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专题14.32 整式的乘法与因式分解（全章分层练习）（提升练）
一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．（2023秋·上海松江·七年级校考阶段练习） 成立的条件是（ ）
A． 为奇数 B． 是正整数 C． 是偶数 D． 是负数
2．（2021春·安徽安庆·七年级统考期末）已知 （ ，a，b是正整数），则
（ ）
A．12 B． C． D．
3．（2023春·山东枣庄·七年级校考期中）若 ，则 （ ）
A．5 B．6 C．10 D．15
4．（2023秋·全国·八年级专题练习）计算 时，下列变形正确的是（ ）
A． B．
C． D．
5．（2022春·河北石家庄·七年级石家庄二十三中校考期末）在对多项式 因式分解的过程中，
没有用到的方法有（ ）
A．提公因式 B．平方差公式 C．完全平方公式 D．提公因式
6．（2023春·全国·八年级专题练习）把 提公因式后，其中一个因式是（a－b），则
另一个因式是（ ）
A． B． C． D．
7．（2022秋·八年级课时练习）计算： （ ）
A．5000a B．1999a C．10001a D．10000a
8．（2022秋·广东河源·七年级统考期中）已知 ，则 的值为（
）A．12 B．24 C．28 D．44
9．（2023秋·福建泉州·八年级福建省泉州第一中学校考阶段练习）用乘法公式计算
的结果（ ）
A． B． C． D．
10．（2023秋·四川宜宾·八年级四川省宜宾市第二中学校校考阶段练习）“杨辉三角”给出了
展开式的系数规律（其中n为正整数，展开式的项按a的次数降幂排列），它的构造规则是：两腰上都是
数字1，而其余的数则是等于它肩上的两个数之和．例如： 展开式的项的系数1，2，
1与“杨辉三角”第三排对应： 展开式的项的系数1，3，3，1与“杨辉三
角”第四排对应；依此类推…判断下列说法正确的是（ ）
①“杨辉三角”第一排是1，第六排数字依次是：1，5，10，10，5，1；
②当 时，代数式 的值为 ；
③ 展开式中所有系数之和为 ；
④当代数式 的值为1时， 或3．
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④
二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）
11．（2022春·湖南郴州·七年级校考期中）
12．（2023秋·河南南阳·八年级校考阶段练习）若M是一个单项式，且 ，
则
13．（2023春·浙江绍兴·七年级统考期末）现有下列多项式:① ；② ；③ ；④ ．在因式分解的过程中用到“平方差公式”来分解的多项式有 ．（只需填上题序号即可）
14．（2022春·广东佛山·七年级校考专题练习）若 则 的值为
．
15．（2023秋·山东淄博·八年级周村二中校考阶段练习）如果 是一个完全平方式，
那么 的值是 ．
16．（2023春·浙江温州·七年级校考期末）若n满足关系式 ，则代数式
的值是 ．
17．（2022秋·山东东营·八年级校考阶段练习）如图，将一张长方形纸板按图中虚线裁剪成九块，其
中有两块是边长都为m的大正方形，两块是边长都为n的小正方形，五块是长为m，宽为n的全等小长方
形，且 （以上长度单位：cm）．观察图形，可以发现代数式 可以因式分解为 ．
18．（2023秋·福建厦门·八年级校考期末）对于二次三项式 （ 为常数），有下列结论：
①若 ，且 ，则 ；
②若 ，则 ；
③若 ，则无论 为何值， ；
④若 ，且 ，其中 为整数，则 可能的取值有8个．其中正确的是
．（只填写序号）
三、解答题（本大题共6小题，共58分）
19．（8分）（2023秋·北京海淀·八年级北大附中校考期中）计算：（1） （2）
20．（8分）（2023春·江西赣州·七年级校考阶段练习）
（1）计算 （2）计算 ．
21．（10分）（2023秋·山西临汾·八年级校考阶段练习）先化简，再求值：
（1） ，其中 ；
（2）已知 ，求代数式 的值．
22．（10分）（2022秋·北京·八年级校联考阶段练习）分解因式：
（1） ； （2） ．
23．（10分）（2023秋·四川宜宾·八年级校考阶段练习）探索题：……
（1）当 时， ＝ ．
（2）试求： 的值．
（3）判断 的值个位数字是 ．
24．（12分）（2023秋·广东江门·八年级江门市怡福中学校考阶段练习）教材中这样写道：“我们把
多项式 及 叫做完全平方式”，如果关于某一字母的二次多项式不是完全平方式，
我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不
变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多
项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值，最小值等．
例如：分解因式 ，
原式： ．
根据阅读材料用配方法解决下列问题：
（1）分解因式： ；
（2）求代数式 的最小值；
（3）当a，b，c分别为 的三边时，且满足 时，判断 的形
状并说明理由．参考答案：
1．C
【分析】由 ，可得 ，则 为奇数，即 是偶数，然后作答即
可．
解：∵ ，
∴ ，
∴ 为奇数，即 是偶数，
故选：C．【点拨】本题考查了积的乘方，乘方．解题的关键在于熟练掌握：负数的偶次方为正数，负数的奇次
方为负数．
2．D
【分析】先根据幂的乘方的逆运算得到 ，然后利用同底数幂除法的逆运算进行计算，
即可得到答案．
解：∵ ，∴ ，
∴ ，
故选：D．
【点拨】本题考查了幂的乘方，同底数幂除法，灵活运用其逆运算是解题关键．
3．A
【分析】根据平方差公式即可求解．
解：∵ ， ，
∴ ，
故选：A．
【点拨】本题考查了平方差公式，熟练掌握平方差公式是解题的关键．
4．D
【分析】将 看做一个整体，则 是相同项，互为相反项的是 ，对照平方差公式变形即可
求解．
解： ，
故选：D．
【点拨】本题考查了平方差公式，解题的关键是找出相同项和相反项．
5．C
【分析】将整式因式分解后进行判断即可．
解：原式
，
它先提公因式2 ，然后利用平方差公式因式分解，
那么没有用到完全平方公式，故选：C．
【点拨】本题考查因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．
6．B
【分析】先提取公因式 把原式分解因式，从而可以得到另一个因式．
解：
另一个因式是5-m．
故选B
【点拨】本题考查的是提公因式法分解因式，掌握“利用提公因式的方法分解因式”是解本题的关键．
7．D
【分析】先提取公因式，再运用平方差公式即可求解．
解：
，
故选：D．
【点拨】本题考查了运用提取公因式和平方差公式对代数式进行化简的知识，掌握平方差公式是解答
本题的关键．
8．D
【分析】由 ，可得 ， ，整理得， ， ，根
据 ，代值求解即可．
解：∵ ，
∴ ， ，整理得， ， ，
∴ ，
故选：D．
【点拨】本题考查了绝对值的非负性，完全平方公式的变形，代数式求值．解题的关键在于对绝对值
的非负性，完全平方公式的变形的熟练掌握与正确运算．
9．B
【分析】先乘以 ，再依次根据平方差公式进行计算即可．
解：
，
故选：B．
【点拨】本题考查了平方差公式的应用，主要考查学生运用公式进行计算的能力，注意：
，难度适中．
10．C
【分析】运用杨辉三角形的排列规律，及展开式的系数规律采用赋值法逐一验证即可求解．
解：如图，
依次规律可得“杨辉三角”第六排数字依次是：1，5，10，10，5，1，故说法①正确；当 时， ，故②说法错误；
令 ，则 ，故说法③正确；
当代数式 的值为1时，
即 ，
∴ ，
∴ 或 （不合题意，舍去），
∴ ，
解得 或 ，故说法④正确，
综上可得，说法正确的有①③④，
故选：C．
【点拨】本题考查了杨辉三角的规律与展开式的系数规律，正确把握其中的关系以及合理使用赋值法
是解题的关键．
11． /
【分析】根据平方差公式求解即可．
解： ．
故答案为： ．
【点拨】此题考查了平方差公式，解题的关键是熟练掌握平方差公式．
12．
【分析】通过因式分解， ，求得 ．
解：∵
∴ ．
故答案为： ．【点拨】本题考查因式分解与整式乘法；通过因式分解将多项式化为两个代数式的积的形式是解题的
关键．
13．①③④
【分析】根据因式分解的方法和平方差公式的结构特征 逐个判断即可．
解：∵① ，用到平方差公式；
② ，未用到平方差公式；
③ ，用到平方差公式；
④ ，用到平方差公式；
∴在因式分解的过程中用到“平方差公式”来分解的多项式有①③④，
故答案为：①③④．
【点拨】本题考查因式分解、平方差公式，熟记平方差公式的结构特征是解答的关键．
14．4
【分析】根据 得到 ，化简被求代数式，整体代入计算即可．
解：∵ ，
∴ ，
∴
，
故答案为：4．
【点拨】本题考查了整体思想计算代数式的值，熟练掌握思想是解题的关键．
15． 或
【分析】根据完全平方公式：两数的平方和加上（减去）这两个数积的 倍，即为两数和（差）的平
方，列出 的方程，求出即可．解：∵ ，
∴ ，
解得： 或 ，
故答案为： 或 ．
【点拨】此题考查了完全平方公式的特征，熟练掌握完全平方公式含有三项：首平方，尾平方，首尾
二倍在中央，首尾同号是解题的关键．
16．
【分析】设 ，则可得 ， ，根据完全平方公式
即可求出 的值，即 的值．
解：设 ， ，
则 ，
．
，
，
，
．
故答案为：
【点拨】本题主要考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式，并且灵活运用换元法是解题的关键．
17．
【分析】由图可知， 是长方形纸板的面积，即可得出结论．
解：由图可知，长方形的两条邻边的长分别为： ，
∴长方形纸板的面积为： ，
又长方形纸板的面积 ，∴ ；
故答案为： ．
【点拨】本题考查多项式乘多项式与几何图形的面积，因式分解的应用．解题的关键是正确的识图，
用两种方法表示出长方形纸板的面积．
18． /
【分析②】④根④据②完全平方公式以及十字相乘法因式分解以及多项式乘以多项式的运算法则进而判断得出
答案即可．
解：①若 ，且 ，
则有 ，
∴ ，
故说法①错误；
②若 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故说法②正确；
③若 ，则 ，
则 ，
∵ ，
∴ ，
故说法③错误；
④若 ，且 ，
则 ，
∴ ，∵ 为整数，
∴ 或 或 或 或 或 或
或 ，
∴ 或 或 或 或 或 或 或 共 种，
故说法④正确，
故答案为：②④．
【点拨】本题考查了完全平方公式以及多项式乘以多项式，十字相乘法因式分解等知识点，熟练掌握
多项式乘以多项式运算法则以及乘法公式是解本题的关键．
19．（1） ；（2）
【分析】（1）先运算积的乘方，再运算单项式乘单项式，即可作答；
（2）运用多项式乘多项式法则进行运算，再合并同类项，即可作答．
（1）解： ；
（2）解： ．
【点拨】本题考查了实数的混合运算，涉及到积的乘方、多项式乘多项式法则以及合并同类项，难度
较小，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
20．（1） ；（2） ．
【分析】（1）根据单项式乘以多项式的运算法则进行计算即可求解；
（2）先根据平方差公式、多项式乘以多项式的运算法则进行计算，再去括号后合并同类项即可求解．
解：（1）
；
（2）
．
【点拨】本题考查了整式的混合运算，熟练运用整式的混合运算法则进行计算是解决问题的关键．21．（1） ， ；（2） ，
【分析】（1）根据多项式乘以多项式，完全平方公式进行化简，然后代入字母的值，即可求解；
（2）根据完全平方公式，平方差公式进行化简，然后将 整体代入，即可求解．
（1）解：原式 ，
当 时，原式 ．
（2）原式 ，
由 ，得到 ，
则原式 ．
【点拨】本题考查了整式的乘法以及化简求值，熟练掌握乘法公式是解题的关键．
22．（1） ；（2）
【分析】（1）先提公因式，再利用完全平方公式进行因式分解．
（2）先提公因式，再利用平方差公式进行因式分解．
解：（1）
（2）
【点拨】本题考查综合公式法和提公因式法进行因式分解，注意有公因式一定要先提公因式．
23．（1） ； ；（2）63；（3）5
【分析】（1）根据阅读部分的提示利用规律求解即可；
（2）根据题意可得： ，即可求解；
（3）先根据题意求得 ，找出个位数字的循环规律，即可求解．
（1）解：当 时， ，
（2）根据题意可得：
则 ；（3）根据题意可得：
∵ ， ， ， ， ， ， ，
则个位数字是按照 、 、 、 四个数依次循环，
，
∴ 的个位数字为6
则 的个位数字为5．
【点拨】此题考查了多项式乘多项式与规律的综合，找出个位数字的循环规律是解题的关键．
24．（1） ；（2）代数式 的最小值为3；（3） 为等腰三角形；
【分析】（1）凑完全平方公式，再用平方差公式进行因式分解；
（2）凑成完全平方加一个数值的形式即可得到答案；
（3）先因式分解，判断字母a、b、c三边的关系，再判定三角形的形状．
（1）解：
（2）解：
∴代数式 的最小值为3；
（3）解：由题意得： ，
∴ ，
三个完全平方式子的和为0，所以三个完全平方式子分别等于0，
∴ ，
得： ，
∴ 为等腰三角形；
【点拨】本题考查了因式分解的应用：利用因式分解的方法把所给的代数式和等式进行变形，然后得
到更为简单得数量关系，再根据此关系解决问题．
