文档内容
专题 02 角度计算的经典模型（八大题型）
【题型01：双垂直模型】
【题型02：A字模型】
【题型03：8字模型】
【题型04：飞镖模型】
【题型05：风筝模型】
【题型06：两内角角平分线模型】
【题型07：两外角角平分线模型】
【题型08：内外角平分线模型】
【题型01：双垂直模型】
【条件】∠B=∠D=∠ACE=90°.
【结论】∠BAC=∠DCE，∠ACB=∠CED.
【典例1】AD、BE为△ABC的高，AD、BE相交于H点，∠C＝50°，求∠BHD．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：∵AD是△ABC的高，
∴∠BHD+∠HBD＝90°，
∵BE是△ABC的高，∴∠HBD+∠C＝90°，
∴∠BHD＝∠C，
∵∠C＝50°，
∴∠BHD＝50°．
【变式1-1】如图所示，在△ABC中，CD、BE分别是AB、AC边上的高，并且CD、BE交
于点P，若∠A＝60°，则∠BPC等于（ ）
A．90° B．120° C．150° D．160°
【答案】B
【解答】解：∵∠A＝60°，BE⊥AC，
∴∠ABE＝90°﹣60°＝30°，
又∵CD⊥AB，
∴∠BDP＝90°，
∴∠BPC＝90°+∠ABE＝120°．
故选：B．
【变式1-2】在△ABC中，已知∠ABC＝50°，∠ACB＝60°，BE是AC上的高，CF是AB上
的高，H是BE和CF的交点．求∠ABE和∠BHC的度数．
【答案】20°，110°．
【解答】解：∵BE是AC上的高，
∴∠AEB＝90°，
∵∠ABC＝50°，∠ACB＝60°，
∴∠A＝180°﹣60°﹣50°＝70°，
∴∠ABE＝180°﹣90°﹣70°＝20°，∵CF是AB上的高，
∴∠AFC＝90°，
∴∠ACF＝180°﹣90°﹣70°＝20°，
∵∠ABE＝20°，
∴∠EBC＝∠ABC﹣∠ABE＝50°﹣20°＝30°，
∵∠ACF＝20°，∠ACB＝60°，
∴∠BCH＝40°，
∴∠BHC＝180°﹣40°﹣30°＝110°．
【题型02：A字模型】
图1
【条件】图1中三种情况
【结论】∠1=∠2
【证明】略
图2
【结论】∠1+∠2=∠3+∠4
【证明】根据内角和定理，∠1+∠2+∠A=∠3+∠4+∠A=180°
∴∠1+∠2=∠3+∠4图3
【结论】∠1+∠2=180°+∠A
【证明】∠1+∠2=（∠AED+∠A）+（∠ADE+∠A）=180°+∠A
【典例2】如图，在△ABC中，E，G分别是AB，AC上的点，F，D是BC上的点，连接
EF，AD，DG，已知AD∥EF，∠1+∠2＝180°．
（1）求证：AB∥DG；
（2）若DG是∠ADC的平分线，∠B＝35°，求∠2的度数．
【答案】（1）证明过程见解答；
（2）145°．
【解答】（1）证明：∵AD∥EF，
∴∠BAD+∠2＝180°．
∵∠1+∠2＝180°，
∴∠BAD＝∠1．
∴AB∥DG；
（2）解：∵DG是∠ADC的平分线，且AB∥DG，
∴∠1＝∠GDC＝∠B＝35°，
∴∠1＝∠DAB＝35°，
∵AD∥EF，
∴∠2＝180°﹣∠DAB＝180°﹣35°＝145°．【变式2-1】探索归纳：
（1）如图 1，已知△ABC 为直角三角形，∠A＝90°，若沿图中虚线剪去∠A，则
∠1+∠2＝ 270 ° ．
（2）如图2，已知△ABC中，∠A＝40°，剪去∠A后成四边形，则∠1+∠2＝ 220 °
．
（3）如图2，根据（1）与（2）的求解过程，你归纳猜想∠1+∠2与∠A的关系是
180°+ ∠ A ．
（4）如图3，若没有剪掉∠A，而是把它折成如图3形状，试探究∠1+∠2与∠A的关
系，并说明理由．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）：∵四边形的内角和为360°，直角三角形中两个锐角和为90°
∴∠1+∠2＝360°﹣（∠A+∠B）＝360°﹣90°＝270°．
∴∠1+∠2等于270°．
故答案为：270°；
（2）∠1+∠2＝180°+40°＝220°，
故答案是：220°；
（3）∠1+∠2与∠A的关系是：∠1+∠2＝180°+∠A；
故答案为：180°+∠A；
（4）∵△EFP是由△EFA折叠得到的，
∴∠AFE＝∠PFE，∠AEF＝∠PEF∴∠1＝180°﹣2∠AFE，∠2＝180°﹣2∠AEF
∴∠1+∠2＝360°﹣2（∠AFE+∠AEF）
又∵∠AFE+∠AEF＝180°﹣∠A，
∴∠1+∠2＝360°﹣2（180°﹣∠A）＝2∠A．
【变式2-2】如图，已知△ABC为直角三角形，∠C＝90°，若沿图中虚线剪去∠C，则
∠1+∠2等于（ ）
A．90° B．135° C．270° D．315°
【答案】C
【解答】解：∵四边形的内角和为360°，直角三角形中两个锐角和为90°
∴∠1+∠2＝360°﹣（∠A+∠B）＝360°﹣90°＝270°．
故选：C．
【变式2-3】如图，△ABC中，∠A=65°，直线DE交AB于点D，交AC于点E，则
∠BDE+∠CED=（ ）．
A．180° B．215° C．235° D．245°
【答案】D
【分析】
根据三角形内角和定理求出∠ADE+∠AED，根据平角的概念计算即可．
【详解】
解：∵∠A=65°，
∴∠ADE+∠AED=180°−65°=115°，
∴∠BDE+∠CED=360°−115°=245°，
故选：D．【点睛】本题考查的是三角形内角和定理的应用，掌握三角形内角和等于180°是解题的关
键．
【变式2-4】如图是某建筑工地上的人字架，若∠1=120°，那么∠3−∠2的度数为
．
【答案】60°
【分析】根据平角的定义求出∠4，再利用三角形的外角的性质即可解决问题．
【详解】解：如图
∵∠1+∠4=180°，∠1=120°，
∴∠4=60°，
∵∠3=∠2+∠4，
∴∠3−∠2=∠4=60°，
故答案为：60°．
【点睛】本题考查三角形外角的性质、平角的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知
识，属于中考基础题．
【题型03：8字模型】
【条件】AE、BD相交于点C
【结论】∠A+∠B=∠D+∠E.
【典例3】（1）已知：如图（1）的图形我们把它称为“8字形”，试说明：∠A+∠B=∠C+∠D．
（2）如图（2），AP，CP分别平分∠BAD，∠BCD，若
∠ABC=36°，∠ADC=16°．求∠P的度数．
（3）如图（3），直线AP平分∠BAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，猜想∠P与
∠B、∠D的数量关系是______；
（4）如图（4），直线AP平分∠BAD的外角∠FAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，
猜想∠P与∠B、∠D的数量关系是______．
【答案】（1）见解析；
（2）26°；
1
（3）∠P=90°+ (∠B+∠D)；
2
1
（4）∠P=180°− (∠B+∠D)
2
【分析】（1）根据三角形的内角和等于180°和对顶角的性质即可得证；
{x+∠ABC=y+∠P)
（2）设∠BAP=∠PAD=x，∠BCP=∠PCD=y， 解方程即可
x+∠P=y+∠ADC
得到答案；
（3）根据直线AP平分∠BAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，得到
1 1
∠PAB=∠PAD= ∠BAD，∠PCB=∠PCE= ∠PCD从而可以得到
2 2
180°−2(∠PAB+∠PCB)+∠D=∠B，再根据∠P+∠PAD=∠PCD+∠D，
∠BAD+∠B=∠BCD+∠D得到∠P−∠B=∠PAD+∠PCB=∠PAB+∠PCB即可
求解；
（4）连接PB，PD,求得∠APC+∠ABC+∠PCB+∠PAB=360°，
∠APC+∠ADC+∠PCD+∠PAD=360°，再根据∠PCE+∠PCD=180°，∠PAB+∠PAF=180°，∠FAP=∠PAO，∠PCE=∠PCB，即可求解．
【详解】解：（1）如图.
∵∠A+∠B+∠AOB=180° ∠C+∠D+∠COD=180°
， ，
∴∠A+∠B+∠AOB=∠C+∠D+∠COD．
∵∠AOB=∠COD，
∴∠A+∠B=∠C+∠D；
（2）如图.
∵AP CP ∠BAD ∠BCD
， 分别平分 ， ，设
∠BAP=∠PAD=x，∠BCP=∠PCD=y，
{x+∠ABC=y+∠P)
则有 ，
x+∠P=y+∠ADC
∴∠ABC−∠P=∠P−∠ADC，
1 1
∴∠P= (∠ABC+∠ADC)= (36°+16°)=26°
2 2
（3）如图.
∵ AP ∠BAD CP ∠BCD ∠BCE
直线 平分 ， 平分 的外角 ，
1 1
∴∠PAB=∠PAD= ∠BAD，∠PCB=∠PCE= ∠BCE，
2 2
∴2∠PAB+∠B= 180°−2∠PCB+∠D，
∴180°−2(∠PAB+∠PCB)+∠D=∠B∵∠P+∠PAD=∠PCD+∠D，∠BAD+∠B=∠BCD+∠D
∴∠P+∠PAD−∠BAD−∠B=∠PCD−∠BCD
∴∠P−∠PAB−∠B=∠PCB,
∴∠P−∠B=∠PAB+∠PCB
∴180°−2(∠P−∠B)+∠D=∠B，
1
即∠P= 90°+ (∠B+∠D)．
2
（4）连接PB，PD
∵ AP ∠BAD ∠FAD CP ∠BCD
直线 平分 的外角 ， 平分 的外角
∠BCE，
∴∠FAP=∠PAO，∠PCE=∠PCB，
∵∠APB+∠PBA+∠PAB=180°，∠PCB+∠PBC+∠BPC=180°
∴∠APC+∠ABC+∠PCB+∠PAB=360°
同理得到：∠APC+∠ADC+∠PCD+∠PAD=360°
∴2∠APC+∠ABC+∠ADC+∠PCB+∠PAB+∠PCD+∠PAD=720°
∴2∠APC+∠ABC+∠ADC+∠PCE+∠PAB+∠PCD+∠PAF=720°
∵∠PCE+∠PCD=180°，∠PAB+∠PAF=180°
∴2∠APC+∠ABC+∠ADC=360°，
1
∴∠APC= 180°− (∠ABC+∠ADC)
2
【点睛】本题主要考查了角平分线的定义，三角形内角和定理，解题的关键在于能够熟练
掌握相关知识进行求解．
【变式3-1】如图，∠1=60°，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=（ ）A．240° B．280° C．360° D．540°
【答案】A
【分析】根据三角形内角和定理得到∠B与∠C的和，然后在五星中求得∠1与另外四个角
的和，加在一起即可．
【详解】解：由三角形外角的性质得：∠3=∠A+∠E，∠2=∠F+∠D，
∵∠1+∠2+∠3=180°，∠1=60°，
∴∠2+∠3=120°，
即：∠A+∠E+∠F+∠D=120°，
∵∠B+∠C=120°，
∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=240°．
故选A．
【点睛】本题考查了三角形的外角和三角形的内角和的相关知识，解决本题的关键是将题
目中的六个角分成两部分来分别求出来，然后再加在一起．
【变式3-2】如图，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H+∠I＝ ．
【答案】900°
【分析】根据多边形的内角和，可得答案．
【详解】解：连EF，GI，如图
，
∵6边形ABCDEFK的内角和＝（6－2）×180°＝720°，∴∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＝720°－（∠1＋∠2），
即∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋（∠1＋∠2）＝720°，
∵∠1＋∠2＝∠3＋∠4，∠5＋∠6＋∠H＝180°，
∴∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F∠H＋（∠3＋∠4）＝900°，
∴∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F（∠3＋∠4）＋∠5＋∠6＋∠H＝720°＋180°，
∴∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠G＋∠H＋∠I＝900°，
故答案为：900°．
【点睛】本题考查了n边形的内角和定理：n边形的内角和为（n－2）×180°（n≥3的整
数）．
【变式3-3】如图，已知AB∥CD,∠B=∠D，CD与AE相交于F．
(1)求证：AD∥BC；
(2)若∠B=50°，AE平分∠BAD，求∠DFE的度数．
【答案】(1)见解析；
(2)115°．
【分析】本题考查平行线的判定和性质，与角平分线有关的计算：
（1）AB∥CD，得到∠B=∠DCE，推出∠D=∠DCE，即可得证；
（2）平行线的性质求出∠BAD的度数，角平分线求出∠DAE=65°，再利用三角形的外
角求解即可．
【详解】（1）证明：∵AB∥CD，
∴∠B=∠DCE，
∵∠B=∠D，
∴∠D=∠DCE，
∴AD∥BC，
（2）∵AD∥BC，
∴∠BAD=180°−∠B=180°−50°=130°，
∵AE平分∠BAD，∴∠DAE=65°，
∵∠D=∠B=50°，
∴∠DFE=∠D+∠EAD=50°+65°=115°．
【变式3-4】已知：如图，FE∥OC,AC和BD相交于点O，F是OD上一点，且
∠1=∠A．
(1)求证：AB∥DC；
(2)若∠B=30°,∠1=65°，求∠OFE的度数．
【答案】(1)见解析
(2)95°
【分析】本题考查了平行线的性质和判定，三角形外角的性质的应用：
（1）根据平行线的性质和已知得出∠A=∠C，根据平行线的判定推出即可；
（2）根据平行线的性质求出∠D，根据三角形的外角性质推出即可．
【详解】（1）证明：∵FE∥OC，
∴∠1=∠C，
∵∠1=∠A，
∴∠A=∠C，
∴AB∥DC；
（2）解：∵AB∥DC，
∴∠D=∠B，
∵∠B=30°，
∴∠D=30°，
∵∠OFE是△≝¿的外角，
∴∠OFE=∠D+∠2，
∵∠1=65°，
∴∠OFE=30°+65°=95°．【变式3-5】如图，BP平分∠ABC，交CD于点F，DP平分∠ADC交AB于点E，AB与
CD相交于点G，∠A=42°．
（1）若∠ADC=60°，求∠AEP的度数；
（2）若∠C=38°，求∠P的度数．
【答案】（1）72°；（2）40°．
1
【分析】（1）根据角平分线的定义可得∠ADP= ∠ADC ，然后利用三角形外角的性质
2
即可得解；
（2）根据角平分线的定义可得∠ADP=∠PDF，∠CBP=∠PBA，再根据三角形的内角和定理
可得∠A+∠ADP=∠P+∠ABP，∠C+∠CBP=∠P+∠PDF，所以∠A+∠C=2∠P，即可得解．
【详解】解：（1）∵DP平分∠ADC，
1
∴∠ADP=∠PDF= ∠ADC，
2
∵∠ADC=60°，
∴∠ADP=30°，
∴∠AEP=∠ADP+∠A=30°+42°=72°；
（2）∵BP平分∠ABC，DP平分∠ADC，
∴∠ADP=∠PDF，∠CBP=∠PBA，
∵∠A+∠ADP=∠P+∠ABP，
∠C+∠CBP=∠P+∠PDF，
∴∠A+∠C=2∠P，
∵∠A=42°，∠C=38°，
1
∴∠P= （38°+42°）=40°．
2
【点睛】本题考查了三角形的内角和定理及三角形外角的性质，角平分线的定义，熟记定
理并理解“8字形”的等式是解题的关键．【题型04：飞镖模型】
图1 图2 图3
【条件】四边形ABPC如图1所示
【结论】∠BPC=∠A+∠B+∠C.
【典例4】探究与发现：如图（1）所示的图形，像我们常见的学习用品一圆规，我们，不
妨把这样图形叫做“规形图
（1）观察“规形图（1）”，试探究∠BDC与∠A、∠B、∠C之间的数量关系，并说
明理由；
（2）请你直接利用以上结论，解决以下问题：
①如图（2），把一块三角尺XYZ放置在△AC上使三角尺的两条直角边XY、XZ恰好经
过点B、C，若∠A＝40°，则∠ABX+∠ACX＝ 5 0 °．
②如图（3），DC平分∠ADB，EC平分∠AEB，若∠DAE＝40°，∠DBE＝130°，求
∠DCE的度数．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）如图（1），∠BDC＝∠BAC+∠B+∠C，理由是：
过点A、D作射线AF，
∵∠FDC＝∠DAC+∠C，∠BDF＝∠B+∠BAD，
∴∠FDC+∠BDF＝∠DAC+∠BAD+∠C+∠B，即∠BDC＝∠BAC+∠B+∠C；
（2）①如图（2），∵∠X＝90°，
由（1）知：∠A+∠ABX+∠ACX＝∠X＝90°，
∵∠A＝40°，
∴∠ABX+∠ACX＝50°，
故答案为：50；
②如图（3），∵∠A＝40°，∠DBE＝130°，
∴∠ADE+∠AEB＝130°﹣40°＝90°，
∵DC平分∠ADB，EC平分∠AEB，
∴∠ADC＝ ∠ADB，∠AEC＝ ∠AEB，
∴∠ADC+∠AEC＝ ＝45°，
∴∠DCE＝∠A+∠ADC+∠AEC＝40°+45°＝85°．
【变式4-1】一个零件的形状如图，按要求∠A＝90°，∠B＝32°，∠C＝21°，检验工人量
得∠CDB＝148°，就断定这个零件不合格，运用三角形的有关知识说明零件不合格的理
由．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：如图，延长CD交AB于E，
∵∠A＝90°，∠C＝21°，
∴∠1＝∠A+∠C＝90°+21°＝111°，
∵∠B＝32°，
∴∠BDC＝∠B+∠1＝32°+111°＝143°．
又∵∠BDC＝148°，
∴这个零件不合格．
【变式4-2】附加题：如图，试说明：
①∠BDC＞∠A；
②∠BDC＝∠B+∠C+∠A．
如果点D在线段BC的另一侧，结论会怎样？
【答案】见试题解答内容
【解答】解：①延长BD交AC于E，则∠BDC＞∠DEC，而∠DEC＞∠A，所以∠BDC
＞∠A；
②由∠BDC＝∠C+∠DEC，而∠DEC＝∠A+∠B，所以∠BDC＝∠A+∠B+∠C．
如果点D在线段BC的另一侧，如图所示：结论：①∠BDC与∠A无法比较大小；
②∠BDC＝360°﹣（∠A+∠B+∠C），
【变式4-3】如图，△ABC中，∠A＝30°，D为CB延长线上的一点，DE⊥AB于点E，∠D
＝40°，则∠C为（ ）
A．20° B．15° C．30° D．25°
【答案】A
【解答】解：∵DE⊥AB，
∴∠DEB＝90°，
∵∠D＝40°，
∴∠ABD＝180°﹣∠D﹣∠DEB＝50°，
∵∠ABD＝∠A+∠C，∠A＝30°，
∴∠C＝∠ABD﹣∠A＝50°﹣30°＝20°．
故选：A．
【变式4-4】如图，点E在BC上，ED⊥AC于F，交BA的延长线于D，已知∠D＝30°，
∠C＝20°，则∠B的度数是（ ）
A．20° B．30° C．40° D．50°
【答案】C
【解答】解：∵ED⊥AC，∠D＝30°，∠C＝20°，又∵∠DEC＝∠B+∠D，
∴∠C+∠DEC＝∠C+∠D+∠B＝90°，
∴∠B＝40°．
故选：C．
【变式4-5】如图，已知在△ABC中，∠A=40°，现将一块直角三角板放在△ABC上，
使三角板的两条直角边分别经过点B,C，直角顶点D落在△ABC的内部，则
∠ABD+∠ACD=（ ）．
A．90° B．60° C．50° D．40°
【答案】C
【分析】由三角形内角和定理可得∠ABC+∠ACB+∠A=180°，即∠ABC+∠ACB=180-
∠A=140°，再说明∠DBC+∠DCB=90°，进而完成解答．
【详解】解：∵在△ABC中，∠A=40°
∴∠ABC+∠ACB=180-∠A=140°
∵在△DBC中，∠BDC=90°
∴∠DBC+∠DCB=180°-90°=90°
∴∠ABD+∠ACD=40°-90°=50°
故选C．
【点睛】本题主要考查三角形内角和定理，灵活运用三角形内角和定理成为解答本题的关
键．
【变式4-6】如图，若∠EOC=115°，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=
．【答案】230°
【分析】根据三角形外角的性质，得到∠EOC=∠E+∠2=115°，∠2=∠D+∠C，
∠EOC=∠1+∠F=115°，∠1=∠A+∠B，即可得到结论．
【详解】解：如图
∵∠EOC=∠E+∠2=115°，∠2=∠D+∠C，
∴∠E+∠D+∠C=115°，
∵∠EOC=∠1+∠F=115°，∠1=∠A+∠B，
∴∠A+∠B+∠F=115°，
∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=230°，
故答案为：230°．
【点睛】本题主要考查三角形内角和定理和三角形外角的性质，解决本题的关键是要熟练
掌握三角形外角性质．
【题型05：风筝模型】
【典例5】如图1和图2，在三角形纸片ABC中，点D，E分别在边AC，AB上，沿DE折
叠，点A落在点A'的位置．
（1）如图1，当点A′落在CD边上时，∠DAE与∠1之间的数量关系为 ③ （只
填序号），并说明理由；①∠DAE＝∠1
②∠DAE＝2∠1
③∠1＝2∠DAE
（2）如图2，当点A落在△ABC内部时，直接写出∠DAE与∠1，∠2之间的数量关系．
【答案】（1）③，理由详见解答过程．
（2）∠1+∠2＝2∠DAE．
【解答】解：（1）由题意得：∠DAE＝∠DA′E．
∵∠1＝∠EAD+∠EA′D＝2∠DAE．
故答案为：③．
（2）∠1+∠2＝2∠DAE，理由如下：
如图2，连接AA′．
由题意知：∠EAD＝∠EA′D．
∵∠1＝∠A′AE+∠AA′E，∠2＝∠A′AD+∠AA′D，
∴∠1+∠2＝∠EAA′+∠A′AD+∠EA′A+∠AA′D＝∠EAD+∠EA′D＝2∠EAD．
【变式5-2】如图，在△ABC中，∠C＝40°，将△ABC沿着直线l折叠，点C落在点D的
位置，则∠1﹣∠2的度数是（ ）A．40° B．80° C．90° D．140°
【答案】B
【解答】解：由折叠的性质得：∠D＝∠C＝40°，
根据外角性质得：∠1＝∠3+∠C，∠3＝∠2+∠D，
则∠1＝∠2+∠C+∠D＝∠2+2∠C＝∠2+80°，
则∠1﹣∠2＝80°．
故选：B．
【变式5-1】将纸片△ABC沿DE折叠使点A落在A′处的位置．
（1）如果A′落在四边形BCDE的内部（如图1），∠A′与∠1+∠2之间存在怎样的
数量关系？并说明理由．
（2）如果A′落在四边形BCDE的BE边上，这时图1中的∠1变为0°角，则∠A′与
∠2之间的关系是 2 ∠ A ＝∠ 2 ．
（3）如果A′落在四边形BCDE的外部（如图2），这时∠A′与∠1、∠2之间又存在
怎样的数量关系？并说明理由．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）图1中，2∠A＝∠1+∠2，
理由是：∵延DE折叠A和A′重合，
∴∠AED＝∠A′ED，∠ADE＝∠A′DE，
∵∠AED+∠ADE＝180°﹣∠A，∠1+∠2＝180°+180°﹣2（∠AED+∠ADE），
∴∠1+∠2＝360°﹣2（180°﹣∠A）＝2∠A；
（2）2∠A＝∠2，如图∠2＝∠A+∠EA′D＝2∠A，
故答案为：2∠A＝∠2；
（3）如图2，2∠A＝∠2﹣∠1，
理由是：∵延DE折叠A和A′重合，
∴∠A＝∠A′，
∵∠DME＝∠A′+∠1，∠2＝∠A+∠DME，
∴∠2＝∠A+∠A′+∠1，
即2∠A＝∠2﹣∠1．
【题型06：两内角角平分线模型】
双内角平分线模型
【条件】BP、CP分别为∠ABC、∠ACB的角平分线.
1
【结论】∠P=90°+2∠A.
【典例6】如图1，点A、B分别在射线OM、ON上运动（不与点O重合），AC、BC分别
是∠BAO和∠ABO的角平分线，BC延长线交OM于点G．
（1）若∠MON=60°，则∠ACG= ；（直接写出答案）（2）若∠MON=n°，求出∠ACG的度数；（用含n的代数式表示）
（3）如图2，若∠MON=80°，过点C作CF∥OA交AB于点F，求∠BGO与∠ACF的数量
关系．
1
【答案】（1）60°；（2）90°- n°；（3）∠BGO-∠ACF=50°
2
【分析】（1）根据三角形内角和定理求出∠BAO+∠ABO，根据角平分线的定义、三角形
的外角性质计算，得到答案；
（2）仿照（1）的解法解答；
（3）根据平行线的性质得到∠ACF=∠CAG，根据（2）的结论解答．
【详解】解：（1）∵∠MON=60°，
∴∠BAO+∠ABO=120°，
∵AC、BC分别是∠BAO和∠ABO的角平分线，
1 1
∴∠CBA= ∠ABO，∠CAB= ∠BAO，
2 2
1
∴∠CBA+∠CAB= （∠ABO+∠BAO）=60°，
2
∴∠ACG=∠CBA+∠CAB=60°，
故答案为：60°；
（2）∵∠MON=n°，
∴∠BAO+∠ABO=180°-n°，
∵AC、BC分别是∠BAO和∠ABO的角平分线，
1 1
∴∠CBA= ∠ABO，∠CAB= ∠BAO，
2 2
1 1
∴∠CBA+∠CAB= （∠ABO+∠BAO）=90°- n°，
2 2
1
∴∠ACG=∠CBA+∠CAB=90°- n°；
2（3）∵CF∥OA，
∴∠ACF=∠CAG，
∴∠BGO-∠ACF=∠BGO-∠CAG=∠ACG，
1
由（2）得：∠ACG=90°- ×80°=50°．
2
∴∠BGO-∠ACF=50°．
【点睛】本题考查的是角平分线的定义、平行线的性质、三角形的外角性质，掌握两直线
平行、内错角相等是解题的关键．
【变式6-1】如图，BE平分∠ABD，CF平分∠ACD，BE与CF交于点G，若
∠BDC=140°，∠BGC=100°，则∠A=（ ）
A．80° B．75° C．60° D．45°
【答案】C
【分析】连接BC,先求解∠DBC+∠DCB, 再求解∠GBC+∠GCB, 可得
∠GBD+∠GCD, 再利用角平分线的定义可得：∠ABD+∠ACD, 从而可得：
∠ABC+∠ACB, 再利用三角形的内角和定理可得∠A的大小.
【详解】解：连接BC, ∵∠BDC=140°,
∴∠DBC+∠DCB=180°−140°=40°,
∵∠BGC=100°,
∴∠GBC+∠GCB=180°−100°=80°,
∴∠GBD+∠GCD=∠GBC+∠GCB−∠DBC−∠DCB=40°,
∵ BE平分∠ABD，CF平分∠ACD，∴∠ABD+∠ACD=2(∠GBD+∠GCD)=80°,
∴∠ABC+∠ACB=∠ABD+∠ACD+∠DBC+∠DCB=80°+40°=120°,
∴∠A=180°−(∠ABC+∠ACB)=60°.
故选：C.
【点睛】本题考查的是三角形的内角和定理的应用，角平分线的定义，熟练利用三角形的
内角和定理求解与之相关的角的大小是解题的关键.
【变式6-2】如图，在△ABC中，已知∠A=70°，∠ABC、∠ACB的平分线OB、OC相
交于点O，则∠BOC的度数为 ．
【答案】125°
【分析】根据三角形的内角和定理求出∠ABC+∠ACB，再根据角平分线的定义求出
∠OBC+∠OCB，然后利用三角形的内角和定理列式计算即可得解.
【详解】
在△ABC中,
∠ABC+∠ACB=180°−∠A=180°−70°=110°，
∵∠ABC与∠ACB的角平分线BO,CO相交于点O，
1 1
∴∠OBC+∠OCB= (∠ABC+∠ACB)= ×110°=55°，
2 2
在△BOC中,
∠BOC=180°−(∠OBC+∠OCB)=180°−55°=125°，
故答案为:125°.
【点睛】本题考查了三角形的内角和定理，角平分线的定义，整体思想的利用是解题的关
键.
【变式6-3】如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点P．
（1）若∠ABC+∠ACB＝130°，求∠BPC的度数．（2）当∠A为多少度时，∠BPC＝3∠A？
【答案】（1）115°；（2）∠A=36°
【分析】（1）根据角平分线的定义，求得∠PBC，∠PCB，再根据三角形内角和定理即
可求得∠BPC；
（2）根据（1）的方法求得∠BPC，再结合条件∠BPC＝3∠A，解方程即可求得∠A．
【详解】（1）∵PB平分∠ABC，PC平分∠ACB，
1 1
∴∠PBC= ∠ABC,∠PCB= ∠ACB，
2 2
∵∠ABC+∠ACB＝130°，
1
∴∠PBC+∠PCB= (∠ABC+∠ACB)=65°，
2
∴∠BPC=180°−(∠PBC+∠PCB)=180°−65°=115°，
（2）∵PB平分∠ABC，PC平分∠ACB，
1 1
∴∠PBC= ∠ABC,∠PCB= ∠ACB，
2 2
1
∴∠PBC+∠PCB= (∠ABC+∠ACB)，
2
∵∠ABC+∠ACB=180°−∠A，
1
∴∠PBC+∠PCB=90°− ∠A，
2
∠BPC=180°−(∠PBC+∠PCB)
1
=180°−(90°− ∠A)
2
1
=90°+ ∠A
2
∵∠BPC＝3∠A
1
∴3∠A=90°+ ∠A，
2
∴∠A=36°．【点睛】本题考查了与角平分线有关的角度计算，三角形内角和定理，掌握三角形内角和
定理是解题的关键．
【题型07：两外角角平分线模型】
双外角平分线模型
【条件】BP、CP分别为∠EBC、∠BCF的角平分线.
1
【结论】∠P=90°-2∠A.
【典例7】如图①，在△ABC 中，∠ABC与∠ACB的平分线相交于点P．
(1)如果∠A＝70°，求∠BPC的度数；
(2)如图②，作△ABC外角∠MBC，∠NCB的角平分线交于点Q，试探索∠Q，∠A之间的数
量关系．
(3)如图③，延长线段BP，QC交于点E，在△BQE中，存在一个内角等于另一个内角的3
倍，求∠A的度数．
【答案】(1)125°
1
(2)∠Q=90°− ∠A
2
(3)∠A的度数是45°或60°或120°或135°【分析】（1）在△ABC中，根据三角形内角和定理求出∠ABC+∠ACB=110°，根据角平分
1 1
线的定义得出∠PBC＝ ∠ABC，∠PCB＝ ∠ACB，求出∠PBC+∠PCB=55°，再在△BPC
2 2
中，根据三角形内角和定理求出即可；
（2）根据三角形外角性质得出∠MBC＝∠ACB+∠A，∠NCB＝∠ABC+∠A，求出
1
∠MBC+∠NCB＝∠ACB+∠A+∠ABC+∠A＝180°+∠A，根据角平分线的定义得出QBC＝ ∠
2
1 1
MBC，∠QCB＝ ∠NCB，求出∠QBC+∠QCB＝90°+ ∠A，根据三角形内角和定理求出
2 2
即可；
（3）根据角平分线的定义得出∠ACF＝2∠BCF，∠ABC＝2∠EBC，根据三角形外角性质
得出∠ECF＝∠EBC+∠E，求出∠A＝2∠E，求出∠EBQ=90°，分为四种情况：①∠EBQ＝
3∠E＝90°，②∠EBQ＝3∠Q，③∠Q＝3∠E，④∠E＝3∠Q，再求出答案即可
【详解】（1）∵∠A＝70°，
∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A＝110°，
∵点P是∠ABC和∠ACB的角平分线的交点，
1 1
∴∠PBC＝ ∠ABC，∠PCB＝ ∠ACB，
2 2
∴∠PBC+∠PCB＝55°，
∴∠BPC＝180°﹣（∠PBC+∠PCB）＝125°；
（2）∵∠MBC＝∠ACB+∠A，∠NCB＝∠ABC+∠A，
∴∠MBC+∠NCB＝∠ACB+∠A+∠ABC+∠A＝180°+∠A，
∵点Q是∠MBC和∠NCB的角平分线的交点，
1 1
∴∠QBC＝ ∠MBC，∠QCB＝ ∠NCB，
2 2
1 1 1
∴∠QBC+∠QCB＝ （∠MBC+∠NCB）＝ （180°+∠A）＝90°+ ∠A，
2 2 2
1 1
∴∠Q＝180°﹣（∠QBC+∠QCB）＝180°﹣（90°+ ∠A）＝90°﹣ ∠A；
2 2
（3）∵CQ为△ABC的外角∠NCB的角平分线，
∴CE是△ABC的外角∠ACF的平分线，
∴∠ACF＝2∠BCF，∵BE平分∠ABC，
∴∠ABC＝2∠EBC，
∵∠ECF＝∠EBC+∠E，
∴2∠ECF＝2∠EBC+2∠E，
即∠ACF＝∠BC+2∠E，
∵∠ACF＝∠ABC+∠A，
∴∠A＝2∠E，
1
即∠E＝ ∠A，
2
∵∠EBQ＝∠EBC+∠CBQ
1 1
＝ ∠ABC+ ∠MBC
2 2
1
＝ （∠ABC+∠A+∠ACB）
2
＝90°，
如果△BQE中，存在一个内角等于另一个内角的3倍，那么分为四种情况：
①∠EBQ＝3∠E＝90°，则∠E＝30°，∠A＝2∠E＝60°；
②∠EBQ＝3∠Q，则∠Q＝30°，∠E＝60°，∠A＝2∠E＝120°；
③∠Q＝3∠E，则∠E＝22.5°，∠A＝2∠E＝45°；
④∠E＝3∠Q，则∠E＝67.5°，∠A＝2∠E＝135°，
综合上述，∠A的度数是45°或60°或120°或135°．
【点睛】本题考查了三角形的外角性质，三角形内角和定理，角平分线的定义等知识点，
熟练掌握知识点及运用分类讨论思想是解题的关键．
【变式7-1】如图，在△ABC中，∠B=58°，三角形两外角的角平分线交于点E，则
∠AEC= ．
【答案】61°
【分析】先根据三角形的内角和定理和平角定义求得∠DAC+∠ACF的度数，再根据角平分线的定义求得∠EAC+∠ECA的度数，即可解答．
【详解】解：∵∠B+∠BAC+∠BCA=180°，∠B=58°，
∴∠BAC+∠BCA=180°﹣∠B=180°﹣58°=122°，
∵∠BAC+∠DAC=180°，∠BCA+∠ACF=180°，
∴∠DAC+∠ACF=360°﹣（∠BAC+∠BCA）=360°﹣122°=238°，
∵AE平分∠DAC，CE平分∠ACF，
1 1
∴∠EAC= ∠DAC，∠ECA= ∠ACF，
2 2
1
∴∠EAC+∠ECA = （∠DAC+∠ACF）=119°，
2
∵∠EAC+∠ECA+∠AEC=180°，
∴∠AEC=180°﹣（∠EAC+∠ECA）=180°﹣119°=61°，
故答案为：61°．
【点睛】本题考查三角形的内角和定理、角平分线的定义、平角定义，熟练掌握三角形的
内角和定理和角平分线的定义是解答的关键．
【变式7-2】如图，△ABC两个外角∠CBD、∠BCE的平分线相交于点O，∠A＝40°，求
∠BOC的度数．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：∵∠CBD、∠BCE的平分线相交于点O，
∴∠OBC＝ （∠A+∠ACB），∠OCB＝ （∠A+∠ABC），
∴∠OBC+∠OCB＝ （∠A+∠ACB+∠ABC+∠A），
∵∠A+∠ACB+∠ABC＝180°，
∴∠OBC+∠OCB＝90°+ ∠A，
在△OBC 中，∠BOC＝180°﹣（∠OBC+∠OCB）＝180°﹣（90°+ ∠A）＝90°﹣∠A，
∵∠A＝40°，
∴∠BOC＝90°﹣ ×40°＝90°﹣20°＝70°．
【题型08：内外角平分线模型】
内外角平分线模型
【条件】BP、CP分别为∠ABC、∠ACE的角平分线
1
【结论】∠P=2∠A
【典例8】（1）如图1，在△ABC中，BP平分∠ABC，CP平分∠ACB，求证：∠P＝90°+
∠A；
（2）如图2，在△ABC中，BP平分∠ABC，CP平分外角∠ACE，猜想∠P和∠A有何
数量关系，并证明你的结论．
【答案】（1）证明过程见解答；
（2）∠P＝ A．
【解答】（1）证明：∵A+∠ABC+∠ACB＝180°，
∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A，
∵BP平分∠ABC，CP平分∠ACB，∴∠PCB＝ ACB，∠PBC＝ ABC，
∴∠P＝180°﹣（∠PCB+∠PBC）
＝180°﹣ （∠ACB+∠ABC）
＝180°﹣ （180°﹣∠A）
＝90°+ A；
（2）猜想：
证明：∵∠ACE＝∠A+∠ABC，
∴∠A＝∠ACE﹣∠ABC，
∵∠PCE＝∠P+∠PBC，
∴∠P＝∠PCE﹣∠PBC，
又∵BP平分∠ABC，CP平分∠ACE，
∴ ，
∴∠P＝ ACE﹣ ABC
＝ （∠ACE﹣∠ABC）
＝ A．
【变式8-1】如图，在△ABC中，BO、CO分别平分∠ABC，∠ACB，BO的延长线交外
角∠ACD的角平分线于点E．以下结论：①∠1=2∠2；②∠BOC=3∠2；③
∠BOC=90°+∠2；④∠BOC=90°+∠1．其中正确的结论有 （填序号）．
【答案】 /
①③ ③①【分析】依据角平分线的性质以及三角形外角性质，即可得到∠1=2∠2，
1
∠BOC=90°+ ∠1，∠BOC=90°+∠2，即可得出答案．
2
【详解】解：∵CE为外角∠ACD的平分线，BE平分∠ABC，
1 1
∴∠DCE= ∠ACD，∠DBE= ∠ABC，
2 2
又∵∠DCE是△BCE的外角，
1 1
∴∠2=∠DCE−∠DBE= (∠ACD−∠ABC)= ∠1，
2 2
即∠1=2∠2，故①正确；
∵BO、CO分别平分∠ABC，∠ACB，
1 1
∴∠OBC= ∠ABC，∠OCB= ∠ACB，
2 2
∴∠BOC=180°−(∠OBC+∠OCB)
1
=180°− (∠ABC+∠ACB)
2
1
=180°− (180°−∠1)
2
1
=90°+ ∠1，故④错误；
2
∵CO平分∠ACB，CE平分∠ACD，
1 1
∴∠ACO= ∠ACB，∠ACE= ACD，
2 2
1 1
∴∠OCE= (∠ACB+∠ACD)= ×180°=90°，
2 2
∵∠BOC是△COE的外角，
∴∠BOC=∠OCE+∠2=90°+∠2，故②错误、③正确；
综上，正确的有①③．
故答案为：①③．
【点睛】本题考查了三角形的内角和定理，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角
的和的性质，以及角平分线的定义．
【变式8-2】如图，在△ABC中，∠A=α，∠ABC与∠ACD的平分线交于点A ，得
1
∠A ；∠A BC与∠A CD的平分线相交于点A ，得A ；⋯；∠A BC与∠A CD
1 1 1 2 2 2019 2019
的平分线相交于点A ，得∠A ，则∠A = ．
2020 2020 2020α
【答案】
22020
1
【分析】结合题意，根据角平分线、三角形外角、三角形内角和的性质，得∠A = ∠A，
1 2
1 α
同理得∠A = ∠A = ；再根据数字规律的性质分析，即可得到答案．
2 2 1 22
【详解】根据题意，∠A=α，∠ABC与∠ACD的平分线交于点A
1
1 1
∴∠A =180°− ∠ABC−∠ACB− ∠ACD
1 2 2
∵∠ACD=∠A+∠ABC
1
∴∠A =180°−∠ABC−∠ACB− ∠A
1 2
∵∠A+∠ABC+∠ACB=180°
1
∴∠A = ∠A
1 2
1 1 1 α
同理，得∠A = ∠A = × ∠A= ；
2 2 1 2 2 22
1 1 1 1 α
∠A = ∠A = × × ∠A= ；
3 2 2 2 2 2 23
1 1 1 1 1 α
∠A = ∠A = × × × ∠A= ；
4 2 3 2 2 2 2 24
…
1 α
∠A = ∠A =
n 2 n−1 2n
α
∴∠A =
2020 22020
α
故答案为： ．
22020
【点睛】本题考查了三角形和数字规律的知识；解题的关键是熟练掌握三角形内角和、三
角形外角、角平分线、数字规律的性质，从而完成求解．
【变式8-3】【初步认识】（1）如图1，BM平分∠ABC，CM平分外角∠ACD，若∠A=80°，则∠M=____°．
【变式探究】
（2）已知ABCD为四边形，E为边AB延长线上一点，如图2，∠ADC=110°，
∠BCD=120°，∠DAB和∠CBE的平分线交于点F，则∠F=______°．
【继续探索】
（3）已知ABCD为四边形，E为边AB延长线上一点，如图3，∠ADC=α，∠BCD=β
，且α+β>180°，∠DAB和∠CBE的平分线交于点F，求∠F与α、β之间的数量关系，
并说明理由；
【终极挑战】
（4）如果将（3）中的条件α+β>180°改为α+β<180°，再分别作∠DAB和∠CBE的
平分线，且两平分线所在的直线交于点F，那么∠F与α、β又有怎样的数量关系？请直接
写出结论．（不用说明理由）
1 1
【答案】（1）40；（2）25；（3）∠F= α+ β−90°，理由见解析；（4）
2 2
1 1
∠F=90°− α− β
2 2
【分析】本题考查了角平分线的定义，三角形外角的性质，三角形内角和定理等知识，解
题的关键是：
1
（1）利用角平分线定义和三角形外交的性质可探究出∠M= ∠A，即可求解；
2
1
（2）延长AD、BC相交于G，先求出∠G的度数，然后同（1）得出∠F= ∠G，即可
2
求解；
（3）类似（2）探究即可；
（4）延长DA，CB相交于G，延长BA，先求出∠G=180°−α−β，再判断AF平分
1
∠NAG，FB平分∠ABG，然后同（1）得出∠F= ∠G，即可求解．
2
【详解】解：∵BM平分∠ABC，CM平分外角∠ACD，1 1
∴∠MBC= ∠ABC，∠MCD= ∠ACD，
2 2
∵∠A=∠ACD−∠ABC，∠M=∠MCD−∠MBD，
1 1 1
∴∠M= ∠ACD− ∠ABC= ∠A，
2 2 2
∵∠A=80°，
∴∠M=40°，
故答案为：40；
（2）延长AD、BC相交于G，
∵∠ADC=110°，∠BCD=120°，
∴∠GDC=70°，∠GCD=60°，
∴∠G=50°，
1
同（1）可证∠F= ∠G，
2
∴∠F=25°，
故答案为：25；
1 1
（3）∠F= α+ β−90°
2 2
理由：延长AD、BC相交于G，
∵∠ADC=α，∠BCD=β，
∴∠GDC=180°−α，∠GCD=180°−β，
∴∠G=α+β−180°，
1
由（2）知∠F= ∠G，
2
1 1
∴∠F= α+ β−90°；
2 21 1
（4）∠F=90°− α− β
2 2
理由：延长DA，CB相交于G，延长BA，
∵∠ADC=α，∠BCD=β，α+β<180°，
∴∠G=180°−α−β，
∵AM平分∠DAB，
∴∠DAM=∠BAM，
∵∠NAF=∠MAB，∠GAF=∠DAM，
∴∠NAF=∠GAF，
∴AF平分∠NAG，
同理FB平分∠ABG，
1
同（1）可证∠F= ∠G，
2
1 1 1
∴∠F= ∠G=90°− α− β．
2 2 2
