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专题 23 一次函数与特殊角问题及几何存在性问题（原卷版）
类型一 一次函数与特殊角
1．（2021•祥符区二模）如图，在平面直角坐标系中，点 A，B坐标分别为（0，6），（6，0），连接
AB，分别以点 A，点 B 为圆心，AB 长为半径画弧，两弧在第一象限交于点 C．则点 C 的坐标为
（ ）
A．（7，7） B．（3❑√2+3，3❑√2+3）
C．（8，8） D．（3❑√3+3，3❑√3+3）
2．（2022•新安县一模）如图，在平面直角坐标系中，已知点A（4，0），按以下步骤作图：①分别以点
A，O为圆心，OA长为半径作弧，两弧在第一象限内交于点B，连接AB，OB；②分别以点A，B为圆
1
心，大于 AB的长为半径作弧，两弧在AB右侧交于点P，连接OP，交AB于点C，则点C的坐标为（
2
）
3❑√3
A．（3，1） B．（3， ） C．（3，❑√3） D．（❑√3，3）
2
3．（2023•增城区一模）如图，已知直线y=−❑√3x+3与x轴交于点A，点B与点A关于y轴对称．M是
直线上的动点，将OM绕点O顺时针旋转60°得ON．连接BN，则线段BN的最小值为（ ）A．3 B．3+❑√3 C．2❑√3 D．3−❑√3
4．（2021•大荔县一模）如图，在平面直角坐标系中，A（2，0），B（0，1），线段AC是线段AB绕点A
顺时针旋转90°而得，则AC所在直线的解析式是（ ）
1 3
A．y＝2x﹣4 B．y= x﹣1 C．y＝2x− D．y＝3x﹣4
2 2
类型二 一次函数与几何存在性问题
3
5．（2023春•和平区校级期末）在平面直角坐标系中，直线y= x+6与x轴，y轴分别交于点A，B，在x
4
轴的负半轴上存在点P，使△ABP是等腰三角形，则点P的坐标为 ．
6．（2023春•电白区期末）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣3x+3与x轴交于点A，与y轴交于点
B，将线段AB绕点A顺时针旋转90°，得到线段AC，过点B，C作直线，交x轴于点D．
（1）点C的坐标为 ；求直线BC的表达式；
5
（2）若点E为线段BC上一点，且△ABE的面积为 ，求点E的坐标；
2
（3）在（2）的条件下，在平面内是否存在点P，使以点A，B，E，P为顶点的四边形为平行四边形？
若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．7．（2023春•雅安期末）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣2x+4分别交x轴、y轴于A、B两点，将
△AOB绕点O逆时针旋转90°后得到△A OB ．
1 1
（1）求直线A B 的解析式；
1 1
（2）若直线A B 与直线AB交于点C，P是直线AB上一点，当 时，求点P的坐标．
1 1 S =5S
△PB A △AB C
1 1
8．（2023春•双流区期中）如图，在平面直角坐标系中，直线l ：y＝﹣2x+b分别交x轴，y轴于A，B两
1
点，点C（﹣2，2）在直线l 上，现将直线l 绕点C逆时针旋转45°得到直线l ，则直线l 的解析式为y
1 1 2 2
1 4
=− x+ ．
3 3
9．（2022春•安溪县期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝2x﹣1的图象分别交x轴、y轴于点
A、B，将直线AB绕点B按顺时针方向旋转45°，交x轴于点C．
1
（1）点A坐标是（ ， ）、点B坐标是（ ， ）；
2
（2）求直线BC的函数表达式；
（3）点M是射线BA上的点，在平面内是否存在点N，使得以M、N、B、C为顶点的四边形是菱形，
如果存在，请求出点N的坐标；如果不存在，请说明理由．10．（2015春•滨湖区期中）已知△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝6，D为AB边上的中点，∠EDF＝
90°，且绕点D旋转，它的两边分别交AC、BC（或它们的延长线）于E、F，假设△DEF的面积x、
△ECF的面积为y．
（1）当∠EDF绕点D旋转到（如图1）时，求y与x之间的函数关系？（不要求自变量的取值范围）
（2）当∠EDF绕点D旋转到（如图2）时，（1）中的结论是否还成立？若成立，请给予证明；若不成
立，请说明你的猜想．
第二部分 专题提优训练
1．（2023秋•宝安区期末）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣2x+6分别与x轴，y轴交于A，B两点，
将直线AB绕点A逆时针旋转45°得到直线AC，过点B作BD⊥AC于点D，则点D的坐标是（ ）
3 3 5 5 5 5
A．（﹣1，1） B．(− ， ) C．(− ， ) D．(− ， )
2 2 3 3 2 22．（2023秋•张店区期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线AB与x轴负半轴，y轴正半轴分别交于
点A（﹣1，0），B，在x轴上取点C（3，0），点D是直线AB上的一个动点，以CD为边，在CD的
右侧作等边三角形CDF，使得点F落在第一象限，连接OF．若∠BAO＝60°，则OF+CF的最小值为（
）
A．6 B．❑√57 C．8 D．❑√73
3．（2023•雅安）在平面直角坐标系中，将函数y＝x的图象绕坐标原点逆时针旋转90°，再向上平移1个
单位长度，所得直线的函数表达式为（ ）
A．y＝﹣x+1 B．y＝x+1 C．y＝﹣x﹣1 D．y＝x﹣1
4．（2023秋•沂源县期末）一次函数y＝2x+b的图象经过点M（1，3），且与x轴，y轴分别交于A，B两
1 1
点．将该直线绕点A顺时针旋转45°至直线l，则直线l的函数表达式 y= x+ ．
3 6
5．（2023秋•深圳校级期中）如图，直线AB的解析式为y＝﹣x+b，分别与x轴，y轴交于A，B两点，点
A的坐标为（4，0），过点B的直线交x轴负半轴于点C，且OB：OC＝4：1．若在x轴上方存在点
D，使以A，B，D为顶点的三角形与△ABC全等，则点D的坐标为 ．
4
6．（2023秋•海州区校级期中）如图，已知直线y= x+4与x轴交于点A，与y轴交于点B，若点P在直
3
线x＝﹣1上，点Q在平面直角坐标系内，且以点A，B，P，Q为顶点的四边形是以AB为对角线的菱形，
则Q点坐标为 ．7．（2022春•通州区期中）如图，在平面直角坐标系xOy中，函数y＝﹣2x+6的图象分别交x轴，y轴于
A，B两点，过点A的直线交y轴正半轴于点M，且MB＝2MO．在平面直角坐标系内存在点C，使得以
A，B，M，C为顶点的四边形是平行四边形，请你画出图形，确定点C的坐标．
8．（2023春•文山州期末）如图，在平面直角坐标系中，直线l：y＝kx+b经过点A（1，3），与y轴相交
于点B（0，2）．
（1）求直线l的函数表达式；
（2）在y轴上是否存在点M，使△ABM是等腰三角形．若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明
理由．1
9．（2023春•长沙期末）在平面直角坐标系中，已知一次函数y= x+1的图象与x轴、y轴分别交于A，
2
B两点．以AB为边在第二象限内作正方形ABCD．
（1）求点C，D的坐标；
（2）在x轴上是否存在点M，使△MDB的周长最小？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明
理由．
