情况，从中抽取了部分学生的成绩(成绩均为正整数，满分为
100分)作为样本进行统计，样本容量为n.按照[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]
的分组作出频率分布直方图如图所示．其中，成绩落在区间[50,60)内的人数为16.则下列结
论正确的是( )A．样本容量n＝1 000
B．图中x＝0.025
C．估计该市全体学生成绩的平均分为70.6分
D．该市要对成绩由高到低前20%的学生授予“优秀学生”称号，则成绩为78分的学生肯
定能得到此称号
答案 C
解析 对于A，因为成绩落在区间[50,60)内的人数为16，所以样本容量n＝＝100，故A不
正确；
对于B，因为(0.016＋x＋0.040＋0.010＋0.004)×10＝1，
解得x＝0.030，故B不正确；
对于C，学生成绩平均分为
0.016×10×55＋0.030×10×65＋0.040×10×75＋0.010×10×85＋0.004×10×95＝70.6(分)，
故C正确；
对于D，因为10×(0.004＋0.010)＋(80－78)×0.040＝0.22>0.20，
即按照成绩由高到低前20%的学生中不含78分的学生，所以成绩为78分的学生不能得到此
称号，故D不正确．
9.(2022·衡水中学调研)函数f(x)＝cos(ωx＋φ)(ω>0，－π<φ<0)的部分图象如图所示，则下列
说法不正确的是( )
A．将函数f(x)的图象向左平移个单位长度，得到一个奇函数的图象
B．直线x＝－是f(x)图象的一条对称轴
C．f(x)在区间上单调递增
D．f(x)的图象关于点对称
答案 C
解析 由图知，函数的周期T满足
T＝－＝，
解得T＝2π，
∴ω＝＝＝1，
将点代入函数f(x)的解析式，
得1＝cos，
解得φ＝－＋2kπ，k∈Z，∵－π<φ<0，
∴φ＝－，f(x)＝cos.
对于A，将函数f(x)的图象向左平移个单位长度后得到g(x)＝cos＝sin x，
此时g(x)＝sin x为奇函数，故A正确；
对于B，当x＝－时，
f ＝cos＝－1，
所以直线x＝－是f(x)图象的一条对称轴，故B正确；
对于C，f(x)＝cos的单调递增区间满足
－π＋2kπ≤x－≤2kπ，k∈Z，
即单调递增区间为，k∈Z，
当k＝1时，单调递增区间为，
当k＝2时，单调递增区间为，
所以f(x)在区间上单调递减，故C错误；
对于D，当x＝时，
f ＝cos＝cos ＝0，故D正确．
10．已知ex－y>ln y－x，则下列结论正确的是( )
A．x>y B．x>ln y
C．xln y－x，
可以化为ex＋x>y＋ln y＝ln y＋eln y，
所以可以构造函数f(x)＝ex＋x，
因为f(x)＝ex＋x在R上单调递增，
又f(x)＝ex＋x>ln y＋eln y＝f(ln y)．
所以x>ln y.
11．(2022·铜仁模拟)已知函数f(x)的定义域为R，且满足：f(－x＋2)＝－f(x＋2)，又f(x＋1)
为偶函数，当x∈[0,2]时，f(x)＝ax2＋2x＋b，则f(1)＋f(3)＋f(5)＋f(7)的值为( )
A．4 B．－4 C．0 D．2
答案 C
解析 由f(－x＋2)＝－f(x＋2)，可知函数f(x)关于点(2,0)对称，即有f(x)＝－f(4－x)．
由f(x＋1)为偶函数，可知函数f(x)关于x＝1对称，即有f(x)＝f(2－x)．
于是有f(2－x)＝－f(4－x)，从而可得f(x)＝f(4＋x)，因此可得函数f(x)的周期为4.
所以f(5)＝f(1)，f(7)＝f(3)．
再由f(－x＋2)＝－f(x＋2)，令x＝1，有f(1)＝－f(3)，即f(1)＋f(3)＝0.所以f(1)＋f(3)＋f(5)＋f(7)＝f(1)＋f(3)＋f(1)＋f(3)＝2[f(1)＋f(3)]＝0.
12.(2022·安徽省鼎尖联盟联考)如图，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，PA＝2，
AD∥BC，BC＝2AD＝2AB＝2CD＝4，则四棱锥P－ABCD外接球半径为( )
A. B．2 C. D.
答案 C
解析 如图所示，在等腰梯形ABCD中，
由BC＝2AD＝2AB＝2CD＝4，
过A作AM⊥BC，垂足为M，可得BM＝1，
在Rt△ABM中，可得cos∠ABM＝＝，
可得∠ABM＝60°，
即∠ABC＝∠DCB＝60°，
取BC的中点E，连接EA，ED，
可得EA＝EB＝EC＝ED＝2，所以梯形ABCD内接于以E为圆心，半径r＝2的圆，
设四棱锥P－ABCD外接球的球心为O，连接OA，OE，过O作OF∥AE交PA于点F，连
接OP
易知OE⊥平面ABCD，又因为PA⊥平面ABCD，所以OEAF为矩形，F为AP中点，PA＝
2，所以OE＝PA＝1，设四棱锥P－ABCD外接球半径为R，所以R＝＝＝.
二、填空题
13．(2022·全国甲卷)设向量a，b的夹角的余弦值为，且|a|＝1，|b|＝3，则(2a＋b)·b＝
________.
答案 11
解析 (2a＋b)·b＝2a·b＋b2＝2|a||b|·cos〈a，b〉＋|b|2＝2×1×3×＋32＝11.
14．已知直线l：y＝m(x－2)＋2与圆C：x2＋y2＝9交于A，B两点，则弦长|AB|的最小值为
________．
答案 2
解析 直线l：y＝m(x－2)＋2过定点P(2,2)，
因为|CP|＝＝2<3，所以定点P在圆C内部，则当直线l与CP垂直时，|AB|最小，
此时|AB|＝2＝2＝2.
所以估计该校1 800名学生中，数学成绩不低于99分的人数为1 800×0.2＝360.
15．(2022·潍坊质检)古希腊数学家托勒密在他的名著《数学汇编》里给出了托勒密定理，即
圆的内接凸四边形的两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积．已知 AC，BD为圆的内接
四边形 ABCD 的两条对角线，sin∠CBD∶sin∠BDC∶sin∠BAD＝1∶1∶，AC＝4，则
△ABD面积的最大值为______．
答案 3
解析 如图，可知∠BAD＋∠BCD＝180°，
由诱导公式知
sin∠BAD＝sin∠BCD，
又sin∠CBD∶sin∠BDC∶sin∠BAD＝1∶1∶，
故sin∠CBD∶sin∠BDC∶sin∠BCD＝1∶1∶，
在△BCD中，由正弦定理得
CD∶BC∶BD＝1∶1∶，
故∠BCD＝120°，∠BAD＝60°，
设CD＝k，BC＝k，BD＝k，则由托勒密定理可知CB·AD＋CD·AB＝AC·BD，
即k·AD＋k·AB＝k·4，
即AD＋AB＝4，
又S ＝AB·AD·sin∠BAD＝AB·AD≤·2＝3，
△ABD
当且仅当AB＝AD时取等号．
故△ABD面积的最大值为3.
16．(2022·沈阳模拟)已知函数f(x)＝ln x－，直线y＝mx＋n是曲线y＝f(x)的一条切线，则m
＋2n的取值范围是______．
答案 [－2ln 2－4，＋∞)
解析 设切点为P(t，f(t))，f′(x)＝＋，k＝f′(t)＝＋，
曲线y＝f(x)在切点P(t，f(t))处的切线方程为y－f(t)＝f′(t)(x－t)，
整理得y＝x＋ln t－－1，所以m＋2n＝＋2ln t－－2.
令g(x)＝＋2ln x－－2(x>0)，则g′(x)＝.当0时，g′(x)>0，g(x)单调递增．故g(x) ＝g＝－2ln 2－4，
min
所以m＋2n的取值范围是[－2ln 2－4，＋∞)．
