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专题22 非常规分式方程的解题技巧（解析版）
技巧一 分式方程的规律问题
典例剖析+针对训练
典例1 先阅读下面的材料，然后解答问题：通过观察，发现方程：
1 1 1
x+ =2+ 的解为x ＝2，x = ；
x 2 1 2 2
1 1 1
x+ =3+ 的解为x ＝3，x = ；
x 3 1 2 3
1 1 1
x+ =4+ 的解为x ＝4，x = ；…
x 4 1 2 4
1 1 1
（1）观察上述方程的解，猜想关于x的方程x+ =5+ 的解是 x ＝ 5 ， x = ． ；
1 2
x 5 5
1 1 1
（2）根据上面的规律，猜想关于x的方程x+ =c+ 的解是 x ＝ c ， x = ． ；
1 2
x c c
x2−x+1 1 1 1 1
（3）把关于 x 的方程 =a+ 变形为方程x+ =c+ 的形式是 x ﹣ 1+ = a ﹣ 1
x−1 a−1 x c x−1
1 1
+ ． ，方程的解是 x ＝ a ， x ＝ 1+ ． ．
1 2
a−1 a−1
【思路引领】根据题意找出对应方程解的规律，再求解．
1 1 1
【解答】解：（1）根据题中所给方程解的情况，猜测方程x+ =5+ 的解是x ＝5，x = ．
1 2
x 5 5
1
故答案为x ＝5，x = ．
1 2
5
1 1 1
（2）猜想方程x+ =c+ 的解是x ＝c，x = ．
1 2
x c c
1
故答案为：x ＝c，x = ．
1 2
c
x(x−1)+1 1
（3）原方程化为： =a+ ，
x−1 a−1
1 1
∴x﹣1+ =a﹣1+ ．
x−1 a−1
1
∴x﹣1＝a﹣1或x﹣1= ．
a−11
∴x ＝a，x ＝1+ ．
1 2
a−1
1 1 1
故答案为：x﹣1+ =a﹣1+ ．x ＝a，x ＝1+ ．
1 2
x−1 a−1 a−1
【总结提升】本题考查分式方程的解，观察所给方程的解，找到规律是求解本题的关键．
针对训练
1 1 1 1 1
1．（2022秋•鼓楼区期末）阅读下列材料，关于x的方程：x+ =c+ 的解是x ＝c，x = ；x− =c−
1 2
x c c x c
−1 −1 1 2 2 2
（即x+ =c+ ）的解是x ＝c，x =− ；x+ =c+ 的解是：x ＝c，x = ，…
1 2 1 2
x c c x c c
m m
（1）观察上述方程及其解的特征，直接写出关于x的方程x+ =c+ （m≠0）的解，并利用“方程的
x c
解”的概念进行验证；
2 2
（2）通过（1）的验证所获得的结论，你能解出关于x的方程：x+ =a+ 的解吗？若能，请求
x−1 a−1
出此方程的解；若不能，请说明理由．
1 1 1 1
（3）已知：a− =b− −2，且a﹣b+2≠0，求 − 的值．
a+1 b−1 a b
【思路引领】（1）观察方程的特征，直接得到方程的解，验证即可；
（2）利用（1）的结论确定出方程的解即可．
1 1
（3）方程整理成：（a+1）− =（b﹣1）− ，利用（1）的结论得出 a+1＝b﹣1 或 a+1
a+1 b−1
1 1 1 b−a
=− ，进而a﹣b＝﹣2或ab＝a﹣b，由于a﹣b+2≠0，即可得出 − = =−1．
b−1 a b ab
m
【解答】解：（1）方程的解为x ＝c，x = ，
1 2
c
m m
验证：当x＝c时，∵左边＝c+ ，右边＝c+ ，∴左边＝右边，
c c
m m
∴x＝c是方程x+ =c+ （m≠0）的解，
x c
m m m
同理可得：x= 是方程x+ =c+ （m≠0）的解；
c x c
（2）能，2 2
方程整理得：x﹣1+ =a﹣1+ ，
x−1 a−1
2 a+1
解得：x﹣1＝a﹣1或x﹣1= ，即x＝a或x= ，
a−1 a−1
a+1
经检验x＝a与x= 都为分式方程的解．
a−1
1 1
（3）方程整理得：（a+1）− =（b﹣1）− ，
a+1 b−1
1
∴a+1＝b﹣1或a+1=− ，
b−1
∴a﹣b＝﹣2或ab＝a﹣b，
∵a﹣b+2≠0，
1 1 b−a
∴ − = =−1．
a b ab
【总结提升】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．
技巧2 分离常数法解分式方程
x+7 x+9 x+10 x+6
典例2 解方程： + = + ；
x+6 x+8 x+9 x+5
【思路引领】若在方程的两边直接乘以（x+6）（x+8）（x+9）（x+5），计算起来比较麻烦，可通过移
项来简化计算．
x+9 x+10 x+6 x+7
【解答】解：（1）原方程移项得： − = − ，
x+8 x+9 x+5 x+6
1 1
两边同时通分整理得： = ．
x2+17x+72 x2+11x+30
∵两个分式分子相同，分式值相同，则分式分母相同，
∴x2+17x+72＝x2+11x+30．
解得：x＝﹣7．
经检验，x＝﹣7是原方程的解．
【总结提升】比较以上两题可发现对简单的分式方程我们可以通过去分母化简整理等步骤来完成，对一
些复杂的分式方程则需要寻找一定的解题技巧简化解题．这正是数学中化繁为简，化未知为已知，化难
为易的转化思想的体现．
针对训练x+2 x+5 x+3 x+4
1．解方程： + = + ．
x+1 x+4 x+2 x+3
【思路引领】移项后通分，再方程两边都乘以（x+1）（x+2）（x+3）（x+4）得出整式方程，求出方程
的解，最后进行检验即可．
x+2 x+3 x+4 x+5
【解答】解： − = − ，
x+1 x+2 x+3 x+4
(x+2) 2−(x+1)(x+3) (x+4) 2−(x+3)(x+5)
=
(x+)(x+2) (x+3)(x+4)
1 1
=
(x+1)(x+2) (x+3)(x+4)
方程两边都乘以（x+1）（x+2）（x+3）（x+4）得：（x+3）（x+4）＝（x+1）（x+2）
5
解方程得：x=− ，
2
5
经检验x=− 是原方程的解，
2
5
即原方程的解为x=− ．
2
【总结提升】本题考查了解分式方程，关键是选择适当的方法解此分式方程，题目比较好．
技巧3 裂项法解分式方程
5．（2023秋•娄底期中）观察下列各式：
1 1 1 1 1 1 1 1
=1− ； = − ； = − ；……
1×2 2 2×3 2 3 3×4 3 4
请利用你所得的结论，解答下列问题：
1 1 1 1
（1）计算： + + +⋯+ ．
1×2 2×3 3×4 n(n+1)
1 1 1 1
（2）解方程 + + +⋯+ =2．
x+10 (x+1)(x+2) (x+2)(x+3) (x+9)(x+10)
1 1 1 1 6
（3）若 + + +⋯+ = ，求n的值．
1×4 4×7 7×10 (3n+1)(3n+4) 19
【思路引领】（1）根据规律将原式变形后计算即可；
（2）根据规律将原方程变形后解方程即可；
（3）根据规律将原方程变形后解方程即可．
1 1 1 1 1 1 1
【解答】解：（1）原式＝1− + − + − +⋯+ −
2 2 3 3 4 n n+11
＝1−
n+1
n+1−1
=
n+1
n
= ；
n+1
1 1 1 1 1 1 1
（2）原方程变形得： + − + − +⋯+ − =2，
x+10 x+1 x+2 x+2 x+3 x+9 x+10
1
即 =2
x+1
1
解得：x=− ，
2
1
经检验，x=− 是分式方程的解，
2
1
故原方程的解为x=− ；
2
1 1 1 1 1 1 1 1 6
（3）原方程变形得： （1− + − + − +⋯+ − ）= ，
3 4 4 7 7 10 3n+1 3n+4 19
1 18
即1− = ，
3n+4 19
解得：n＝5，
经检验，n＝5是分式方程的解，
故原方程的解为：n＝5．
【总结提升】本题考查规律探索问题及解分式方程，结合已知条件总结出规律是解题的关键．
针对训练
1 1 1 1 1 1 1 1
1．（2023秋•栾城区校级月考）因为 =1− ， = − ，⋯， = − ，
1×2 2 2×3 2 3 19×20 19 20
1 1 1 1 1 1 1 1 1 19
所以 + +⋯+ =1− + − +⋯+ − =1− = ．解答下列问题：
1×2 2×3 19×20 2 2 3 19 20 20 20
1 1 1 1 1
（1）在和式 + + +⋯中，第九项是 ；第n项是 ；
1×2 2×3 3×4 9×10 n(n+1)
1 1 1 1
（2）解方程： + +⋯+ = ．
(x+1)(x+2) (x+2)(x+3) (x+2001)(x+2002) x+2002
【思路引领】（1）根据已知式子的规律，即可求解；1 1 1
（2）根据（1）的规律化简方程为 − = ，解分式方程，即可求解．
x+1 x+2002 x+2002
1 1 1 1 1
【解答】解：（1）依题意，在和式 + + +⋯中，第九项是 ；第n项是 ；
1×2 2×3 3×4 9×10 n(n+1)
1 1
故答案为 ； ．
9×10 n(n+1)
1 1 1
（2）原方程可化简为： − =
x+1 x+2002 x+2002
方程两边同时乘（x+1）（x+2002），得：x+2002﹣（x+1）＝x+1，
解得：x＝2000，
经检验，x＝2000是原方程的解．
【总结提升】本题考查了数字类规律题，解分式方程，找到规律，化简方程是解题的关键．
技巧四 换元法解分式方程（组）
7．（2022秋•湘潭县期末）阅读下面材料，解答后面的问题．
x−1 4x
解方程： − =0．
x x−1
x−1 4
解：设y= ，则原方程化为：y− =0，
x y
方程两边同时乘y得：y2﹣4＝0，
解得：y ＝2，y ＝﹣2．
1 2
4
经检验：y ＝2，y ＝﹣2都是方程y− =0的解．
1 2
y
x−1
当y＝2时， =2，解得：x＝﹣1；
x
x−1 1
当y＝﹣2时， =−2，解得：x= ．
x 3
1
经检验：x ＝﹣1或x = 都是原分式方程的解．
1 2
3
1
∴原分式方程的解为x ＝﹣1或x = ．
1 2
3
上述这种解分式方程的方法称为换元法．
问题：
x−1 x x−1 y 1
（1）若在方程 − =0中，设y= ，则原方程可化为： − =0 ；
4x x−1 x 4 yx−1 4x+4 x−1 4
（2）若在方程 − =0中，设y= ，则原方程可化为： y− =0 ；
x+1 x−1 x+1 y
x−1 3
（3）模仿上述换元法解方程： − −1＝0．
x+2 x−1
【思路引领】（1）将所设的y代入原方程即可；
（2）将所设的y代入原方程即可；
x−1 1
（3）利用换元法解分式方程，设y= ，将原方程化为y− =0，求出y的值并检验是否为原方程
x+2 y
的解，然后求解x的值即可．
x−1 y 1
【解答】解：（1）将y= 代入原方程，则原方程化为 − =0．
x 4 y
y 1
故答案为： − =0；
4 y
x−1 4
（2）将y= 代入方程，则原方程可化为y− =0．
x+1 y
4
故答案为：y− =0；
y
x−1 x+2
（3）原方程化为： − =0，
x+2 x−1
x−1 1
设y= ，则原方程化为：y− =0，
x+2 y
方程两边同时乘y得：y2﹣1＝0，
解得：y＝±1，
1
经检验：y＝±1都是方程y− =0的解，
y
x−1
当y＝1时， =1，该方程无解，
x+2
x−1 1
当y＝﹣1时， =−1，解得：x=− ，
x+2 2
1
经检验：x=− 是原分式方程的解，
2
1
∴原分式方程的解为x=− ．
2
【总结提升】本题考查了分式方程的解法，掌握换元法解分式方程是关键．
针对训练4 4 2
1．（2022秋•仁寿县校级月考）若 − =−1，则 =（ ）
x2 x x
A．1 B．﹣1 C．﹣2 D．2
【思路引领】根据用换元法解分式方程即可．
1 1
【解答】解：设 =a，则 =a2，
x x2
原方程可变形为4a2﹣4a＝﹣1，
所以4a2﹣4a+1＝0，
所以（2a﹣1）2＝0，
1
解得a= ，
2
所以x＝2，
经检验，x＝2是原方程的根．
2
所以 =1．
x
故选：A．
【总结提升】本题考查了解分式方程，熟练掌握换元法解分式方程是解题的关键．
2．（2023春•南岗区校级期中）阅读理解，并根据所得规律答题．
解二元一次方程组的基本方法有“代入法”、“加减法”两种消元策略，有一种方程组，不是二元一次
2 3
{ + =5①)
方程组，但结构类似，如 x y ，我们分析x≠0，y≠0，可以采用“换元法”来解：设1 ，
=m
5 2 x
− =3②
x y
1 {2m+3n=5) {m=1) 1 1
=n，原方程组转化为 ，解得 ，∴ =1， =1，由倒数定义得，原方程组的解
y 5m−2n=3 n=1 x y
{x=1)
为 ．
y=1
3 2 {x=1)
（1）直接写出满足方程 + =4的一个解 （不唯一） ；
x y y=23 2
{ + =4①)
（2）解方程组 x y ．
5 6
− =2②
x y
【思路引领】（1）写出方程的一个解即可；
（2）利用换元法先把分式方程组转化为一元一次方程组，再求解．
【解答】解：（1）当x＝1，y＝2时，
3 2 3 2
+ = + =4．
x y 1 2
{x=1) 3 2
∴ 是方程 + =4的一个解．
y=2 x y
{x=1)
故答案为： （不唯一）．
y=2
1 1
（2）设 =m， =n，
x y
{3m+2n=4)
原方程组转化为 ，
5m−6n=2
{m=1
)
解得 1 ，
n=
2
1 1 1
∴ =1， = ，
x y 2
{x=1)
∴ ．
y=2
{x=1)
∴原方程组的解为 ．
y=2
【总结提升】本题考查了分式方程组的解法，看懂题例掌握换元法是解决本题的关键．
