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第 06 讲 事件的相互独立性、条件概率与全概率公式
（模拟精练+真题演练）
1．（2023·河北秦皇岛·校联考二模）根据某机构对失踪飞机的调查得知：失踪的飞机中有70%的后来被找
到，在被找到的飞机中，有60%安装有紧急定位传送器，而未被找到的失踪飞机中，有90%未安装紧急定
位传送器，紧急定位传送器是在飞机失事坠毁时发送信号，让搜救人员可以定位的装置.现有一架安装有紧
急定位传送器的飞机失踪，则它被找到的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】设 “失踪的飞机后来被找到”， “失踪的飞机后来未被找到”， “安装有紧急定位
传送器”，
则 ， ，
安装有紧急定位传送器的飞机失踪，它被找到的概率为
.
故选：C.
2．（2023·广西南宁·南宁二中校联考模拟预测）2023年3月13日第十四届全国人民代表大会第一次会议
在北京胜利闭幕，某中学为了贯彻学习“两会”精神，举办“学两会，知国事”知识竞赛．高二学生代表
队由A，B，C，D，E共5名成员组成，现从这5名成员中随机抽选3名参加学校决赛，则在学生A被抽到
的条件下，学生B也被抽到的概率为（ ）．
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】记事件A：学生A被抽到，事件B：学生B被抽到，
所以 ， ，
所以 ．
故选：B
3．（2023·安徽安庆·安庆一中校考三模）某医疗仪器上有 、 两个易耗元件，每次使用后，需要更换
元件的概率为 ，需要更换 元件的概率为 ，则在第一次使用后就要更换元件的条件下， 、 两个
元件都要更换的概率是（ ）A． B． C． D．
【答案】C
【解析】记事件 第一次使用后就要更换元件，事件 、 两个元件都要更换，
则 ， ，
由条件概率公式可得 .
故选：C.
4．（2023·山东·山东省实验中学校联考模拟预测）已知事件 满足 ， ，则（ ）
A．若 ，则
B．若 与 互斥，则
C．若 与 相互独立，则
D．若 ，则 与 不相互独立
【答案】B
【解析】对于A，若 ，则 ，所以A错误；
对于B，若 与 互斥，则 ，所以B正确；
对于C，若 与 相互独立，可得 与 相互独立，
所以 ，所以C错误；
对于D，由 ，可得 ，
所以 ，所以 ，所以 与 相互独立，所以D错误.
故选：B.
5．（2023·安徽·合肥一中校联考模拟预测）已知A，B，C是三个随机事件，“A，B，C两两独立”是“
”的（ ）条件
A．充分不必要 B．必要不充分
C．充要 D．既不充分也不必要
【答案】D
【解析】解析：一方面，考虑 含有等可能的样本点， .
则 ，故 两两独立，但 ，故此
时， 不成立.另一方面，考虑 含有等可能的样本点， .
则
，故 不独立，也即 两两独立不成立.
综上，“ 两两独立”是“ ”的既不充分也不必要条件.
故选：D.
6．（2023·河南·襄城高中校联考三模）2022年卡塔尔世界杯上，32支球队分成8个小组，每个小组的前
两名才能出线，晋级到 决赛．某参赛队在开赛前预测：本队获得小组第一的概率为0.6，获得小组第二
的概率为0.3；若获得小组第一，则 决赛获胜的概率为0.9，若获得小组第二，则 决赛获胜的概率为
0.3．那么在已知该队小组出线的条件下，其 决赛获胜的概率为（ ）
A．0.54 B．0.63 C．0.7 D．0.9
【答案】C
【解析】设该队小组出线为事件A，该队 决赛获胜为事件B，
则 ， ，
所以 ．
故选：C .
7．（2023·广东佛山·统考模拟预测）现随机安排甲、乙等4位同学参加校运会跳高、跳远、投铅球比赛，
要求每位同学参加一项比赛，每项比赛至少一位同学参加，事件 “甲参加跳高比赛”，事件 “乙
参加跳高比赛”，事件 “乙参加跳远比赛”，则（ ）
A．事件A与B相互独立 B．事件A与C为互斥事件
C． D．
【答案】C
【解析】对于A，每项比赛至少一位同学参加，则有 不同的安排方法，
事件 “甲参加跳高比赛”，若跳高比赛安排2人，则有 种方法；
若跳高比赛安排1人，则有 种方法，所以安排甲参加跳高比赛的不同安排方法共有 种，
则 ，同理 ，
若安排甲、乙同时参加跳高比赛，则跳高比赛安排2人为甲和乙，跳远、投铅球比赛各安排1人，有
种不同的安排方法，所以 ，因为 ，事件A与B不相互独立故A错误；
对于B，在一次试验中，不可能同时发生的两个事件称为互斥事件，事件A与C可以同时发生，故事件A
与C不是互斥事件，故B错误；
对于C，在安排甲参加跳高比赛的同时安排乙参加跳远比赛的不同安排方法有 种，所以
，所以 ，故C正确；
对于D， ，故D错误.
故选：C
8．（2023·安徽亳州·安徽省亳州市第一中学校考模拟预测）在数字通信中，信号是由数字0和1组成的序
列.由于随机因素的干扰，发送的信号0或1可能被错误的接收为1或0.已知发送信号0时，接收为0和1
的概率分别为0.9和0.1；发送信号为1时，接收为1和0的概率分别为 和 .假设发送信号0和1是等
可能的.已知接收到1的概率为0.525，则 的值为（ ）
A．0.8 B．0.85 C．0.9 D．0.95
【答案】D
【解析】由题意得： ，
解得 ，
故选：D.
9．（2023·广东深圳·校考二模）已知编号为1，2，3的三个盒子，其中1号盒子内装有两个1号球，一个
2号球和一个3号球；2号盒子内装有两个1号球，一个3号球；3号盒子内装有三个1号球，两个2号球.
若第一次先从1号盒子内随机抽取1个球，将取出的球放入与球同编号的盒子中，第二次从放入球的盒子
中任取一个球，设事件 为第一次取出的球为i号，事件 为第二次取出的球为i号，则下列说法错误的
是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由题意可得 ，故B正确；
对于A， 表示在第一次取出的球为3号的前提下，第二次取出的球为3号的概率，所以
，故A正确；对于C， 表示在第一次取出的球为1号的前提下，第二次取出的球为3号的概率，所以
表示在第一次取出的球为2号的前提下，第二次取出的球为3号的概率，所以 ，
应用全概率公式,有 ，故C错误；
对于D，利用条件概率可得 ，解得 ，故D正确
故选：C
10．（2023·山东潍坊·三模）已知事件 , , ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由条件概率公式可知 ,即 ①,
,即 ②,
而 ，所以 ③，
又已知 ④,
①②③④联立可得 .
故选：C
11．（多选题）（2023·吉林白山·抚松县第一中学校考模拟预测）有两个书架，第一个书架上有4本语文
书，6本数学书，第二个书架上有6本语文书，4本数学书．先从第一个书架上随机取出一本书放到第二个
书架上，分别以 和 表示从第一个书架上取出的书是语文书和数学书的事件；再从第二个书架上随机取
出一本书，以 表示第二个书架上取出的书是语文书的事件，则（ ）
A．事件 与事件 相互独立 B．
C． D．
【答案】BCD【解析】对选项A： 发生时B发生的概率是 ， 不发生时B发生的概率是 ，由事件的独立性概念
知，事件 与事件B不相互独立，A错误；
对选项B： ，B正确；
对选项C： ，C正确；
对选项D： ，D正确；
故选：BCD．
12．（多选题）（2023·广东东莞·东莞实验中学校考一模）甲罐中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙罐
中有4个红球，3个白球和3个黑球，先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别用事件 和 表示从甲
罐中取出的球是红球，白球和黑球；再从乙罐中随机取出一球，用事件B表示从乙罐中取出的球是红球，
则下列结论正确的是（ ）
A．
B．
C．事件B与事件 相互独立
D． 是两两互斥的事件
【答案】BD
【解析】依题意得 ， ， ，
则 ，故B正确；
， ，
所以
，故A不正确；
因为 ， ， ，
所以事件B与事件 不相互独立，故C不正确；
根据互斥事件的定义可知 是两两互斥的事件，故D正确.故选：BD
13．（多选题）（2023·福建福州·福建省福州第一中学校考模拟预测）某市场供应多种品牌的N95口罩，
相应的市场占有率和优质率的信息如下表：
品牌 甲 乙 其他
市场占有率
优质率
在该市场中随机买一种品牌的 口罩，记 表示买到的口罩分别为甲品牌、乙品牌、其他品牌，
记 表示买到的口罩是优质品，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AC
【解析】由题意得 ，
对于A，因为 与 互斥，所以 ，所以A正确，
对于B， ，所以B错误，
对于C，
，所以C正确，
对于D， ，所以D错误，
故选：AC
14．（多选题）（2023·广东揭阳·惠来县第一中学校考模拟预测）甲、乙、丙、丁四名教师分配到 ， ，
三个学校支教，每人分配到一个学校且每个学校至少分配一人.设事件 ：“甲分配到 学校”；事件
：“乙分配到 学校”，则（ ）
A．事件 与 互斥 B．
C．事件 与 相互独立 D．
【答案】BD
【解析】对于A，甲分配到 学校的事件与乙分配到 学校的事件可以同时发生，即事件 与 不互斥，
A错误；
对于B，甲分配到 ， ， 三个学校是等可能的，则 ，B正确；对于C，由选项B知， ， ，显然 ，
因此事件 与 相互不独立，C错误；
对于D，由选项BC知， ，D正确.
故选：BD
15．（2023·四川成都·石室中学校考模拟预测）若三个元件 、 、 按照如图的方式连接成一个系统，
每个元件是否正常工作不受其他元件的影响，当元件 正常工作且 、 中至少有一个正常工作时，系统
就正常工作，若元件 、 正常工作的概率依次为 、 ，且这个系统正常工作的概率为 ，则元
件 正常工作的概率为 .
【答案】 /
【解析】设元件 正常工作的概率为 ，系统正常工作，当且仅当 正常工作， 、 中至少有一个正常
工作，
由题意可得，系统正常工作的概率为 ，解得 .
故答案为： .
16．（2023·重庆巴南·统考一模）现从甲、乙、丙3人中选派一人参加“垃圾分类”知识竞答，他们商议
通过玩“石头、剪刀、布”游戏解决：如果其中两人手势相同，另一人不同，则选派手势不同的人参加；
否则重新进行一局“石头、剪刀、布”游戏，直到确定人选为止.在每局游戏中，甲、乙、丙各自出3种手
势是等可能的，且各局游戏是相互独立的，则直到第三局游戏才最终确定选派人员的概率为 .
【答案】
【解析】设事件 表示“进行一局游戏，成功确定参加活动人选”，
则 ，
则进行一局游戏，没有确定参加活动人选的概率为 ，
且各局游戏是相互独立的，
则直到第三局游戏才最终确定选派人员的概率为 .
故答案为：17．（2023·江苏南京·南京市第一中学校考模拟预测）为深入学习宣传贯彻党的二十大精神，某校团委举
办“强国复兴有我”——党的二十大精神知识竞答活动.某场比赛中，甲、乙、丙三位同学同时回答一道有
关二十大精神知识的问题.已知甲同学答对的概率是 ，甲、丙两位同学都答错的概率是 ，乙、丙两位同
学都答对的概率是 .若各同学答题正确与否互不影响.则甲、乙、丙三位同学中至少2位同学答对这道题的
概率为 .
【答案】
【解析】设甲同学答对的事件为A，答错的事件为 ，设乙同学答对的事件为B，答错的事件为 ，乙同
学答对的事件为C，答错的事件为 ，
因为甲同学答对的概率是 ，甲、丙两位同学都答错的概率是 ，乙、丙两位同学都答对的概率是 ，
所以 ，
解得 ，
所以甲、乙、丙三位同学中至少2位同学答对这道题的概率为:
，
，
故答案为：
18．（2023·海南海口·校考模拟预测）某人连续两次对同一目标进行射击，若第一次击中目标，则第二次
也击中目标的概率为0.8，若第一次未击中目标，则第二次击中目标的概率为0.4 ，已知第一次击中目标的
概率是0.7 ，则第二次击中目标的概率为 .
【答案】0.68/
【解析】根据题意，设事件 “第一次击中目标”， “第二次击中目标”，
，则 ， ， ，
所以
故答案为：0.68 .
19．（2023·广东东莞·校考三模）在孟德尔豌豆试验中，子二代的基因型为 ，其中 为显性基
因， 为隐性基因，且这三种基因型的比为 ，如果在子二代中任意选取两株豌豆进行杂交实验，那
么子三代中基因型为 的概率是 .【答案】 /0.25
【解析】由题意，
子二代作杂交试验的基因配型有6种可能，分别设为 ，
设事件 ：“子三代的基因型为 ”，则
事件
配型
0 0 0 1
由全概率公式得 ，
故答案为： .
20．（2023·广东揭阳·惠来县第一中学校考模拟预测）根据社会人口学研究发现，一个家庭有 个孩子的
概率模型为：
1 2 3 0
概率
其中 ， .每个孩子的性别是男孩还是女孩的概率均为 且相互独立，事件 表示一个家庭有
个孩子 ，事件 表示一个家庭的男孩比女孩多（例如：一个家庭恰有一个男孩，则该家庭男孩
多.）
(1)为了调控未来人口结构，其中参数 受到各种因素的影响（例如生育保险的增加，教育、医疗福利的增
加等），是否存在 的值使得 ，请说明理由.
(2)若 ，求 ，并根据全概率公式 ，求 .
【解析】（1）不存在 的值使得 ，理由如下：
由题意得， ①，且 ②，由②得到 ，将其代入①，整理得到 ，
令 ， ，则 ，
当 时， ， 单调递减，当 时， ， 单调递增，
故 在 处取得极小值，也是最小值，
又 ，
故 无解，
所以不存在 的值使得
（2）若 ，则 ，解得 ，
， ， ，
由全概率公式可得 ，
因为 ， ，所以 .
21．（2023·福建泉州·统考模拟预测）泉州是历史文化名城、东亚文化之都，是联合国认定的“海上丝绸
之路”起点.著名的“泉州十八景”是游客的争相打卡点，泉州文旅局调查打卡十八景游客，发现90%的人
至少打卡两个景点.为提升城市形象，泉州文旅局为大家准备了4种礼物，分别是世遗泉州金属书签、闽南
古厝徽章、开元寺祈福香包、小关公陶瓷摆件.若打卡十八景游客至少打卡两个景点，则有两次抽奖机会；
若只打卡一个景点，则有一次抽奖机会.每次抽奖可随机获得4种礼物中的1种礼物.假设打卡十八景游客打
卡景点情况相互独立.
(1)从全体打卡十八景游客中随机抽取3人，求3人抽奖总次数不低于4次的概率；
(2)任选一位打卡十八景游客，求此游客抽中开元寺祈福香包的概率.
【解析】（1）设3人抽奖总次数为 ，则 的可能取值为3，4，5，6.
由题意知，每位打卡十八景游客至少打卡两个景点的概率为 ，只打卡一个景点的概率为 ，随机抽取3
人，3人打卡景点情况相互独立.
表示抽奖总次数为3次，即3人都只打卡一个景点.
依题意可得， ，所以 .
（2）记事件 “每位打卡十八景游客至少打卡两个景点”，
则 “每位打卡十八景游客只打卡一个景点”，
事件 “一位打卡十八景游客抽中开元寺祈福香包”，
则 ， ， ， ，
由全概率公式得，
.
22．（2023·江苏苏州·校联考三模）在一个抽奖游戏中，主持人从编号为 的四个外观相同的空箱子
中随机选择一个，放入一件奖品，再将四个箱子关闭.主持人知道奖品在哪个箱子里.游戏规则是主持人请
抽奖人在这四个箱子中选择一个，若奖品在此箱子里，则奖品由获奖人获得.现有抽奖人甲选择了2号箱，
在打开2号箱之前，主持人先打开了另外三个箱子中的一个空箱子.按游戏规则，主持人将随机打开甲的选
择之外的一个空箱子.
(1)计算主持人打开4号箱的概率；
(2)当主持人打开4号箱后，现在给抽奖人甲一次重新选择的机会，请问他是坚持选2号箱，还是改选1号
或3号箱？（以获得奖品的概率最大为决策依据）
【解析】（1）设 分别表示1，2，3，4号箱子里有奖品，
设 分别表示主持人打开 号箱子，
则 ，且 两两互斥.
由题意可知，事件 的概率都是 ， ， ， ，
.
由全概率公式，得 .
（2）在主持人打开4号箱的条件下，1号箱､2号箱､3号箱里有奖品的条件概率分别为
，
，
，
通过概率大小比较，甲应该改选1号或3号箱.
23．（2023·福建龙岩·统考二模）为了丰富孩子们的校园生活，某校团委牵头，发起体育运动和文化项目比赛，经过角逐，甲、乙两人进入最后的决赛．决赛先进行两天，每天实行三局两胜制，即先赢两局的人
获得该天胜利，此时该天比赛结束．若甲、乙两人中的一方能连续两天胜利，则其为最终冠军；若前两天
甲、乙两人各赢一天，则第三天只进行一局附加赛，该附加赛的获胜方为最终冠军设每局比赛甲获胜的概
率为 ，每局比赛的结果没有平局且结果互相独立．
(1)记第一天需要进行的比赛局数为X，求X的分布列及 ；
(2)记一共进行的比赛局数为Y，求 ．
【解析】（1） 可能取值为2，3．
所以 的分布列如下：
2 3
∴ ．
（2）前两天中每一天甲以2：0获胜的的概率均为 ；
乙以2：0获胜的的概率均为
甲以2：1获胜的的概率均为
乙以2：1获胜的的概率均为
∴
即获胜方前两天比分为 和 ，或者 和 再加附加赛
甲获胜的概率为 ，
乙获胜的概率为
∴
∴ ．1．（多选题）（2023•新高考Ⅱ）在信道内传输0，1信号，信号的传输相互独立．发送0时，收到1的概
率为 ，收到0的概率为 ；发送1时，收到0的概率为 ，收到1的概率为 ．
考虑两种传输方案：单次传输和三次传输．单次传输是指每个信号只发送 1次，三次传输是指每个信号重
复发送3次．收到的信号需要译码，译码规则如下：单次传输时，收到的信号即为译码；三次传输时，收
到的信号中出现次数多的即为译码（例如，若依次收到1，0，1，则译码为
A．采用单次传输方案，若依次发送1，0，1，则依次收到1，0，1的概率为
B．采用三次传输方案，若发送1，则依次收到1，0，1的概率为
C．采用三次传输方案，若发送1，则译码为1的概率为
D．当 时，若发送0，则采用三次传输方案译码为0的概率大于采用单次传输方案译码为0的
概率
【答案】
【解析】采用单次传输方案，若依次发送 1，0，1，则依次收到 1，0，1 的概率为：
，故 正确；
采用三次传输方案，若发送1，依次收到1，0，1的概率为： ，故 正确；
采用三次传输方案，若发送1，
则译码为1包含收到的信号为包含两个1或3个1，
故所求概率为： ，故 错误；
三次传输方案发送0，译码为0的概率 ，
单次传输发送0译码为0的概率 ，
，
当 时， ，
故 ，故 正确．
故选： ．
2．（2023•天津）甲、乙、丙三个盒子中装有一定数量的黑球和白球，其总数之比为 ．这三个盒子
中黑球占总数的比例分别为 ， ， ．现从三个盒子中各取一个球，取到的三个球都是黑球的
概率为 ；将三个盒子混合后任取一个球，是白球的概率为 1 ．【答案】 ； ．
【解析】设盒子中共有球 个，
则甲盒子中有黑球 个，白球 个，
乙盒子中有黑球 个，白球 个，
丙盒子中有黑球 个，白球 个，
从三个盒子中各取一个球，取到的三个球都是黑球的概率为 ；
将三个盒子混合后任取一个球，是白球的概率 ．
故答案为： ； ．
3．（2022•天津）52张扑克牌，没有大小王，无放回地抽取两次，则两次都抽到 的概率为 ；
已知第一次抽到的是 ，则第二次抽取 的概率为 1 ．
【答案】 ； ．
【解析】由题意，设第一次抽到 的事件为 ，第二次抽到 的事件为 ，
则 ， （B） ，
，
故答案为： ； ．
4．（2021•天津）甲、乙两人在每次猜谜活动中各猜一个谜语，若一方猜对且另一方猜错，则猜对的一方
获胜，否则本次平局．已知每次活动中，甲、乙猜对的概率分别为 和 ，且每次活动中甲、乙猜对与否
互不影响，各次活动也互不影响，则一次活动中，甲获胜的概率为 ；3次活动中，甲至少获胜2次
的概率为 1 ．
【答案】 ； ．
【解析】 一次活动中，甲获胜的概率为 ，
次活动中，甲至少获胜2次的概率为 ．故答案为： ； ．
5．（2020•天津）已知甲、乙两球落入盒子的概率分别为 和 ．假定两球是否落入盒子互不影响，则甲、
乙两球都落入盒子的概率为 ；甲、乙两球至少有一个落入盒子的概率为 1 ．
【答案】 ， ．
【解析】设“甲球落入盒子”为事件 ，“乙球落入盒子”为事件 ，
由题意可知事件 与事件 相互独立，且 （A） ， （B） ，
则甲、乙两球都落入盒子的概率为 （A） （B） ，
事件“甲、乙两球至少有一个落入盒子”的对立事件为“甲、乙两球都没有落入盒子”
所以甲、乙两球至少有一个落入盒子的概率为
（A） （B） ，
故答案为： ， ．
6．（2019•新课标Ⅰ）甲、乙两队进行篮球决赛，采取七场四胜制（当一队赢得四场胜利时，该队获胜，
决赛结束）．根据前期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”．设甲队主场取胜的概率
为0.6，客场取胜的概率为0.5，且各场比赛结果相互独立，则甲队以 获胜的概率是 0.1 8 ．
【答案】0.18
【解析】甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”．
设甲队主场取胜的概率为0.6，客场取胜的概率为0.5，且各场比赛结果相互独立，
甲队以 获胜包含的情况有：
①前5场比赛中，第一场负，另外4场全胜，其概率为： ，
②前5场比赛中，第二场负，另外4场全胜，其概率为： ，
③前5场比赛中，第三场负，另外4场全胜，其概率为： ，
④前5场比赛中，第四场负，另外4场全胜，其概率为： ，
则甲队以 获胜的概率为：
．
故答案为：0.18．
7．（2020•新课标Ⅰ）甲、乙、丙三位同学进行羽毛球比赛，约定赛制如下：
累计负两场者被淘汰：比赛前抽签决定首先比赛的两人，另一人轮空；每场比赛的胜者与轮空者进行下一
场比赛，负者下一场轮空，直至有一人被淘汰；当一人被淘汰后，剩余的两人继续比赛，直至其中一人被淘汰，另一人最终获胜，比赛结束．
经抽签，甲、乙首先比赛，丙轮空．设每场比赛双方获胜的概率都为 ．
（1）求甲连胜四场的概率；
（2）求需要进行第五场比赛的概率；
（3）求丙最终获胜的概率．
【解析】（1）甲连胜四场只能是前四场全胜， ．
（2）记事件 为甲输，事件 为乙输，事件 为丙输，故四局内结束比赛的概率为
，
故需要进行第五场比赛的概率为 ．
（3）法一：设事件 为甲输，事件 为乙输，事件 为丙输，
记事件 ：甲赢，记事件 ：丙赢，则甲赢的基本事件包括： 、 、 、 、
、 、 、 ，
则甲赢终的概率为：
；
由对称性可知：乙赢的概率和甲赢的概率相等，
所以丙获胜的概率为 ．
法二：（1）只打四场比赛，此时丙只需赢三场，即第二场到第四场，其概率 ，
（2）打五场比赛，最后一场丙赢，则丙在第二，三，四场比赛必然输一场，因此要继续打分两种情况进
行讨论：
若丙第二场输，则第四场和第五场丙赢，则，概率 ，
若丙第三场输，则第二场和第五场丙赢，则，概率 ，
若丙第四场输，则前三场必有一人被淘汰，其概率为 ，
综上所述，丙获胜的概率 ．
8．（2019•新课标Ⅱ）11分制乒乓球比赛，每赢一球得1分，当某局打成 平后，每球交换发球权，
先多得2分的一方获胜，该局比赛结束．甲、乙两位同学进行单打比赛，假设甲发球时甲得分的概率为
0.5，乙发球时甲得分的概率为0.4，各球的结果相互独立．在某局双方 平后，甲先发球，两人又打
了 个球该局比赛结束．（1）求 ；
（2）求事件“ 且甲获胜”的概率．
【解析】（1）设双方 平后的第 个球甲获胜为事件 ，2，3， ，
则
．
（2） 且甲获胜）
．
9．（2016•全国）某同学进行投篮训练，已知该同学每次投篮命中的概率都为 ，且每次投篮是否命中相
互独立．
（Ⅰ）求该同学在三次投篮中至少命中2次的概率；
（Ⅱ）若该同学在10次投篮中恰好命中 次 ，1，2， ， 的概率为 ， 为何值时， 最大？
【解析】（Ⅰ） 该同学每次投篮命中的概率都为 ，且每次投篮是否命中相互独立．
该同学在三次投篮中至少命中2次的概率：
．
（Ⅱ） 该同学在10次投篮中恰好命中 次 ，1，2， ， 的概率为 ，
，
当 最大时， ，
，
，即 ，
解得 ，
， ．故 为8时， 最大．
10．（2022•新高考Ⅰ）一医疗团队为研究某地的一种地方性疾病与当地居民的卫生习惯（卫生习惯分为
良好和不够良好两类）的关系，在已患该疾病的病例中随机调查了 100例（称为病例组），同时在未患该
疾病的人群中随机调查了100人（称为对照组），得到如下数据：
不够良好 良好
病例组 40 60
对照组 10 90
（1）能否有 的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异？
（2）从该地的人群中任选一人， 表示事件“选到的人卫生习惯不够良好”， 表示事件“选到的人患
有该疾病”， 与 的比值是卫生习惯不够良好对患该疾病风险程度的一项度量指标，记该
指标为 ．
（ⅰ）证明： ；
（ⅱ）利用该调查数据，给出 ， 的估计值，并利用（ⅰ）的结果给出 的估计值．
附： ．
0.050 0.010 0.001
3.841 6.635 10.828
【解析】（1）补充列联表为：
不够良好 良好 合计
病例组 40 60 100
对照组 10 90 100
合计 50 150 200
计算 ，
所以有 的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异．
（ 2 ） 证 明 ：
；
（ ⅱ ） 利 用 调 查 数 据 ， ， ， ，，
所以 ．
