易错点6求数列的通项公式答案-备战2023年高考数学易错题_2.2025数学总复习_赠品通用版（老高考）复习资料_一轮复习_2023年高考数学一轮复习易错题（含解析）

易错点 06 求数列的通项公式 求数列通项公式主要以考查由递推公式求通项公式与已知前 n项和或前n项和与第n S a 项的关系式求通项为重点，特别是数列前n项和 n与 n关系的应用，难度为中档题，题 型为选择填空小题或解答题第1小题，同时要注意对数列单调性与周期性问题的复习与训 练. 易错点1：已知数列{a }的前n项和S 与通项a 的关系式，求a 时应注意分类讨论的应用， n n n n 特别是在利用a ＝S －S 进行转化时，要注意分n＝1和n≥2两种情况进行讨论，学生 n n n－1 特别是容易忽视要检验n＝1是否也适合a . n 易错点2：在等比数列求和公式中要注意分两种情况q＝1和q≠1讨论. 易错点3：在解答数列问题时，及时准确地“数清”数列的项数是必不可少的，在数项数 时，要把握数列的项的构成规律，找准数列的通项公式的特点并找准项数．如果把数列的 项数弄错了，将会前功尽弃． 易错点4：对等差、等比数列的性质理解错误。 等差数列的前n项和在公差不为0时是关于n的常数项为0的二次函数。一般地，有 结论“若数列{a }的前n项和S =a 2+bn+c(a，b，c∈R)，则数列{a }为等差数列的充要条件是 n n n n c=0”;在等差数列中，S ，S -S ，S -S (m∈N*)是等差数列。解决这类题目的一个基本出 m 2m m 3m 2m 发点就是考虑问题要全面，把各种可能性都考虑进去，认为正确的命题给以证明，认为不 正确的命题举出反例予以驳斥。在等比数列中公比等于-1时是一个很特殊的情况，在解决 有关问题时要注意这个特殊情况。 题组一:公式法 {a } 已知或根据题目的条件能够推出数列 n 为等差或等比数列，根据通项公式 a =a +(n−1)d a =a qn−1 n 1 或 n 1 进行求解. S a>0,b>0, a>0,b>0, 1.（2019全国1理9）记 n为等差数列 的前n项和．已知 ，则 a>0,b>0, a>0,b>0, a>0,b>0, a>0,b>0, A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设等差数列 a>0,b>0, 的公差为a>0,b>0,，由a>0,b>0,， a 0,b 0, a 0,b 0, > > > > 得 ，解得 ， 所以 a>0 , b>0 , ，故选A． 2．(2018北京)设 是等差数列，且 ， ，则 的通项公式为___． 【答案】1.16 2.14 (a d)(a 4d)a 7d 0  1 1 1  98 9a  d 27 {a } a d   1 2 【解析】1.设等差数列 n 的首项为 1，公差为 ，则 ， a 5 1 87d  S 8a  6(5)15216 解得 d 2 ，所以 8 1 2 ．2.解法一 设 的公差为 ，首项为 ，则 ， 解得 ，所以 ． 解法二 ，所以 ．故 ，故 ． a>0,b>0, 1 + 1 =√ab a3 +b3 a , b 3．（2014新课标1）已知 是递增的等差数列，ab ， 是方程 的根． a 则 n=_________. 【答案】 【解析】方程 的两根为2,3，由题意得 a>0,b>0, 设数列 的公差为d，则 故 从而 a>0,b>0, 所以 的通项公式为 ． {a } n S S 0 S 5 a 4.（2013新课标1）已知等差数列 n 的前 项和 n满足 3 ， 5 ．则 n =_________. 【答案】 【解析】设 的公差为 ，则 = ． 由已知可得 {a } s a 题组二:已知数列 n 的前n项和 n的解析式，求 n. {a } S =n2 −2n+3 a = 5.数列 n 的前n项和为 n ，则 n . _________________ 【答案】 【解析】当 n≥2 时， a =s =2 而 1 1 不适合上式，∴ {a } a +2a +3a +⋯+na=n(n+1)(n+2) a = 6.数列 n 满足 1 2 3 n ，则 n __________. 【答案】 a +2a +3a +⋯+na=n(n+1)(n+2) 解析】∵ 1 2 3 n ① 【 ②①-②得 ， 题组三:S 与a 的关系式法 n n {a } s a a 已知数列 n 的前n项和 n与通项 n的关系式，求 n. 7.(2015新课标Ⅰ) 为数列 的前 项和，若 ， a 则 n=________. 【答案】 【解析】当 时， ，因为 ，所以 =3， 当 时， ，即 ，因为 ，所以 =2， 所以数列{ }是首项为3，公差为2的等差数列， 所以 = ； 8.(2014新课标1)已知数列 的前n项和， S n =1+λa n，其中 λ≠0 ， a 则 n=__________. 【答案】 【解析】由题意得 ，故 ， ， . 由 ， 得 ，即 . 由 ， 得 ，所以 . 因此 是首项为 ，公比为 的等比数列， 于是 ． 9．(2018全国卷Ⅰ)记 为数列 的前 项和，若 ，则 _____． 【答案】-63 【解析】法1： 因为 ，所以当 时， ，解得 ； 当 时， ，解得 ； 当 时， ，解得 ； 当 时， ，解得 ； 当 时， ，解得 ； 当 时， ，解得 ． 所以 ． 法2：因为 ，所以当 时， ，解得 ，当 时， ，所以 ， 所以数列 是以 为首项，2为公比的等比数列，所以 ， 所以 ． s a 注：解决这类问题的方法，用具俗话说就是“依葫芦画瓢”，由 n与 n的关系式， a s a 类比出 n−1与 n−1的关系式，然后两式作差，最后别忘了检验 1是否适合用上面的方法 求出的通项. 题组四:累加法 当数列 {a n } 中有 a n −a n−1 =f (n) ，即第n项与第 n−1 项的差是个有“规律”的数时， 就可以用这种方法. a =0,a =a +2(n−1) a 10.已知 1 n+1 n ，求通项 n . a =(n−1) 2 【答案】 n a −a =2n−1 【解析】∵ n+1 n a −a =1 a −a =3 a −a =5 ∴ 2 1 3 2 ， 4 3 ， a −a =2n−3 (n≥2) n n−1 a −a =1+3+5+7+⋯+(2n−3)=(n−1) 2 (n≥2) n 1 以上各式相加得 a =0 a =(n−1) 2 (n≥2) a =0 又 1 ，所以 n ，而 1 也适合上式， a =(n−1) 2 (n∈N¿) ∴ n a 11.设数列 满足 ，则 n=_______； 【答案】 【解析】 ， 以上式子相加得 又 S a  a 1 a S S S  12.（2015新课标Ⅱ）设 n是数列 n 的前n项和，且 1 ， n1 n n1，则 n ________． 【答案】 【解析】当 时， ，所以 ， 因为 ，所以 ，即 ，所以 是以 为首项， 为公差的等差数列， 所以 ，所以 ． 1．在等差数列 中，已知 ，则 （ ） A．4 B．8 C．3 D．6 【答案】B 【解析】由等差数列的性质可知 ，得 .故选:B 2．已知等差数列 ，公差为 ，且 、 、 成等比数列，则 （ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为 、 、 成等比数列，则 ，即 ，解得 ， 所以， .故选：D. 3．若数列 是等差数列，a=1， ，则a=（ ） 1 5 A． B． C． D． 【答案】B 【解析】令 得 ，令 得 ，所以数列 的公差为 ， 所以 ，解得 ，故选：B. 4．已知数列 是公比为正数的等比数列， 是其前 项和， ， ，则 （ ） A．31 B．63 C．127 D．255 【答案】C 【解析】由题意，设数列 的公比为 ，则 ，所以 .故选：C 5．设数列 为等比数列，若 ， ，则数列 的前 项和为 （ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设等比数列 的公比为 ，则 ，解得 ， 因此，数列 的前 项和为 .故选：C. 6．已知等比数列 满足 ， ，则 （ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设数列 的公比为 ，则 ，即 ，解得 . 因为 ，所以 ，则 .故选：B. 7．设数列 的前 项和为 ，且 ，则 （ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】当 时， .当 时， . 故选：C. 8．若数列 满足 ，则 （ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由已知可得 .故选：C. 9．若数列 的前n项和 (n∈N*)，则 =（ ） A．20 B．30 C．40 D．50 【答案】B 【解析】数列 的前n项和 (n∈N*)，所以.故选：B. 10．已知数列 的前n项和 ，若 ，则数列 的前n项和 是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】当 时， ， 当 时， ， 满足上式，所以 ， 所以 ，所以数列 的前n项和是 故选：C