文档内容
广州市执信中学 2023 届高三年级第二次月考
数 学
第一部分 选择题（共60分）
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的．
A =¿ ¿ B={y[ y=|x|,x∈A} C={m∈Z||m|<3}
1．集合 的实部为0}， ，
，
C B
i为虚数单位，则 C 为( )
{−2,−1,1,2} {−2,−1,1} {−1,1} {−2,2}
A． B． C. D．
2．己知抛物线 y2 =2px(p>0) 的准线与圆 x2 +y2 −6x−7=0 相切，则p的值为( )
1
2
A． B．1 C．2 D．4
x−2
A={x| ≤0}
3．己知集合 x+1 ， x∈A 一个必要条件是x≥a，则实数a的取值范围为(
)
A．
a<0
B．
a≤−1
C．
a≥2
D．
a≥−1
4．已知各顶点都在一个球面上的正四棱锥的高为3，体积为6，则这个球的表面积为( )
16π 20π 24π 32π
A． B． C． D．
5．小桦班的数学老师昨天组织了一次小测，老师给了小桦满分100分，但实际上小桦有一处
表述错误，告诉了小岍和小江，这一处错误需要扣4分，这一处错误小桦自己不会告诉老2 1
3 4
师，小岍有 的可能告诉老师，小江有 的可能告诉老师，他们都不会告诉其他同学，
E(X)=
老师知道后就会把分扣下来，则最后小桦的听写本上的得分期望 ( )
298 289
3 3
A． B．98 C． D．97
5π √2
cos（ −α）=
12 3 √3cos2α−sin2α
6．若 ，则 的值为( )
5 5 10 10
− −
9 9 9 9
A． B． C． D．
xy
7．设正实数x、y、z满足 4x2 −3xy+y2 −z=0 ，则 z 的最大值为( )
A．0 B．1 C．2 D．3
8．在
ΔABC
中，角
A,B,C
所对的边分别为
a，b，c
，若
sinC=2√3sinBsinA
，
b=λa
，
λ
则实数 的最小值是( )
3 3
√3 +√3
2 2 2−√3 2+√3
A． B． C． D．
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符
合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的不得分．
9．下列命题中，真命题的是( )
A．若回归方程
y^=−0.45x+0.6
，则变量y与x正相关
B．线性回归分析中相关指数R2 用来刻画回归效果，若R2
值越小，则模型的拟合效果越
好
x ,x ,⋯,x 2x −1,2x −1,⋯,2x −1
C．若样本数据 1 2 10的方差为2，则数据 1 2 10 方差为8
D．一个人连续射击三次，则事件“至少击中两次”的对立事件是“至多击中一次”10．已知m,n是空间中两条不同的直线， α,β 为空间中两个互相垂直的平面，则下列命题不
正确的是( )
A．若m⊂α，则 m⊥β B．若m⊂α， n⊂β ，则 m⊥n
C．若m⊂α， m⊥β ，则 m//α D．若 α∩β=m ， n⊥m ，则 n⊥α
x2 y2
− =1(a>0,b>0)
2 2 x−2y=0
11．已知双曲线a b 的一条渐近线方程为 ，双曲线的左焦点
在直线
x+y+√5=0
上， A、B 分别是双曲线的左、右顶点，点P为双曲线右支上位
于第一象限的动点，
PA，PB
的斜率分别为
k
1
，k
2，则
k
1
+k
2的取值可能为( )
3 4
4 3
A． B．1 C． D．2
12．若
f (x)
图象上存在两点
A，B
关于原点对称，则点对
[A,B]
称为函数
f (x)
的“友情点
{x3
,x>0
f(x)= x
e
[A,B] [B,A] ax2,x<0
对”（点对 与 视为同一个“友情点对”）若 恰有两个
“友情点对”，则实数a的值可以是( )
1 1 1
− − −
2020 e 2023
A．0 B． C． D．
第二部分 非选择题（共90分）
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
1
x>
x
13．不等式 的解集为 ．
14．已知向量
a，b
满足
|a|=1
，
|b|=2
，
a−b=(√3,√2)
，则
|2a−b|
等于 ．
P ，P C: y=2|lnx| P ,P C l ,l ,
15．已知 1 2是曲线 上的两点，分别以 1 2为切点作曲线 的切线 1 2且
l
1
⊥l
2，切线
l
1交y轴于A点，切线
l
2交y轴于B点，则线段 AB 的长度为 ．
A−B={x|x∈A且x ∉B} {a }
16．对于集合A，B，定义集合 .己知等差数列 n 和正项等比数
{b } a =4 b =2 b =b +2b a =b +2 {a } {b }
列 n 满足 1 ， 1 ， n+2 n+1 n， 3 3 。设数列 n 和 n 中的
所有项分别构成集合A，B，将集合A-B的所有元素按从小到大依次排列构成一个新数
{c } {c } S =
列 n ，则数列 n 的前30项和 30 .
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
f (x)=x2 +2bx−c (0,2) f(−1)=f(2)
17．(10分)己知二次函数函数 过点 ，且满足 .
f (x)
(1)求函数 的解析式；
(2)解关于x的不等式：
f(x)≤(2a−1)x(a∈R)
.
18．(12分)如图，在 ΔABC 中， AB=2， 3sin2B−2cosB−2=0 ，且点D在线段 BC 上．
2π
∠ADC=
3 AD
(1)若 ，求 的长；
sin∠BAD
=4√2
(2)若
BD=2DC
，
sin∠CAD ，求ΔABD
的面积．
19．(12分)如图，三棱柱
ABC−A
1
B
1
C
1中，D是 AB 的中点．
BC // A CD
(1)证明： 1 面 1 ；
ΔABC
BC=BB
(2)若 是边长为2的正三角形，且 1，
∠CBB
1
=60°
，平面
ABC⊥¿¿平面 BB
1
C
1
C
．求平面
A CD BB C C
1 与侧面 1 1 所成二面角的正弦值．
20．（12分）2020年1月15日教育部制定出台了《关于在部分高校开展基础学科招生改革
试点工作的意见》（也称“强基计划”），《意见》宣布：2020年起不再组织开展高校自主
招生工作，改为实行强基计划，强基计划主要选拔培养有志于服务国家重大战略需求且综合
素质优秀或基础学科拔尖的学生，据悉强基计划的校考由试点高校自主命题，校考过程中通过笔试后才能进入面试环节，己知甲、乙两所大学的笔试环节都设有三门考试科目且每门科
1
2
目是否通过相互独立，若某考生报考甲大学，每门科目通过的概率均为 ，该考生报考乙大
1 3
学，每门科目通过的概率依次为 6 ， 5 ，m，其中 00)
在第一象限上的点，F为抛物线的
焦 点 ， 且 AF 垂 直 于 x轴 ， 过 A作 圆
B:(x−1) 2 +y2 =r2 (0−
x∈[−1,+∞) 2
(1)求证：当 时， ；
(2)若不等式 f (x)≥ax+1 对∀x∈R 成立，求实数a的值.数学参考答案
单选题：1-8题ACBA DCBC 9．CD 10．ABD 11. CD 12．BD
5 ． 【 解 析 】 由 题 意 可 知 X 的 可 能 取 值 为 ： 96 ， 100 ， 则
( 2)( 1) 3 ( 2)( 1) 1
P(X=96)=1− 1− 1− = P(X=100)= 1− 1− =
3 4 4 3 4 4
， ， 因 此 ，
3 1
E(X)=96× +100× =97
4 4
.
z=4x2 −3xy+y2
7 ． 【 解 析 】 ， 则
xy xy 1 1
= = ≤ =1
z 4x2 −3xy+y2 4x y √4x y
+ −3 2 ⋅ −3
y x y x
，
xy
y=2x>0 z
当且仅当 时取等号，故 的最大值为1．故选：B．
sinC=2√3sinBsinA c=2√3bsinA
8．【解析】由 ，可得 ，
由余弦定理得：
a2 =b2 +c2 −2bccosA
，
a2 =12b2sin2A+b2 −2b×2√3bsinAcosA
两式结合得： ，
a2
=12sin2A+1−2√3sin2A=7−6cos2A−2√3sin2A
2
即b ，
a2 π 7π a2
=7−4√3sin(2A+ ) A= ( ) =7+4√3
2 3 A∈(0,π) 12 2 max
即b ， ，则当 时， b ，则
b2 1 b
(
a 2
)
min
=
7+4√3
=7−4√3
，故由
λ=
a 可得其最小值为 √7−4√3=2−√3 .
x2 y2
− =1(a>0,b>0)
2 2
11．【答案】CD．【解析】双曲线 a b 的一条渐近线方程为
x−2y=0 ，可得a=2b
，双曲线的左焦点在直线
x+y+√5=0
上，即
c=√5
，
x2
由
a2 +b2 =5
，解得
a=2
，
b=1
，双曲线的方程为 4
−y2 =1
，
A(−2,0) B(2,0) P(m,n)
由题意可得 ， ，设 ，
m2 n2 1 n n n2 1
可得 4
−n2 =1
，即有m
2
−4
= 4
，可得
k 1 k 2 = m+2 ⋅ m−2 =
m
2
−4
= 4
，
k
1
,k
2
>0
，
则
k
1
+k
2
≥2√k
1
k
2
=1
，由
A，B
为左右顶点，可得
k
1
=¿k
2
¿
，则
k
1
+k
2
>1
.
x3
12．【答案】BD．【解析】若
f (x)
有两个友情点对，则
a<0
且
y=
e
x
与
y=−ax2
在
x>0x3 x x
=−ax2 −a= y=
时有两个交点，则e x ， ex ，即y=−a与 ex 在 x>0 时有两个交点，
x 1−x x
y= y' = y=
ex ex x∈(0,1) ex
对于 ，得 ，当 时， 单调递增，
x
y=
当
x∈(1,+∞)
时，
ex 单调递减，∴x=1
，
1
y =
max e ，又 x→0 时， y→0 ，x→+∞
y→0 ∴f(x)
时， ， 的大致图象为：
x
y=
要使y=−a与 ex 在 x>0 时有两个交点，
1 1
−a∈(0, ) a∈(− ,0)
e e BD.
则 ，即 ．故选
13．
(−1,0)∪(1+∞)
14．
2√2 15．4−4ln2
16．1632.
17．【解析】(1)∵函数
f (x)=x2 +2bx−c
过点
(0,2)
，
∴f(0)=2
，所以
c=−2
，即
1 1
x= −b=
f (x)=x2 +2bx+2 f(−1)=f(2) f (x) 2 2
，因为 ，所以 的对称轴为 ，所以 ，
1
b=−
2 f (x)=x2 −x+2
解得 ，故 .
f(x)≤(2a−1)x(a∈R)⇔x2 −2ax+2≤0
(2)由(1)， .
①当 Δ=4a2 −8<0 ，即 −√20
， 即
a>√2
或
a<−√2
时， 方程
x2 −2ax+2=0
有两个根为
x
1
=a− √a2 −2
，
x
2
=a+ √a2 −2
，不等式
x2 −2ax+2≤0
的解集为
{x|a− √a2 −2≤x≤a+ √a2 −2}
综上， −√2√2 a<−√2
当 时，不等式的解集为 ；当 或 时，不等式的解集为：
{x|a− √a2 −2≤x≤a+ √a2 −2}
.
18 ． 【 解 析 】 (1)
∵3sin2B−2cosB−2=0
，
∴3(1−cos2B)−2cosB−2=0
， 则
1 2√2
cosB= sinB= √1−cos2B=
3cos2B+2cosB−1=0 ，∵0|=| 1 2 |= =
1 2 |⃗n 1 |⋅|⃗n 2 | √1 7 √ 21 2√7
1× +1+1 1− =
3 49 7
，∴二面角的正弦值为 .
20 ． 【 解 析 】 (1) 设 该 生 报 考 甲 大 学 恰 好 通 过 一 门 笔 试 科 目 为 事 件 A ， 则
P(A)=C1
⋅
(1)
⋅
(1) 2
=
3
3 2 2 8
；
1 (2) 2 5 3 2 64 32
P(B)= × + × × ×2= =
该考生报乙大学恰好通过一门笔试科目为事件B， 6 5 6 5 5 150 75
.
( 1)
X~B 3, 1 3
(2)设该生报考甲大学通过的科目数为X ，根据题意可知， 2 ，则 E(X)=3× 2 = 2，
报考乙大学通过的科目数为Y ，随机变量Y 的可能取值为：0，1，2，3．
5 2 1−m 1 2 5 3 5 2 17−7m
P(Y=0)= × (1−m)= P(Y=1)= × (1−m)+ × (1−m)+ × m=
6 5 3 ， 6 5 6 5 6 5 30 ，1 3 1 2 5 3 3+14m 1 3 m
P(Y=2)= × (1−m)+ × m+ × m= P(Y=3)= × m=
6 5 6 5 6 5 30 6 5 10
， ，
随机变量Y 的分布列：
Y 0 1 2 3
1−m 17−7m 3+14m m
P
3 30 30 10
1−m 17−7m 3+14m m 23
E(Y)=0× +1× +2× +3× = +m
3 30 30 10 30
，
23 3 11
+m< 00
，
cosx≥0
，
∴f '(x)>0
，
当
x∈(0,+∞)
时，
ex >1
，
cosx≥−1
，
∴f '(x)>0
，
x∈[−1,+∞) f '(x)>0 f (x)
故当 时， ， 单调递增.1 1 √3 √3−1 1 1 1 1
f(x)≥f(−1)= −sin1> − = < < f (x)>−
e e 2 2 √3+1 2.73 e 2
，而 ，故 ；
(2)令
g(x)=f(x)−ax−1=ex +sinx−ax−1
，即
g(x)≥0 对∀x∈R
成立，
1
g(−π)= +aπ−1<0
若
a≤0
，则
eπ
，与题意不符；
故只需考虑
a>0
的情况：
g(0)=0
，
g'(x)=ex +cosx−a
，
g'(0)=2−a
，
g''(x)=ex −sinx
，显然当
x≥0
时，
g''(x)≥1−sinx≥0
，
∴g'(x) [0,+∞)
在 上单调递增，
① 若
a>2
，则
g'(0)<0
，
g'(ln(a+1))=1+cos(ln(a+1))≥0
，
∃x ∈(0, ln(a+1)] g'(x )=0 g(x) (0, x )
故 0 ，使得 0 ， 0 上单调递减，
∴g(x )0 ，当−π0
，
sinx<0
，
g''(x)>0 g'(x) g'(−π)=e−π −1−a<0 ∃x ∈(−π, 0)
故 ， 单调递增，又 ，故 0 ，
g'(x )=0 g(x) (x , 0) ∴g(x )
