文档内容
19.3 二次根式的加法与减法（第 2 课时）
知识点1：二次根式的混合运算
1．（2023年青海西宁）下列运算正确的是（ ）
2
A． √2+√3=√5 B．√(−5)2=−5 C．(3− √2)2=11−6 √2 D．6÷ ×√3=3
√3
【答案】C
【分析】根据二次根式的运算法则运算判断．
【详解】解：A、 √2+√3，不能合并，原计算错误，本选项不合题意；
B、 √(−5)2=5，原计算错误，本选项不合题意；
C、 (3− √2)2=11−6 √2，计算正确，本选项符合题意；
2 √3
D、6÷ ×√3=6× ×√3=9，注意运算顺序，原计算错误，本选项不合题意；
√3 2
故选：C
【点睛】本题考查二次根式的运算，乘法公式；注意掌握运算法则是解题的关键．
2．计算(1− √2)2026(1+√2)2025的结果是（ ）
A．√2−1 B．1− √2 C．1+√2 D．− 1−√2
【答案】A
【分析】本题考查了平方差公式与幂的运算性质，掌握共轭根式的平方差化简方法，及负数奇次幂的运算
规则是解题的关键．
将指数拆分，利用共轭根式的平方差公式简化乘积，再结合幂的运算性质计算结果．
【详解】解：∵ (1− √2)(1+√2)=−1,
∴ 原式=(1− √2)×(1− √2)2025×(1+√2)2025
=(1− √2)×[(1− √2)(1+√2)]2025
=(1− √2)×(−1 )2025,
∵ (−1)2025=−1,
∴ 原式 = (1− √2)×(−1)= √2−1．
故选：A．
3．计算∶(√32−√8)÷√2= ．
【答案】2
1 / 7
学科网（北京）股份有限公司【分析】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．
先进行括号内减法，再根据二次根式的除法法则计算即可．
【详解】解：原式=(4√2−2√2)÷√2
=2√2÷√2
=2，
故答案为：2 ．
4．计算：(√3+√2) 2 −√24= ．
【答案】5
【分析】根据完全平方公式，二次根式的性质化简，进行计算即可求解．
【详解】解：(√3+√2) 2 −√24= 3+2√6+2−2 √6=5
故答案为：5．
【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的运算法则是解题的关键．
1
5．（2025年甘肃）计算：√12−√6× = ．
√2
【答案】√3
【分析】本题考查二次根式的混合运算，先化简二次根式，进行乘法运算，再合并同类二次根式即可．
【详解】解：原式=2√3−√3
=√3．
6．计算：(1)(√3−√2)⋅(√3+√2)； (2)(√12+√3)×√6÷√8； (3)
(√5+1)(√5−1)−(√3−√2) 2．
【详解】（1）解：(√3−√2)⋅(√3+√2)
=(√3)2 −(√2)2
=3−2
=1；
（2）解：(√12+√3)×√6÷√8
=(2√3+√3)×√6÷2√2
=3√3×√6÷2√2
=9√2÷2√2
9
= ；
2
（3）解：原式
=(√5) 2 −12 −[(√3) 2 −2×√3×√2+(√2) 2]
2 / 7
学科网（北京）股份有限公司=5− 1(3−−2√6+2)
=5− 1(5−−2√6)
=5− √1−65+2
=2√6−1．
7．已知a=√5−3，b=√5+3，请用适当的方法求下列代数式的值．
(1)(a+b) 2． (2)a2 −b2．
【详解】（1）解：(a+b) 2
=(√5−3+√5+3) 2
=(2√5) 2
=20．
（2）解：a2 −b2
=(a+b)(a−b)
=(√5−3+√5+3)(√5− 3−√5−3)
=2√5×(−6)
=−12√5．
知识点2：二次根式的估算
8．（2023年重庆）估计√2(√8+√10)的值应在（ ）
A．7和8之间 B．8和9之间
C．9和10之间 D．10和11之间
【答案】B
【分析】先计算二次根式的混合运算，再估算结果的大小即可判断．
【详解】解：√2(√8+√10)
=√16+√20
=4+2√5
∵2<√5<2.5，
∴4<2√5<5，
∴8<4+2√5<9，
故选：B．
【点睛】此题考查了二次根式的混合运算，无理数的估算，正确掌握二次根式的混合运算法则是解题的关
键．
9．如图，数轴上A，B，C，D四个点所表示的数中，与(2√2−√3)÷√2最接近的数对应的点是（
3 / 7
学科网（北京）股份有限公司）
A．A B．B C．C D．D
【答案】A
【分析】本题考查的是无理数的估算，实数和数轴，二次根式的混合运算，掌握相关知识是解决问题的关
键．
先进行化简，再进行估算即可．
√6
【详解】解：∵(2√2−√3)÷√2=2−
2
又∵2<√6<3
√6
∴1< <1.5
2
√6
∴0.5<2− <1
2
√6
∴数轴上最接近2− 的是A．
2
故选：A．
10．若√12 √8计算的结果最小，则“”代表的运算符号为（ ）
A．+ B．− C．× D．÷
【答案】B
【分析】本题考查了二次根式的运算，常见的算术平方根的估算，熟练掌握以上知识是解题的关键．
通过计算每个运算符号下的结果值，并比较大小，即可得出结论．
【详解】解：∵ √12 =2√3≈3.464，√8 =2√2≈2.828，
A、加法：2√3+2√2≈6.292，
B、减法：2√3−2√2≈0.636，
C、乘法：2√3×2√2≈9.798，
D、除法：2√3÷2√2≈1.225，
比较各值，0.636＜1.225＜6.292＜9.796，
∴减法结果最小，故“”为减号．
故选：B．
知识点3：与二次根式有关的化简求值运算
4 / 7
学科网（北京）股份有限公司2m2+4m m2 −4m+4
11．（2025年广东广州）求代数式
⋅
的值，其中m=√3−1．
m−2 m
【答案】−4√3
【分析】此题考查了分式的化简求值，完全平方公式，平方差公式，二次根式的运算，先把分式化成最简，
然后把m=√3−1代入，通过二次根式的运算法则即可求解，熟练掌握运算法则是解题的关键．
2m2+4m m2 −4m+4
【详解】解： ⋅
m−2 m
2m(m+2) (m−2) 2
= ⋅
m−2 m
=2(m+2)(m−2)
=2m2 −8，
当m=√3−1时，
原式=2×(√3−1) 2 −8
=2×(4−2√3)−8
=8−4 √3−8
=−4√3．
3x+y 2x 2
12．（2023年四川广元）先化简，再求值： ( + )÷ ，其中x=√3+1，y=√3．
x2 −y2 y2 −x2 x2y−xy2
3x+y 2x 2
【详解】解： ( + )÷
x2 −y2 y2 −x2 x2y−xy2
3x+y−2x xy(x−y)
= ×
x2 −y2 2
x+y xy(x−y)
= ×
(x+y)(x−y) 2
xy
= ，
2
当x=√3+1，y=√3时，
(√3+1)×√3 3+√3
原式= = ．
2 2
13．（2022年湖北荆州）若3− √2的整数部分为a，小数部分为b，则代数式(2+√2a)⋅b的值是 ．
【答案】2
5 / 7
学科网（北京）股份有限公司【分析】先由1<√2<2得到1<3− √2<2，进而得出a和b，代入(2+√2a)⋅b求解即可．
【详解】解：∵ 1<√2<2，
∴1<3− √2<2，
∵ 3− √2的整数部分为a，小数部分为b，
∴a=1，b=3− √2− 1=2√−2．
∴(2+√2a)⋅b=(2+√2)×(2− √2)=4−2=2，
故答案为：2．
【点睛】本题主要考查无理数及代数式化简求值，解决本题的关键是要熟练掌握无理数估算方法和无理数
整数和小数部分的求解方法．
14．解方程√3(x+1)=√2(x−1)的结果为x= ．
【答案】− 5−√26
【分析】本题考查了解一元一次方程，二次根式的混合运算，分母有理化，正确计算是解题的关键．
通过去括号、移项、合并同类项将方程化为x(√3−√2)=−( √2+√3)，再系数化为1并有理化分母求解．
【详解】解：√3(x+1)=√2(x−1)
去括号得：√3x+√3=√2x−√2
移项得：√3x−√2x=− √2−√3
合并同类项得：x(√3−√2)=−( √2+√3)
−(√2+√3)
系数化为1得：x=
√3−√2
有理化分母：分子分母同乘√3+√2，
−(√2+√3)(√3+√2)
x=
(√3−√2)(√3+√2)
计算分子：(√2+√3)(√3+√2)=(√2+√3)2=2+2√6+3=5+2√6
计算分母：(√3)2 −(√2)2=3−2=1
−(5+2 √6)
所以x= =− 5−√62
1
故答案为：− 5−√26．
1 √2−1
15．在学习完二次根式后我们又掌握了一种分母有理化的方法．例如： = =√2−1，
√2+1 (√2+1)(√2−1)
6 / 7
学科网（北京）股份有限公司1 √3−√2
= =√3−√2．
√3+√2 (√3+√2)(√3−√2)
1
(1)化简： =__________．
√10+√9
1
(2)观察上面的计算过程，直接写出式子： =__________．
√n+√n−1
1 1 1 1
(3)利用分母有理化计算： ( + + +⋅ ⋅ ⋅+ ) (√2026+1)．
√2+1 √3+√2 √4+√3 √2026+√2025
【详解】（1）解：分子分母同乘√10−√9：
√10−√9
原式=
(√10+√9)(√10−√9)
√10−3
=
10−9
=√10−3 ．
（2）解：分子分母同乘√n−√n−1：
√n−√n−1
原式=
(√n+√n−1)(√n−√n−1)
=√n−√n−1．
（3）解：原式=(√2−1+√3−√2+√4−√3+⋅ ⋅ ⋅√+2026−√2025)(√2026+1)
=(√2026−1)(√2026+1)
=2025．
7 / 7
学科网（北京）股份有限公司
