文档内容
第 06 讲 事件的相互独立性、条件概率与全概率公式
（模拟精练+真题演练）
1．（2023·河北秦皇岛·校联考二模）根据某机构对失踪飞机的调查得知：失踪的飞机中有70%的后来被找
到，在被找到的飞机中，有60%安装有紧急定位传送器，而未被找到的失踪飞机中，有90%未安装紧急定
位传送器，紧急定位传送器是在飞机失事坠毁时发送信号，让搜救人员可以定位的装置.现有一架安装有紧
急定位传送器的飞机失踪，则它被找到的概率为（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·广西南宁·南宁二中校联考模拟预测）2023年3月13日第十四届全国人民代表大会第一次会议
在北京胜利闭幕，某中学为了贯彻学习“两会”精神，举办“学两会，知国事”知识竞赛．高二学生代表
队由A，B，C，D，E共5名成员组成，现从这5名成员中随机抽选3名参加学校决赛，则在学生A被抽到
的条件下，学生B也被抽到的概率为（ ）．
A． B． C． D．
3．（2023·安徽安庆·安庆一中校考三模）某医疗仪器上有 、 两个易耗元件，每次使用后，需要更换
元件的概率为 ，需要更换 元件的概率为 ，则在第一次使用后就要更换元件的条件下， 、 两个
元件都要更换的概率是（ ）
A． B． C． D．
4．（2023·山东·山东省实验中学校联考模拟预测）已知事件 满足 ， ，则（ ）
A．若 ，则
B．若 与 互斥，则
C．若 与 相互独立，则
D．若 ，则 与 不相互独立
5．（2023·安徽·合肥一中校联考模拟预测）已知A，B，C是三个随机事件，“A，B，C两两独立”是“
”的（ ）条件
A．充分不必要 B．必要不充分
C．充要 D．既不充分也不必要
6．（2023·河南·襄城高中校联考三模）2022年卡塔尔世界杯上，32支球队分成8个小组，每个小组的前
两名才能出线，晋级到 决赛．某参赛队在开赛前预测：本队获得小组第一的概率为0.6，获得小组第二
的概率为0.3；若获得小组第一，则 决赛获胜的概率为0.9，若获得小组第二，则 决赛获胜的概率为0.3．那么在已知该队小组出线的条件下，其 决赛获胜的概率为（ ）
A．0.54 B．0.63 C．0.7 D．0.9
7．（2023·广东佛山·统考模拟预测）现随机安排甲、乙等4位同学参加校运会跳高、跳远、投铅球比赛，
要求每位同学参加一项比赛，每项比赛至少一位同学参加，事件 “甲参加跳高比赛”，事件 “乙
参加跳高比赛”，事件 “乙参加跳远比赛”，则（ ）
A．事件A与B相互独立 B．事件A与C为互斥事件
C． D．
8．（2023·安徽亳州·安徽省亳州市第一中学校考模拟预测）在数字通信中，信号是由数字0和1组成的序
列.由于随机因素的干扰，发送的信号0或1可能被错误的接收为1或0.已知发送信号0时，接收为0和1
的概率分别为0.9和0.1；发送信号为1时，接收为1和0的概率分别为 和 .假设发送信号0和1是等
可能的.已知接收到1的概率为0.525，则 的值为（ ）
A．0.8 B．0.85 C．0.9 D．0.95
9．（2023·广东深圳·校考二模）已知编号为1，2，3的三个盒子，其中1号盒子内装有两个1号球，一个
2号球和一个3号球；2号盒子内装有两个1号球，一个3号球；3号盒子内装有三个1号球，两个2号球.
若第一次先从1号盒子内随机抽取1个球，将取出的球放入与球同编号的盒子中，第二次从放入球的盒子
中任取一个球，设事件 为第一次取出的球为i号，事件 为第二次取出的球为i号，则下列说法错误的
是（ ）
A． B． C． D．
10．（2023·山东潍坊·三模）已知事件 , , ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
11．（多选题）（2023·吉林白山·抚松县第一中学校考模拟预测）有两个书架，第一个书架上有4本语文
书，6本数学书，第二个书架上有6本语文书，4本数学书．先从第一个书架上随机取出一本书放到第二个
书架上，分别以 和 表示从第一个书架上取出的书是语文书和数学书的事件；再从第二个书架上随机取
出一本书，以 表示第二个书架上取出的书是语文书的事件，则（ ）
A．事件 与事件 相互独立 B．
C． D．
12．（多选题）（2023·广东东莞·东莞实验中学校考一模）甲罐中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙罐
中有4个红球，3个白球和3个黑球，先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别用事件 和 表示从甲
罐中取出的球是红球，白球和黑球；再从乙罐中随机取出一球，用事件B表示从乙罐中取出的球是红球，
则下列结论正确的是（ ）A．
B．
C．事件B与事件 相互独立
D． 是两两互斥的事件
13．（多选题）（2023·福建福州·福建省福州第一中学校考模拟预测）某市场供应多种品牌的N95口罩，
相应的市场占有率和优质率的信息如下表：
品牌 甲 乙 其他
市场占有率
优质率
在该市场中随机买一种品牌的 口罩，记 表示买到的口罩分别为甲品牌、乙品牌、其他品牌，
记 表示买到的口罩是优质品，则（ ）
A． B．
C． D．
14．（多选题）（2023·广东揭阳·惠来县第一中学校考模拟预测）甲、乙、丙、丁四名教师分配到 ， ，
三个学校支教，每人分配到一个学校且每个学校至少分配一人.设事件 ：“甲分配到 学校”；事件
：“乙分配到 学校”，则（ ）
A．事件 与 互斥 B．
C．事件 与 相互独立 D．
15．（2023·四川成都·石室中学校考模拟预测）若三个元件 、 、 按照如图的方式连接成一个系统，
每个元件是否正常工作不受其他元件的影响，当元件 正常工作且 、 中至少有一个正常工作时，系统
就正常工作，若元件 、 正常工作的概率依次为 、 ，且这个系统正常工作的概率为 ，则元
件 正常工作的概率为 .
16．（2023·重庆巴南·统考一模）现从甲、乙、丙3人中选派一人参加“垃圾分类”知识竞答，他们商议
通过玩“石头、剪刀、布”游戏解决：如果其中两人手势相同，另一人不同，则选派手势不同的人参加；
否则重新进行一局“石头、剪刀、布”游戏，直到确定人选为止.在每局游戏中，甲、乙、丙各自出3种手
势是等可能的，且各局游戏是相互独立的，则直到第三局游戏才最终确定选派人员的概率为 .17．（2023·江苏南京·南京市第一中学校考模拟预测）为深入学习宣传贯彻党的二十大精神，某校团委举
办“强国复兴有我”——党的二十大精神知识竞答活动.某场比赛中，甲、乙、丙三位同学同时回答一道有
关二十大精神知识的问题.已知甲同学答对的概率是 ，甲、丙两位同学都答错的概率是 ，乙、丙两位同
学都答对的概率是 .若各同学答题正确与否互不影响.则甲、乙、丙三位同学中至少2位同学答对这道题的
概率为 .
18．（2023·海南海口·校考模拟预测）某人连续两次对同一目标进行射击，若第一次击中目标，则第二次
也击中目标的概率为0.8，若第一次未击中目标，则第二次击中目标的概率为0.4 ，已知第一次击中目标的
概率是0.7 ，则第二次击中目标的概率为 .
19．（2023·广东东莞·校考三模）在孟德尔豌豆试验中，子二代的基因型为 ，其中 为显性基
因， 为隐性基因，且这三种基因型的比为 ，如果在子二代中任意选取两株豌豆进行杂交实验，那
么子三代中基因型为 的概率是 .
20．（2023·广东揭阳·惠来县第一中学校考模拟预测）根据社会人口学研究发现，一个家庭有 个孩子的
概率模型为：
1 2 3 0
概率
其中 ， .每个孩子的性别是男孩还是女孩的概率均为 且相互独立，事件 表示一个家庭有
个孩子 ，事件 表示一个家庭的男孩比女孩多（例如：一个家庭恰有一个男孩，则该家庭男孩
多.）
(1)为了调控未来人口结构，其中参数 受到各种因素的影响（例如生育保险的增加，教育、医疗福利的增
加等），是否存在 的值使得 ，请说明理由.
(2)若 ，求 ，并根据全概率公式 ，求 .
21．（2023·福建泉州·统考模拟预测）泉州是历史文化名城、东亚文化之都，是联合国认定的“海上丝绸
之路”起点.著名的“泉州十八景”是游客的争相打卡点，泉州文旅局调查打卡十八景游客，发现90%的人
至少打卡两个景点.为提升城市形象，泉州文旅局为大家准备了4种礼物，分别是世遗泉州金属书签、闽南
古厝徽章、开元寺祈福香包、小关公陶瓷摆件.若打卡十八景游客至少打卡两个景点，则有两次抽奖机会；
若只打卡一个景点，则有一次抽奖机会.每次抽奖可随机获得4种礼物中的1种礼物.假设打卡十八景游客打卡景点情况相互独立.
(1)从全体打卡十八景游客中随机抽取3人，求3人抽奖总次数不低于4次的概率；
(2)任选一位打卡十八景游客，求此游客抽中开元寺祈福香包的概率.
22．（2023·江苏苏州·校联考三模）在一个抽奖游戏中，主持人从编号为 的四个外观相同的空箱子
中随机选择一个，放入一件奖品，再将四个箱子关闭.主持人知道奖品在哪个箱子里.游戏规则是主持人请
抽奖人在这四个箱子中选择一个，若奖品在此箱子里，则奖品由获奖人获得.现有抽奖人甲选择了2号箱，
在打开2号箱之前，主持人先打开了另外三个箱子中的一个空箱子.按游戏规则，主持人将随机打开甲的选
择之外的一个空箱子.
(1)计算主持人打开4号箱的概率；
(2)当主持人打开4号箱后，现在给抽奖人甲一次重新选择的机会，请问他是坚持选2号箱，还是改选1号
或3号箱？（以获得奖品的概率最大为决策依据）
23．（2023·福建龙岩·统考二模）为了丰富孩子们的校园生活，某校团委牵头，发起体育运动和文化项目
比赛，经过角逐，甲、乙两人进入最后的决赛．决赛先进行两天，每天实行三局两胜制，即先赢两局的人
获得该天胜利，此时该天比赛结束．若甲、乙两人中的一方能连续两天胜利，则其为最终冠军；若前两天
甲、乙两人各赢一天，则第三天只进行一局附加赛，该附加赛的获胜方为最终冠军设每局比赛甲获胜的概
率为 ，每局比赛的结果没有平局且结果互相独立．
(1)记第一天需要进行的比赛局数为X，求X的分布列及 ；
(2)记一共进行的比赛局数为Y，求 ．
1．（多选题）（2023•新高考Ⅱ）在信道内传输0，1信号，信号的传输相互独立．发送0时，收到1的概
率为 ，收到0的概率为 ；发送1时，收到0的概率为 ，收到1的概率为 ．
考虑两种传输方案：单次传输和三次传输．单次传输是指每个信号只发送 1次，三次传输是指每个信号重复发送3次．收到的信号需要译码，译码规则如下：单次传输时，收到的信号即为译码；三次传输时，收
到的信号中出现次数多的即为译码（例如，若依次收到1，0，1，则译码为
A．采用单次传输方案，若依次发送1，0，1，则依次收到1，0，1的概率为
B．采用三次传输方案，若发送1，则依次收到1，0，1的概率为
C．采用三次传输方案，若发送1，则译码为1的概率为
D．当 时，若发送0，则采用三次传输方案译码为0的概率大于采用单次传输方案译码为0的
概率
2．（2023•天津）甲、乙、丙三个盒子中装有一定数量的黑球和白球，其总数之比为 ．这三个盒子
中黑球占总数的比例分别为 ， ， ．现从三个盒子中各取一个球，取到的三个球都是黑球的
概率为 ；将三个盒子混合后任取一个球，是白球的概率为 ．
3．（2022•天津）52张扑克牌，没有大小王，无放回地抽取两次，则两次都抽到 的概率为 ；
已知第一次抽到的是 ，则第二次抽取 的概率为 ．
4．（2021•天津）甲、乙两人在每次猜谜活动中各猜一个谜语，若一方猜对且另一方猜错，则猜对的一方
获胜，否则本次平局．已知每次活动中，甲、乙猜对的概率分别为 和 ，且每次活动中甲、乙猜对与否
互不影响，各次活动也互不影响，则一次活动中，甲获胜的概率为 ；3次活动中，甲至少获胜
2次的概率为 ．
5．（2020•天津）已知甲、乙两球落入盒子的概率分别为 和 ．假定两球是否落入盒子互不影响，则甲、
乙两球都落入盒子的概率为 ；甲、乙两球至少有一个落入盒子的概率为 ．
6．（2019•新课标Ⅰ）甲、乙两队进行篮球决赛，采取七场四胜制（当一队赢得四场胜利时，该队获胜，
决赛结束）．根据前期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”．设甲队主场取胜的概率
为0.6，客场取胜的概率为0.5，且各场比赛结果相互独立，则甲队以 获胜的概率是 ．
7．（2020•新课标Ⅰ）甲、乙、丙三位同学进行羽毛球比赛，约定赛制如下：
累计负两场者被淘汰：比赛前抽签决定首先比赛的两人，另一人轮空；每场比赛的胜者与轮空者进行下一
场比赛，负者下一场轮空，直至有一人被淘汰；当一人被淘汰后，剩余的两人继续比赛，直至其中一人被
淘汰，另一人最终获胜，比赛结束．
经抽签，甲、乙首先比赛，丙轮空．设每场比赛双方获胜的概率都为 ．
（1）求甲连胜四场的概率；
（2）求需要进行第五场比赛的概率；
（3）求丙最终获胜的概率．8．（2019•新课标Ⅱ）11分制乒乓球比赛，每赢一球得1分，当某局打成 平后，每球交换发球权，
先多得2分的一方获胜，该局比赛结束．甲、乙两位同学进行单打比赛，假设甲发球时甲得分的概率为
0.5，乙发球时甲得分的概率为0.4，各球的结果相互独立．在某局双方 平后，甲先发球，两人又打
了 个球该局比赛结束．
（1）求 ；
（2）求事件“ 且甲获胜”的概率．
9．（2016•全国）某同学进行投篮训练，已知该同学每次投篮命中的概率都为 ，且每次投篮是否命中相
互独立．
（Ⅰ）求该同学在三次投篮中至少命中2次的概率；
（Ⅱ）若该同学在10次投篮中恰好命中 次 ，1，2， ， 的概率为 ， 为何值时， 最大？
10．（2022•新高考Ⅰ）一医疗团队为研究某地的一种地方性疾病与当地居民的卫生习惯（卫生习惯分为
良好和不够良好两类）的关系，在已患该疾病的病例中随机调查了 100例（称为病例组），同时在未患该
疾病的人群中随机调查了100人（称为对照组），得到如下数据：
不够良好 良好
病例组 40 60
对照组 10 90
（1）能否有 的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异？
（2）从该地的人群中任选一人， 表示事件“选到的人卫生习惯不够良好”， 表示事件“选到的人患
有该疾病”， 与 的比值是卫生习惯不够良好对患该疾病风险程度的一项度量指标，记该
指标为 ．
（ⅰ）证明： ；
（ⅱ）利用该调查数据，给出 ， 的估计值，并利用（ⅰ）的结果给出 的估计值．
附： ．0.050 0.010 0.001
3.841 6.635 10.828
