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第 04 讲 数列的通项公式
目录
01 模拟基础练......................................................................................................................................2
题型一：观察法....................................................................................................................................2
题型二：叠加法....................................................................................................................................2
题型三：叠乘法....................................................................................................................................3
题型四：形如a =pa +q型的递推式...............................................................................................3
n+1 n
题型五：形如a =pa +kn+b型的递推式........................................................................................4
n+1 n
题型六：形如a =pa +rqn型的递推式............................................................................................4
n+1 n
题型七：形如a =paq (p>0,a >0)型的递推式...............................................................................5
n+1 n n
ma
题型八：形如a = n 型的递推式..............................................................................................5
n+1 pa +q
n
题型九：形如a =pa +qa 型的递推式........................................................................................5
n+2 n+1 n
ma +t
题型十：形如a = n 型的递推式..............................................................................................6
n+1 pa +q
n
题型十一：已知通项公式a 与前n项的和S 关系求通项问题.......................................................6
n n
题型十二：周期数列............................................................................................................................7
题型十三：前n项积型........................................................................................................................8
题型十四：“和”型求通项................................................................................................................8
题型十五：正负相间讨论、奇偶讨论型............................................................................................9
题型十六：因式分解型求通项..........................................................................................................10
题型十七：双数列问题......................................................................................................................10
题型十八：通过递推关系求通项......................................................................................................11
02 重难创新练....................................................................................................................................12
03 真题实战练....................................................................................................................................16题型一：观察法
1．（2024·高三·河北唐山·期中）若数列 的前6项为 ，则数列 的通项公式可以
为 （ ）
A． B．
C． D．
2．数列0.3，0.33，0.333，0.3333，…的一个通项公式是 （ ）
A． B．
C． D．
3．数列 的前4项为： ，则它的一个通项公式是（ ）
A． B． C． D．
4．如图所示是一个类似杨辉三角的递推式，则第n行的首尾两个数均为（ ）
A．2n B． C． D．
题型二：叠加法
5．已知数列 满足 ，则 .6．毕达哥拉斯学派是古希腊哲学家毕达哥拉斯及其信徒组成的学派，他们把美学视为自然科学的一个组
成部分．美表现在数量比例上的对称与和谐，和谐起于差异的对立，美的本质在于和谐．他们常把数描绘
成沙堆上的沙粒或小石子，并由它们排列而成的形状对自然数进行研究．如图所示，图形的点数分别为
1，5，12，22，…，总结规律并以此类推下去，第10个图形对应的点数为 ，若这些数构成一
个数列 ，记数列 的前 项和为 ，则 ．
7．已知数列 满足 ， ，则 ．
题型三：叠乘法
8．已知数列 ，则数列 的通项为
9．设 是首项为1的正项数列，且 ，求通项公式 =
10．（2024·四川成都·二模）在数列 中， ， ，则数列 的前 项
和 ．
题型四：形如a =pa +q型的递推式
n+1 n
11．已知数列 满足 .
(1)求 的通项公式；
(2)若 ，记数列 的前 项和为 ，求证： .
12．数列 满足 且 ，则数列 的通项公式是 ．
13．已知首项为2的数列 对 满足 ，则数列 的通项公式 .
14．已知数列 满足 ， .(1)求数列 的通项公式；
(2)证明： .
题型五：形如a =pa +kn+b型的递推式
n+1 n
15．记数列 的前 项和为 ，若 ，且 .
(1)求证：数列 为等比数列；
(2)求数列 的前 项和 的表达式.
16．（2024·陕西安康·模拟预测）在数列 中，已知 ．
(1)求 的通项公式；
(2)求数列 的前 项和．
题型六：形如a =pa +rqn 型的递推式
n+1 n
17．已知数列 满足： ，且 .求 ；
18．（2024·高三·河北张家口·开学考试）已知数列 满足 ，且 ．
求数列 的通项公式；题型七：形如a =paq (p>0,a >0)型的递推式
n+1 n n
19．设正项数列 满足 ， ，求数列 的通项公式．
ma
题型八：形如a = n 型的递推式
n+1 pa +q
n
20．数列 中， ， ，则 ．
21．已知数列 满足 ，则数列 的前8项和 ．
22．已知数列 ，则数列 的通项公式 ．
题型九：形如a =pa +qa 型的递推式
n+2 n+1 n
23．已知数列 满足 ， ， ．
(1)证明： 是等比数列；
(2)求 ．
24．已知数列 满足 ， ， ，求ma +t
题型十：形如a = n 型的递推式
n+1 pa +q
n
25．已知 ， ，则 的通项公式为 ．
26．在数列 中， ，且 ，求其通项公式 ．
27．已知数列 满足 ， ，则 ．
题型十一：已知通项公式a 与前n项的和S 关系求通项问题
n n
28．已知数列 的前n项和为 ，且 .
(1)求数列 的通项公式；
(2)令 ，求数列 的前11项和 .
29．记数列 的前 项和 ， ．
(1)求 的通项公式；
(2)设数列 的前 项和为 ，证明： ．
30．已知数列 的前 项和为 ，且满足 ．
(1)求证：数列 为等比数列；(2)已知 ，求数列 的前 项和．
31．已知在数列 中， ，前 项和 .
(1)求 、 ；
(2)求数列 的通项公式；
(3)设数列 的前 项和为 ，求 .
32．（2024·浙江绍兴·三模）已知数列 的前n项和为 ，且 ， ，设 ．
(1)求证：数列 为等比数列；
(2)求数列 的前 项和 ．
33．已知数列 的前 项和为 ，且 ．
(1)求 的通项公式；
(2)已知 ，集合 中元素个数为 ，求 ．
题型十二：周期数列
34．（2024·内蒙古包头·一模）已知数列 的前 项和为 ， ， ， ，则
．35．（2024·上海浦东新·模拟预测）已知 ，且 （ 为正整数），则 .
36．（2024·上海普陀·模拟预测）已知数列 满足 ， ， ，则数列 的前
项积的最大值为 ．
37．（2024·河北·模拟预测）若数列 满足 ， ，则 .
题型十三：前n项积型
38．（2024·福建厦门·高三厦门外国语学校校考期末） 为数列 的前n项积，且 ．
(1)证明：数列 是等比数列；
(2)求 的通项公式．
39．已知数列 的前n项之积为 ，且 ．
求数列 和 的通项公式；
40．已知数列 的前n项积 .
(1)求数列 的通项公式；
(2)记 ，数列 的前n项为 ，求 的最小值.题型十四：“和”型求通项
41．（2024•南明区校级月考）若数列 满足 ，则 ．
42．（2024·青海西宁·二模）已知 为数列 的前 项和， ， ，则 （ ）
A．2020 B．2021 C．2022 D．2024
43．已知数列 的前 项和为 ，若 ，且 ， ，则 的值为( )
A．－8 B．6 C．－5 D．4
44．数列 满足： ，求通项 .
题型十五：正负相间讨论、奇偶讨论型
45．已知数列 满足： ，求此数列的通项公式.
46．（2024·山东·校联考模拟预测）已知数列 满足 ．
(1)求 的通项公式；
(2)设数列 的前 项和为 ，且 ，求 的最小值．
47．（2024·湖南长沙·长郡中学校联考模拟预测）已知数列 满足 ，且(1)设 ，求数列 的通项公式；
(2)设数列 的前n项和为 ，求使得不等式 成立的n的最小值．
题型十六：因式分解型求通项
48．（2024•四川模拟）已知数列 的各项均为正数，且满足 ．
（1）求 ， 及 的通项公式；
（2）求数列 的前 项和 ．
题型十七：双数列问题
49．已知数列 和 满足 ， ， ， .则 ＝_______.
50．（2024·上海奉贤·二模）数列 ， 满足 ， ， .
（1）求证： 是常数列；
（2）若 是递减数列，求 与 的关系；
51．（2024·高三·辽宁·期中）已知数列 、 满足 ，且
（1）令 证明： 是等差数列， 是等比数列；（2）求数列 和 的通项公式；
（3）求数列 和 的前n项和公式．
题型十八：通过递推关系求通项
52．某校高一学生1000人，每周一次同时在两个可容纳600人的会议室，开设“音乐欣赏”与“美术鉴
赏”的校本课程.要求每个学生都参加，要求第一次听“音乐欣赏”课的人数为 ，其余的
人听“美术鉴赏”课；从第二次起，学生可从两个课中自由选择.据往届经验，凡是这一次选择“音乐欣
赏”的学生，下一次会有20%改选“美术鉴赏”，而选“美术鉴赏”的学生，下次会有30%改选“音乐欣
赏”，用 ， 分别表示在第 次选“音乐欣赏”课的人数和选“美术鉴赏”课的人数.
(1)若 ，分别求出第二次，第三次选“音乐欣赏”课的人数 ， ；
(2) 证明数列 是等比数列，并用n表示 ；
②若①要求前十次参加“音乐欣赏”课的学生的总人次不超过5800，求m的取值范围.
53．某区域市场中 智能终端产品的制造全部由甲､乙两公司提供技术支持．据市场调研及预测， 商
用初期，该区域市场中采用的甲公司与乙公司技术的智能终端产品各占一半，假设两家公司的技术更新周
期一致，且随着技术优势的体现，每次技术更新后，上一周期采用乙公司技术的产品中有 转而采用甲
公司技术，采用甲公司技术的产品中有 转而采用乙公司技术．设第 次技术更新后，该区域市场中采
用甲公司与乙公司技术的智能终端产品占比分别为 和 ，不考虑其他因素的影响．
(1)用 表示 ，并求使数列 是等比数列的实数 ．
(2)经过若干次技术更新后，该区域市场采用甲公司技术的智能终端产品的占比能否达到 以上？若能，
则至少需要经过几次技术更新；若不能，请说明理由．
54．某公司一下属企业从事某种高科技产品的生产．该企业第一年年初有资金2000万元，将其投入生产，
到当年年底资金增长了 ．预计以后每年年增长率与第一年的相同，公司要求企业从第一年开始，每年年底上缴资金 万元，并将剩余资金全部投入下一年生产．设第 年年底企业上缴资金后的剩余资金为
万元．
(1)用 表示 与 ，并写出 与 的关系式；
(2)求证：当 时，数列 为等比数列，并说明 的现实意义；
(3)若公司希望经过 年使企业的剩余资金为4000万元，试确定企业每年上缴资金 的近似值（ 取整数）．
55．某电视频道在一天内有x次插播广告的时段，一共播放了y条广告，第一次播放了1条以及余下的
条的 ，第2次播放了2条以及余下的 ，第3次播放了3条以及余下的 ，以后每次按此规律插播
广告，在第 次播放了余下的x条．
(1)设第 次播放后余下 条，这里 ， ，求 与 的递推关系式．
(2)求这家电视台这一天播放广告的时段x与广告的条数y．
56．治理垃圾是 地改善环境的重要举措．去年 地产生的垃圾量为200万吨，通过扩大宣传、环保处理
等一系列措施，预计从今年开始，连续5年，每年的垃圾排放量比上一年减少20万吨，从第6年开始，每
年的垃圾排放量为上一年的 .
(1)写出 地的年垃圾排放量与治理年数 的表达式；
(2)设 为从今年开始 年内的年平均垃圾排放量，证明数列 为递减数列；
(3)通过至少几年的治理， 地的年平均垃圾排放量能够低于100万吨？1．（2024·西藏·模拟预测）已知数列 对任意 满足 ，则 （ ）
A． B． C． D．
2．（2024·陕西西安·模拟预测）已知数列 的前 项和为 ，则 （ ）
A．190 B．210 C．380 D．420
3．（2024·江苏盐城·模拟预测）若数列 满足 ， 的前 项和为 ，则
（ ）
A． B．
C． D．
4．（2024·湖北黄冈·模拟预测）已知数列 的首项 ，且满足 ，若
，则满足条件的最大整数 （ ）
A．8 B．9 C．10 D．11
5．已知数列 满足， ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
6．（2024·安徽阜阳·模拟预测）设正数数列 的前 项和为 ，且 ，则（ ）
A． 是等差数列 B． 是等差数列 C． 单调递增 D． 单调递增
7．（2024·北京朝阳·二模）北宋科学家沈括在《梦溪笔谈》中记载了“隙积术”，提出长方台形垛积的一
般求和公式.如图，由大小相同的小球堆成的一个长方台形垛积的第一层有 个小球，第二层有
个小球，第三层有 个小球……依此类推，最底层有 个小球，共有 层，由“隙积术”可得 这 些 小 球 的 总 个 数 为 若由小球堆成的某个长
方台形垛积共8层，小球总个数为240，则该垛积的第一层的小球个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
8．（2024·山西·三模）已知数列 对任意 均有 .若 ，则
（ ）
A．530 B．531 C．578 D．579
9．（多选题）（2024·四川内江·模拟预测）甲、乙、丙、丁、戊、己6名同学相互做传接球训练，球从甲
手中开始，等可能地随机传向另外5人中的1人，接球者接到球后再等可能地随机传向另外5人中的1人，
如此不停地传下去，假设传出的球都能被接住.记第 次传球之后球在乙手中的概率为 .则下列正确的有
（ ）
A．
B． 为等比数列
C．设第 次传球后球在甲手中的概率为
D．
10．（多选题）（2024·山东·模拟预测）意大利著名数学家斐波那契在研究兔子的繁殖问题时，发现有这
样的一列数：1，1，2，3，5，8，13，21，….该数列的特点如下：前两个数均为1，从第三个数起，每一
个数都等于它前面两个数的和.人们把这样的一列数组成的数列称为斐波那契数列，若用 表示
斐波那契数列的第 项，则数列 满足： ， .则下列说法正
确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
11．（多选题）（2024·重庆·模拟预测）已知数列 ， ，记 ， ，若 且 则下列说法正确的是（ ）
A． B．数列 中的最大项为
C． D．
12．（2024·陕西铜川·模拟预测）已知数列 的前三项依次为 的前 项和 ，则
．
13．（2024·内蒙古·三模）假设在某种细菌培养过程中，正常细菌每小时分裂1次（1个正常细菌分裂成2
个正常细菌和1个非正常细菌），非正常细菌每小时分裂1次（1个非正常细菌分裂成2个非正常细菌）.
若1个正常细菌经过14小时的培养，则可分裂成的细菌的个数为 .
14．（2024·上海·模拟预测）已知无穷数列 的前 项和为 ，不等式 对任意不等于2的正整数
恒成立，且 ，那么这样的数列有 个.
15．（2024·吉林·模拟预测）已知数列 的前 项和为 ，且 .
(1)求实数 的值和数列 的通项公式；
(2)若 ，求数列 的前 项和 .
16．（2024·江西宜春·模拟预测）数列 满足 ．
(1)求 的通项公式；
(2)若 ，求 的前 项和 ．
17．（2024·陕西安康·模拟预测）记 为数列 的前 项和，已知 .
(1)求 的通项公式；
(2)若 ，求数列 的前 项和 .18．（2024·江苏扬州·模拟预测）已知各项均为正数的数列 前 项和为 ，且 ．
(1)求数列 的通项公式；
(2)证明： ．
19．（2024·福建泉州·模拟预测）将足够多的一批规格相同、质地均匀的长方体薄铁块叠放于水平桌面上，
每个铁块总比其下层铁块向外伸出一定的长度，如下图，那么最上层的铁块最多可向桌缘外伸出多远而不
掉下呢？这就是著名的“里拉斜塔”问题．将铁块从上往下依次标记为第1块、第2块、第3块、……、
第n块，将前 块铁块视为整体，若这部分的重心在第 块的上方，且全部铁块整体的重
心在桌面的上方，整批铁块就保持不倒．设这批铁块的长度均为1，若记第n块比第 块向桌缘外多伸
出的部分的最大长度为 ，则根据力学原理，可得 ，且 为等差数列．
(1)求 的通项公式；
(2)记数列 的前 项和为 ．
①比较 与 的大小；
②对于无穷数列 ，如果存在常数 ，对任意的正数 ，总存在正整数 ，使得 ， ，
则称数列 收敛于 ，也称数列 的极限为 ，记为 ；反之，则称 不收敛．请根据数
列收敛的定义判断 是否收敛？并据此回答“里拉斜塔”问题．1．（2012年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（湖北卷））传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家
经常在沙滩上面画点或用小石子表示数．他们研究过如图所示的三角形数：
将三角形数1,3， 6,10，…记为数列 ，将可被5整除的三角形数按从小到大的顺序组成一个新数列
，可以推测：
（Ⅰ） 是数列 中的第 项；
（Ⅱ） ．（用 表示）
2．（2024年高考全国甲卷数学（理）真题）记 为数列 的前 项和，已知 ．
(1)求 的通项公式；
(2)设 ，求数列 的前 项和 ．
3．（2023年高考全国甲卷数学（理）真题）设 为数列 的前n项和，已知 ．
(1)求 的通项公式；
(2)求数列 的前n项和 ．4．（2022年新高考全国I卷数学真题）记 为数列 的前n项和，已知 是公差为 的等差数
列．
(1)求 的通项公式；
(2)证明： ．
5．（2021年全国高考乙卷数学（理）试题）记 为数列 的前n项和， 为数列 的前n项积，已
知 ．
（1）证明：数列 是等差数列;
（2）求 的通项公式．
6．（2020年浙江省高考数学试卷）已知数列{an}，{bn}，{cn}中，
．
（Ⅰ）若数列{bn}为等比数列，且公比 ，且 ，求q与{an}的通项公式；
（Ⅱ）若数列{bn}为等差数列，且公差 ，证明： ．
7．（2018年全国普通高等学校招生统一考试数学（江苏卷））设 ，对1，2，···，n的一个排列
，如果当s
