文档内容
技巧 02 填空题的答题技巧
目 录
01 特殊法速解填空题
02 转化法巧解填空题
03 数形结合巧解填空题
04 换元法巧解填空题
05 整体代换法巧解填空题
06 坐标法巧解填空题
07 赋值法巧解填空题
08 正难则反法巧解填空题
01 特殊法速解填空题
1．关于函数 ，有下列命题：
由 可得 必是 的整数倍；
①
在区间 上单调递增；
②
的图象关于点 对称；
③
的图象关于直线 对称．
④其中正确的命题的序号是__________ 把你认为正确的命题序号都填上
【答案】
②③
【解析】函数 ，特例： ， ，满足 ，
①但是 不是 的整数倍，所以 不正确；
①
的周期为 ，令 ，
②
可得 是函数的单调增区间，
所以函数在区间 上单调递增；所以 正确；
②
当 时， ，
③
所以函数的图象关于点 对称，所以 正确；
③
由 知 的图象不关于直线 对称，所以 不正确；
故答案为： ．
④ ③ ④
2．已知集合②③ ，若对于任意 ，存在 ，使得
成立，则称集合是“好集合”，给出下列4个集合：
； ； ；
① 其中为“②好集合”的序号是__________． ③ ④
【答案】
②③
【解析】对于 ，注意到 无实数解，因此 不是“好集合”；
对于 ，如下①左图，注意到过原点任意作一条直线与曲线① 相交，过原点与该直线垂直的直线必
②
与曲线 相交，因此 是“好集合”；
对于 ，如下中图，注意到过②原点任意作一条直线与曲线 相交，过原点与该直线垂直的直线必
与曲线 相交，因此 是“好集合”；
③
对于 ，如下右图，注意到对③于点 ，不存在 ，使得 ，因为 与
真数的④限制条件 矛盾，因此 不是“好集合”．
④故答案为： ．
3．已知数列②③ 的各项均为正数，其前n项的和 满足 给出下列四个结论：
的第2项小于 为等比数列；
① ②
为递减数列； 中存在小于 的项．
其有正确结论的序号为__________．
③ ④
【答案】
①③④
【解析】 ，可得 ，又各项均为正，可得 ，令 可得 ，可解得
，故 正确；
①
当 时，由 得 ，于是可得 ，即 ，若 为等比数
列，则 时 ，即从第二项起为常数，可检验 则不成立，固 错误；
②
可得 ，于是 ，所以 ，于是 正确；
③
若所有项均大于 ，取 ，则 ， ，于是 ，与已知矛盾，所以
正确．
④
4．黎曼函数是一个特殊的函数，由德国著名的数学家波恩哈德 黎曼发现提出，在高等数学中有着广泛
的应用，其定义为： ，
若函数 是定义在R上的奇函数，且对任意x都有 ，当 时，
，则 __________．
【答案】【解析】根据题意，对任意x都有 ，
令 ，则有 ，
又由 ，故
又由 ，则有 ，
故 ；
故答案为：
02 转化法巧解填空题
5．斜率为1的直线与双曲线 交于两点A，B，点C是曲线E上的一点，满足
， 和 的重心分别为P，Q， 的外心为R，记直线OP，OQ，OR的斜率为
， ， ，若 ，则双曲线E的离心率为__________．
【答案】
【解析】设 ， ， ，
则AB中点为 ，AC中点为 ，BC中点为 ，
因为P、Q分别为 ， 的重心，
故 ， ，
因为 ， 的外心为R，故R为AB中点，
则
由A、B、C三点均在双曲线上，
， ， ，
① ② ③
- 可得 ，即 ，
① ②
同理由 - 可得 ，
② ③ ④
由 - 可得 ，
① ③ ⑤因为斜率为1的直线与双曲线交于A、B两点，故 ，则 ，
因为 ，所以 ，
故 两式相乘可得 ，即 ，
④⑤
故 ，则 ，
则 ，
故答案为
6．如图，一个池塘的东､西两侧的端点分别为 ，现取水库周边两点 ，测得 ，
，池塘旁边有一条与直线AB垂直的小路l，且点A到l的
距离为 小张 点 沿着小路l行进并观察 两点处竖立的旗帜 与小张的眼睛在同一水平面内
，则小张的视线PA与PB的夹角的正切值的最大值为__________．
【答案】
【解析】在 中， ，
所以 ， ，
由正弦定理可得 ，所以 ，
在 中， ，所以 ，
所以 ，
在 中，由余弦定理，
，所以 ，
设l与AB的交点为E， ， ，如图，则 ，
由 ，可得 ，
，
所以 ，当且仅当 ，即 时，等号成立，
故答案为：
7．函数 其中 ，b， ，当 时， 恒成立，则
的取值范围为__________
【答案】
【解析】由题 时， 恒成立，
则 时， 恒成立，
设 ，则 ，
当 时， ，函数 单调递减，
当 时， ，函数 单调递增，
则
设 ，当且仅当 时，等号成立，
结合题意，则 与 同号．
当 ， 时，
①即 且 时， 与 具有相同零点，设这两个相同的零点为 ， ，
则 ， ，
方程 的两根为 ， ，
即 ， ，
则 ，
即 ， 且 时，
，
令 ， ， ，
则 时， ， 单调递减，
时， ， 单调递增，
则 ，故
当 ， 时，
②即 且 时， 恒成立，
即此时 恒成立，
则 ，
当且仅当 ， ， 时， 取到最小值 ，故
综上所述，
故答案为
8．如今中国被誉为“基建狂魔”，可谓逢山开路，遇水架桥．公路里程、高铁里程双双都是世界第一．
建设过程中研制出用于基建的大型龙门吊、平衡盾构机等国之重器更是世界领先．如图是某重器上一零件
结构模型，中间最大球为正四面体的内切球，中等球与最大球和正四面体三个面均相切，最小球与中等球
和正四面体三个面均相切．若 ，则该模型中最小小球的半径为__________．【答案】
【解析】如图所示正四面体ABCD，设棱长为 ，高为h，
O为正四面体ABCD内切球的球心，延长AO交底面BCD于E，E是等边三角形 的中心，
过A作 交CD于F，连接BF，则OE为正四面体ABCD内切球的半径
， ， ， ，
，
由图可知最大球内切于高为 的正四面体中，最大球半径 ，
中等球内切于高为 的正四面体中，中等球半径 ，
最小求内切于高为 的正四面体中，最小球半径
故答案为：
03 数形结合巧解填空题
9．已知O为坐标原点，A，B在直线 上， ，动点M满足 ，则
的最小值为__________．
【答案】【解析】因为 ，即 ， ，
当M不在直线AB上时，
在线段AB上取点E，使得 ，所以
在AB的延长线上取点F，使得 ，所以
所以
因为 ，所以ME为 的角平分线．
因为 ，所以MF平分 的邻补角．
所以 ，即
所以点M的轨迹为以 为直径的圆 除去E， ，半径为
当M在直线AB上时，点M的轨迹为点E，
综上，点M的轨迹为以 为直径的圆上，半径为
设直线l： ，过O作 交l于点D，
当EF的中点为D时，此时
因为 ， ，
所以
故答案为10．舒腾尺是荷兰数学家舒腾 设计的一种作图工具，如图，O是滑槽AB的中点，短杆ON
可绕O转动，长杆MN通过N处的铰链与ON连接，MN上的栓子D可沿滑槽AB滑动．当点D在滑槽AB
内作往复移动时，带动点N绕O转动，点M也随之而运动，记点N的运动轨迹为 ，点M的运动轨迹
为 若 ， ，过 上的点P向 作切线，则切线长的最大值为__________．
【答案】
【解析】以滑槽AB所在直线为x轴，O为坐标原点建立平面直角坐标系如图所示，
因为 ，所以点N的运动轨迹 是以O为圆心，半径为1的圆，其方程为 ，
设点 ，由于 ，则 ，
由 ， 可 得 ， 设 ， 所 以 ， 解 得
，则点M的运动轨迹 是椭圆，其方程为 ，
设 上的点 ，则 ，则切线长为 ，
所以切线长的最大值为
故答案为：
11．已知 的两条直角边分别为3，4，以斜边所在直线为轴，其余各边旋转一周形成的曲面围成
的
几何体体积是__________．
【答案】
【解析】如图为直角三角形以斜边所在直线为轴旋转而成的旋转体．
因为两条直角边分别为3，4，
所以斜边长为5，
利用三角形的面积相等，得出斜边上的高为 ，
则圆锥的底面半径为 ，
设两个圆锥的高为 ， ，则 ，
所以
故答案为
12．已知椭圆 的左、右焦点分别为 ， ，P为C上一点，且
，若 关于 平分线的对称点Q在C上，则C的离心率为__________．
【答案】
【解析】因为 关于 平分线的对称点Q在椭圆C上，
由对称性可得P， ，Q三点共线，设 ，则 ，
，在 中，由余弦定理可得 ，
所以
而 ，
所以 ，
可得 ，
在 中，由余弦定理可得 ，
整理得 ，
即离心率
故答案为
04 换元法巧解填空题
13．已知函数 ，则方程 是自然对数的底数 的实
根个数为__________．
【答案】6
【解析】令 ，得方程变为： ，即 ，
由 与 的图象可知方程有三个根当 时， ，可得函数 有极大值 ，
则
由函数 的图象，方程 无解；方程 四解；方程 两解；
所以原方程共有6个根，
故答案为：
14．已知函数 ，则 在 上的零点个数为__________．
【答案】2
【解析】由 ，得 ，
设 ，则 ，
因为 ，
所以 ，
此时 与 有两个交点，
所以方程 有两个根，
即 有两个根，
所以 在 上的零点个数为2个．
故答案为
15．已知 ，若在 上恰有两个不相等的实数a、b满足 ，则实
数 的取值范围是__________．【答案】
【解析】 ， ，
令 ，则 ，
因为恰有两个不相等的实数a、b满足 ，
故 ，
故 ，
故
16．已知a，b都是正数，则 的最小值是__________．
【答案】
【解析】因为 均为正实数，故设 ， ，则
联立解得 ， ，
，
当且仅当 ，即 ，即 时取等号，
故答案为： ．
05 整体代换法巧解填空题
17．如图，在 所在平面内，分别以AB，BC为边向外作正方形ABEF和正方形 记 的
内角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为 已知 ，且 ，则
__________．【答案】
【解析】因为，在 中有 ，
所以，由正弦定理得 ，
由 ，得 ，即 ，则 ，
由题意得 ， ，
如图：
在 中， ，
则
得
18．函数 在区间 内的最大值为 M，最小值为 N，其中 ，则
__________．
【答案】6
【解析】由题意可知， ，
设 ， 的定义域为 ，
所以 ，
所以 为奇函数，所以 ，
所以
故答案为：
19．锐角 中，A，B，C所对的边分别为a，b，c，若 ，且
的面积是1，则 的取值范围是__________．【答案】
【解析】 ，
由正弦定理可得： ，
即 ，
化为： ，
是锐角三角形，
，解得
，
，解得
，
，
，
的面积是1， ，化为：
故答案为：
06 坐标法巧解填空题
20．在平行四边形ABCD中， ， ，AC，BD相交于点O，E为线段AC上的动点，若
，则 的最小值为__________．
【答案】【解析】平行四边形ABCD中， ， ，AC，BD相交于点O， ，
可得 ，
可得 ，解得 ，
建立如图所示的坐标系，
则 ， ， ， ，
AC的方程为：
设 ， ，
，
，当且仅当 时取等号．
故答案为：
21．舒腾尺是荷兰数学家舒腾设计的一种作图工具，如图，O是滑槽AB的中点，短杆ON可绕O转动，
长杆MN通过N处的铰链与ON连接，MN上的栓子D可沿滑槽AB滑动．当点D在滑槽AB内做往复移动
时，带动点N绕O转动，点M也随之而运动．若 ， ， ，则MA的最小值为
__________．
【答案】
【解析】以滑槽AB所在的直线为x轴，O为坐标原点，建立平面直角坐标系，如图所示：因为 ，所以点N的运动轨迹 是以O为圆心，半径为1的圆，其方程为
设点 ， ， ，依题意， ，且 ，
所以 ，
且 即 且
由于t不恒为0，于是 ，故 ， ，
代入 ，可得 ，
则 ，
， 当 时， 取最小值 ，
故 的最小值为
22．费马点是指三角形内到三角形三个顶点距离之和最小的点．当三角形三个内角均小于 时，费马
点与三个顶点连线正好三等分费马点所在的周角，即该点所对的三角形三边的张角相等均为 ．根据
以上性质，函数 的最小值为__________．
【答案】
【解析】根据题意画出图象，函数 表示的是点 到点 的距离与到点 ，到
的距离之和，
则这个等腰三角形ABC的费马点在高线AD上，设O点即费马点，连接OB，OC，
则 ， ， ， ，
， ， ，
距离之和的最小值为：
故答案为：
23．用平行于圆锥母线的平面 不过顶点 截圆锥，则平面与圆锥侧面的交线是抛物线一部分．如图，在
底面半径和高均为2的圆锥中，AB、CD是底面圆O的两条互相垂直的直径，E是母线PB的中点，已知
过CD与E的平面与圆锥侧面的交线是以E为顶点的圆锥曲线的一部分，则该圆锥曲线的焦点到其准线的
距离等于__________．
【答案】
【解析】连接PO，
由题意可得 面ABC，所以 ，
由题意 ，
因为E是母线PB的中点，所以 ，
由题意建立适当的坐标系，以BP为y轴以OE为x轴，E为坐标原点，
如图所示：可得： ，
设抛物线的方程为 ，
将C点坐标代入可得 ，
所以 ，
所以抛物线的方程为： ，
所以焦点坐标为 ，准线方程为 ，
所以焦点到其准线的距离为 ，
故答案为：
07 赋值法巧解填空题
24．已知偶函数 在区间 上单调递增，且满足 ，给出下列判断：
； 在 上是增函数； 的图象关与直线 对称； 函数 在 处
取得最小值； 函数 没有最大值，其中判断正确的序号是__________．
【答案】
【解析】①由④ 得到 ，
再结合函数 为偶函数， ，
，将x换做 得： ，
，所以函数的周期是
在 中，
令 时，得 ，所以 ，
又 周期为4， ，所以 正确；
在区间 上单调递增， ①是偶函数， 图像关于y轴对称，
又 ， 函数 图象关于点 对称，
函数在区间 上单调递增，在 上减，在 上增，
函数 的大致图象可模拟如下：
故函数 在 处可取得最小值，函数 在 处可取得最大值，
y轴和 都是函数 的对称轴，而 不是对称轴，
所以 错误， 错误， 正确， 错误；
故答案为 ．
② ③ ④ ⑤
①④
25．若函数 的定义域为 ，且 ， ，则
__________．
【答案】
【解析】 ，令 ，则 ，可得 ，
令 ，则 ，可得 ，
由 ，可得 ， ，
故答案为：
26．对于函数 ，给出下列命题：
在同一直角坐标系中，函数 与 的图象关于直线 对称；
若 ，则函数 的图象关于直线 对称；
若 ，则函数 是周期函数；
若 ，则函数 的图象关于点 对称．
其中所有正确命题的序号是__________．
【答案】
【解析】①设函③数④ 与 的图象关于直线 对称，则 ，即 ，解得： ，
即函数 与 的图象关于直线 对称，故 正确；
若 ，则函数 的图象关于直线 对称，①故 错误；
若 ， ，②
③则函数 是周期为2的周期函数，故 正确；
若 ，则函数 ③的图象关于点 对称，故 正确．
故答案为：
④ ④
27．函数 ①③是定④义在R上的奇函数，且满足 当 时， ，
则 __________．
【答案】1
【解析】 是定义在R上的奇函数，
，且
又 ，
，
，
可得 ，
奇函数 的周期为4，
故答案为
08 正难则反法巧解填空题
28．设集合 …， ， ，2，3，…， ，则集合A中满足条件“
… ”的元素个数为__________．
【答案】
【解析】集合A中共有 个元素；
其中 … 的只有一个元素，
… 的有 个元素；
故满足条件“ … ”的元素个数为
故答案为：
29 ． 已 知 的 面 积 为 1 ， 在 所 在 的 平 面 内 有 两 点 P 、 Q ， 满 足，则四边形BCPQ的面积为__________．
【答案】
【解析】 点P满足 ，
，可得点P是线段AC的中点，
又 ，
，
可得Q是线段AB的靠近B点的三等分点，
因此， 的面积为，
的面积为1， ，
由此可得四边形BCPQ的面积为 ，
故答案为：
30．若存在 ， ，则实数a的取值范围是__________．
【答案】
【解析】命题“存在 ， ，
的否定是：“任意 ， ”，
它等价于 ，或 ；
① ②
由 得， ，且 在 上的最小值是 ，
① ；
由 得， ，且 在 上的最大值为 ，
② ；由 知， 或 ，
它①的否②定是 ，
实数a的取值范围是
故答案为：
