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第 4 节 函数的概念及其表示
（本卷满分150分，考试时间120分钟。）
一、单选题
1．已知函数 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】 ， .故选：D.
2．函数 的定义域是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】函数 需满足 ，解得 ，所以函数 的定义域为
.故选：C.
3．如果函数 对任意 满足 ，且 ，则
（ ）
A．2022 B．2024 C．2020 D．2021
【答案】A
【解析】根据题意，令 ，则 ，所以
，因为2,4,6，…，2022共有 个数，所以
.故选：A.
4．函数 的定义域为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由 ，解得： 且 .故选：C
5．设函数 的定义域为R，满足 ，且当 时， .若对
任意 ，都有 ，则m的最大值是（ ）A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为 ，所以 ，
当 时， 的最小值为 ；
当 时， ， ，
由 知， ，
所以此时 ，其最小值为 ；
同理，当 ， 时， ，其最小值为 ；
当 ， 时， 的最小值为 ；
作出如简图，
因为 ，要使 ，
则有 ．
解得 或 ，
要使对任意 ，都有 ，
则实数 的取值范围是 ．故选：A．
6．设 ，用[x]表示不超过x的最大整数，则 称为高斯函数．例如：
．已知函数 ，则函数 的值域为（ ）
A．{0， } B．{ ，1} C．{0，1} D．{ ，0，1}
【答案】D
【解析】①当 时， ，
②当 时， （当且仅当 时，等号成立），
故
③当 时， （当且仅当 时，等号成立），
故 故函数 的值域为[ ，1]，
故函数 的值域为{ ，0，1}，故选：D．
7．已知函数 ，若对于任意的实数x，不等式
恒成立，则实数a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由题设， ，图象如下：所以 ，
又 是R上的增函数，所以 对 恒成立，
所以 ，则 ，即 ．故选：A．
8．定义在R上的函数 满足 ，则 （ ）
A． B． C．1 D．2
【答案】D
【解析】当 时， ， ，
两式相加可得 ，即 ∴ ，
∴ .故选：D.
二、多选题
9．欧拉公式 被数学家们称为“宇宙第一公式”．（其中无理数e＝
2.71828182845904523536028747135266249775724709369995957496696762772407663035354
75945713821785251664274…），如果记e小数点后第n位上的数字为y，则y是关于n的
函数，记为 ．设此函数定义域为A，值域为B，则关于此函数，下列说法正确的
有（ ）
A． B． C． D．
【答案】BC
【解析】由题意得： ， ， ， ，
所以 ， ， ， ，故选：BC
10．下列各组函数是同一函数的是（ ）
A． 与 B． 与C． 与 D． 与
【答案】CD
【解析】对于A：函数 的定义域为 ，函数 定义域为R，两函数定义域不同，
故不是同一函数；
对于B：函数 定义域为R，化简可得 ，与 解析式不同，故不是
同一函数；
对于C：函数 定义域为 ，化简可得 ，函数 定义域为
，化简可得 ，故为同一函数；
对于D：函数 定义域为R，化简可得 ，与 为同一函数.故选：CD
11．某公司计划定制一批精美小礼品，准备在公司年终庆典大会上发给各位嘉宾，现有两
个工厂可供选择，甲厂费用分为设计费和加工费两部分，先收取固定的设计费，再按礼品
数量收取加工费，乙厂直接按礼品数量收取加工费，甲厂的总费用 （千元），乙厂的总
费用 （千元）与礼品数量x（千个）的函数关系图象分别如图中甲､乙所示，则（ ）
A．甲厂的费用 与礼品数量x之间的函数关系式为
B．当礼品数量不超过2千个时，乙厂的加工费平均每个为1.5元
C．当礼品数量超过2千个时，乙厂的总费用 与礼品数量x之间的函数关系式为
D．若该公司需定制的礼品数量为6千个，则该公司选择乙厂更节省费用
【答案】ABC
【解析】根据图像甲厂的费用 与礼品数量 满足的函数为一次函数，且过（0,1），
（8,5）两点，所以甲厂的费用 与礼品数量 满足的函数关系为 ，故A正确；
当定制礼品数量不超过2千个时，乙厂的总费用 与礼品数量x之间的函数关系式为，所以乙厂的加工费平均每个为 元，故B正确；
易知当 时， 与 之间的函数为一次函数，且过（2,3），（8,5），所以函数关系式
为 ，故C正确；
当 时， ， ，因为 ，所以定制礼品数量为6千
个时，选择甲厂更节省费用，故D不正确.故选：ABC.
12．已知函数 在R上存在最小值，则实数m的可能取值为
（ ）
A． B．0 C．1 D．2
【答案】AB
【解析】当 时，函数 是单调递减的， ， ，
当 时， 是单调递增的， ， ，
因函数 在R上存在最小值，则当且仅当 ，解得 ，
所以实数m的可能取值为-1，0.故选：AB
三、填空题
13．函数 的值域是______________（用区间表示）
【答案】
【解析】当 时， ，为开口向上，对称轴为 的抛物线，
所以 ，当 时， ，为单调递减函数，
所以 ，综上： ，即 的值域为 .故答案为：
14．若 ，则 ______．
【答案】
【解析】由 ①，将 用 代替得 ②，
由①②得 .故答案为： .
15．已知函数 ，满足对任意的 ， 恒成立，则实数a的取
值范围是_________【答案】
【解析】因为函数 ，满足对任意的， 恒成立，
当 时， 恒成立，即 恒成立，
因为 ，当且仅当 ，即 时取等号，所以 .
当 时， 恒成立.当 时， 恒成立，即 恒成立，
设 ， ，
， ， 为减函数， ， ， 为增函数，
所以 ，即 ，综上所述： .故答案为： .
16．已知函数 为定义在R上的单调函数，且 ，则 在
上的值域为______．
【答案】
【解析】因为 为定义在R上的单调函数，
所以存在唯一的 ，使得 ，
则 ， ，即 ，
因为函数 为增函数，且 ，所以 ， ．
易知 在 上为增函数，且 ， ，则 在 上的值域为
．故答案为： .
四、解答题
17．已知函数 .
(1)若函数定义域为 ，求 的取值范围；
(2)若函数值域为 ，求 的取值范围.
【解析】 (1) 函数定义域为 ，
对任意 都成立，
当 时， 显然不恒成立，不合题意；
当 时，由二次函数的性质可知，需满足 ，解得 ，综上，实数 的取值范围为
(2) 函数值域为 ，
能取遍所有正数，
1： ，解得 ，
2： ， 符合题意
实数 的取值范围为
18．定义在实数集上的函数 的图象是一条连绵不断的曲线， ，
，且 的最大值为1，最小值为0．
(1)求 与 的值；
(2)求 的解析式．
【解析】 (1)令 ，则 ，得
∴
∴
令 ，则 ，
同理 ；
(2)由
得 ，即
这说明 ， 至少与1， ， 其中之一相等
∵ 的最大值为1，最小值为0
∴在区间 和 上，一定有
只能在 处取得，因此
又∵函数 的图象是一条连绵不断的曲线
∴ 的解析式为
19．对于函数 ， ，如果存在实数 ， 使得函数 ，那么我们称 为函数 ， 的“ 函数”.
(1)已知 ， ，试判断 能否为函数 ， 的“
函数”，若是，请求出 ， 的值；若不是，说明理由；
(2)已知 ， ， 为函数 ， 的“ 函数“，且 ，
，解不等式 ；
(3)已知 ， ， 为函数 ， 的“ 函数“（其中 ，
， 的定义域为 ，当且仅当 时， 取得最小值4.若对任意正
实数 ， ，且 ，不等式 恒成立，求实数 的最大值.
【解析】 (1)若 是 、 的“ 函数”，
所以 ，则 ，解得 ， ；
(2)已知 ，则 可化为 ，解得 或 ，
所以 或 ，故不等式的解集为 , , ；
(3)由题意， ， ， ， ，
所以 ，当且仅当 ，即 时取等号，
结合题意： ，解得 ， ，
所以 ，则 恒成立，
又 ， ， ，则 恒成立，
只需 即可，
由基本不等式得： ，当且仅当 时取等号，此时 ，
所以 ，则 ，故 的最大值为10.
20．物体在常温下冷却的温度变化可以用牛顿冷却定律来描述：设物体的初始温度为 ，
经过一段时间 后的温度为 ，则 ，其中 为环境温度， 为参数.某日
室温为 ，上午8点小王使用某品牌电热养生壶烧1升水（假设加热时水温随时间变化为一次函数，且初始温度与室温一致），8分钟后水温达到 点18分时，壶中热水
自然冷却到 .
(1)求8点起壶中水温 （单位： ）关于时间 （单位：分钟）的函数 ；
(2)若当日小王在1升水沸腾 时，恰好有事出门，于是将养生壶设定为保温状态.已
知保温时养生显会自动检测壸内水温，当壶内水温高于临界值 时，设备不工作；当壸内
水温不高于临界值 时，开始加热至 后停止，加热速度与正常烧水一致.若小王在出
门34分钟后回来发现养生壶处于未工作状态，同时发现水温恰为 .（参考数据：
）
①求这34分钟内，养生壶保温过程中完成加热次数；（不需要写出理由）
②求该养生壶保温的临界值 .
【解析】 (1)当 时，设 ，则 ，可得 ，
所以 .
当 时， ，则 ，可得 ，
综上， .
(2)①1次，理由如下：由题意 ，
从 降至 ，则 ，可得 分钟，
所以 降至 ，所需时间 分钟，
由于小王出门34分钟，
从 加热至 ，则 ，可得 分钟，则从 加热至 所需时间
分钟；
从 降至 ，则 ，可得 分钟，则从 降至 所需时
间 分钟；
故34分钟内至少加热了一次，若加热两次则 分钟，
综上，只加热过一次.
②由（i）知：从 降温至 ，所需时间为 分钟.
所以在 时，水温正好被加热到 .
从 降至 ，则 ，可得 ，从 加热至 ，则 ，可得 ，
所以 在 上递减，且
，即 .
