文档内容
专题06解二元一次方程组与含参数的二元一次方程组（八大题型）
重难点题型归纳
【题型1 解二元一次方程组-消元法】
【题型2 解二元一次方程组-巧用换元法】
【题型3 已知方程组的解，求相关字母的值】
【题型4遮挡问题】
【题型5相同的解】
【题型6错解】
【题型7 二元一次方程组新定义问题】
【题型1 解二元一次方程组-消元法】
{ y=2x+3 )
1.（2022八年级上·全国·专题练习）用代入法解方程组 ；
3x+2y=−1
2.（2024七年级上·安徽蚌埠·阶段练习）用加减消元法解下列方程组：
(1)¿； (2)¿．
{2x+ y=18①)
3．解方程组： ．
x−3 y=2②
4．解方程组：
{ x=2y )
{2x−4 y=1
)
(1) ； (2) 7 ．
3x−y=5 3x+2y=
25．解下列方程组：
{2x+ y=10) {2x+3 y=12)
(1) ； (2) ．
x=2y 2x−y=4
6．解下列方程组：
1
{ x−y=2 )
(1){ x= y+4 )； (2){ 3x−y=5 )； (3) 2 ．
4x+3 y=23 5 y−1=3x+10 3
x+ y−3=0
2
【题型2 解二元一次方程组-整体代入法】
{3x−2y=4①)
7．善于思考的小军在解方程组 时，采用了一种整体代换的解法．
6x−5 y=7②
解：将方程②变形，得6x−4 y−y=7，即2(3x−2y)−y=7．③把方程①代入③，得2×4−y=7，
{x=2)
解得y=1．把y=1代入①，得x=2,∴方程组的解为 ．
y=1
请你仿照小军的整体代换法解决以下问题：
{2x−3 y=5① )
(1)解方程组
5x−6 y=14②
(2)已知 满足方程组{4x2−2xy=7①)，求 的值．
x,y xy
2x2+xy=6②
{2x+5 y=3①
)
8．阅读材料：善于思考的小军在解方程 时，采用了一种“整体代换”的解法：解：将
4x+11y=5②
方程②变形：4x+10 y+ y=5，即2(2x+5 y)+ y=5③，把方程①代入③得：2×3+ y=5，
得y=−1，
将y=−1，代入①得x=4，
{ x=4 )
∴方程组的解为 ，
y=−1
请你解决以下问题：
{3x−2y=5①
)
(1)模仿小军的“整体代换”法解方程 ；
9x−4 y=19②
(2)已知 ， 满足方程组{3x2−2xy+12y2=47①)，求 的值．
x y x2+4 y2
x2+xy+4 y2=19②
{2x+5 y=3①
)
9．阅读材料：善于思考的小军在解方程组 时，采用了一种“整体代换”的解法：
4x+11y=5②
解：将方程②变形：4x+10 y+ y=5，即2(2x+5 y)+ y=5③
把方程①代入③得：2×3+ y=5,
∴y=−1，
所y=−1代入①得x=4，
{ x=4 )
∴方程组的解为 ，
y=−1
请你解决以下问题：
{3x−2y=5①
)
(1)模仿小军的“整体代换”法解方程组 ，
9x−4 y=19②
(2)已知 满足方程组{3x2−2xy+12y2=47①)，求 的值．
x,y x2+4 y2
2x2+xy+8 y2=36②
【题型3 解二元一次方程组-巧用换元法】
10．阅读探索：
材料一：解方程组{(a−1)+2(b+2)=6)时，采用了一种“换元法”的解法，解法如下：
2(a−1)+(b+2)=6{x+2y=6)
解：设a−1=x，b+2= y，原方程组可化为
2x+ y=6
{x=2) {a−1=2) {a=3)
解得 ，即 ，解得
y=2 b+2=2 b=0
{4x+10 y=6①)
材料二：解方程组 时，采用了一种“整体代换”的解法，解法如下：
8x+22y=10②
解：将方程②8x+20 y+2y=10，变形为2(4x+10 y)+2y=10③，把方程①代入③得，
{ x=4 )
2×6+2y=10，则y=−1；把y=−1代入①得，x=4，所以方程组的解为：
y=−1
根据上述材料，解决下列问题：
{(a −1 ) +2 (b +2 ) =4)
4 3
(1)运用换元法解求关于
a
，
b
的方程组： 的解；
(a ) (b )
2 −1 + +2 =5
4 3
(2)若关于
x
，
y
的方程组{a
1
x+b
1
y=c
1
)的解为{x=10)，求关于
m
，
n
的方程组
a x+b y=c y=6
2 2 2
{5a
1
(m−3)+3b
1
(n+2)=c
1
)的解．
5a (m−3)+3b (n+2)=c
2 2 2
{3x−2z+12y=47①)
(3)已知x、y、z，满足 ，试求z的值．
2x+z+8 y=36②
11．换元法是数学中的一种解题方法．若我们把其中某些部分看成一个整体，用一个新字母代替（即换
元）．则能使复杂的问题简单化．如：解二元一次方程组{2(x+ y)+3(x−y)=−2)，按常规思路解
x+ y−2(x−y)=3
{2a+3b=−2)
方程组计算量较大．可设x+ y=a，x−y=b，那么方程组可化为 ，从而将方程组简单
a−2b=3
化，解出a和b的值后，再利用x+ y=a，x−y=b解出x和y的值即可．
(1)请用换元法解方程组{3(2x+ y)−5(x+2y)=−20)．
−3(2x+ y)+2(x+2y)=−1(2)某食堂红烧肉a元/份，辣椒炒肉b元/份，土豆丝c元/份．5位同学一起去食堂吃饭，若3位同学都打
了红烧肉、辣椒炒肉和土豆丝，另外2位同学打红烧肉和土豆丝，5位同学共花费63元；若1位同学打
红烧肉、辣椒炒肉和土豆丝，另外4位同学打红烧肉和土豆丝，5位同学共花费51元．如果小肖同学和
小洁同学两人共打了两份红烧肉，一份辣椒炒肉，两份土豆丝，那么两人共需要付多少元？
12．解方程（组）：
{ x+2y=1 )
(1)
3x−2y=11
(2)阅读材料：善于思考的小明同学在解方程组{3(m+5)−2(n+3)=−1)时，采用了一种“整体换
3(m+5)+2(n+3)=7
元”的解法．
解：把m+5，n+3看成一个整体，设m+5=x，n+3= y，
{3x−2y=−1)
原方程组可化为 ，
3x+2y=7
{x=1) {m+5=1) {m=−4)
解得 ，∴ ∴原方程组的解为
y=2 n+3=2 n=−1
{3(x+ y)−4(x−y)=5
)
请仿照小明同学的方法，用“整体换元”法解方程组
x+ y x−y
+ =0
2 6
13．阅读材料：善于思考的乐乐同学在解方程组{3(m+5)−2(n+3)=−1)时，采用了一种“整体换元”
3(m+5)+2(n+3)=7
的解法，把m+5，n+3分别看成一个整体，设m+5=x，n+3= y，则原方程组可化为
{3x−2y=−1) {x=1) {m+5=1) {m=−4)
，解得 ，即 ，解得 ．
3x+2y=7 y=2 n+3=2 n=−1
请你模仿乐乐同学的“整体换元”的方法，解下列方程组：(1){3(x+ y)−2(6x−y)=1)；
(x+ y)+(6x−y)=7
x+ y x−y
{ + =7 )
(2) 2 3 ．
x+ y x−y
− =−1
3 4
【题型4遮挡问题】
{2x+ y=●) { x=2 )
14．方程组 的解为 ，则被●和▲遮盖的两个数分别为（ ）
x+ y=3 y=▲
A．5，1 B．1，3 C．2，3 D．2，4
{ 2x+ y=• ) {x=5 )
15．小亮求得方程组 的解为 ，由于不小心，滴上了两滴墨水，刚好遮住了两个数●
2x−y=12 y=★
和★，请你帮他找回这两个数，“●”“★”表示的数分别为（ ）
A．5，2 B．−8，2 C．8，−2 D．5，4
{2x+ y=◯) {x=2)
16．已知方程组 的解为 则被“○”和“ ”遮盖的两个数的和为 ．
x+ y=3 y=△
△
{2x+ y=◯) {x=2)
17．已知方程组 的解为 则被“○”和“ ”遮盖的两个数的和为 ．
x+ y=3 y=△
△
【题型5 已知方程组的解，求相关字母的值】
{ x=2 ) {x=0)
18.若 和 都是方程ax+ y=b的解，则a，b的值为（ ）
y=−1 y=3
A．a=−1，b=−3 B．a=−2，b=−3
C．a=2，b=3 D．a=1，b=3
19．若方程组{ax+(a−1)y=6)的解x、y 的值相等，则a的值为（ ）
4x+3 y=14
A．2 B．4 C．−2 D．1
{y−x=10)
20．若方程组 的解x，y满足2x−k= y，则k的值为（ ）
y=6x
A．−2 B．−4 C．−6 D．−8
{x+2y=a−1)
21．若关于x、y的方程组 的解满足x与y互为相反数，则a的值是（ ）
x−y=4A．−1 B．0 C．1 D．2
{x+2y=3a)
22．若关于x，y的方程组 的解满足x与y互为相反数，求a的值．
x−y=6
{2x+5 y=7)
23．已知二元一次方程组 的解也为关于x、y的方程ax+4 y=6的一个解，求a的值．
x+ y=2
{x+2y=m)
24．方程组 的解也是方程二元一次方程3x+2y=14的解，求m的值
x−y=4m
{x+2y=3m,)
25．已知关于x，y的方程组 的解也是方程x+ y=15的解，求m的值及原方程组的解．
x−y=9m
【题型5相同的解】
{3x−5 y=36) {2x+5 y=−26)
26．已知，关于x,y的二元一次方程组 与方程组 有相同的解．
bx+ay=−8 ax−by=−4
(1)求这两个方程组的相同解：
(2)求 的值．
(2a+b) 2025
{ax−y=−b) {x−ay=b)
27．已知关于x，y的二元一次方程组 与方程组 有相同的解
3x−y=0 2x−y=1
(1)求这两个方程组的相同解．
(2)求 的值．
(a+2b) 2024
{x+2y=10) {2x−y=5)
28．已知关于x，y的方程组 与 的解相同．
ax+by=1 bx+ay=6
(1)求这两个方程组的解；
(2)求4a2+b2的值．
{2x−3 y=3) {3x+2y=11)
29． 已知关于x，y的方程组 和 的解相同，求2a−b的
ax+by=1 ay−bx=3
值．30．已知关于x、y的方程组
{2x−3 y=3)
和
{3x+2y=11)
的解相同，求(3a+b) 2018的值
ax+by=−1 2ax+3by=3
【题型6错解】
{ax+by=2) { x=3 ) {x=−2)
31．甲乙两人同时解方程组 时，甲正确解得 ，乙因抄错c而解得 ，则a，c
cx−7 y=8 y=−2 y=2
的值是（ ）
A．¿ B．¿ C．¿ D．¿
{ax+5 y=15①) {x=2)
32．甲、乙两人在解方程组 时，甲看错了方程①中的a，解得 ，乙看错了方程②
4x=by−2② y=1
{x=5)
中的b，解得 ，求原方程组的正确解．
y=4
{ x−y=1−m )
33．已知关于x，y的方程组 ．若原方程组的解也是二元一次方程2x+ y=7的一个解，
x+2y=1+2m
求m的值．
{ax+5 y=15①) {x=−3)
34．乐乐，果果两人同解方程组 时，乐乐看错了方程①中的a，解得 ，果果看
4x=by−2② y=−1
错了方程②中的 b ，解得{x=5)，求 a2024+ ( − b ) 2025的值．
y=4 10
【题型8 二元一次方程组新定义问题】
35．对于任意有理数x、y，定义新运算：x※ y=ax+by−3（其中a、b是常数）．已知1※2=9，(−3)※3=6，则a+b的值为（ ）
A．3 B．7 C．11 D．15
36．对实数 ， 定义一种新运算 ，规定 （其中 ， 均为常数），例如：
x y f f (x,y)=(ax2+)bx)(x−y) a b
f (1,0)=1，f (2,1)=5．
(1)求a，b的值；
(2)求关于m，n的方程f (2,m)+f (3,n)=0的正整数解．
37．一些关于方程组的问题，求的结果不是每一个未知数的值，而是关于未知数的式子的值，如以下问题：
已知实数x，y满足3x−y=5①，2x+3 y=7②，求x−4 y和7x+5 y的值．本题的常规思路是将
①②两式联立组成方程组，解得x，y的值再代入欲求值的式子得到答案，常规思路运算量比较大．其
实，仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题还可以通过适当变形整体求得式子的值，如由
①－②可得x−4 y=−2，由①＋②×2可得7x+5 y=19．这样的解题思想就是通常所说的“整体思
想”．
(1)已知二元一次方程组¿，则x−y=______，x+ y=______；
(2)某班开展安全教育知识竞赛需购买奖品，买5支铅笔、3块橡皮、2本日记本共需36元，买9支铅
笔、5块橡皮、3本日记本共需58元，则购买1支铅笔、1块橡皮、1本日记本共需多少元？
(3)对于实数x，y，定义新运算：x※ y=ax+by+c，其中a，b，c是常数，等式右边是通常的加法
和乘法运算．已知1※4=16，1※5=20，求1※1的值．
38．【阅读感悟】
已知实数x、y满足¿，求5x+2y和4x−5 y的值．
本题常规思路是利用消元法求解方程组，解得x、y的值后，再代入需要求值的整式得到答案，常规思路运算量比较大．其实，仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题还可以通过适当变形，整
体求得代数式的值，如由①＋②可得5x+2y=12，由①×2−②可得4x−5 y=3，这样的解题思想
称为“整体思想”．
【解决问题】
{2x−y=3)
(1)已知二元一次方程组 ，求3x+ y和x−3 y的值；
x+2y=1
(2)有甲、乙、丙三种规格的钢条，已知甲种2根，乙种1根，丙种3根，共长23米：甲种4根，乙种
2根，丙种5根，共长40米，求1根丙种钢条是多少米？
(3)对于实数x、y，定义新运算：x∗y=ax+by+c，其中a、b、c是常数，等式右边是通常的加法和
乘法运算．已知2∗3=6，3∗5=7，请直接写出运算：(−1)∗(−3)的结果．
39．对于有理数x，y，定义新运算：x∗y=2x−y，x⊗y=2x+ y，其中a，b是常数.例如1∗1=1，
3⊗2=8．
{x∗y=4−m)
(1)若关于x，y的方程组 的解也满足方程x+ y=5，求m的值；
x⊗y=5m
(2)若关于x，y的方程组{a
1
x∗b
1
y=c
1
)的解为{x=4)，求关于x，y的方程组
a x⊗b y=c y=5
2 2 2
{a
1
(x+ y)∗b
1
(x−y)=c
1
)的解．
a (x+ y)⊗b (x−y)=c
2 2 240．对于有理数x，y，定义新运算：x∗y=ax+by，x⊗y=ax−by，其中a，b是常数．已知
1∗1=1，3⊗2=8．
(1)求a，b的值；
{x∗y=4−m)
(2)若关于x，y的方程组 的解也满足方程x+ y=5，求m的值；
x⊗y=5m
(3)若关于x，y的方程组{2a
1
x−b
1
y=c
1
)的解为{x=4)，求关于x，y的方程组
2a x+b y=c y=5
2 2 2
{2a
1
(x+ y)x−b
1
(x−y)=c
1
)的解．
2a (x+ y)x+b (x−y)=c
2 2 2
