文档内容
一、单选题
1．如图，直线m表示一条河，M，N表示两个村庄，欲在m上的某处修建一个给水站，向两个村庄供水，现有如
图所示的四种铺设管道的方案，图中实线表示铺设的管道，则所需管道最短的方案是（ ）
A． B．
C． D．
2．已知直线l同旁的两点A、B，在l上求一点P，使PA＋PB最小，则求P点的作法正确的为( )
A．作A关于l的对称点A′，连接A′B交 与P
B．AB的延长线与l交于P
C．作A关于l的对称点A′，连接AA′交 与P
D．以上都不对
3．如图，伊宁火车站附近现要建一个货物中转站，三条直线表示 3条公路要求中转站到三条公路的距离相等，则
可供选择的地址有（ ）
A.一处 B.两处 C.三处 D.四处
4．如图，在锐角三角形ABC中，AB=4，△ABC的面积为8，BD平分∠ABC．若M、N分别是BD、BC上的动
点，则CM+MN的最小值是（ ）
A．2 B．4 C．6 D．85．如图，牧童在A处放牛，其家在B处，A、B到河岸的距离分别为AC和BD，且AC=BD，若点A到河岸CD的中点
的距离为500米，则牧童从A处把牛牵到河边饮水再回家，最短距离是（ ）
A．750米 B．1000米 C．1500米 D．2000米
6．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4，BC＝5，EF垂直平分BC，点P为直线EF上的任一点，则
AP＋BP的最小值是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
7．如图，在等边△ABC中，AB＝2，N为AB上一点，且AN＝1，AD＝ ，∠BAC的平分线交BC于点D，M
是AD上的动点，连接BM、MN，则BM+MN的最小值是（ ）
A． B．2 C．1 D．3
二、填空题
8．如图，牧童在A处放牛，其家在B处，A、B到河岸的距离分别为AC和BD，且AC=BD，若点A到河岸CD
的中点的距离为500米，则牧童从A处把牛牵到河边饮水再回家，最短距离是____ 米．
9．如图， ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，AD是BC边上的中线且AD＝4，F是AD上的动点，E是AC边上的
动点，则C△F+EF的最小值为_____．10．如图，四边形ABCD中，AB⊥BC，AD⊥DC，∠BAD=m°（m>90）,则BC、CD上分别找一点M、N，当
△AMN周长最小时，∠AMN+∠ANM的度数是_______（用m来表示）.
三、解答题
11．要在公路MN旁修建一个货物中转站P，分别向A，B两个开发区运货．
（1）若要求货站到A，B两个开发区的距离相等，在图1中作出货站P．
（2）若要求货站到A，B两个开发区的距离和最小，在图2中作出货站P′．
12．如图，在一条河的同岸有两个村庄A和B，两村要在河上合修一座桥，桥修在什么位置可以使两村到桥的距离
之和最短？保留作图痕迹并说明理由．
13．已知 ABC，顶点A、B、C都在正方形方格交点上，正方形方格的边长为1．
△（1）写出A、B、C的坐标；
（2）请在平面直角坐标系中画出 ABC关于x轴对称的 ABC ；
1 1 1
（3）在y轴上找到一点D，使得C△D+BD的值最小，（在△图中标出D点位置即可，保留作图痕迹）参考答案
1．D
【解析】
【分析】
本题可通过找点M或点N关于直线m的对称点，继而利用两点之间线段最短确定最短路径．
【详解】
作点M关于直线m的对称点 ，连接 交直线m于P，则P处即为给水站位置．根据“两点之间，线段最短”
可排除 、 、 选项，可知 选项管道最短．
故选： ．
【点睛】
本题考查将军饮马模型，可利用轴对称性质以及两点之间线段最短求解，将军饮马模型有诸多变体形式，需做专
题训练对比记忆最佳．
2．A
【解析】
试题分析：首先找出其中一点关于直线的对称点，然后连接对称点和另一个点与直线的交点就是点P的位置.
考点：饮水问题
3．D
【解析】
试题分析：由三角形内角平分线的交点到三角形三边的距离相等，可得三角形内角平分线的交点满足条件；然后
利用角平分线的性质，可证得三角形两条外角平分线的交点到其三边的距离也相等，这样的点有3个，可得可供
选择的地址有4个．故选D.
考点：角平分线的性质
点评：本题考查了角平分线的性质．关键是熟练掌握角平分线上的点到角两边的距离相等，注意数形结合思想的
应用．
4．B
【解析】
【分析】
过点C作CE⊥AB于点E，交BD于点M′，过点M′作M′N′⊥BC于N′，则CE即为CM+MN的最小值，再根据三
角形的面积公式求出CE的长，即为CM+MN的最小值．
【详解】
解：过点C作CE⊥AB于点E，交BD于点M′，过点M作MN′⊥BC于N′，∵BD平分∠ABC，M′E⊥AB于点E，M′N′⊥BC于N
∴M′N′=M′E，
∴CE=CM′+M′E
∴当点M与M′重合，点N与N′重合时，CM+MN的最小值．
∵三角形ABC的面积为8，AB=4，
∴ ×4•CE=8，
∴CE=4．
即CM+MN的最小值为4．
故选B．
【点睛】
本题考查是轴对称-最短路线问题，根据题意作出辅助线，构造出三角形，利用三角形的面积求解是解题关键．
5．B
【解析】
作A的对称点A’,连接A’B交CD于P,
,
, ,
两点之间直线最短，A’B=AP+PB=1000米
点睛：平面上最短路径问题
（1）归于“两点之间的连线中，线段最短”。凡属于求“变动的两线段之和的最小值”时，大都应用这一模型。
（2）归于“三角形两边之差小于第三边”。凡属于求“变动的两线段之差的最大值”时，大都应用这一模型。（3）平面图形中，直线同侧两点到直线上一点距离之和最短问题。
6．B
【解析】
试题分析：根据题意知点B关于直线EF的对称点为点C，故当点P与点D重合时，AP+BP的最小值，求出AC长
度即可．
解：∵EF垂直平分BC，
∴B、C关于EF对称，
AC交EF于D，
∴当P和D重合时，AP+BP的值最小，最小值等于AC的长，
由勾股定理得：AC= =4．
故答案为4．
考点：轴对称-最短路线问题．
7．A
【解析】
【分析】
连接CN，与AD交于点M，连接BM，此时BM+MN取得最小值，由AD为∠BAC的角平分线，利用三线合一得
到AD⊥BC，且平分BC，可得出BM＝CM，由BM+MN＝CM+MN＝CN，可得出CN的长为最小值，利用等边三
角形的性质及勾股定理求出即可．
【详解】
解：连接CN，与AD交于点M，连接BM，此时BM+MN取得最小值，
由AD为∠BAC的角平分线，利用三线合一得到AD⊥BC，且平分BC，
∴AD为BC的垂直平分线，
∴CM＝BM，
∴BM+MN＝CM+MN＝CN，即最小值为CN的长，
∵△ABC为等边三角形，且AB＝2，AN＝1，∴CN为AB边上的中线，
∴CN⊥AB，
在Rt△ACN中，AC＝AB＝2，AN＝1，
根据勾股定理得：CN＝ ＝ .
故选A．
【点睛】
此题考查了轴对称﹣最短路线问题，以及等边三角形的性质，熟练掌握各自的性质是解本题的关键．
8．1000
【解析】
【分析】
【详解】
作出A的对称点A′，连接A′B与CD相交于M，则牧童从A处把牛牵到河边饮水再回家，最短距离是A′B的长．
易得△A′CM≌△BDM，AC=BD，所以A′C=BD，则A′C /BD ="CM" /MD ，
所以CM=DM，M为CD的中点，
由于A到河岸CD的中点的距离为500米，
所以A′到M的距离为500米，
A′B=1000米．
故最短距离是1000米．
9．
【解析】
【分析】
作BM⊥AC于M，交AD于F，根据三线合一定理求出BD的长和AD⊥BC，根据三角形面积公式求出BM，根据对称性质求出BF＝CF，根据垂线段最短得出CF+EF≥BM，即可得出答案．
【详解】
解：作BM⊥AC于M，交AD于F，
∵AB＝AC＝5，BC＝6，AD是BC边上的中线，
∴BD＝DC＝3，AD⊥BC，AD平分∠BAC，
∴B、C关于AD对称，
∴BF＝CF，
根据垂线段最短得出：CF+EF＝BF+EF≥BF+FM＝BM，
即CF+EF≥BM，
∵S ＝ ×BC×AD＝ ×AC×BM，
△ABC
∴BM＝ ＝ ＝ ，
即CF+EF的最小值是 ，
故答案为： ．
【点睛】
本题考查了轴对称﹣最短路线问题，关键是画出符合条件的图形，题目具有一定的代表性，是一道比较好的题
目．
10．360°-2m°.
【解析】
【分析】
根据要使 AMN的周长最小，即利用点的对称，使三角形的三边在同一直线上，作出A关于BC和CD的对称点
A′，A″，△利用三角形内角和定理即可得出∠AA′M+∠A″=180°-m°，进而得出∠AMN+∠ANM=2
（∠AA′M+∠A″），即可得出答案．
【详解】
作A关于BC和CD的对称点A′，A″，连接A′A″，交BC于M，交CD于N，则A′A″即为 AMN的周长最小值．
∵∠BAD=m°， △
∴∠AA′M+∠A″=180°-∠BAD=180°-m°，
∵∠MA′A=∠MAA′，∠NAD=∠A″，且∠MA′A+∠MAA′=∠AMN，∠NAD+∠A″=∠ANM，
∴∠AMN+∠ANM=∠MA′A+∠MAA′+∠NAD+∠A″=2（∠AA′M+∠A″）=2×（180°-m°）=360°-2m°，
故答案为：360°-2m°.
【点睛】
此题考查轴对称-最短路线问题，涉及到平面内最短路线问题求法以及三角形的外角的性质和垂直平分线的性质，
根据已知得出M，N的位置是解题关键．
11．（1）见解析；（2）见解析
【解析】
【分析】
（1）作线段AB的垂直平分线，交MN于点P即可；
（2）利用轴对称求最短路线的方法得出答案；
【详解】
解：（1）如图1所示：点 即为所求；
（2）如图2所示：点 即为所求．
【点睛】
此题主要考查了应用设计与作图，正确掌握基本作图方法是解题关键．
12．见解析
【解析】
【分析】
作点A关于河岸的对称点C，连接 交河岸于点P，点P就是桥的位置．【详解】
如图，作点A关于河岸的对称点C，连接 交河岸于点P，点P就是桥的位置．
理由：两点之间，线段最短．
【点睛】
本题主要考查了轴对称最短路线问题，准确理解是解题的关键．
13．（1）A（﹣4，1）B（﹣1，﹣1）C（﹣3，2）；
（2）见解析；
（3）见解析
【解析】
【分析】
（1）根据A，B，C的位置写出坐标即可．
（2）根据关于x轴对称的点的坐标特征，分别作出A，B，C的对应点A，B，C 即可．
1 1 1
（3）作点C关于y轴的对称点C′，连接BC′交y轴于D，点D即为所求．
【详解】
解：（1）由题意：A（﹣4，1）B（﹣1，﹣1）C（﹣3，2）
（2）如图，分别确定A、B、C关于x轴对称的对应点A B C 的坐标A ，
1、 1、 1 1
B 1 (-1，1), C 1 (-3，-2),依次连接，即为所求． (-4 -1),
（3）如图，作点C关于y轴的对称点C′，连接BC′交y轴于D，点D即为所求．
【点睛】本题考查了平面直角坐标系中点的坐标的确定，关于x轴对称的点的坐标特征，最短路径问题，解决本题的关键
是熟练掌握关于x轴对称的点的坐标特征。
