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专题 12.5 全等三角形中辅助线的添法（三大模型）
【模型一：倍长中线模型】
1．（23-24八年级上·江苏·期末）如图，在△ABC中．AD是BC边上的中线，交BC于点D．
（1）如下图，延长AD到点E，使DE=AD，连接BE． 求证：△ACD≌△EBD．
（2）如下图，若∠BAC=90°，试探究AD与BC有何数量关系，并说明理由．
（3）如下图，若CE是边AB上的中线，且CE交AD于点O． 请你猜想线段AO与OD之间的数量关系，
并说明理由．2．（23-24八年级上·广西北海·期末）八年级数学课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：
如图1，△ABC中，若AB=9，AC=5，求BC边上的中线AD的取值范围．小红在组内经过合作交流，得
到了如下的解决方法：延长AD到点E，使DE=AD，请根据小红的方法思考作答：
（1）由已知和作图能得到△ADC≌△EDB的理由是______；
A．SSS B．SAS C．AAS D．HL
（2）求得AD的取值范围是______；
A．5AD+AE．5．（23-24七年级下·广东佛山·期中）【阅读理解】课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：
如图，△ABC中，AB=8，AC=6，求BC边上的中线AD的取值范围，经过组内合作交流．小明得到了
如下的解决方法：延长AD到点E，使DE=AD
请根据小明的方法思考：
（1）求得AD的取值范围是___________；
【问题解决】请利用上述方法（倍长中线）解决下列三个问题
如图，已知∠BAC+∠CDE=180°，AB=AC，DC=DE，P为BE的中点．
（2）如图1，若A，C，D共线，求证：AP平分∠BAC ；
（3）如图2，若A，C，D不共线，求证：AP⊥DP；
（4）如图3，若点C在BE上，记锐角∠BAC=x，且AB=AC=CD=DE，则∠PDC的度数是
___________（用含x的代数式表示）．
【模型二：旋转模型（截长补短）】1
6．（23-24八年级上·湖北武汉·期末）如图，在五边形ABCDE中，∠B=∠E=90°，∠CAD= ∠BAE，
2
AB=AE，且CD=3，AE=4，则五边形ABCDE的面积为（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
7．（23-24八年级上·上海·期中）如图所示，已知AC平分∠BAD，∠B+∠D=180°，CE⊥AB于点
E，判断AB、AD与BE之间有怎样的等量关系，并证明．
8．（23-24八年级上·山东临沂·期中）【基本模型】
（1）如图1，ABCD是正方形，∠EAF=45°，当E在BC边上，F在CD边上时，请你探究BE、DF与
EF之间的数量关系，并证明你的结论．
【模型运用】
（2）如图2，ABCD是正方形，∠EAF=45°，当E在BC的延长线上，F在CD的延长线上时，请你探究
BE、DF与EF之间的数量关系，并证明你的结论．
9．（23-24八年级上·湖北武汉·周测）（1）如图，在四边形ABCD中，AB=AD，∠B+∠D=180°，E、1
F分别是边BC、CD上的点，且∠EAF= ∠BAD．求证：EF=BE+FD；
2
（2）如图，在四边形ABCD中，AB=AD，∠B+∠ADC=180°，E、F分别是边BC、CD延长线上的
1
点，且∠EAF= ∠BAD．（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请写出它们之间
2
的数量关系，并证明．10．（23-24八年级上·贵州黔东南·期末）【初步探索】（1）如图1，在四边形ABCD中，AB=AD，
∠B=∠ADC=90°，∠BAD=120°，E、F分别是BC、CD上的点，且∠EAF=60°，探究图中BE、
EF、FD之间的数量关系．小芮同学探究此问题的方法是：延长FD到点G，使DG=BE，连接AG，先
证明：△ABE≌△ADG，再证明△AEF≌△AGF，可得出结论，他的结论应是 ；
【灵活运用】（2）如图2，若在四边形ABCD中，AB=AD，∠B+∠D=∠180°，∠BAD=120°，E、
F分别是BC、CD上的点，且∠EAF=60°，（1）中的结论是否仍然成立，说明理由．
【拓展延伸】（3）如图3，在四边形ABCD中，∠ABC+∠ADC=180°，AB=AD，若点E在CB的延
长线上，点F在CD的延长线上，满足EF=BE+FD，请判断∠EAF与∠DAB的数量关系．并证明你的
结论．【模型三：“K子”型（一线三垂直）】
11．（23-24八年级上·广东江门·阶段练习）已知，△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，直线m过点A，
且BD⊥m于D，CE⊥m于E，当直线m绕点A旋转至图1位置时，我们可以发现DE=BD+CE．
（1）当直线m绕点A旋转至图2位置时，问：BD与DE、CE的关系如何？请予证明；
（2）直线m在绕点A旋转一周的过程中，BD、DE、CE存在哪几种不同的数量关系？（直接写出，不必
证明）
12．（23-24八年级上·贵州铜仁·阶段练习）（1）如图1，已知△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，直线
m经过点A,BD⊥直线m，CE⊥直线m，垂足分别为点D,E．求证：DE=BD+CE．
（2）如图2，将（1）中的条件改为：在△ABC中，AB=AC,D,A,E三点都在直线m上，并且有
∠BDA=∠AEC=∠BAC．请写出DE,BD,CE三条线段的数量关系，并说明理由．13．（23-24八年级上·山西大同·阶段练习）某学习小组在探究三角形全等时，发现了下面这种典型的基本
图形．
（1）如图1．已知：在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，直线l经过点A，BD⊥直线l，CE⊥直线
l，垂足分别为点D、E．证明：DE=BD+CE．
（2）组员小明对图2进行了探究，若∠BAC=90°，AB=AC，直线l经过点A．BD⊥直线l，CE⊥直
线l，垂足分别为点D、E．他发现线段DE、BD、CE之间也存在着一定的数量关系，请你直接写出段DE、
BD、CE之间的数量关系，
（3）数学老师赞赏了他们的探索精神，并鼓励他们运用这个知识来解决问题：
如图3，过△ABC的边AB、AC向外作正方形ABDE和正方形ACFG（正方形的4条边都相等，4个角都
是直角），AH是BC边上的高，延长HA交EG于点I，若BH=3，CH=7，求AI的长．
14．（23-24八年级上·河北石家庄·阶段练习）通过对如图数学模型的研究学习，解决下列问题：（1）如图1，∠BAD=90°，AB=AD，过点B作BC⊥AC于点C，过点D作DE⊥AC于点E．由
∠1+∠2=∠2+∠D=90°，得∠1=∠D．又∠ACB=∠AED=90°，可以推理得到△ABC≌△DAE．
进而得到AC=________，BC=AE．我们把这个数学模型称为“K字”模型或“一线三等角”模型；
（2）如图2，∠BAD=∠CAE=90°，AB=AD，AC=AE，连接BC,DE，且BC⊥AF于点F，DE与
直线AF交于点G．求证：点G是DE的中点；
（3）如图3，已知四边形ABCD和DEGF为正方形，△AFD的面积为S ，△DCE的面积为S ，
1 2
S +S =10．求出S 的值．
1 2 1
15．（23-24七年级下·广东深圳·期末）【材料阅读】小明在学习完全等三角形后，为了进一步探究，他尝
试用三种不同方式摆放一副三角板（在△ABC中，∠ABC=90°，AB=CB；△≝¿中，∠≝=90°，
∠EDF=30°），并提出了相应的问题．【发现】（1）如图1，将两个三角板互不重叠地摆放在一起，当顶点B摆放在线段DF上时，过点A作
AM⊥DF，垂足为点M，过点C作CN⊥DF，垂足为点N，
①请在图1找出一对全等三角形，在横线上填出推理所得结论；
∵∠ABC=90°，
∴∠ABM+∠CBN=90°，
∵AM⊥DF，CN⊥DF，
∴∠AMB=90°，∠CNB=90°，
∴∠ABM+∠BAM=90°，
∴∠BAM=∠CBN，
∵∠BAM=∠CBN
∠AMB=∠CNB=90°
AB=BC，
__________；
②AM=2，CN=7，则MN=__________；
【类比】（2）如图2，将两个三角板叠放在一起，当顶点B在线段DE上且顶点A在线段EF上时，过点C
作CP⊥DE，垂足为点P，猜想AE，PE，CP的数量关系，并说明理由；
【拓展】（3）如图3，将两个三角板叠放在一起，当顶点A在线段DE上且顶点B在线段EF上时，若
AE=5，BE=1，连接CE，则△ACE的面积为__________．
