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专题07 利用勾股定理解决最值问题（解析版）
类型 一 垂线段最短
（一）通过轴对称转化为“垂线段最短”
1．（2021•武进区自主招生）如图，在锐角△ABC中，AB＝6，∠BAC＝45°，∠BAC的平分线交BC于点
D，M，N分别是AD和AB上的动点，则BM+MN的最小值是（ ）
A．6❑√2 B．6 C．3❑√2 D．3
【思路引领】作BH⊥AC，垂足为H，交AD于M′点，过M′点作M′N′⊥AB，垂足为N′，则
BM′+M′N′为所求的最小值，再根据AD是∠BAC的平分线可知M′H＝M′N′，再由锐角三角函
数的定义即可得出结论．
【解答】解：如图，作BH⊥AC，垂足为H，交AD于M′点，过M′点作M′N′⊥AB，垂足为
N′，则BM′+M′N′为所求的最小值．
∵AD是∠BAC的平分线，
∴M′H＝M′N′，
∴BH是点B到直线AC的最短距离（垂线段最短），
∵AB＝6，∠BAC＝45°，
❑√2
∴BH＝AB•sin45°＝6× =3❑√2．
2
∵BM+MN的最小值是BM′+M′N′＝BM′+M′H＝BH＝3❑√2．
故选：C．
【总结提升】本题考查的是轴对称﹣最短路线问题，解答此类问题时要从已知条件结合图形认真思考，
通过角平分线性质，垂线段最短，确定线段和的最小值．2．（2020•皇姑区一模）如图，在△ABC中，∠A＝45°，∠B＝60°，AB＝4，P是BC边上的动点（不与
B，C重合），点P关于直线AB，AC的对称点分别为M，N，则线段MN长的取值范围是 2❑√6≤MN
＜ 4❑√2 ．
【思路引领】连接AM、AN、AP，由对称性可知AM＝AP＝AN、△MAN等腰直角三角形，进而即可得
出MN=❑√2AP，再根据AP的取值范围即可得出线段MN长的取值范围．
【解答】解：连接AM、AN、AP，如图所示．
∵点P关于直线AB，AC的对称点分别为M，N，
∴AM＝AP＝AN，∠MAB＝∠PAB，∠NAC＝∠PAC，
∴△MAN等腰直角三角形，
∴MN=❑√2AM=❑√2AP，
∴2❑√3≤AP＜4，
∴2❑√6≤MN＜4❑√2．
故答案为：2❑√6≤MN＜4❑√2．
【总结提升】本题考查了轴对称的性质，等腰直角三角形的判定和性质，解题的关键是证得△AMN是
等腰直角三角形．
3．（2021秋•崇川区月考）如图，在矩形ABCD中，AB＝10，BC＝5．若点M、N分别是线段AC，AB上
的两个动点，当BM+MN取最小值时△BMN的周长为 1 2 ．【思路引领】作点B关于AC的对称点F，作FN⊥AB于N，根据“将军饮马”及“垂线段最短”可知：
△BMN周长最小值是FN+BN，然后证明△BCE∽△FNB∽△ACB，进而求得FN和BN的值．
【解答】解：如图，
作点B关于AC的对称点F，作FN⊥AB，交AC于M，则MN+MN最小，
∴∠AEC＝∠FNB＝90°，
∴∠BAC+∠ABE＝90°，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC＝90°，
∴∠CBE+∠ABE＝90°，
∴∠CBE＝∠BAC，
∵∠ANF＝∠ABC＝90°，
∴FN∥BC，
∴∠F＝∠CBE，
∴△FBN∽△ACB∽△BCE，
BE BC BN FN FB
∴ = ， = = ，
AB AC BC AB AC
∵AB＝10，AC＝5，
∴AC 5 ，
=❑√102+52= ❑√5
BE 5
∴ = ，
10 5❑√5
∴BE＝2❑√5，
∴BF＝2BE＝4❑√5，
BN FN 4❑√5
∴ = = ，
5 10 5❑√5
∴FN＝8，BN＝4，
∴当BM+MN最小时，△MBN的周长是4+8＝12，故答案为：12．
【总结提升】本题考查了轴对称性质，垂线段最短性质，相似三角形判定和性质等知识，解决问题的关
键是熟悉“将军饮马”，“垂线段最短”作出作出图形．
4．（2020•浙江自主招生）如图，在△ABC中，∠A＝60°，∠C＝75°，AB＝10，D，E，F分别在AB，
BC，CA上，则△DEF周长的最小值为 5❑√6 ．
【思路引领】分别作点E关于AB，AC的对称点P，Q．连接AE，AP，AQ，DP，FQ，PQ，根据两点
之间线段最短以及垂线段最短，即可得出△DEF周长的最小值．
【解答】解：分别作点E关于AB，AC的对称点P，Q．
则DE＝PD，EF＝FQ．
连接AE，AP，AQ，DP，FQ，PQ，
则∠PAQ＝120°，且AP＝AE＝AQ，从而∠APQ＝30°，
故PQ=❑√3AP．
过点A作AH⊥BC于点H，则AH=AB⋅sinB=10×sin45°=5❑√2，
于是△DEF的周长为：l=DE+DF+EF=PD+DF+FQ≥PQ=❑√3AP=❑√3AE≥❑√3AH=5❑√6．
故答案为：5❑√6．
【总结提升】本题主要考查了最短距离问题，凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，
结合轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点．对“动点”进行两次轴对称变换是解决
问题的难点．
（二）通过证明点的运动路径为线段或直线，转化为“垂线段最短”
5．（2021•罗湖区模拟）如图，△ABC是等边三角形，AB＝4，E是AC的中点，D是直线BC上一动点，线段ED绕点E逆时针旋转90°，得到线段EF，当点D运动时，AF的最小值是 ❑√3+ 1 ．
❑√3 ❑√3
【思路引领】作DM⊥AC于M，FN⊥AC于N，如图，设DM＝x，则CM= x，可计算出EM=−
3 3
x+2，再利用旋转的性质得到ED＝EF，∠DEF＝90°，证明△EDM≌△FEN，当D在BC上时，DM＝
❑√3 ❑√3 4
EN＝x，EM＝NF=− x+2，接着利用勾股定理得到AF2＝（− x+2）2+（2+x）2，配方得到AF2=
3 3 3
3−❑√3
（x+ ）2+4+2❑√3，此时AF2没有最小值，当D在BC的延长线上时，DM＝EN＝x，EM＝NF
2
❑√3 ❑√3 4 3−❑√3
= x+2，在Rt△AFN中，AF2＝（ x+2）2+（2﹣x）2= （x− ）2+4+2❑√3，然后利用非负数
3 3 3 2
的性质得到AF的最小值．
【解答】解：作DM⊥AC于M，FN⊥AC于N，如图，设DM＝x，
❑√3 ❑√3
在Rt△CDM中，CM= DM= x，
3 3
❑√3
而EM+ x＝2，
3
❑√3
∴EM=− x+2，
3
∵线段ED绕点E逆时针旋转90°，得到线段EF，
∴ED＝EF，∠DEF＝90°，
易得△EDM≌△FEN，
当D在BC上时，
❑√3
∴DM＝EN＝x，EM＝NF=− x+2，
3
❑√3 4 3−❑√3
在Rt△AFN中，AF2＝（− x+2）2+（2+x）2= （x+ ）2+4+2❑√3，
3 3 2此时AF2没有最小值，
当D在BC的延长线上时，
❑√3
∴DM＝EN＝x，EM＝NF= x+2，
3
❑√3 4 3−❑√3
在Rt△AFN中，AF2＝（ x+2）2+（2﹣x）2= （x− ）2+4+2❑√3，
3 3 2
3−❑√3
当x= 时，AF2有最小值4+2❑√3，
2
∴AF的最小值为❑√4+2❑√3=❑√3+1．
故答案为❑√3+1．
【总结提升】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹
角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了等边三角形的性质．
6．（2023•武山县一模）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠CAB＝30°，BC＝6，D为AB上一动点（不
与点A重合），△AED为等边三角形，过D点作DE的垂线，F为垂线上任一点，G为EF的中点，则
线段CG长的最小值是 9 ．
【思路引领】首先连接AG，DG，根据线段中垂线性质定理逆定理得出AG为线段DE的中垂线，然后
得出∠GAD＝30°，而后证明∠CAG＝60°即∠CAG为定值，得出G的运动轨迹，再根据垂线段最短即
可得出CG的最小值．
【解答】解：连接DG，AG，AG交DE于H，
∵∠FDE＝90°，G为EF中点，1
∴DG= EF=≥=FG，
2
∵△ADE为等边三角形，
∴AD＝AE，∠DAE＝60°，
∵AD＝AE，GD＝GE，
∴AG是DE的中垂线（线段中垂线性质定理逆定理），
∴AH⊥DE，
∴∠DAH＝∠EAH＝30°，
∴∠CAG＝∠BAC+∠DAH＝60°，
∴G点在过点A，与AC所交角60°的直线上运动，
过点C作CG'⊥AG于点G'，则CG'为所求，
∵BC＝6，∠BAC＝30°，∠BCA＝90°，
BC
∴tan∠BAC= ，
AC
❑√3 6
∴ = ，
3 AC
∴AC＝6❑√3，
∵∠CAG'＝60°，∠CG'A＝90°，
CG′
∴sin∠CAG'= ，
AC
❑√3 CG′
∴ = ，
2 6❑√3
∴CG'＝9，
故答案为：9．
【总结提升】本题考查含30度角的直角三角形和等边三角形的性质，利用已知得出点的轨迹是解本题
的突破口，利用垂线段最短求出CG的最小值是解本题的关键．类型二 两点之间，线段最短
（一）通过轴对称转化为“两点之间，线段最短”及延伸
8．如图，已知∠AOB＝30°，点P，Q分别是边OA，OB上的定点，OP＝3，OQ＝4，点M，N分别是边
OA，OB上的动点，则折线P﹣N﹣M﹣Q长度的最小值是（ ）
A．5 B．7 C．1 D．10
【思路引领】作P关于OB的对称点P′，作Q关于OA的对称点Q′，连接P′Q′，即为折线P﹣N
﹣M﹣Q长度的最小值．
【解答】解：作P关于OB的对称点P′，作Q关于OA的对称点Q′，
连接P′Q′，即为折线P﹣N﹣M﹣Q长度的最小值．
根据轴对称的定义可知：∠NOP′＝∠AOB＝30°，∠OPP′＝60°，
∴△OPP′为等边三角形，△OQQ′为等边三角形，
∴∠P′OQ′＝90°，
∴在Rt△P′OQ′中，
P′Q′ 5．
=❑√32+42=
故选：A．
【总结提升】本题考查了轴对称﹣﹣最短路径问题，根据轴对称的定义，找到相等的线段，得到等边三
角形是解题的关键．
8．（2021秋•上高县月考）如图1，A，B是直线l同旁的两个定点，在直线l上确定一点，使PA+PB的值
最小．方法：作点A关于直线l的对称点A’，连接A’B交l于点P，则PA+PB＝A’B的值最小．（不必证明）应用：
（1）如图2，正方形的边长为2，E为AB的中点，P是AC上一动点．连接BD，由正方形的对称性可
知，B与D关于直线AC对称，连接ED交于AC于P，则PB+PE的最小值是 ❑√5 ．
（2）如图3，∠AOB＝45°，P是∠AOB内一点，PO＝10，Q，R分别是OA，OB上的动点，求△PQR
周长的最小值．
【思路引领】（1）由题意易得PB+PE＝PD+PE＝DE，在△ADE中，根据勾股定理求得即可；
（2）作出点P关于直线OA的对称点M，关于直线OB的对称点N，连接MN，它分别与OA，OB的交
点Q、R，这时三角形PEF的周长＝MN，只要求MN的长就行了．
【解答】解：（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴AC垂直平分BD，
∴PB＝PD，
由题意易得：PB+PE＝PD+PE＝DE，
在△ADE中，根据勾股定理得，DE ；
=❑√22+12=❑√5
故答案为：❑√5．
（2）分别作点P关于OA、OB的对称点M、N，连接OM、ON、MN，MN交OA、OB于点Q、R，连
接PR、PQ，此时△PQR周长的最小值等于MN．
由轴对称性质可得，OM＝ON＝OP＝5，∠MOA＝∠POA，∠NOB＝∠POB，
∴∠MON＝2∠AOB＝2×45°＝90°，
在Rt△MON中，MN 10 ，
=❑√OM2+ON2=❑√102+102= ❑√2
即△PQR周长的最小值等于10❑√2．【总结提升】此题综合性较强，主要考查有关轴对称﹣最短路线的问题，综合应用了正方形、圆、等腰
直角三角形的有关知识．
（二）通过平移转化为“两点之间，线段最短”
9．（2023春•鞍山期末）如图，河的两岸有A，B两个水文观测点，为方便联络，要在河上修一座木桥
MN（河的两岸互相平行，MN垂直于河岸），现测得A，B两点到河岸的距离分别是5米，4米，河宽
3米，且A，B两点之间的水平距离为12米，则AM+MN+NB的最小值是 1 8 米．
【思路引领】过点A作AP⊥FG，垂足为P，在AP上截取AH＝MN＝3米，连接HB交DE于点N，过
点N作NM⊥FG，垂足为M，过点B作BC⊥AP，交AP的延长线于点C，交DE于点Q，根据题意可得：
AH＝MN，AH∥MN，从而可得四边形AHNM是平行四边形，进而可得AM＝HN，然后根据两点之间，
线段最短可得此时AM+BN的值最小，且最小值即为HB的长，最后在Rt△HBC中，利用勾股定理求出
HB的长，从而进行计算即可解答．
【解答】解：过点A作AP⊥FG，垂足为P，在AP上截取AH＝MN＝3米，连接HB交DE于点N，过
点N作NM⊥FG，垂足为M，过点B作BC⊥AP，交AP的延长线于点C，交DE于点Q，
由题意得：AH＝MN，AH∥MN，
∴四边形AHNM是平行四边形，∴AM＝HN，
∴AM+BN＝HN+BN＝HB，
此时AM+BN的值最小，且最小值即为HB的长，
在Rt△HBC中，BC＝12米，HC＝AC﹣AH＝5+3+4﹣3＝9（米），
∴HB 15（米），
=❑√BC2+HC2=❑√122+92=
∴AM+BN的最小值为15米，
∴AM+MN+NB的最小值＝15+3＝18米，
故答案为：18．
【总结提升】本题考查了勾股定理的应用，平行四边形的判定与性质，轴对称﹣最短路线问题，根据题
目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
（三）通过构造全等转化为“两点之间，线段最短”
10．（2023秋•鲅鱼圈区期末）如图，AD为等腰△ABC的高，其中∠ACB＝50°，AC＝BC，E，F分别为
线段AD，AC上的动点，且AE＝CF，当BF+CE取最小值时，∠AFB的度数为 95 ° ．
【思路引领】如图，作辅助线，构建全等三角形，证明△AEC≌△CFH，得CE＝FH，将CE转化为
FH，与BF在同一个三角形中，根据两点之间线段最短，确定点 F的位置，即F为AC与BH的交点时，
BF+CE的值最小，求出此时∠AFB＝95°．
【解答】解：∵∠ACB＝50°，AD⊥BC，
∴∠CAD＝90°﹣50°＝40°，
如图1，作CH⊥BC，且CH＝BC，连接BH交AD于M，连接FH，
∵AC＝BC，
∴AC＝CH，
∵∠BCH＝90°，∠ACB＝50°，
∴∠ACH＝90°﹣50°＝40°，
∴∠DAC＝∠ACH＝40°，
∵AE＝CF，
在△AEC与△CFH中，{
AC=CH
)
∠CAE=∠HCF ，
AE=CF
∴△AEC≌△CFH（SAS），
∴CE＝FH，BF+CE＝BF+FH，
∴当F为AC与BH的交点时，如图2，BF+CE的值最小，
此时∠FBC＝45°，∠FCB＝50°，
∴∠AFB＝95°，
故答案为：95°．
【总结提升】此题考查全等三角形的性质和判定，最短路径问题，关键是作出辅助线，当BF+CE取得
最小值时确定点F的位置．
（四）费马点问题
11．（2023秋•慈溪市月考）如图，在△MNG中，MN＝4❑√2，∠M＝75°，MG＝3．点O是△MNG内一点，
则点O到△MNG三个顶点的距离和的最小值是 ❑√65 ．【思路引领】以 MG 为边作等边△MGD，以 OM 为边作等边△OME．连接 ND，可证
△GMO≌△DME，可得GO＝DE，则MO+NO+GO＝NO+OE+DE，即当D、E、O、N四点共线时，
MO+NO+GO值最小，最小值为ND的长度，根据勾股定理先求得MF、DF，然后求ND的长度，即可
求MO+NO+GO的最小值．
【解答】解：如图，以MG为边作等边△MGD，以OM为边作等边△OME．连接ND，作DF⊥NM，交
NM的延长线于F．
∵△MGD和△OME是等边三角形，
∴OE＝OM＝ME，∠DMG＝∠OME＝60°，MG＝MD，
∴∠GMO＝∠DME，
在△GMO和△DME中，
{
OM=ME
)
∠GMO=∠DME ，
MG=MD
∴△GMO≌△DME（SAS），
∴OG＝DE，
∴NO+GO+MO＝DE+OE+NO，
∴当D、E、O、N四点共线时，NO+GO+MO值最小，
∵∠NMG＝75°，∠GMD＝60°，
∴∠NMD＝135°，∴∠DMF＝45°，
∵MG＝MD＝3，
❑√2 3❑√2
∴MF＝DF= MD= ，
2 2
3❑√2 11❑√2
∴NF＝MN+MF＝4❑√2+ = ，
2 2
∴ND √ 11❑√2 3❑√2 ，
=❑√N F2+DF2=❑( ) 2+( ) 2=❑√65
2 2
∴MO+NO+GO最小值为❑√65，
故答案为：❑√65．
【总结提升】本题考查了旋转的性质，等边三角形的性质，勾股定理，最短路径问题，构造等边三角形
是解答本题的关键．
类型三 两边之和大于第三边，两边之差小于第三边
12．如图△ABC中，AB＝AC，P为外部一点，且PA＝2，PC＝1，若∠BAC＝120°，则BP的最大值为多少？
【思路引领】作∠PAR＝120°，截取AR＝AP，连接BR，PR，先证明△ABR≌△ACP（SAS），可得BR
❑√3
＝CP＝1，过点A作AD⊥RP于D，可证得△ARP为等腰三角形，利用解直角三角形可得：DP=
2
AP，进而可得RP＝2❑√3，利用三角形三边关系即可得出答案．
【解答】解：如图，作∠PAR＝120°，截取AR＝AP，连接BR，PR，
∵∠BAR＝∠BAP﹣∠PAR，∠CAP＝∠BAP﹣∠BAC，∠BAC＝∠PAR＝120°，
∴∠BAR＝∠CAP，
在△ABR和△ACP中，
{
AB=AC
)
∠¯=∠CAP ，
AR=AP
∴△ABR≌△ACP（SAS），
∴BR＝CP＝1，
过点A作AD⊥RP于D，∵AR＝AP，
∴△ARP为等腰三角形，
∵∠PAR＝120°，
∴∠ARP＝∠APR＝30°，
DP ❑√3
在Rt△ADP中，cos∠APR＝cos30°= = ，
AP 2
❑√3
∴DP= AP，
2
∵AP＝2，
∴RP＝2DP=❑√3AP＝2❑√3，
在△BPR中，RP﹣BR＜BP＜RP+BR，
∴RP﹣BR＝2❑√3−1，RP+BR＝2❑√3+1，
当B，R，P共线时可取得最大值，
∴BP的最大值为2❑√3+1．
【总结提升】本题考查了全等三角形判定和性质，等腰三角形性质，三角函数，三角形三边关系等，添
加辅助线构造全等三角形是解题关键．
