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专题14.14 乘法公式（分层练习）（基础练）
一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．（2022秋·重庆开州·八年级校联考期中）下列各式能用平方差公式计算的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2023秋·四川内江·九年级四川省内江市第二中学校考阶段练习）已知 的三边 满足
，则周长为（ ）
A． B． C． D．
3．（2022秋·福建泉州·八年级校考阶段练习）已知 ，且 ，则 的值为
（ ）
A．3 B． C． D．
4．（2023秋·重庆渝中·八年级重庆巴蜀中学校考阶段练习）若多项式 是完全平方
式，则 的值为（ ）
A． B．7或 C．7 D．
5．（2023春·浙江宁波·七年级校考期末）马虎同学在下面的计算中只做对了一道题，他做对的题目是
（ ）
A． B．
C． D．
6．（2022春·安徽合肥·七年级校考期末）如图，从边长为 的大正方形纸片中挖去一个边长为 的小
正方形纸片后，将其沿实线裁成两个相同的直角梯形，然后拼成一个等腰梯形（如图），则通过计算图形
阴影部分的面积，可以验证成立的公式是（ ）A． B．
C． D．
7．（2023·全国·八年级专题练习）已知 ，则M的个位数字为（
）
A．1 B．3 C．5 D．7
8．（2023春·全国·七年级专题练习）小明在计算 时，找不到计算器，去向小华借，
小华看了看题说根本不用计算器，而且很快说出了答案，则小华说出的正确答案是（ ）
A． B． C． D．
9．（2021秋·八年级单元测试）小明做了以下5道题：①（x﹣1）（x+4）=x2﹣4；②（﹣3+x）
（3+x）=x2﹣9；③（﹣5x+7y）（﹣5x﹣7y）=25x2﹣49y2；④（xy﹣6）2=x2y2﹣12xy+36；⑤（﹣x﹣y）
2=x2+2xy+y2，你认为小明一共做对了（ ）
A．5道 B．4道 C．3道 D．2道
10．（2023秋·广东惠州·八年级统考期末）我们在学习许多代数公式时，可以用几何图形来推理验证，
观察下列图形，可以推出公式 的是图（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）
11．（2022秋·江苏苏州·九年级校考阶段练习）若 ，且 ，则 的值为．
12．（2023秋·上海松江·七年级校考阶段练习）若 ，则 ．
13．（2023秋·北京海淀·八年级校考期中）若 ， ，则 ．
14．（2023春·陕西西安·七年级校考阶段练习）若 是一个完全平方式，则k的值是
15．（2022秋·江苏南京·九年级校考阶段练习）若代数式 可以表示为 ，则
．
16．（2023春·浙江金华·九年级校联考期中）在数学中，有时会出现大数值的运算．在学习了整式的
乘法以后，通过用字母代替数转化成整式乘法来解决，能达到化繁为简的效果。例：若 ，
，比较 、 的大小时，设 ，则 ， ．
∵ ，∴ ．参考上述解题过程，计算： ．
17．（2023春·浙江·七年级期末）可利用完全平方式 求某些多项式的最小值．例如，
，由 非负性知，当 时，多项式 有最小值1．则
对于多项式 ，当 时，有最小值是 ．
18．（2023·吉林长春·吉林省第二实验学校校考二模）现有甲、乙、丙三种不同的矩形纸片（边长如
图）．嘉嘉要用这三种纸片紧密拼接成一个大正方形，先取甲纸片4块，再取乙纸片9块，还需取丙纸片
块．
三、解答题（本大题共6小题，共58分）
19．（8分）（2023春·全国·七年级专题练习）计算：
（1）（x+2y）（2x﹣y） （2）（2a﹣3b）（﹣2a﹣3b）20．（8分）（2023春·全国·七年级专题练习）计算：
（1） ； （2） ．
21．（10分）（2023春·湖南永州·七年级校考阶段练习）先化简，再求值：
，其中 ．
22．（10分）（2023春·广东清远·八年级校考期中）（1）已知 ，求代数式
的值；
（2）已知 ，求 的值．
23．（10分）（2023春·全国·七年级阶段练习）（1）已知 ， ，求 的值；
（2）已知 ，求 的值．24．（12分）（2023春·七年级课时练习）图①是一个长为 ，宽为 的长方形，沿图中虚线用剪
刀把它平均分成四个小长方形，然后按图②的形状拼成一个正方形（不重叠，无遮挡）．
（1）图②中的阴影部分的面积为________；
（2）观察图②，可得三个代数式 ， ， 之间的等量关系是________；
（3）若 ， ，求 的值；
（4）观察图③，利用得到的代数等式的启发，试画出一个几何图形，使它的面积能表示
．
参考答案
1．C
【分析】根据平方差公式的特点：两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互
为相反数，对各选项分析判断后利用排除法求解．
解：A．相同字母的系数不同，不能用平方差公式计算；
B．含y的项系数符号相反，但绝对值不同，不能用平方差公式计算；
C．含x的项符号相同，含y的项符号相反，能用平方差公式计算；
D．相同字母的系数不同，不能用平方差公式计算．
故选：C．
【点拨】本题考查了平方差公式，注意两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数，并且相同
的项和互为相反数的项必须同时具有，熟记公式结构是解答本题的关键．2．B
【分析】根据平方数的非负性，绝对值的非负性，分别求出 的值，由此即可求解．
解：已知 ，
∴ ，整理得， ，
∴ ，
∴ 的周长为 ，
故选： ．
【点拨】本题主要考查完全平方公式的运用，平方数的非负性，绝对值的非负性，掌握以上知识是解
题的关键．
3．D
【分析】根据完全平方公式将已知转化得到 ， ，即可求得答案．
解： ，
， ，
，
，
，
．
故选：D．
【点拨】本题考查了完全平方公式以及整体代入的相关知识，熟记完全平方公式是解题的关键．
4．B
【分析】根据完全平方公式的特征判断即可得到k的值即可．
解： 多项式 是完全平方式，
，
，
或 ，故选：B．
【点拨】本题主要考查完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解题的关键．
5．D
【分析】根据合并同类项，单项式除以单项式，单项式乘单项式的法则，完全平方公式进行计算，逐
一判断即可解答．
解：A、 与 不能合并，故A不符合题意；
B、 ，故B不符合题意；
C、 ，故C不符合题意；
D、 ，故D符合题意；
故选：D．
【点拨】本题考查了整式的混合运算，准确熟练地进行计算是解题的关键．
6．D
【分析】根据阴影部分面积的不同方式可求得此题结果．
解：∵图形中阴影部分的面积可表示为 或 ，
∴ ，
故选：D．
【点拨】此题考查了乘法公式几何背景问题的解决能力，关键是能根据题意准确列式，并能利用关系
式推导出乘法公式．
7．D
【分析】先计算出 ，先根据 的个位数字每4个一循环，求出 的个位数字为8，即可得
出答案．
解：，
∵ ， ， ， ， ……，
∴ 的个位数字每4个一循环，
∵ ，
∴ 的个位数字与 的个位数字相同，
∴ 的个位数字为8，
∴ 的个位数字为7，故D正确．
故选：D．
【点拨】本题主要考查了平方差公式的应用，数字规律探索，解题的关键是利用平方差公式求出
．
8．B
【分析】把 拆分为 ，把 拆分为 ，然后根据完全平方公式展开，再合并
计算，最后约分，即可得出答案．
解：
．
故选：B
【点拨】本题考查了完全平方公式，解本题的关键在把 拆分为 ，把 拆分为．
9．B
【分析】根据多项式乘多项式、平方根差公式、完全平方公式等知识点逐个排查即可．
解：①（x﹣1）（x+4）=x2+3x﹣4，不符合题意；
②（﹣3+x）（3+x）=x2﹣9，符合题意；
③（﹣5x+7y）（﹣5x﹣7y）=25x2﹣49y2， 符合题意；
④（xy﹣6）2=x2y2﹣12xy+36，符合题意；
⑤（﹣x﹣y）2=x2+2xy+y2，符合题意．
故选B．
【点拨】本题主要考查了多项式乘多项式、平方根差公式、完全平方公式等知识点，灵活运用相关运
算法则和公式是解答本题的关键．
10．D
【分析】根据长方形的面积逐一分析即可得解．
解：A．由图形面积可得 ，故本选项不符合题意；
B．由图形面积可得 ，故本选项不符合题意；
C．由图形面积可得 ，故本选项不符合题意；
D．由图形面积可得 ，故本选项不符合题意；
故选D．
【点拨】本题主要考查了多项式乘单项式、多项式乘多项式、完全平方公式的几何验证，熟记完全平
方公式是解题的关键．
11．5
【分析】将已知两等式作差，利用平方差公式求解即可．
解：∵ ， ，
∴ ，即 ，
∵ ，即 ，
∴ ，
故答案为：5．【点拨】本题考查平方差公式的应用、等式的性质，熟练掌握平方差公式的运用是解答的关键．
12．6
【分析】将等式左边利用完全平方公式展开，根据两个多项式相等，对应项的系数相等的条件求出
和 的值，代入计算即可．
解：化简得 ，
解得 ，
则 ．
故答案为：6．
【点拨】本题主要考查完全平方公式及两个多项式相等的含义，熟练掌握完全平方公式是解题的关键．
13．19
【分析】根据完全平方公式变形计算即可得解．
解：∵ ，
∴ ，
∴ ．
故答案为：19．
【点拨】本题考查整体代入法和完全平方公式，掌握这两点是解题关键．
14．25
【分析】根据完全平方式 的特点求解即可．
解：∵ 是一个完全平方式，
∴ ，则 ，
故答案为：25
【点拨】本题考查完全平方式，熟知完全平方式的结构特点是解答的关键．
15．
【分析】运用整式的混合运算法则展开 ，再根据 可求出 的值，代入即
可求解．解：
，
∵ ，
∴ ，解得， ，
∴ ，
故答案为： ．
【点拨】本题主要考查整式的混合运算，解二元一次方程组，掌握整式混合运算的方法，解方程的方
法，代入求值的计算方法是解题的关键．
16．
【分析】根据平方差公式进行计算即可求解．
解： ，
故答案为： ．
【点拨】本题考查了平方差公式，熟练掌握平方差公式是解题的关键．
17． 1 -1
【分析】利用完全平方公式把代数式变形成偶次方加一个数的形式，再让偶次方等于0，求出x的值，
确定此时的最小值．
解：
，
时，有最小值是 ．
故答案为：1； ．【点拨】考查完全平方公式的应用，掌握完全平方公式，会凑完全平方式子是做题关键．
18．12
【分析】根据完全平方式进行配方可得此题结果．
解：∵ ，
∴还需取丙纸片12块，
故答案为：12．
【点拨】此题考查了解决完全平方式几何背景问题的能力，关键是能结合图形构造完全平方式．
19．（1） ；（2）
【分析】（1）根据整式的乘法运算法则即可求解；
（2）根据平方差公式即可求解．
解：（1）（x+2y）（2x﹣y）＝2x2-xy+4xy﹣2y2=2x2+3xy﹣2y2；
（2）（2a﹣3b）（﹣2a﹣3b）＝（﹣3b）2﹣（2a）2＝9b2﹣4a2．
【点拨】此题主要考查整式的乘法，解题的关键是熟知平方差公式．
20．（1） ；（2） ．
【分析】（1）先利用完全平方公式计算 再去括号，合并同类项即可得到答案；
（2）分别利用完全平方公式进行简便运算，再去括号，合并同类项即可得到答案.
解：（1）
（2）
【点拨】本题考查的是整式的乘法运算，多项式乘以多项式，完全平方公式的应用，掌握利用完全平
方公式进行简便运算是解题的关键.
21．3a2-6a-5；1
【分析】根据完全平方公式、平方差公式和多项式乘多项式可以将题目中的式子展开，然后合并同类
项，再根据a2-2a-2=0，可得a2-2a=2，再将a2-2a=2代入所求式子计算即可．解：（a-1）2+（a+3）（a-3）+（a-3）（a-1）
=a2-2a+1+a2-9+a2-4a+3
=3a2-6a-5
∵a2-2a-2=0，
∴a2-2a=2，
当a2-2a=2时，原式=3（a2-2a）-5=1．
【点拨】本题考查整式的化简求值，熟练掌握运算法则和运算顺序是解答本题的关键，注意完全平方
公式和平方差公式的应用．
22．（1） ，2；（2）7
【分析】（1）先用平方差公式将原式进行化简，再将 代入进行计算即可；
（2）根据完全平方公式的变形进行计算即可得到答案．
解：（1）
，
当 时， 原式 ；
（2） ，
．
【点拨】本题考查了求代数式的值，运用平方差公式、完全平方公式的变形进行计算，熟练掌握平方
差公式以及完全平方公式的变形是解题的关键．
23．（1）45 （2）23
【分析】（1）根据完全平方公式的变形求值即可；
（2）根据完全平方公式的变形求值即可．
解：解（1）∵ ，
∴；
（2）∵ ，
∴
．
【点拨】本题主要考查了完全平方公式的变形求值，熟知完全平方公式是解题的关键．
24．（1） ；（2） ；（3） ；（4）
，见分析
【分析】（1）图②中阴影部分为边长为 的正方形，从而其面积可求；
（2）大正方形的面积减去长方形的面积可得阴影部分的面积，也可得出三个代数式 ，
， 之间的等量关系；
（3）由（2）所得出的关系式，可求出 ，从而可求出 的值；
（4）可参照第四题画图．
（1）解：根据题意得图②中阴影部分为边长为 的正方形，
∴阴影部分的面积为 ，
故答案为： ；
（2）解：最外层大正方形的面积为 ，4个长方形的面积为 ，
阴影部分面积为 ，总体看图形的面积和部分之和的面积相等，
∴ ，故答案为： ；
（3）解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
（4）解： ，
画出一个几何图形，如下：
【点拨】本题考查了完全平方公式的几何背景，数形结合、明确图形的面积表达方式，是解题的关键．
