文档内容
第 09 讲 函数的单调性与最值
1．函数的单调性
(1)单调函数的定义
增函数 减函数
一般地，设函数f(x)的定义域为I，区间D⊆I，如果∀x，x∈D
1 2
当x f ( x )，那么
1 2 1 2 1 2 1 2
定义
那么就称函数f(x)在区间D上 就称函数f(x)在区间D上是减函
是增函数 数
图象描述
自左向右看图象是上升的 自左向右看图象是下降的
(2)单调区间的定义
如果函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区
间D叫做y＝f(x)的单调区间．
2．函数的最值
前提 设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足
(1)∀x∈I，都有 f ( x ) ≤ M ； (1)∀x∈I，都有 f ( x ) ≥ M ；
条件
(2)∃x∈I，使得 f ( x ) ＝ M (2)∃x∈I，使得 f ( x ) ＝ M
0 0 0 0
结论 M为最大值 M为最小值
常用结论
1．∀x，x∈D且x≠x，有>0(<0)或(x－x)[f(x)－f(x)]>0(<0)⇔f(x)在区间D上单调递增(减)．
1 2 1 2 1 2 1 2
2．在公共定义域内，增函数＋增函数＝增函数，减函数＋减函数＝减函数．
3．函数y＝f(x)(f(x)>0或f(x)<0)在公共定义域内与y＝－f(x)，y＝的单调性相反．
4．复合函数的单调性：函数y＝f(u)，u＝φ(x)在函数y＝f(φ(x))的定义域上，如果y＝f(u)与u＝φ(x)的单调性
相同，那么y＝f(φ(x))单调递增；如果y＝f(u)与u＝φ(x)的单调性相反，那么y＝f(φ(x))单调递减．1、【2020年新高考2卷（海南卷）】已知函数 在 上单调递增，则 的取值范围
是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
首先求出 的定义域，然后求出 的单调递增区间即可.
【详解】
由 得 或
所以 的定义域为
因为 在 上单调递增
所以 在 上单调递增
所以
故选：D
2、【2021年甲卷文科】下列函数中是增函数的为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
根据基本初等函数的性质逐项判断后可得正确的选项.
【详解】
对于A， 为 上的减函数，不合题意，舍.
对于B， 为 上的减函数，不合题意，舍.对于C， 在 为减函数，不合题意，舍.
对于D， 为 上的增函数，符合题意，
故选：D.
3、【2018年新课标1卷文科】设函数 ，则满足 的x的取值范围是
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
分析：首先根据题中所给的函数解析式，将函数图像画出来，从图中可以发现若有 成立，
一定会有 ，从而求得结果.
详解：将函数 的图像画出来，观察图像可知会有 ，解得 ，所以满足
的x的取值范围是 ，故选D.
1、下列函数中，定义域是 且为增函数的是
BC EFPQ
λ
A． 1 B． C． D．【答案】B
【解析】四个函数的图象如下
y y y
y
y=x3
y=e-x y=lnx
x x y=|x|
x
O O
O O
显然B成立．
2、函数 ， 的值域是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
由题意，令 ，由于 ，故 ，
故 ，由反比例函数的性质， 在 单调递增，
故当 时， ；当 时， ，
故函数在 的值域为： .
故选：A.
3、已知函数 ，则
A．是奇函数，且在R上是增函数 B．是偶函数，且在R上是增函数
C．是奇函数，且在R上是减函数 D．是偶函数，且在R上是减函数
【答案】A
【解析】 ，得 为奇函数，
，所以 在R上是增函数．选A．
4、(2022·沭阳如东中学期初考试)(多选题)如果函数在(0，1)上是减函数，那么A．f(x)在(1，＋∞)上递增且无最大值
B．f(x)在(1，＋∞)上递减且无最小值
C．f(x)在定义域内是偶函数
D．f(x)的图象关于直线x＝1对称
【答案】AD
【解析】由|x－1|＞0得，函数的定义域为{x|x≠1}．设g(x)＝|x－1|＝则在(－，1)上为减函数，在(1，＋
)上为增函数，且g(x)的图象关于直线x＝1对称，所以f(x)的图象关于直线x＝1对称，故选项D正确；因
为f(x)＝log |x－1|在(0，1)上是减函数，所以a＞1，所以在(1，＋∞)上单调递增且无最大值，故选项 A正
a
确，选项B错误；又f≠f(x)，所以选项C错误；综上，答案选AD．
考向一 函数单调性的证明与判断
例1、讨论并用定义证明函数f(x)＝在区间(－1，1)上的单调性．
【解析】 任取x，x∈(－1，1)，且x0，xx＋1>0，x－1<0，x－1<0，
1 2 2 1 1 2
所以f(x)－f(x)>0，即f(x)>f(x)，
1 2 1 2
所以函数f(x)在区间(－1，1)上单调递减．
变式1、判断函数f(x)＝在区间[1，＋∞)上的单调性并证明你的结论．
【解析】 函数f（x）＝ 在区间[1，＋∞）上是单调减函数，证明如下：
、x∈[1，＋∞），且x0，∴ f（x）－f（x）>0，
1 2
即f（x）>f（x）.∴ f（x）＝ 在[1，＋∞）上为减函数
1 2
方法总结： 1. 判断函数的单调性，通常的方法有：（1）定义法；（2）图像法；（3）利用常见函
数的单调性；（4）导数法.而要证明一个函数的单调性，基本方法是利用单调性定义或导数法.
2. 应用函数单调性的定义证明函数的单调性，其基本步骤如下：
→→→→
其中，变形是十分重要的一步，其目的是使得变形后的式子易于判断符号，常用的方法是(1)分解因
式；(2)配方；(3)通分约分等．考向二 函数的单调区间
例1、求下列函数的单调区间
（1）y＝－x2＋2|x|＋1；
（2）、函数y＝|x|(1－x)的单调递增区间是________.
【解析】（1）由 即
画出函数图像如图所示，单调增区间为(－∞，－1]，[0，1]，单调减区间为[－1，0]，
[1，＋∞)．
（2）y＝|x|(1－x)＝
＝函数的大致图象如图所示.
由图易知函数的单调递增区间是.
变式1、求下列函数的单调区间．
(1) f(x)＝|x2－2x＋2|；
(2) f(x)＝log (x2－2x－3).
2
【解析】 (1) 因为y＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1>0，
所以f(x)＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1，
所以函数f(x)的单调增区间为(1，＋∞)，单调减区间为(－∞，1).
(2) 由题意，得x2－2x－3>0，解得x>3或x<－1，
所以函数f(x)的定义域为(－∞，－1)∪(3，＋∞).
又g(t)＝log t为单调增函数，y＝x2－2x－3＝(x－1)2－4图象的对称轴为直线 x＝1，所以函数f(x)的单调减
2
区间为(－∞，－1)，单调增区间为(3，＋∞).
变式2、(2022·沭阳如东中学期初考试)函数的单调递增区间是______．
【答案】(1，＋)
【解析】由题意，令x2＋2x－3＞0，解得x＜－3或x＞1，因为t＝x2＋2x－3在(1，＋)上单调递增，所以
函数的单调递增区间为(1，＋)．
变式3、.函数y＝log x2＋x＋6)的单调递增区间为( )
(－
A. B.C.(－2，3) D.
【答案】 A
【解析】由－x2＋x＋6>0，得－24；
max
③当m>1时，f(x) ＝f(1)＝|－2－2m|>4.
max
综上，实数m的值为－1或1.
变式1、（2022·河北·石家庄二中模拟预测）设 ，函数 ，若 的最小值为
，则实数 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
当 时，结合不等式求得其最小值为 ，当 时， ，根据函数 的最小值为 ，列出不等式组，即可求解.
【详解】
当 时， ，
当且仅当 时，等号成立；
即当 时，函数 的最小值为 ，
当 时， ，
要使得函数 的最小值为 ，则满足 ，解得 ，
即实数 的取值范围是 .
故选：A.
方法总结：研究函数的单调区间，进行讨论求解求解
考向四 函数单调性中的含参问题
例4、 设a＞0且a≠1，函数f(x)＝log (ax－1)在区间[3，5]上是单调增函数，求实数a的取值范围．
a
【解析】 由题意，得ax－1>0在区间[3，5]上恒成立，
即a>在区间[3，5]上恒成立，所以a>.
①当a>1时，g(t)＝log t单调递增，
a
且y＝ax－1单调递增，符合题意；
②当0在区间[3，5]上恒成立，
即a>在区间[3，5]上恒成立，所以a>.
t＝ax2－x图象的对称轴为直线x＝.
①当a>1时，φ(t)＝log t单调递增，
a
对称轴为直线x＝<<3，
所以t＝ax2－x在区间[3，5]上单调递增，符合题意；
②当0，所以不符合题意．
综上，实数a的取值范围是(1，＋∞).
变式2、已知函数f(x)＝的值域为R，则实数a的取值范围是________．
【答案】
【解析】：当x≥1时，f(x)＝2x－1≥1，
∵函数f(x)＝的值域为R，
∴当x＜1时，(1－2a)x＋3a必须取遍(－∞，1)内的所有实数，
则解得0≤a＜.
1、（2022·湖南·雅礼中学二模）下列函数中，在R上为增函数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
对于A， ，在R上是减函数；对于B， 在 上是减函数，在 上是增函数；
对于C，当 时， 是增函数，当 时， 是增函数；对于D， 的定义域是 .
【详解】
解：对于A， ，在R上是减函数，故A不正确；
对于B， 在 上是减函数，在 上是增函数，故B不正确；
对于C，当 时， 是增函数，当 时， 是增函数，所以函数 在R上是增函数，故C
正确；对于D， 的定义域是 ，故不满足在R上为增函数，故D不正确，
故选：C.
2、（2022·山东·济南市历城第二中学模拟预测）函数 在 上是减函数，则实数 的范
围是_______.
【答案】
【分析】
转化原函数为 ，利用反比例函数的单调性结合定义域，即得解
【详解】
函数 ，定义域为 ，
又 ，
因为函数 在 上是减函数，所以只需 在 上是减函数，
因此 ，解得 .
故答案为：
3、(2022·江苏镇江中学高三10月月考)能说明“若f（x）>f（0）对任意的x∈（0，2］都成立，则f（x）在
［0，2］上是增函数”为假命题的一个函数是__________．
【答案】y=sinx（答案不唯一）
【解析】
【详解】分析：举的反例要否定增函数，可以取一个分段函数，使得f（x）>f（0）且（0，2］上是减函数.
详解：令 ，则f（x）>f（0）对任意的x∈（0，2］都成立，但f（x）在［0，2］上
不是增函数.
又如，令f（x）=sinx，则f（0）=0，f（x）>f（0）对任意的x∈（0，2］都成立，但f（x）在［0，2］上
不是增函数.
4、（2022·湖北·一模）已知函数 （x>0），若 的最大值为 ，则正实数a=___________.
【答案】1
【分析】
依据题意列出关于a的方程即可求得正实数a的值.
【详解】
令 ，则 ，则
令
当 时， 在 上单调递增，
则 ，即 的最大值为
则 ，解之得 .
当 时， （当且仅当 时等号成立）
则 ，即 的最大值为
则 ，解之得 （舍）
综上，所求正实数
故答案为：1
