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专题12 与一元一次方程解有关的综合题（解析版）
类型一 已知方程的解求字母的值
a−x bx−3
1．（2021秋•张家港市校级月考）已知：关于x的方程 = 的解是x＝2，若a＝4，求b的值．
2 3
a−x bx−3
【思路引领】将x＝2代入方程 = 中，求出a，b的关系式，再将a＝4代入即可求解．
2 3
a−x bx−3
【解答】解：将x＝2代入方程 = 中得，
2 3
a−2 2b−3
= ，化简得：3a＝4b，
2 3
∵a＝4，
∴b＝3．
【总结提升】本题主要考查了一元一次方程的解，掌握一元一次方程的解法是解题的关键．
1 1
2．（2020秋•绵竹市期末）在做解方程练习时，学习卷中有一个方程“2y− = y+■”中的■没印清晰，
2 2
小聪问老师，老师只是说：“■是一个有理数，该方程的解与当x＝2时代数式5（x﹣1）﹣2（x﹣2）
﹣4的值相同．”小聪很快补上了这个常数．同学们，你们能补上这个常数吗？请说明你给出结论的理
由．
1 1
【思路引领】把x＝2代入代数式5（x﹣1）﹣2（x﹣2）﹣4，求出“2y− = y+■”的y，再代入该式
2 2
子求出■．
【解答】解：当x＝2时代数式5（x﹣1）﹣2（x﹣2）﹣4
＝5x﹣5﹣2x+4﹣4
＝3x﹣5
＝3×2﹣5
＝1，
即y＝1，
1 1
代入方程中得到：2×1− = ×1+■
2 2
解得■＝1．
即这个常数是1．
【总结提升】本题主要考查一元一次方程的解，解题的关键是掌握解一元一次方程和代数式求值的能力．类型二 已知两个方程的解之间的关系求字母的值
1 3x+k 5x−1
3．（2022秋•如东县期中）已知关于x的方程 （1﹣x）＝1﹣k的解与 − =1的解相同，求k
2 4 8
的值．
【思路引领】根据同解方程的定义可得出关于x与k的方程组，再求解即可．
1 3x+k 5x−1
【解答】解：∵关于x的方程 （1﹣x）＝1﹣k的解与 − =1的解相同，
2 4 8
∴x＝2k﹣1，
3x+k 5x−1
把x＝2k﹣1代入 − =1，得2k﹣1+2k＝7，
4 8
解得k＝2，
∴k的值为2．
【总结提升】本题考查了同解方程的定义，掌握同解方程的定义，得出k的值是解题的关键．
m−2
4．（2021春•新蔡县期末）已知关于x的方程2（x+1）﹣m=− 的解比方程5（x﹣1）﹣1＝4（x﹣
2
1）+1的解大2，求m的值．
【思路引领】首先去括号，移项、合并同类项可得 x的值；根据（1）中x的值可得方程2（x+1）﹣m
m−2
=− 的解为x＝3+2＝5，然后把x的值代入可得关于m的方程，再解即可．
2
【解答】解：5（x﹣1）﹣1＝4（x﹣1）+1，
5x﹣5﹣1＝4x﹣4+1，
5x﹣4x＝﹣4+1+1+5，
x＝3；
m−2
根据x＝3的值可得方程：2（x+1）﹣m=− 的解为x＝3+2＝5，
2
m−2
把x＝5代入方程2（x+1）﹣m=− 得：
2
m−2
2（5+1）﹣m=− ，
2
m−2
12﹣m=− ，
2
m＝22．
【总结提升】此题主要考查了一元一次方程的解，关键是掌握使一元一次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元一次方程的解．把方程的解代入原方程，等式左右两边相等．
x+k 2−x
5．（2021秋•东台市月考）若方程3（x﹣1）+8＝x+3与方程 = 的解互为相反数，求（1﹣3k）3
5 3
的值．
【思路引领】求出第一个方程的解得到x的值，代入第二个方程求出k的值即可．
【解答】解：方程3（x﹣1）+8＝x+3，
去括号得：3x﹣3+8＝x+3，
移项合并得：2x＝﹣2，
解得：x＝﹣1，
x+k 2−x 1+k 2−1
把x＝1代入方程 = 得： = ，
5 3 5 3
2
解得：k= ．
3
2
所以（1﹣3k）3＝（1﹣3× ）3＝﹣1．
3
【总结提升】此题考查了一元一次方程的解，解题的关键是求得x＝﹣1和理解相反数的定义．
x+a a
6．（2022春•原阳县月考）若关于x的方程 − =x与方程4x﹣2（3﹣x）+3＝0的解互为倒数，求a
2 3
的值．
1
【思路引领】先求出第二个方程的解是x= ，得出第一个方程的解是x＝2，把x＝2代入第一个方程，
2
得出关于a的一元一次方程，再根据等式的性质求出方程的解即可．
1
【解答】解：解方程4x﹣2（3﹣x）+3＝0得：x= ，
2
x+a a
∵关于x的方程 − =x与方程4x﹣2（3﹣x）+3＝0的解互为倒数，
2 3
x+a a
∴关于x的方程 − =x的解是x＝2，
2 3
x+a a 2+a a
把x＝2代入 − =x得： − =2，
2 3 2 3
解得：a＝6．
【总结提升】本题考查了倒数，解一元一次方程和一元一次方程的解等知识点，能得出关于a的一元一
次方程是解此题的关键．
类型三 一元一次方程的特殊解25 5
7．若方程 x−m= x+139有一个正整数解，则m取的最小正数是多少？并求出相应的解．
3 12
【思路引领】将方程转化为用m来表示x的值的形式，然后根据m的最小正整数解来取x的值即可．
25 5
【解答】解：由 x−m= x+139，得
3 12
100x﹣12m＝5x+1668，
53 12m
即95x＝1668+12m，x=17 + ，
95 95
要使x为正整数，m取最小的正数，
12m 53
∴ =1− ，
95 95
7
∴m= ，
2
7
∴m= 时，x＝18．
2
【总结提升】本题主要考查了关于一元一次方程的正整数根与有理根的题目．在解答此题时，“最小的
正整数是1”是特别关键的可利用的条件．
8．（2020•南通模拟）若关于x的方程2ax＝（a+1）x+6的解为正整数，求整数a的值 2 ， 3 ， 4 ， 7 ．
【思路引领】把a看作已知数表示出方程的解，由方程的解为正整数，确定出整数a的值即可．
【解答】解：方程整理得：（a﹣1）x＝6，
6
解得：x= ，
a−1
6
由方程的解为正整数，即 为正整数，得到整数a＝2，3，4，7，
a−1
故答案为：2，3，4，7
【总结提升】此题考查了一元一次方程的解，方程的解即为能使方程注意两边相等的未知数的值．
7 4
9．（2022秋•崇川区校级月考）关于x的方程mx+ =x+ 有正整数解，求整数m的值．
3 3
【思路引领】将x转化为关于m的代数式，根据x为整数，即可推知m的值．
7 4
【解答】解：由mx+ =x+ ，
3 3
1
解得 ，
1−m
因为x是正整数，则1﹣m是1的正因数，故1﹣m＝1，
解得m＝0．
【总结提升】此题考查了二元一次不定方程，将原式转化为关于一个未知数的代数式，根据“整数”这
一条件进行推理是解题的关键．
2kx+a x−bk
10．若a、b为定值，关于x的一元一次方程 − =2，无论k为何值时，它的解总是x＝﹣1，
3 6
求2a+3b的值．
【思路引领】把x＝﹣1和k的两个不同值代入方程，即可得到一个关于a、b的方程组，从而求解．
2kx+a x−bk −2k+a −1−bk
【解答】解：把x＝﹣1代入方程 − =2得： − =2，
3 6 3 6
∴（﹣4+b）k+2a＝11，
∵与k无关，
∴﹣4+b＝0，
∴b＝4，
11
∴a= ，
2
∴2a+3b＝11+12＝23．
【总结提升】本题含有一个未知的系数．根据已知条件求未知系数的方法叫待定系数法，在以后的学习
中，常用此法求函数解析式．
类型四 一元一次方程中的新定义问题
11．（2022秋•启东市校级月考）我们规定，若关于 x的一元一次方程ax＝b的解为x＝b﹣a，则称该方程
为“差解方程”，例如：2x＝4的解为2，且2＝4﹣2，则方程2x＝4是差解方程．
请根据上述规定解答下列问题：
（1）判断3x＝4.5是否是差解方程；
（2）若关于x的一元一次方程5x＝m+1是差解方程，求m的值．
【思路引领】（1）解方程，并计算对应b﹣a的值与方程的解恰好相等，所以是差解方程；
（2）解方程，根据差解方程的定义列式，解出即可．
【解答】解：（1）∵3x＝4.5，
∴x＝1.5，
∵4.5﹣3＝1.5，
∴3x＝4.5是差解方程；
（2）5x＝m+1，m+1
x= ，
5
∵关于x的一元一次方程5x＝m+1是差解方程，
m+1
∴m+1﹣5= ，
5
21
解得：m= ．
4
【总结提升】本题考查了一元一次方程的解与新定义：差解方程，解好本题是做好两件事：①熟练掌
握一元一次方程的解法；②明确差解方程的定义，即b﹣a＝方程的解．
12．（2018春•启东市校级期中）我们规定：若关于 x的一元一次方程ax＝b的解为x＝b+a，则称该方程
为“和解方程”．例如：方程2x＝﹣4的解为x＝﹣2，而﹣2＝﹣4+2，则方程2x＝﹣4为“和解方程”．
请根据上述规定解答下列问题：
（1）已知关于x的一元一次方程3x＝m是“和解方程”，求m的值；
（2）已知关于x的一元一次方程﹣2x＝mn+n是“和解方程”，并且它的解是x＝n，求m，n的值．
【思路引领】（1）根据和解方程的定义即可得出关于m的一元一次方程，解之即可得出结论；
（2）根据和解方程的定义即可得出关于m、n的二元二次方程组，解之即可得出m、n的值．
【解答】解：（1）∵方程3x＝m是和解方程，
m
∴ =m+3，
3
9
解得：m=− ．
2
（2）∵关于x的一元一次方程﹣2x＝mn+n是“和解方程”，并且它的解是x＝n，
∴﹣2n＝mn+n，且mn+n﹣2＝n，
2
解得m＝﹣3，n=− ．
3
【总结提升】本题考查了一元一次方程的解、解一元一次方程以及二元二次方程组，解题的关键是：根
据“和解方程“的定义列出关于m的一元一次方程；根据和解方程的定义列出关于 m、n的二元二次方
程组．
13．（2021秋•崇川区校级月考）现定义运算“*”，对于任意有理数a，b，满足a*b {2a−b(a≥b))
=
a−2b(a＜b)1 1 3
．如5*3＝2×5﹣3＝7， *1= −2×1=− ．
2 2 2
（1）计算：（2*3）﹣（4*3）．
（2）若x*3＝5，求有理数x的值．
【思路引领】（1）利用新定义计算即可求出值；
（2）分类讨论x的范围，利用题中的新定义化简已知等式，求出x的值即可．
【解答】解：（1）∵a*b {2a−b(a≥b))，
=
a−2b(a＜b)
∴（2*3）﹣（4*3）
＝（2﹣2×3）﹣（2×4﹣3）
＝（2﹣6）﹣（8﹣3）
＝（﹣4）﹣5
＝﹣9；
（2）当x≥3时，
x*3＝5，
2x﹣3＝5，
解得：x＝4，
当x＜3时，
x*3＝5，
x﹣2×3＝5，
解得：x＝11（舍去），
∴x＝4．
【总结提升】本题考查了列代数式，正确理解新定义的含义是解决问题的关键．
