文档内容
专题 18.3 平行四边形中的动点问题
◆ 思维方法
正向思维：是一类常规性的、传统的思维形式，指的是大家按照自上而下，由近及远、从左到右、从
可知到未知等一般而言的线性方向做出探究问题的思维途径。
逆向思维：是指在剖析、破解数学难题进程中，可以灵活转换思维方向，从常规思维的相反方向出发
进行探索的思维方式，比如正向思维无法解决问题时可反其道而行采取逆向思维，直接证明有困难时可采
用间接证明。
分类讨论思想：当问题所给的对象不能进行统一研究时，我们就需要对研究对象进行分类，然后对每
一类分别进行研究，得出每一类的结论，最后综合各类的结果，得到整个问题的解答。分类讨论的分类并
非是随心所欲的，而是要遵循以下基本原则：
1. 不重（互斥性）不漏（完备性）；
2. 按同一标准划分（同一性）；
3. 逐级分类（逐级性）。
◆ 典例分析
【典例1】在矩形ABCD中， AB=8，BC=16，E、F是直线AC上的两个动点，分别从A、C两点同时
出发相向而行，速度均为每秒2个单位长度，运动时间为t秒，其中（0≤t≤10）．
（1）如图1，M、N分别是AB、CD中点，当四边形EMFN是矩形时，求t的值．
（2）若G、H分别从点A、C沿折线A—B—C，C—D—A运动，与E、F相同的速度同时出发．
①如图2，若四边形EGFH为菱形，求t的值；
15
②如图3，作AC的垂直平分线交AD、BC于点P、Q，当四边形PGQH的面积是矩形ABCD面积的 ，
32
则t的值是 ．
③如图4，在异于G、H所在矩形边上取P、Q，使得PD=BQ，顺次连接P、G、Q、H，请直接写出四边形PGQH周长的最小值是 ．
【思路点拨】
（1）根据条件证明四边形EMFN是平行四边形，连接MN，求出t的值即可；
（2）①连接GH，CH，根据菱形的性质和题中条件证出AH=HC，从而得到AH2=64+(16−AH) 2即可
求解；
②连接AQ，根据题中条件和①中结论证明△APG≌△CQH(SAS)，从而得到GQHP是平行四边形，即可
求出答案；
③根据求最小路径的方法作出点G关于BC的对称点G'，过点G'作G'K⊥DC于K，连接G'H，QG'，再
根据“三角形两边之和大于第三边”即可求解．
【解题过程】
（1）解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB∥CD，AB=CD
∴∠MAE=∠NCF，
∵M、N分别是AB、CD中点，
∴AM=CN，
∵E、F是直线AC上的两个动点，分别从A、C两点同时出发相向而行，速度均为每秒2个单位长度，
∴AE=CF=2t，
∴△AME≌△CNF(SAS)，
∴ME=NF，∠AEM=∠CFN，
∴∠MEF=∠EFN，
∴ME∥FN，
∴四边形EMFN是平行四边形，
如图1，连接MN，
∵四边形ABCD是矩形，M、N分别是AB、CD中点，、，
∴四边形MBCN是矩形，
∵AB=8，BC=16，∴MN=BC=16， AC=❑√82+162=8❑√5，
∵四边形EMFN是平行四边形，
∴当EF=MN=16时，四边形EMFN是矩形，
∴8❑√5−4t=16或4t−8❑√5=16，
解得t=2❑√5−4或2❑√5+4；
（2）解：①由（1）知：AF=CE，
∴AF+EF=AE，CE+EF=CF，
∴AE=CF，
如图2，连接GH，CH，
∵四边形EGFH菱形，
∴AC⊥GH，OE=OF，
∴OA=OC，
∴AH=HC，
∵HC2=CD2+DH2，AB=8，BC=16，
∴AH2=64+(16−AH) 2，
∴AH=HC=10，
∴DH=6，
∴CD+DH=6+8=14，
14
∴t= =7；
2
②如图3，连接AQ，如图所示，由①同理得：AQ=CQ=10，BQ=6，
由①知：AP=10，
∴AP=CQ，
∵G、H分别从点A、C沿折线A﹣B﹣C，C﹣D﹣A运动，
∴AG=CH，
又∵∠GAP=∠QCH=90°，
∴△APG≌△CQH(SAS)，
∴GP=QH，
同理可证PH=GQ，
∴四边形GQHP是平行四边形，
15
∵四边形GQHP的面积是矩形ABCD面积的 ，
32
15
∴S = S ，
▭GQHP 32 矩形ABCD
15 15
∴2S = S = ×8×16=60，
△PGQ 32 矩形ABCD 32
∴S =30，
△PGQ
1
∴S +S = ×8×16−30=34，
△AGP △GBQ 2
1 1
∴ ×AG×10+ ×6×(8−AG)=34，
2 2
∴AG=5，
5
∴t= ；
2
5
故答案为： ；
2
③如图4，作点G关于BC的对称点G'，过点G'作G'K⊥DC于K，连接G'H，QG'，则BG=BG'=CK，
QG=G'Q，∵AG=CH，
∴HK=CH+CK=AG+BG=8，
∵G'K=16，
∴G'H=❑√82+162=8❑√5，
由②知：四边形PGQH是平行四边形，
∴四边形PGQH的周长=2QH+2GQ=2QH+2QG'≥2G'H，
当G'，Q，H三点共线时，四边形PGQH周长有最小值，且最小值是2G'H=16❑√5．
故答案为：16❑√5．
◆ 学霸必刷
1．（22-23九年级上·福建漳州·期中）如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AC=40cm，∠A=60°，点D
从点C出发沿CA方向以4cm/秒的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以2cm/秒的速度
向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D、E运动的时间是t秒
(00）．
（1）CB的长为______；（2）用含t的代数式表示线段QB的长；
（3）连接PQ，
①是否存在t的值，使得PQ与AC互相平分？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由；
②是否存在t的值，使得PQ与AB互相平分？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由；
（4）若点P关于直线AQ对称的点恰好落在直线AB上，请直接写出t的值．
【思路点拨】
（1）由平行四边形的性质得AB=CD=6，再由勾股定理求出CB的长即可；
（2）当点Q在线段CB上时，QB=BC−CQ=10−8t；当点Q在线段CB延长线上时，
QB=CQ−BC=8t−10；
（3）①连接PC、AQ，若PQ与AC互相平分，则四边形APCQ是平行四边形，得AP=CQ，则2t=8t，
解得t=0，不符合题意舍去；②连接PB、AQ，若PQ与AB互相平分，则四边形APBQ是平行四边形，得
5
AP=BQ，则2t=8t−10，解得t= 即可；
3
（4）分两种情况，①当点P关于直线AQ对称的点恰好落在点A下方时，②当点P关于直线AQ对称的点恰
好落在点A上方时，证BQ=AB=6，求出CQ的长，即可解决问题．
【解题过程】
（1）解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD=6，∠BAC=∠DCA=90°，
∴CB=❑√AB2+AC2=❑√62+82=10，
故答案为：10；
（2）由题意得：CQ=8t，
当点Q在线段CB上时，QB=BC−CQ=10−8t；
当点Q在线段CB延长线上时，QB=CQ−BC=8t−10；
综上所述，线段QB的长为10−8t或8t−10；
（3）①不存在，理由如下：
如图1，连接PC、AQ，若PQ与AC互相平分，则四边形APCQ是平行四边形，
∴AP=CQ，
∵AP=2t，CQ=8t，
∴2t=8t，
解得：t=0，不符合题意舍去；
②存在，理由如下：
如图2，连接PB、AQ，
若PQ与AB互相平分，则四边形APBQ是平行四边形，
∴AP=BQ，
∴2t=8t−10，
5
解得：t= ，
3
5
∴存在t的值，使得PQ与AB互相平分，t的值为 ；
3
（4）分两种情况：
①当点P关于直线AQ对称的点恰好落在点A下方时，如图3，
由对称的性质得：∠PAQ=∠P′ AQ，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠PAQ=∠AQB，
∴∠P′ AQ=∠AQB，
∴BQ=AB=6，
∴CQ=BC−BQ=10−6=4，即8t=4，
1
解得：t= ；
2
②当点P关于直线AQ对称的点恰好落在点A上方时，如图4，
由对称的性质得：∠PAF=∠P′ AF，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠PAF=∠BQA，
∵∠P′ AF=∠BAQ，
∴∠BQA=∠BAQ，
∴BQ=AB=6，
∴CQ=BC+BQ=10+6=16，
即8t=16，
解得：t=2；
1
综上所述，t的值为 或2．
2
19．（22-23八年级下·河北沧州·期中）如图，在▱ABCD中，∠A=60°，AB=6cm，连接BD，恰有
∠ABD=90°，过点D作DE⊥BC于点E．动点P从点D出发沿DA以1cm/s的速度向终点A运动，同时
点Q从点B出发，以4cm/s的速度沿射线BC运动，当点P到达终点时，点Q也随之停止运动，设点P运动
的时间为t s．
（1）分别求BD和BE的长度；9
（2）连接PQ，当t= 时，判断PQ与AD是否垂直，并说明理由；
5
（3）试判断是否存在t的值，使得以P，Q，C，D为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出t的值；
若不存在，请说明理由；
（4）若点P关于直线DQ对称的点恰好落在直线CD上，请直接写出点P，Q之间的距离．
【思路点拨】
（1）可求出∠ADB=30°，根据含30°的直角三角形的性质可得AD=2AB=12cm，
1
BD=❑√3AB=6❑√3cm，根据平行四边形的性质可得AD∥BC，则∠DBC=30°，即可得DE= BD，
2
BE=❑√3DE，即可求解；
（2）先证四边形DEQP是平行四边形，可得四边形DEQP是矩形，即可得出结论；
（3）分两种情况讨论，由平行四边形的性质可得AP=BQ，列出方程可求解；
（4）分两种情况讨论，由轴对称的性质和等边三角形的性质以及勾股定理可求解．
【解题过程】
（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∠ABD=90°，∠A=60°，AB=6cm，
∴∠ADB=30°，AD∥BC，
∴AD=2AB=12cm，BD=❑√3AB=6❑√3cm，∠DBC=∠ADB=30°，
∵DE⊥BC，
1
∴DE= BD=3❑√3cm，BE=❑√3DE，
2
∴BE=❑√3DE=9cm；
（2）PQ⊥AD，理由如下：
如图1，
∵动点P从点D出发沿DA以1cm/s的速度向终点A运动，同时点Q从点B出发，以4cm/s的速度沿射线
BC运动，
9 9 36
∴当t= 时，PD= ，BQ= ，
5 5 536 9
∴QE=BE−BQ=9− = =PD，
5 5
∵AD∥BC，
∴四边形DEQP是平行四边形，
∵DE⊥BC，
∴四边形DEQP是矩形，
∴PQ⊥AD；
（3）存在，
当CD为边时，
∵四边形PQCD是平行四边形，
∴PD=CQ，
∴t=12−4t，
12
∴t= ；
5
当CD为对角线时，
∵四边形PCQD是平行四边形，
∴PD=CQ，
∴t=4t−12，
∴t=4，
12
综上所述：t的值为 或4；
5
（4）如图，当点P的对称点在线段CD上时，
∴∠ADQ=∠QDC=60°，
∴∠QDC=∠BCD=60°，
∴△CDQ是等边三角形，
∴CD=CQ，
∴6=12−4t，3
∴t= ，
2
3
过点P作PH⊥BC于H，则PH=DE=3❑√3cm，EH=PD= cm，
2
∵∠BCD=60°，CD=AB=6cm，DE⊥BC，
1
∴CE= CD=3cm，
2
3
∴QH=CQ−EH−CE= cm，
2
在Rt△PQH中，
3❑√13
PQ=❑√PH2+QH2= cm；
2
如图，当点P的对称点在线段CD的延长线上时，
∵∠CDA=120°，
∴∠PDP′=60°，
∵点P的对称点在线段CD的延长线上，
1
∴∠CDQ= ∠PDP′=30°，
2
∵∠BCD=∠CDQ+∠CQD，
∴∠CDQ=∠CQD=30°，
∴CD=CQ=6，
∴BQ=12+6=18，
∴4t=18，
9
∴t= ，
2
9
过点P作PH⊥BC于H，则PH=DE=3❑√3cm，EH=PD= cm，
2∵∠BCD=60°，CD=AB=6cm，DE⊥BC，
1
∴CE= CD=3cm，
2
27
∴QH=CQ+EH+CE= cm，
2
在Rt△PQH中，
3❑√93
PQ=❑√PH2+QH2= cm；
2
3❑√13 3❑√93
综上所述：点P，Q之间的距离为 cm或 cm．
2 2
20．（23-24九年级上·吉林长春·开学考试）如图，在△ABC中，BA=BC=10，BC边上高为8，点D为
边BC的中点点P从点B出发，沿折线BA－AC向点C运动，在BA、AC上的速度分别为每秒5个单位长
度和每秒2❑√5个单位长度．当点P不与点A重合时，连接PD，以PA、PD为邻边作▱APDE．设点P的
运动时间为t秒(t>0)．
（1）①线段AC的长为______；
②用含t的代数式表示线段AP的长；
（2）当点E在△ABC内部时，求t的取值范围；
（3）当▱APDE是菱形时，求t的值；
（4）作点B关于直线PD的对称点B′，连结B′D，当B′D⊥BC时，直接写出t的值．
【思路点拨】（1）①如图1中，过点A作AH⊥BC于点H．利用勾股定理求出BH，AC即可；②分两种情形：当
0
