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专题12.21 全等三角形几何模型（倍长中线）（分层练习）
全等三角形的对应边相等,对应角相等是证线段相等或角相等的重要依据,在解题过程中
若不能直接运用,则需要通过作辅助线来构造全等三角形，若已知条件中存在中线,可将中线
延长,将要求解或证明的结论进行转化,进而解决问题。
1．仔细阅读下面的解题过程，并完成填空：如图13，AD为 ABC的中线，已知AD=4cm,试确定AB+AC的
取值范围. △
解：延长AD到E,使DE = AD,连接BE.
因为AD为 ABC的中线，
所以BD=CD△．
在 ACD和 EBD中，因为AD=DE,∠ADC=∠EDB,CD=BD，所以 ACD≌△EBD（__________).
所△以BE=AC△(_____________________). △
因为AB+BE>AE(_____________________)，
所以AB+AC>AE.
因为AE=2AD=8cm，
所以AB+AC>_______cm.
2．如图，在 中， ，
(1) 求 边的长的取值范围？ (2) 若 是 的中线，求 取值范围？3．如图， 是 的中线， ， ，求中线 的取值范围．
4．佳佳同学遇到这样一个问题：如图 ， 中， ， ， 是中线，求 的取值范围．
她的做法是：延长 到 ，使 ，连接 ，证明 ，经过推理和计算使问题得到
解决．请回答：
(1) 为什么 ？写出推理过程；
(2) 求出 的取值范围；
(3) 如图 ， 是 的中线，在 上取一点 ，连结 并延长交 于点 ，若 ，求证：
．
5．我们规定：有两组边相等，且它们所夹的角互补的两个三角形叫兄弟三角形．如图，OA＝OB，OC＝OD，∠AOB＝∠COD＝90°，回答下列问题：
(1) 求证： OAC和 OBD是兄弟三角形．
(2) “取BD△的中点P△，连接OP，试说明AC＝2OP．”聪明的小王同学根据所要求的结论，想起了老师上
课讲的“中线倍长”的辅助线构造方法，解决了这个问题，按照这个思路回答下列问题．
① 请在图中通过作辅助线构造 BPE≌△DPO，并证明BE＝OD；
② 求证：AC＝2OP． △
6．某数学兴趣小组在活动时，老师提出了这样一个问题：如图，在 中，AB＝6，AC＝8，D是BC
的中点，求BC边上的中线AD的取值范围．
小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD到E，使DE＝AD，请补充完整证明
“△ABD≌△ECD”的推理过程．
(1) 求证：△ABD≌△ECD
证明：延长AD到点E，使DE＝AD
在△ABD和△ECD中
∵AD＝ED（已作）
∠ADB＝∠EDC（ ）
CD＝ （中点定义）∴△ABD≌△ECD（ ）
(2) 由（1）的结论，根据AD与AE之间的关系，探究得出AD的取值范围是 ；
(3) 【感悟】解题时，条件中若出现“中点”“中线”等字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分
散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中．
【问题解决】
如下图， 中， ， ，AD是 的中线， ， ，且 ，求
AE的长．
7．如图，在 ABC中，AC=2AB，AD平分∠BAC，延长CB到点E，使BE=BD，连接AE．
（1）依题意补全图形；
（2）试判断AE与CD的数量关系，并进行证明．8．已知：多项式x2+4x+5可以写成（x﹣1）2+a（x﹣1）+b的形式．
(1) 求a，b的值；
(2) ABC的两边BC，AC的长分别是a，b，求第三边AB上的中线CD的取值范围．
△
9．（1）方法呈现：如图1，在 中，若 ， ，D为 边的中点，求 边上的中线
的取值范围．
解决此问题可以用如下方法：
延长 至点E，使 ，再连接 ，可证 ，从而把 集中在 中，
利用三角形三边的关系即可判断中线 的取值范围是 （直接写出范围即可）．这种解决问题的方法我们
称为“倍长中线法”．
（2）知识运用：如图2，在 中，D为 的中点， ， ，且线段 的长度为整数．求
的长度．
10．如图，在 中， 为 边上的中线．(1) 按要求作图：延长 到点E，使 ；连接 ．
(2) 求证： ．
(3) 求证： ．
(4) 若 ， ，求 的取值范围．
11．“倍长中线法”是解决几何问题的重要方法．所谓倍长中线法，就是将三角形的中线延长一倍，以便
构造出全等三角形，具体做法是：如图， 是 的中线，延长 到 ，使 ，连接 ，构
造出 和 ．求证： ．
12．如图，在 中， 是 边上的中线， ， ，求 的取值范围．13．如图，在 中， 是 边上的中线．延长 到点 ，使 ，连接 ．
(1) 求证： ；
(2) 与 的数量关系是：____________，位置关系是：____________；
(3) 若 ，猜想 与 的数量关系，并加以证明．
14．数学兴趣小组活动时，张老师提出了如下问题：
如图，在 中， ，求 边上的中线 的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：
①延长 到M，使得 ；
②连接 ，通过三角形全等把 转化在 中；
③利用三角形的三边关系可得 的取值范围为 ，从而得到 的取值范围．
问题：
(1) 依据小明的做法，请你补全图形，并写出 的取值范围；
(2) 根据你补全的图形，写出 与 的数量关系和位置关系，并加以证明．
15．如图1，在△ABC中，若AB＝10，BC＝8，求AC边上的中线BD的取值范围．
（1）小聪同学是这样思考的：延长BD至E，使DE＝BD，连接CE，可证得△CED≌△ABD．
①请证明△CED≌△ABD；
②中线BD的取值范围是 ．
（2）问题拓展：如图2，在△ABC中，点D是AC的中点，分别以AB，BC为直角边向△ABC外作等腰直
角三角形ABM和等腰直角三角形BCN，其中，AB＝BM，BC＝BN，∠ABM＝∠NBC＝∠90°，连接MN．
请写出BD与MN的数量关系，并说明理由．
16．如图，CE、CB分别是 与 的中线，且 ， ．求证： ．17．如图1， 中，若 ， ，求 边上的中线 的取值范围，小明在组内经过合作交流，
得到了如下的解决方法：延长 到点 ，使 ，请根据小明的方法思考：
(1) 由已知和作图能得到 的理由是______．
(3) 求得 的取值范围是______．
(4) 如图2，在 中，点 是 的中点，点 在 边上，点 在 边上，若 ，求证：
．
18．（1）已知如图1，在 中， ，求 边上的中线 的取值范围．
（2）思考：已知如图2， 是 的中线， ，试探究线段与 的数量和位置关系，并加以证明．
19．已知 ABC．
(1) 如图1，按如下要求用尺规作图：
①作出 ABC的中线CD；
②延长CD至E，使DE＝CD，连接AE；（不要求写出作法，但要保留作图痕迹．）
(2) 在（1）中，直线AE与直线BC的关系是 ；
(3) 如图2，若∠ACB＝ ，CD是中线．试探究CD与AB之间的数量关系，并说明理由；
(4) 如图3，若∠ACB＝ ，AC＝BC，CD是 ABC的中线，过点B作BE⊥AC于E，交CD于点F，连接
DE．若CF＝4，则DE的长是 ．
20．数学兴趣小组在活动时，老师提出了这样一个问题：
如图1，在 中， ， ，D是BC的中点，求BC边上的中线AD的取值范围．
【阅读理解】小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：
（1）如图1，延长AD到E点，使 ，连接BE． 根据______可以判定 ______，得出
______．
这样就能把线段AB、AC、 集中在 中．利用三角形三边的关系，即可得出中线AD的取值范围
是．
【方法感悟】
当条件中出现“中点”、“中线”等条件时，可以考虑作“辅助线”——把中线延长一倍，构造全等三角
形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中，这种做辅助线的方法称为“中线加倍”法．
【问题解决】
（2）如图2，在 中， ，D是BC边的中点， ，DE交AB于点E，DF交AC于点
F，连接EF，求证： ．
【问题拓展】
（3）如图3， 中， ， ，AD是 的中线， ， ，且 ．
直接写出AE的长＝______．21．（1）基础应用：如图1，在 ABC中，AB＝5，AC＝7，AD是BC边上的中线，延长AD到点E使DE
＝AD，连接CE，把AB，AC，2A△D利用旋转全等的方式集中在 ACE中，利用三角形三边关系可得AD的
取值范围是 ； △
（2）推广应用：应用旋转全等的方式解决问题如图2，在 ABC中，AD是BC边上的中线，点E，F分别
在AB，AC上，且DE⊥DF，求证：BE+CF＞EF； △
（3）综合应用：如图3，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠ADC＝180°且∠EAF＝ ∠BAD，试问线段
EF、BE、FD具有怎样的数量关系，并证明．22．阅读下列材料，完成相应任务．
数学活动课上，老师提出了如下问题：
如图1，已知 中， 是 边上的中线．
求证： ．
智慧小组的证法如下：
证明：如图2，延长 至 ，使 ，
∵ 是 边上的中线∴
在 和 中
∴ （依据一）∴
在 中， （依据二）
∴ ．
任务一：上述证明过程中的“依据1”和“依据2”分别是指：
依据1：______________________________________________；
依据2：______________________________________________．
归纳总结：上述方法是通过延长中线 ，使 ，构造了一对全等三角形，将 ， ， 转化
到一个三角形中，进而解决问题，这种方法叫做“倍长中线法”．“倍长中线法”多用于构造全等三角形
和证明边之间的关系．任务二：如图3， ， ，则 的取值范围是_____________；
任务三：如图4，在图3的基础上，分别以 和 为边作等腰直角三角形，在 中， ，
； 中， ， ．连接 ．试探究 与 的数量关系，并说明理由．
23．已知：△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠ACB=∠ADE=90°，点M是BE的中点，连接CM、DM．（1）当点D在AB上，点E在AC上时（如图一），求证：DM=CM，DM⊥CM；
（2）当点D在CA延长线上时（如图二）（1）中结论仍然成立，请补全图形（不用证明）；
（3）当ED∥AB时（如图三），上述结论仍然成立，请加以证明．
24．（1）如图1， 是 的中线， ，求 的取值范围，我们可以延长 到点 ，
使 ，连接 （如图2所示），这样就可以求出 的取值范围，从而得解，请写出解题过程；
（2）在（1）问的启发下，解决下列问题：如图3， 是 的中线， 交 于点 ，交 于点 ，
且 ，求证： ．
参考答案1．答案见解析
【分析】根据三角形全等的判定与性质以及三角形的内角和，即可得出答案.
【详解】解：延长AD到E,使DE = AD,连接BE.
因为AD为△ABC的中线，
所以BD=CD.
在△ACD和△EBD中，因为AD=DE,∠ADC=∠EDB,CD=BD，所以△ACD≌△EBD（SAS).
所以BE=AC(全等三角形的性质).
因为AB+BE>AE(两边之和大于第三边)，
所以AB+AC>AE.
因为AE=2AD=8cm，
所以AB+AC>8cm.
【点拨】本题考查的是全等三角形的判定与性质以及三角形边的性质，需要熟练掌握各种性质与定理.
2．(1) (2)
【分析】（1）根据三角形三边的关系求解即可；
（2）延长 至E，使 ，连接 ，证明 ，得到 ，由三角形三边关系得
到 ，则 ．
【详解】（1）解：由三角形的三边关系可知： ，
∵ ，
∴ ；
（2）解：延长 至E，使 ，连接 ，
在 中，∵ ，
∴ ，
∴ ，
由三角形的三边关系： ，
∴ ，
∴ ．【点拨】本题主要考查了三角形三边的关系，全等三角形的性质与判定，正确作出辅助线构造全等三角形
是解题的关键．
3．
【分析】延长 到 ，使 ,证明两边之和大于 ，两边之差小于 ，证明三角形
全等，得到线段相等，等量代换得 ．
【详解】解：如图，延长 至 ，使 ，连接 ，
∵ 为 中点，
∴ ，
在 和 中，
∴ ，
∴ ，
在 中， ，即 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
【点拨】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形三边之间的关系，解题的关键是作辅助线，构造全
等三角形．
4．(1)证明见解析 (2) (3)证明见解析【分析】（1）由“ ”可证 ；
（2）由全等三角形的性质可得 ，由三角形的三边关系可求解；
（3）延长 至 ，使 ，连接 ，由“ ”可证 ，可得 ，
，由等腰三角形的性质可得 ，可得 ．
【详解】（1）解：∵ 是中线，
∴ ，
延长 到 ，使 ，且 ，
∴ ．
（2）解：由（1）可知， ， ，
在 中， ， ，
∴ ，即 ，
∴ ．
（3）证明：如图 ，延长 至 ，使 ，连接 ，
∵ 是 的中线，
∴ ，
又∵ ， ，
∴ ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
【点拨】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，中线的性质，等腰三角形的判定和性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键．
5．(1)见解析 (2)①见解析；②见解析
【分析】（1）证出∠AOC+∠BOD=180°，由兄弟三角形的定义可得出结论；
（2）①延长OP至E，使PE=OP，证明 BPE≌△DPO（SAS），由全等三角形的性质得出BE=OD；
②证明 EBO≌△COA（SAS），由全等三△角形的性质得出OE=AC，则可得出结论．
【详解△】（1）证明：∵∠AOB=∠COD=90°，
∴∠AOC+∠BOD=360°-∠AOB-∠COD=360°-90°-90°=180°，
又∵AO=OB，OC=OD，
∴△OAC和△OBD是兄弟三角形；
（2）①证明：延长OP至E，使PE=OP，
∵P为BD的中点，
∴BP=PD，
又∵∠BPE=∠DPO，PE=OP，
∴△BPE≌△DPO（SAS），
∴BE=OD；
②证明：∵△BPE≌△DPO，
∴∠E=∠DOP，
∴BE OD，
∴∠EBO+∠BOD=180°，
又∵∠BOD+∠AOC=180°，
∴∠EBO=∠AOC，
∵BE=OD，OD=OC，
∴BE=OC，
又∵OB=OA，∴△EBO≌△COA（SAS），
∴OE=AC，
又∵OE=2OP，
∴AC=2OP．
【点拨】本题是三角形综合题，考查了新定义兄弟三角形，全等三角形的判定与性质，正确作出辅助线是
解题的关键．
6．(1)对顶角相等；BD；SAS (2) (3)
【分析】（1）延长AD到点E，使DE=AD，根据SAS定理证明△ABD≌△ECD；
（2）根据全等三角形的性质、三角形的三边关系计算；
（3）延长AD交EC的延长线于F，证明 ABD≌△FCD，△ADE≌△FDE，根据全等三角形的性质解答．
【详解】（1）延长AD到点E，使DE＝A△D
在△ABD和△ECD中
∵AD＝ED（已作）
∠ADB＝∠EDC（对顶角相等）
CD＝BD（中点定义）
∴△ABD≌△ECD（SAS）
故答案为：对顶角相等；BD；SAS
（2）∵△ABD≌△ECD ，AB＝6，AC＝8，
，
，
，
故答案为 ；
（3）延长AD交EC的延长线于F，， ，
，
在 和 中，
，
≌ ，
， ，
又∵∠FDE＝∠ADE＝90°
ED＝ED
∴△ADE≌△FDE
，
，
．
【点拨】本题考查了三角形的三边关系定理和全等三角形的性质和判定，解题关键是熟记全等三角形的判
定条件．
7．（1）见解析；（2） ，见解析
【分析】（1）直接延长CB到点E，使BE=BD即可；
（2）延长 至点 ，使得 ，连接 ，可证得 ，则 ，再通过证明
，可得到 ，从而得到 即可．
【详解】（1）如图所示：
（2）如图，判断：
证明如下：
延长 至点 ，使得 ，连接
在 和 中，
∵
∴
∴
∵
∴
∵
∴
∵AD平分∠BAC
∴
在 和 中，
∵
∴
∴
又∵
∴
【点拨】本题考查全等三角形的判定与性质，主要涉及倍长中线的模型，熟记基本模型是解题关键．
8．(1) ， (2)2
