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专题 14.3 因式分解的应用
【典例1】已知a，b，c三个数两两不等，且有a2+b2+mab=b2+c2+mbc=c2+a2+mca，试求m的值．
【思路点拨】
a2+b2+mab=b2+c2+mbc=c2+a2+mca， 得 a2+b2+mab=b2+c2+mbc， 移 项 后 因 式 分 解 得 到
(a−c)(a+c+mb)=0，由 a，b，c 三个数两两不等，则a−c≠0，得到a+c+mb=0①，同理可得
a+b+mc=0②，b+c+ma=0③，分a+b+c≠0和a+b+c=0两种情况求解即可．
【解题过程】
解：∵a2+b2+mab=b2+c2+mbc=c2+a2+mca，
∴a2+b2+mab=b2+c2+mbc，
即a2+b2+mab−b2−c2−mbc=0，
∴a2−c2+mab−mbc=0，
∴(a+c)(a−c)+mb(a−c)=0，
∴(a−c)(a+c+mb)=0，
∵a，b，c三个数两两不等，
∴a−c≠0，
∴a+c+mb=0①，
同理可得a+b+mc=0②，b+c+ma=0③，
当a+b+c≠0时，
①＋②＋③得，2(a+b+c)+m(a+b+c)=0，
∴2(a+b+c)+m(a+b+c)=0，
∴(a+b+c)(2+m)=0，
∴2+m=0，
解得m=−2，
当a+b+c=0时，
∵a，b，c三个数两两不等，
∴a，b，c三个数中至少一个不是0，
设b≠0，
∴a+c=−b≠0,∵a+c+mb=0，
∴−b+mb=0，
∴b(m−1)=0，
∴m−1=0，
解得m=1，
综上可知，m的值为−2或1．
1．（2022秋·福建泉州·八年级校考期中）已知m，n均为正整数且满足mn−2m−3n−20=0，则m+n的
最小值是（ ）
A．20 B．30 C．32 D．37
2．（2022春·广东揭阳·八年级统考期末）已知x2+x=1，那么x4+2x3−x2−2x+2023的值为
（ ）
A．2020 B．2021 C．2022 D．2023
3．（2022春·湖南株洲·七年级株洲二中校考期中）已知a>b>c，M=a2b+b2c+c2a，N=ab2+bc2+ca2，则M与
N的大小关系是（ ）
A．M>N B．M＜N C．M=N D．不能确定
4．（2023·全国·九年级专题练习）已知当x=2m+n+2和x=m+2n时，多项式x2+4x+6的值相等，且
m−n+2≠0，则当x=m+n+1时，多项式x2+4x+6的值等于（ ）
43 139
A． B． C．3 D．11
9 9
5．（2022春·重庆·九年级校联考期中）已知多项式A=x2+2y+m和B= y2−2x+n（m，n为常数），以
下结论中正确的是（ ）
①当x=2且m+n=1时，无论y取何值，都有A+B≥0；
②当m=n=0时，A×B所得的结果中不含一次项；
③当x= y时，一定有A≥B；
④若m+n=2且A+B=0，则x= y；
⑤若m=n，A−B=−1且x，y为整数，则|x+ y)=1．
A．①②④ B．①②⑤ C．①④⑤ D．③④⑤
6．（2022秋·七年级单元测试）正数a,b,c满足ab+2a+2b=bc+2b+2c=ac+2a+2c=12，那么
(a+2)(b+2)(c+2)=______．7．（2022秋·山东泰安·八年级校联考期中）已知a=2021x+2000，b=2021x+2001，c=2021x+2002
，则多项式a2+b2+c2−ab−bc−ca的值为______．
8．（2023秋·福建宁德·八年级校考阶段练习）已知a2=a+1，b2=b+1，且a≠b，则a4+b4值为
_______．
9．（2023·江苏南通·八年级南通田家炳中学校考阶段练习）若x≠ y，且x2−4x+ y=0，y2−4 y+x=0，
则x3+2xy+ y3=____________．
10．（2023春·浙江·九年级专题练习）已知m2=2n+1，4n2=m+1(m≠2n)，那么m+2n=______，
4n3−mn+2n2=______．
11．（2023秋·湖北武汉·八年级湖北省水果湖第二中学校考期末）对于二次三项式x2+mx+n（m、n为常
数），下列结论：
①若 ，且 ，则 ；
n=36 x2+mx+n=(x+a) 2 a=6
②若m2<4n，则无论x为何值时，x2+mx+n都是正数；
③若x2+mx+n=(x+3)(x+a)，则3m−n=9：
④若n=36，且x2+mx+n=(x+a)(x+b)，其中a、b为整数，则m可能取值有10个．
其中正确的有______．（请填写序号）
12．（2023春·江苏·七年级专题练习）求证：若4x−y是7的倍数，其中x、y都是整数，则
8x2+10xy−3 y2是49的倍数．
14．（2022春·四川成都·七年级校联考期中）阅读材料：把形如ax2+bx+c的二次三项式(或其一部分)配成完全平方式的方法叫做配方法．配方法基本形式是完全平方公式的逆写，即 ．
a2±2ab+b2=(a±b) 2
1 2 3
例如：(x−1) 2+3、(x−2) 2+2x、( x−2) + x2是x2−2x+4的三种不同形式的配方(即“余项”分别
2 4
是常数项、一次项、二次项)．
请根据阅读材料解决下列问题：
（1）比照上面的例子，写出x2−4x+9三种不同形式的配方；
（2）已知 ， ，求 的值；
z−x+2y=4 zx+2xy+ y2−6 y+13=0 (−y) x
（3）当x，y何值时，代数式5x2−4xy+ y2+6x+25取得最小值，最小值为多少？
15．（2022秋·重庆北碚·八年级西南大学附中校考阶段练习）若一个正整数a可以表示为
a=(b+1)(b−2)，其中b为大于2的正整数，则称a为“十字数”，b为a的“十字点”．例如
28=(6+1)×(6−2)=7×4．
（1）“十字点”为7的“十字数”为 ；130的“十字点”为 ；
（2）若b是a的“十字点”，且a能被(b−1)整除，其中b为大于2的正整数，求a的值；
（3）m的“十字点”为p，n的“十字点”为q，当m−n=18时，求p+q的值．16．（2023春·江苏·七年级专题练习）阅读下列材料：
在因式分解中，把多项式中某些部分看作一个整体，用一个新的字母代替（即换元），不仅可以简化要分
解的多项式的结构，而且能使式子的特点更加明显，便于观察如何进行因式分解，这种方法就是换元法．
对于 ．
(x2+5x+2)(x2+5x+3)−12
解法一：设x2+5x= y，则原式=(y+2)(y+3)−12= y2+5 y−6
；
=(y+6)(y−1)=(x2+5x+6)(x2+5x−1)=(x+2)(x+3)(x2+5x−1)
解法二：设 ， ，则原式
x2+2=m 5x=n =(m+n)(m+n+1)−12=(m+n) 2+(m+n)−12
．
=(m+n+4)(m+n−3)=(x2+5x+6)(x2+5x−1)=(x+2)(x+3)(x2+5x−1)
请按照上面介绍的方法解决下列问题：
（1）因式分解： ；
(x2−4x+1)(x2−4x+7)+9
（2）因式分解： ；
(x+ y−2xy)(x+ y−2)+(xy−1) 2
（3）求证：多项式(x+1)(x+2)(x+3)(x+6)+x2的值一定是非负数．17．（2023秋·吉林长春·八年级统考期末）我们知道，对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面
积，可以得到一个数学等式．例如图①可以得到(a+2b)(a+b)=a2+3ab+2b2．请回答下列问题：
（1）写出图②中所表示的数学等式______；
（2）猜测 ______．
(a+b+c+d) 2=
（3）利用（1）中得到的结论，解决下面的问题：已知a+b+c=12，ab+bc+ca=48，求a2+b2+c2的
值；
（4）在（3）的条件下，若a、b、c分别是一个三角形的三边长，请判断该三角形的形状，并说明理由．18．（2022秋·全国·八年级期末）在数的学习中，我们总会对其中一些具有某种特性的数进行研究，若一
个正整数m是两个相差为3的数的乘积，即m=n(n+3)，其中n为正整数，则称m为“如意数”，n为m的
“如意起点”．例如：18=3×6，则18是“如意数”，3为18的“如意起点”．
（1）若k是88的“如意起点”，则k=______；若a的“如意起点”为1，则a=______．
（2）把“如意数”x与“如意数”y的差记作E(x,y)，其中x>y，E(x,y)>0，例如：40=5×8，
10=2×5，则E(40,10)=40−10=30．若“如意数”x的“如意起点”为s，“如意数”y的“如意起
s
点”为t，当E(x,y)=48时，求 的最大值．
t19．（2023秋·重庆大足·八年级统考期末）已知一个各个数位上的数字均不为0的四位正整数
M=abcd(a>c)，以它的百位数字作为十位，个位数字作为个位，组成一个新的两位数s，若s等于M的
千位数字与十位数字的平方差，则称这个数M为“平方差数”，将它的百位数字和千位数字组成两位数ba
，个位数字和十位数字组成两位数dc，并记T(M)=ba+dc．
例如：6237是“平方差数”，因为62−32=27，所以6237是“平方差数”；
此时T(6237)=26+73=99．
又如：5135不是“平方差数”，因为52−32=16≠15，所以5135不是“平方差数”．
（1）判断7425是否是“平方差数”？并说明理由；
（2）若M=abcd是“平方差数”，且T(M)比M的个位数字的9倍大30，求所有满足条件的“平方差
数”M．20．（2023春·七年级单元测试）若一个两位正整数m的个位数为4，则称m为“好数”．
（1）求证：对任意“好数”m，m2−16一定为20的倍数．
q
（2）若m=p2−q2，且p，q为正整数，则称数对(p,q)为“友好数对”，规定：H(m)= ，例如
p
1
24=52−12，称数对(5,1)为“友好数对”，则H(24)= ，求小于70的“好数”中，所有“友好数对”的
5
H(m)的最大值．
